Analyse d’une Poutre en Acier
Comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier
Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une poutre en acier pour une passerelle piétonnière. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et répondre aux normes de l’Eurocode. Votre tâche est de déterminer la taille appropriée de la poutre et de vérifier sa capacité portante en considérant les propriétés du matériau métallique.
Pour comprendre le Calcul d’une Charpente Métallique, cliquez sur le lien.
Données:
1. Charge uniformément répartie: 5 kN/m.
2. Longueur de la poutre (L): 10 m.
3. Acier utilisé: S355.
- Limite d’élasticité (\(f_y\)): 355 MPa.
- Module d’élasticité (\(E\)): 210 GPa.
4. Coefficient de sécurité: 1.5.
5. Norme: Eurocode 3 (EN 1993-1-1).
Questions:
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\)):
2. Sélection de la Section de la Poutre:
- Choisissez une section en I standard (par exemple, IPE, HEA).
- Utilisez les tables de propriétés des sections d’acier pour trouver le moment d’inertie (I) et la distance maximale de la fibre neutre à la surface de la poutre (\(y_{max}\)).
3. Calcul de la Contrainte de Flexion (\(\sigma\)):
- Vérifiez que la contrainte de flexion ne dépasse pas la limite d’élasticité réduite par le coefficient de sécurité
4. Vérification selon l’Eurocode:
- Référez-vous aux exigences de l’Eurocode 3 pour la vérification supplémentaire, y compris la flèche.
Correction : Analyse d’une Poutre en Acier
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\))
Données :
- Charge uniformément répartie : \(q = 5\, \text{kN/m}\)
- Longueur de la poutre : \(L = 10\, \text{m}\)
Formule :
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se calcule par :
\[ M_{max} = \frac{q \times L^2}{8} \]
Calcul :
\[ M_{max} = \frac{5\, \text{kN/m} \times (10\, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{5 \times 100}{8} \] \[ M_{max} = \frac{500}{8} \] \[ M_{max} = 62.5\, \text{kN·m} \]
Pour faciliter les calculs ultérieurs, on convertit en N·mm :
\[ 62.5\, \text{kN·m} = 62.5 \times 10^6\, \text{N·mm} \]
2. Sélection de la Section de la Poutre
Données supplémentaires :
- Acier utilisé : S355
- Limite d’élasticité : \(f_y = 355\, \text{MPa}\)
- Coefficient de sécurité : \(\gamma = 1.5\)
- On utilisera une section en I standard (par exemple, IPE).
2.1. Calcul de la contrainte admissible en flexion :
\[ \sigma_{allow} = \frac{f_y}{\gamma} \] \[ \sigma_{allow} = \frac{355\, \text{MPa}}{1.5} \] \[ \sigma_{allow} \approx 236.67\, \text{MPa} \]
2.2. Détermination du module de section requis (\(W_{req}\)) :
La relation entre le moment, la contrainte et le module de section est :
\[ \sigma = \frac{M}{W} \quad \Rightarrow \quad W_{req} = \frac{M_{max}}{\sigma_{allow}} \]
En substituant :
- \(M_{max} = 62.5 \times 10^6\, \text{N·mm}\)
- \(\sigma_{allow} \approx 236.67\, \text{N/mm}^2\)
On obtient :
\[ W_{req} = \frac{62.5 \times 10^6\, \text{N·mm}}{236.67\, \text{N/mm}^2} \] \[ W_{req} \approx 264\,000\, \text{mm}^3 \]
2.3. Choix de la section :
En consultant les tables de sections standard, on remarque que certaines sections en I (IPE) présentent les modules de section suivants (valeurs indicatives) :
- IPE 400 : \(W \approx 171 \times 10^3\, \text{mm}^3\)
- IPE 500 : \(W \approx 265 \times 10^3\, \text{mm}^3\)
- IPE 600 : \(W \approx 370 \times 10^3\, \text{mm}^3\)
Le choix se porte donc sur une section IPE 500 dont le module de section est juste supérieur au \(W_{req}\) calculé.
Hypothèses sur la section IPE 500 (valeurs indicatives) :
- Module de section, \(W \approx 265\times 10^3\, \text{mm}^3\)
- Moment d’inertie, \(I \approx 1.37\times 10^8\, \text{mm}^4\)
- Distance maximale de la fibre neutre, \(y_{max} \approx 250\, \text{mm}\)
3. Calcul de la Contrainte de Flexion (\(\sigma\))
Formule :
\[ \sigma = \frac{M_{max}}{W} \]
Calcul :
\[ \sigma = \frac{62.5 \times 10^6\, \text{N·mm}}{265 \times 10^3\, \text{mm}^3} \approx 235.85\, \text{MPa} \]
Comparaison avec la contrainte admissible :
- \(\sigma\) calculé \(\approx 235.85\, \text{MPa}\)
- \(\sigma_{allow} \approx 236.67\, \text{MPa}\)
La contrainte de flexion obtenue est légèrement inférieure à la contrainte admissible, ce qui signifie que la section IPE 500 convient du point de vue de la résistance en flexion.
4. Vérification Selon l’Eurocode (Vérification de la Flèche)
L’Eurocode 3 impose également une vérification de la flèche de service pour garantir le confort et la sécurité.
Formule :
La flèche maximale pour une poutre simplement appuyée sous charge uniformément répartie :
\[ \delta_{max} = \frac{5\, q\, L^4}{384\, E\, I} \]
Données :
- \(q = 5\, \text{kN/m} = 5000\, \text{N/m}\)
- \(L = 10\, \text{m}\)
- Module d’élasticité, \(E = 210\, \text{GPa} = 210 \times 10^9\, \text{N/m}^2\)
- Moment d’inertie, \(I = 1.37\times 10^8\, \text{mm}^4\)
Conversion : \(1\, \text{mm}^4 = 1\times 10^{-12}\, \text{m}^4 \Rightarrow I = 1.37\times 10^8 \times 10^{-12} = 1.37\times 10^{-4}\, \text{m}^4\)
Calcul de la flèche :
1. Calcul de \(L^4\) :
\[ L^4 = (10\, \text{m})^4 = 10\,000\, \text{m}^4 \]
2. Numérateur :
\[ 5\, q\, L^4 = 5 \times 5000\, \text{N/m} \times 10\,000\, \text{m}^4 \] \[ = 250\,000\,000\, \text{N·m}^4 \]
3. Dénominateur :
\[ 384\, E\, I = 384 \times 210 \times 10^9\, \text{N/m}^2 \times 1.37 \times 10^{-4}\, \text{m}^4 \] \[ 384 \times 28\,770\,000 \] \[ \approx 11\,040\,000\,000\, \text{N·m}^2 \]
4. Flèche :
\[ \delta_{max} = \frac{250\,000\,000}{11\,040\,000\,000} \] \[ \delta_{max} \approx 0.02265\, \text{m} \]
soit environ 22.65 mm.
Vérification du critère de flèche :
L’Eurocode impose souvent une limite de flèche par rapport à la longueur de la poutre, par exemple :
\[ \delta_{max} \leq \frac{L}{250} \]
Pour \(L = 10\, \text{m}\) :
\[ \frac{10\, \text{m}}{250} = 0.04\, \text{m} \quad (40\, \text{mm}) \]
La flèche calculée (environ 22.65 mm) est inférieure à la limite (40 mm), ce qui est acceptable.
Analyse d’une Poutre en Acier
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