Études de cas pratique

EGC

Vérification de la limite d’élasticité

Vérification de la Limite d’Élasticité en Structure Métallique

Vérification de la Limite d’Élasticité en Structure Métallique

Comprendre la Vérification de la Limite d’Élasticité

La limite d'élasticité (\(f_y\)) d'un matériau, comme l'acier, est la contrainte maximale qu'il peut supporter avant de commencer à se déformer de manière permanente (déformation plastique). En dessous de cette limite, le matériau se déforme élastiquement, c'est-à-dire qu'il reprend sa forme initiale une fois la charge retirée. Au-delà, des déformations irréversibles apparaissent. Dans la conception des structures métalliques, il est crucial de s'assurer que les contraintes induites par les charges de service (État Limite de Service - ELS) restent généralement en dessous de la limite d'élasticité pour éviter des déformations permanentes indésirables. Pour l'État Limite Ultime (ELU), on vérifie que la section peut atteindre sa résistance plastique ou de rupture, mais la limite d'élasticité reste une propriété fondamentale du matériau.

Données de l'étude

On étudie un tirant (barre tendue) en acier plat, soumis à un effort axial de traction.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur du plat (\(b\)) : \(60 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur du plat (\(t\)) : \(8 \, \text{mm}\)
  • Nuance d'acier : S235 (Limite d'élasticité caractéristique \(f_y = 235 \, \text{MPa}\))

Sollicitations :

  • Effort normal de traction de service (\(N_{ser}\)) : \(90 \, \text{kN}\)
Schéma : Tirant en Acier Soumis à la Traction
N_ser N_ser b=60mm t=8mm Tirant en Traction

Barre d'acier soumise à un effort de traction N_ser.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section brute (\(A_g\)) du plat en acier.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma_{ser}\)) dans le plat due à l'effort de traction de service \(N_{ser}\).
  3. Comparer la contrainte calculée \(\sigma_{ser}\) à la limite d'élasticité caractéristique \(f_y\) de l'acier.
  4. Conclure si la limite d'élasticité est dépassée sous cette charge de service.
  5. Si la charge était une charge de calcul à l'ELU \(N_{Ed} = 1.35 \times N_{ser}\) (simplification), quelle serait la contrainte \(\sigma_{Ed}\) et comment se comparerait-elle à la résistance de calcul plastique \(f_{yd} = f_y / \gamma_{M0}\) (avec \(\gamma_{M0} = 1.0\)) ?

Correction : Vérification de la Limite d’Élasticité en Structure Métallique

Question 1 : Aire de la Section Brute (\(A_g\))

Principe :

L'aire de la section brute (\(A_g\)) d'un plat rectangulaire est simplement le produit de sa largeur (\(b\)) par son épaisseur (\(t\)). Il est important d'utiliser des unités cohérentes (par exemple, les millimètres) pour les calculs de contrainte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_g = b \times t\]
Données spécifiques :
  • Largeur du plat (\(b\)) : \(60 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur du plat (\(t\)) : \(8 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_g &= 60 \, \text{mm} \times 8 \, \text{mm} \\ &= 480 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section brute du plat est \(A_g = 480 \, \text{mm}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la largeur du plat était de 50 mm et l'épaisseur de 10 mm, l'aire Ag serait :

Question 2 : Contrainte Normale de Service (\(\sigma_{ser}\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) dans une barre soumise à un effort axial de traction (ou de compression) est calculée en divisant l'effort axial (\(N\)) par l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle cet effort s'applique. Ici, nous calculons la contrainte sous la charge de service \(N_{ser}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{ser} = \frac{N_{ser}}{A_g}\]
Données spécifiques (convertir les unités si nécessaire) :
  • Effort de traction de service (\(N_{ser}\)) : \(90 \, \text{kN} = 90 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • Aire de la section (\(A_g\)) : \(480 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{ser} &= \frac{90 \times 10^3 \, \text{N}}{480 \, \text{mm}^2} \\ &= 187.5 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale de service dans le plat est \(\sigma_{ser} = 187.5 \, \text{MPa}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la section du plat était doublée, et l'effort \(N_{ser}\) restait le même, la contrainte \(\sigma_{ser}\) serait :

Question 3 : Comparaison de \(\sigma_{ser}\) à la Limite d'Élasticité (\(f_y\))

Principe :

Pour vérifier si le matériau commence à se déformer plastiquement sous les charges de service, on compare la contrainte de service calculée (\(\sigma_{ser}\)) à la limite d'élasticité caractéristique de l'acier (\(f_y\)). Si \(\sigma_{ser} \leq f_y\), le matériau reste dans son domaine élastique.

Données spécifiques :
  • Contrainte de service (\(\sigma_{ser}\)) : \(187.5 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S235 (\(f_y\)) : \(235 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[187.5 \, \text{MPa} \leq 235 \, \text{MPa}\]
Résultat Question 3 : La contrainte de service (\(187.5 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la limite d'élasticité (\(235 \, \text{MPa}\)).

Question 4 : Conclusion sur le Dépassement de la Limite d'Élasticité

Principe :

Si la contrainte de service est inférieure à la limite d'élasticité, cela signifie que le matériau se comporte de manière élastique sous les charges de service et ne subira pas de déformations permanentes. C'est généralement une condition souhaitée pour l'État Limite de Service (ELS).

Conclusion :

Puisque \(\sigma_{ser} \approx 187.5 \, \text{MPa}\) et \(f_y = 235 \, \text{MPa}\), on a \(\sigma_{ser} < f_y\).

Résultat Question 4 : La limite d'élasticité n'est pas dépassée sous la charge de service de \(90 \, \text{kN}\). Le tirant reste dans le domaine élastique.

Quiz Intermédiaire 3 : Si \(\sigma_{ser} > f_y\), cela signifie que :

Question 5 : Contrainte à l'ELU (\(\sigma_{Ed}\)) et Comparaison à \(f_{yd}\)

Principe :

À l'État Limite Ultime (ELU), les charges sont pondérées pour représenter une situation extrême. La contrainte de calcul (\(\sigma_{Ed}\)) est calculée avec l'effort de calcul (\(N_{Ed}\)). Cette contrainte est ensuite comparée à la résistance de calcul de l'acier (\(f_{yd} = f_y / \gamma_{M0}\)). Pour que la section soit vérifiée, il faut que \(\sigma_{Ed} \leq f_{yd}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} = 1.35 \times N_{ser} \quad (\text{simplification pour cet exercice})\] \[\sigma_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_g}\] \[f_{yd} = \frac{f_y}{\gamma_{M0}}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{ser} = 90 \, \text{kN}\)
  • \(A_g = 480 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :

Calcul de \(N_{Ed}\) :

\[ N_{Ed} = 1.35 \times 90 \, \text{kN} = 121.5 \, \text{kN} = 121500 \, \text{N} \]

Calcul de \(\sigma_{Ed}\) :

\[ \sigma_{Ed} = \frac{121500 \, \text{N}}{480 \, \text{mm}^2} = 253.125 \, \text{MPa} \]

Calcul de \(f_{yd}\) :

\[ f_{yd} = \frac{235 \, \text{MPa}}{1.0} = 235 \, \text{MPa} \]

Comparaison :

\[ \sigma_{Ed} \approx 253.13 \, \text{MPa} \quad \text{et} \quad f_{yd} = 235 \, \text{MPa} \] \[ 253.13 \, \text{MPa} > 235 \, \text{MPa} \quad (\text{NON OK !}) \]

La contrainte de calcul à l'ELU dépasse la résistance de calcul de l'acier. Cela signifie que, selon cette simplification de charge ELU, la section plastifierait et ne serait pas vérifiée en résistance simple à la traction plastique.

Résultat Question 5 : Sous une charge ELU de \(N_{Ed} = 121.5 \, \text{kN}\), la contrainte \(\sigma_{Ed} \approx 253.13 \, \text{MPa}\) dépasse la résistance de calcul \(f_{yd} = 235 \, \text{MPa}\). La section ne serait pas vérifiée à l'ELU sous cette hypothèse de charge.

Quiz Intermédiaire 4 : L'État Limite Ultime (ELU) concerne principalement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La limite d'élasticité (\(f_y\)) d'un acier est :

2. Une contrainte normale est calculée comme :

3. L'État Limite de Service (ELS) pour une structure métallique se préoccupe principalement de :

Glossaire

Limite d'Élasticité (\(f_y\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à subir des déformations permanentes (plastiques) après le retrait de la charge.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Mesure de la force interne agissant perpendiculairement à une section transversale d'un matériau, par unité d'aire. Exprimée en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
Tirant
Élément structural conçu pour résister principalement à des efforts de traction axiale.
Aire de la Section Brute (\(A_g\))
Aire totale de la section transversale d'un élément, sans déduction pour les trous éventuels.
État Limite de Service (ELS)
État au-delà duquel les critères d'utilisation spécifiés pour une structure ou un élément structural ne sont plus satisfaits (ex: déformations excessives, vibrations gênantes).
État Limite Ultime (ELU)
État associé à l'effondrement ou à d'autres formes de rupture structurale qui mettent en péril la sécurité des personnes.
Acier S235
Nuance d'acier de construction structural ayant une limite d'élasticité minimale garantie de \(235 \, \text{MPa}\).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_{M0}\))
Coefficient appliqué à la résistance caractéristique d'un matériau pour obtenir sa résistance de calcul pour la vérification de la résistance des sections à l'ELU.
Vérification de la Limite d’Élasticité – Exercice d'Application

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