EGC

Optimisation des Feux de Signalisation

Exercice : Optimisation des Feux de Signalisation

Optimisation des Feux de Signalisation pour un Carrefour Isolé

Contexte : L'ingénierie du trafic.

La gestion efficace des intersections est un pilier de l'ingénierie du trafic urbain. Un carrefour à feuxIntersection de plusieurs voies de circulation où la priorité de passage est régulée par des signaux lumineux tricolores. mal réglé peut engendrer des congestions importantes, une augmentation de la pollution et de la frustration pour les usagers. Cet exercice se concentre sur le dimensionnement d'un plan de feux pour un carrefour simple en utilisant la méthode de Webster, une approche classique et efficace pour minimiser le retard totalSomme des temps d'attente de tous les véhicules à une intersection sur une période donnée. C'est une mesure clé de la performance d'un carrefour. subi par les véhicules.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à traduire des données de trafic brutes en un plan de feux fonctionnel. Vous jonglerez avec des concepts clés comme le débit de saturation, le temps perdu et les rapports de flux pour trouver un équilibre optimal entre les demandes concurrentes des différents courants de trafic.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les paramètres fondamentaux d'un cycle de feux (cycle, phases, temps perdu).
  • Appliquer la méthode de Webster pour calculer la longueur de cycle optimale.
  • Répartir équitablement les temps de vert en fonction des flux de trafic critiques.
  • Calculer un indicateur de performance clé : le retard moyen par véhicule.
  • Analyser l'impact des variations de trafic sur l'efficacité du plan de feux.

Données de l'étude

On étudie un carrefour simple à quatre branches, contrôlé par des feux de signalisation fonctionnant en deux phases. La première phase dessert le trafic Nord-Sud (et Sud-Nord), et la seconde phase dessert le trafic Est-Ouest (et Ouest-Est). Les virages à gauche ne sont pas considérés comme conflictuels dans cet exercice simplifié.

Schéma du Carrefour et des Phases
NORD SUD OUEST EST Phase 1 Phase 2
Paramètre Description Valeur Unité
\(q_{\text{NS}}\) Débit de trafic critique Nord-Sud 800 véh/h
\(q_{\text{EO}}\) Débit de trafic critique Est-Ouest 550 véh/h
S Débit de saturation (par voie) 1800 véh/h/voie
l Temps perdu au démarrage par phase 2 s
R Temps de rouge intégral par phase 2 s

Questions à traiter

  1. Calculer les rapports de flux (y) pour chaque phase.
  2. Déterminer la durée totale du temps perdu par cycle (L).
  3. Calculer la longueur de cycle optimale (Co) avec la méthode de Webster.
  4. Allouer les temps de vert effectif (ge) pour chaque phase.
  5. Calculer le retard moyen par véhicule (d) pour l'ensemble du carrefour.

Les bases sur le calcul de feux par la méthode de Webster

La méthode de Webster est une approche analytique visant à déterminer la longueur de cycle qui minimise le retard total pour les usagers d'un carrefour. Elle repose sur un équilibre entre la capacité offerte et la demande de trafic.

1. Rapport de Flux (y)
Le rapport de flux pour une phase est le ratio entre le débit de trafic réel (q) et le débit de saturation (S). Il représente la proportion de la capacité maximale qui est utilisée pendant le temps de vert. On prend le débit le plus élevé des mouvements de la phase, dit "flux critique". \[ y_i = \frac{q_i}{S_i} \]

2. Longueur de Cycle Optimale (Co)
La formule de Webster estime la longueur de cycle qui minimise le retard. Elle dépend du temps total perdu (L) et de la somme des rapports de flux critiques (Y). \[ C_o = \frac{1.5 \cdot L + 5}{1 - Y} \quad \text{avec} \quad Y = \sum y_i \]

3. Allocation du Temps de Vert Effectif (ge)
Le temps de cycle disponible pour la circulation (Co - L) est réparti entre les phases proportionnellement à leur rapport de flux. \[ g_{e,i} = \frac{y_i}{Y} \cdot (C_o - L) \]

Correction : Optimisation des Feux de Signalisation pour un Carrefour Isolé

Question 1 : Calculer les rapports de flux (y) pour chaque phase.

Principe

Le rapport de flux, noté 'y', est une mesure fondamentale qui quantifie l'intensité du trafic pour une phase donnée. Il compare le volume de véhicules arrivant (la demande) à la capacité maximale d'écoulement lorsque le feu est vert (l'offre). C'est le premier indicateur de la "pression" que subit chaque direction du carrefour.

Mini-Cours

Un rapport de flux élevé (proche de 1.0) signifie que la phase est fortement sollicitée et qu'elle a besoin d'une part importante du temps de vert pour écouler son trafic. À l'inverse, un rapport de flux faible indique une demande modérée. La somme de ces rapports pour toutes les phases (Y) nous donnera une idée de la saturation globale du carrefour.

Remarque Pédagogique

Considérez le rapport de flux comme le "besoin en temps" de chaque phase. L'objectif est de répartir la ressource rare (le temps de cycle) de la manière la plus équitable possible en fonction de ces besoins. C'est la première étape cruciale de tout dimensionnement.

Normes

Les calculs de capacité des carrefours en France s'appuient souvent sur les guides techniques du CEREMA (anciennement CERTU). Ces guides fournissent des valeurs de débit de saturation de référence et des méthodologies de calcul qui, bien que plus complexes, reposent sur ce même principe fondamental du rapport de flux.

Formule(s)

Formule du rapport de flux

\[ y_i = \frac{q_i}{S_i} \]

Où \(q_i\) est le débit du flux critique de la phase i et \(S_i\) est le débit de saturation.

Hypothèses

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

  • Le débit de saturation de 1800 véh/h est une valeur standard et constante, non affectée par la composition du trafic (poids lourds, bus) ou les conditions géométriques (pente, largeur de voie).
  • Les débits de trafic fournis sont constants sur la période d'analyse (heure de pointe).
Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit critique Phase 1 (N-S)\(q_{\text{NS}}\)800\(\text{véh/h}\)
Débit critique Phase 2 (E-O)\(q_{\text{EO}}\)550\(\text{véh/h}\)
Débit de saturationS1800\(\text{véh/h}\)
Astuces

Pour une vérification rapide, gardez en tête que \(y\) est un nombre sans dimension qui doit être inférieur à 1. Si vous obtenez une valeur supérieure, cela signifie que le carrefour est en sur-saturation et que la file d'attente va croître indéfiniment.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre les deux débits de trafic concurrents au carrefour, avec une demande plus forte sur l'axe Nord-Sud.

Débits de trafic critiques
NORDSUDOUESTESTq_NS = 800q_EO = 550
Calcul(s)

Rapport de flux Phase 1 (Nord-Sud)

\[ \begin{aligned} y_{\text{NS}} &= \frac{q_{\text{NS}}}{S} \\ &= \frac{800}{1800} \\ &\approx 0.444 \end{aligned} \]

Rapport de flux Phase 2 (Est-Ouest)

\[ \begin{aligned} y_{\text{EO}} &= \frac{q_{\text{EO}}}{S} \\ &= \frac{550}{1800} \\ &\approx 0.306 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme à barres compare visuellement les deux rapports de flux, montrant la "demande relative" de chaque phase.

Comparaison des rapports de flux (y)
0.00.51.00.444Nord-Sud0.306Est-Ouest
Réflexions

Le rapport de flux de la phase Nord-Sud est environ 1.45 fois plus élevé que celui de la phase Est-Ouest (0.444 / 0.306). On s'attend donc à ce que la phase Nord-Sud reçoive beaucoup plus de temps de vert pour gérer son trafic plus dense.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le débit critique pour chaque phase. S'il y avait plusieurs voies ou mouvements dans une phase (ex: tout droit + virage à droite), il faudrait prendre le ratio q/S le plus élevé parmi eux, car c'est lui qui dimensionne le besoin en temps de vert.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Le rapport de flux (y = q/S) mesure la charge de trafic d'une phase.
  • Formule Essentielle : \(y_i = q_i / S_i\)
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser le flux critique de la phase.
Le saviez-vous ?

Les premiers feux de signalisation, installés à Londres en 1868, étaient manuels et fonctionnaient au gaz. Ils ont été retirés après avoir explosé et blessé l'opérateur de police.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on un débit de saturation unique (S) ?

Dans cet exercice simplifié, on suppose que toutes les approches ont les mêmes caractéristiques géométriques. En réalité, chaque mouvement (tout droit, virage à gauche, etc.) aurait son propre débit de saturation calculé en fonction de la largeur de voie, de la pente, de la présence de stationnement, etc.

Résultat Final
Les rapports de flux sont : \(y_{\text{NS}} \approx 0.444\) et \(y_{\text{EO}} \approx 0.306\).
A vous de jouer

Si le trafic Est-Ouest augmentait à 700 véh/h, quel serait le nouveau rapport de flux \(y_{\text{EO}}\) ?

Question 2 : Déterminer la durée totale du temps perdu par cycle (L).

Principe

Dans un cycle de feux, tout le temps n'est pas utilisé efficacement pour la circulation. Le "temps perdu" (L) représente la somme de toutes ces durées "improductives" au sein d'un cycle complet. Il inclut le temps de démarrage des véhicules au début de chaque phase verte et les périodes de rouge intégral pour sécuriser le carrefour.

Mini-Cours

Chaque fois qu'un feu passe au vert, il y a une inertie : le premier conducteur doit réagir, démarrer, puis les suivants. Ce temps de réaction initial est une perte. De même, entre deux phases, on insère un "rouge intégral" où tous les feux sont rouges pour "vider" le carrefour et éviter les conflits. Ces deux éléments, répétés pour chaque phase, constituent le temps perdu total.

Remarque Pédagogique

Le temps perdu est un mal nécessaire. On ne peut pas l'éliminer, mais on cherche à le minimiser. C'est une composante fixe du cycle : plus le cycle est court, plus la proportion de temps perdu est élevée, ce qui rend le carrefour moins efficace.

Normes

Les réglementations sur la signalisation routière (comme l'Instruction Interministérielle sur la Signalisation Routière en France) imposent des durées minimales pour les temps de sécurité comme le jaune et le rouge intégral, en fonction de la géométrie du carrefour et des vitesses pratiquées.

Formule(s)

Formule du temps perdu total

\[ L = \sum_{i=1}^{n} (l_i + R_i) \]

Où \(n\) est le nombre de phases, \(l_i\) est le temps perdu au démarrage pour la phase i, et \(R_i\) est le temps de rouge intégral après la phase i.

Hypothèses

On suppose que les temps perdus au démarrage et les temps de rouge intégral sont identiques pour les deux phases, ce qui est une simplification courante pour un carrefour symétrique.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de phasesn2-
Temps perdu au démarrage (par phase)l2s
Temps de rouge intégral (par phase)R2s
Astuces

Une estimation rapide du temps perdu par phase est souvent de l'ordre de 4 à 5 secondes. Pour un carrefour à 2 phases, L sera donc autour de 8-10s ; pour 3 phases, 12-15s. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre les composantes du temps perdu pour une seule transition de phase.

Composantes du temps perdu par phase
l = 2sDémarrageR = 2sRouge IntégralTotal = 4s
Calcul(s)

Temps perdu pour une phase

\[ l + R = 2 + 2 = 4 \text{ s} \]

Temps perdu total pour le cycle

\[ \begin{aligned} L &= (l_{\text{NS}} + R_{\text{NS}}) + (l_{\text{EO}} + R_{\text{EO}}) \\ &= 4 + 4 \\ &= 8 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre comment les temps perdus s'additionnent sur un cycle complet.

Temps perdu total sur un cycle
Vert Phase 14sVert Phase 24sL = 4s + 4s = 8s
Réflexions

Ces 8 secondes représentent une part non négligeable du cycle total. Sur un cycle de 68 secondes (calculé à la question suivante), cela représente près de 12% du temps total qui n'est pas directement alloué à l'écoulement du trafic.

Points de vigilance

Une erreur commune est d'oublier de sommer les temps perdus pour toutes les phases. Le temps perdu L est par cycle, et non par phase. Il faut bien multiplier le temps perdu par phase par le nombre de phases.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Le temps perdu (L) est le temps "improductif" d'un cycle.
  • Formule Essentielle : \(L = \sum (l_i + R_i)\)
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier de sommer sur toutes les phases du cycle.
Le saviez-vous ?

Les feux de signalisation modernes peuvent être "adaptatifs" : ils ajustent la durée des verts et la longueur du cycle en temps réel grâce à des capteurs (boucles magnétiques, caméras) qui mesurent le trafic, rendant le calcul prédictif comme celui de Webster moins nécessaire dans ces cas.

FAQ
Le temps de feu jaune est-il inclus dans le temps perdu ?

Oui. Le temps perdu au démarrage (l) est en fait la différence entre le vert réel et le vert effectif. Le temps de jaune et le rouge intégral sont des temps de dégagement. La somme de tout cela constitue le temps inter-vert, qui est une composante majeure du temps perdu.

Résultat Final
Le temps perdu total par cycle est de \(L = 8 \text{ s}\).
A vous de jouer

Si le carrefour avait 3 phases avec les mêmes temps perdus, quelle serait la valeur de L ?

Question 3 : Calculer la longueur de cycle optimale (Co) avec la méthode de Webster.

Principe

La formule de Webster fournit une estimation de la durée de cycle qui minimise le retard global des usagers. Elle établit un compromis : des cycles trop courts gaspillent du temps en changements de phase fréquents (le temps perdu L devient proportionnellement trop grand), tandis que des cycles trop longs créent des attentes excessives sur les voies au rouge.

Mini-Cours

Le numérateur de la formule (\(1.5 \cdot L + 5\)) représente une estimation empirique du temps perdu minimal nécessaire pour un fonctionnement fluide. Le dénominateur (\(1 - Y\)) est crucial : il représente la "réserve de capacité" du carrefour. Plus Y se rapproche de 1, plus le carrefour est saturé, et plus le cycle doit être long pour tenter de gérer le trafic.

Remarque Pédagogique

La valeur de Co obtenue est une valeur théorique optimale. En pratique, les ingénieurs arrondissent souvent à une valeur multiple de 5 secondes (ex: 65, 70, 75s) pour faciliter la coordination avec d'autres carrefours sur un axe. Mais pour cet exercice, nous gardons la valeur exacte.

Normes

Les guides techniques recommandent généralement des longueurs de cycle comprises entre 45 et 120 secondes pour les carrefours isolés. Une valeur en dehors de cette plage doit être justifiée : un cycle plus court peut être utilisé pour les carrefours peu chargés, un cycle plus long pour les carrefours très complexes ou saturés.

Formule(s)

Formule de la longueur de cycle optimale de Webster

\[ C_o = \frac{1.5 \cdot L + 5}{1 - Y} \]

Où L est le temps perdu total et Y est la somme des rapports de flux critiques (\(Y = \sum y_i\)).

Hypothèses

La formule de Webster suppose que les arrivées de véhicules sont aléatoires (distribution de Poisson) et que les usagers ne dévient pas vers d'autres itinéraires en fonction de la congestion.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs calculées dans les questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Temps perdu totalL8s
Rapport de flux N-S\(y_{\text{NS}}\)0.444-
Rapport de flux E-O\(y_{\text{EO}}\)0.306-
Astuces

Le terme \(Y = \sum y_i\) est le plus important. C'est le "degré de saturation" du carrefour. S'il dépasse 0.85-0.90, attendez-vous à un cycle très long et à des retards importants. C'est un excellent indicateur de la performance globale du carrefour.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre comment les entrées (L et Y) alimentent la formule de Webster pour produire la sortie (Co).

Entrées de la Formule de Webster
L = 8sY = 0.750Formule WebsterCo = ?
Calcul(s)

Étape 1 : Calculer la somme des rapports de flux (Y)

\[ \begin{aligned} Y &= y_{\text{NS}} + y_{\text{EO}} \\ &= 0.444 + 0.306 \\ &= 0.750 \end{aligned} \]

Étape 2 : Appliquer la formule de Webster

\[ \begin{aligned} C_o &= \frac{1.5 \cdot L + 5}{1 - Y} \\ &= \frac{1.5 \cdot 8 + 5}{1 - 0.750} \\ &= \frac{12 + 5}{0.250} \\ &= \frac{17}{0.250} \\ &= 68 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme illustre la composition du cycle de 68 secondes qui vient d'être calculé.

Composition du Cycle Optimal
L=8sVert Utile = 60sCo = 68s
Réflexions

Une durée de cycle de 68 secondes est une valeur typique pour un carrefour urbain modérément chargé. Le dénominateur (\(1-Y = 0.25\)) représente la réserve de capacité du carrefour (25%). Si Y approchait de 1, le cycle deviendrait très long, indiquant que le carrefour est proche de la saturation.

Points de vigilance

Attention à la somme Y. Une petite erreur sur un des rapports de flux 'y' peut avoir un impact important sur le dénominateur (\(1-Y\)) et donc sur le résultat final de Co, surtout lorsque Y est élevé.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Le cycle optimal (Co) minimise le retard en équilibrant temps perdu et charge de trafic.
  • Formule Essentielle : \(C_o = (1.5L + 5) / (1 - Y)\)
  • Point de Vigilance Majeur : La formule est très sensible à la valeur de Y lorsque celle-ci s'approche de 1.
Le saviez-vous ?

La formule originale de Webster, développée au Royaume-Uni dans les années 1950, est le fruit de milliers d'heures de simulation manuelle et d'observations sur le terrain, bien avant l'avènement des ordinateurs puissants.

FAQ
Que signifient les constantes 1.5 et 5 dans la formule ?

Ce sont des termes empiriques. Ils ont été ajustés par Webster à partir de ses simulations pour que la formule théorique corresponde au mieux aux retards observés dans la réalité. Ils permettent de prendre en compte le caractère non-linéaire du retard lorsque la saturation augmente.

Résultat Final
La longueur de cycle optimale est de \(C_o = 68 \text{ s}\).
A vous de jouer

Si le temps perdu total (L) était de 10s (avec Y=0.750), quelle serait la nouvelle durée de cycle Co ?

Question 4 : Allouer les temps de vert effectif (ge) pour chaque phase.

Principe

Une fois la durée totale du cycle fixée, il faut la répartir équitablement entre les phases. Le principe est d'allouer plus de temps de vert aux phases qui ont le plus de trafic (c'est-à-dire un rapport de flux 'y' plus élevé). On calcule le "vert effectif", qui est le temps réellement utilisé pour l'écoulement du trafic.

Mini-Cours

Le temps total disponible dans un cycle pour faire passer les voitures est le cycle total moins le temps perdu (\(C_o - L\)). Ce "gâteau" de temps utile est ensuite partagé entre les phases. La part de chaque phase est simplement proportionnelle à son "besoin", représenté par son rapport de flux \(y_i\) par rapport au besoin total Y.

Remarque Pédagogique

C'est une simple règle de trois. Vous avez un temps total à distribuer, et vous le distribuez en fonction du poids de chaque demandeur. C'est le cœur de la logique de partage de la capacité d'un carrefour.

Normes

Les normes de conception imposent des temps de vert minimum (généralement 7 à 10 secondes) pour des raisons de sécurité et de perception des usagers, même si le calcul donne une valeur plus faible. Il faut toujours vérifier que les temps de vert calculés respectent ces minima.

Formule(s)

Formule d'allocation du temps de vert effectif

\[ g_{e,i} = \frac{y_i}{Y} \cdot (C_o - L) \]
Hypothèses

On suppose que l'on peut allouer des temps de vert avec une précision à la demi-seconde. En pratique, les contrôleurs de feux fonctionnent souvent avec des pas de temps d'une seconde.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs calculées dans les questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Cycle Optimal\(C_o\)68s
Temps perdu totalL8s
Somme des rapports de fluxY0.750-
Rapport de flux N-S\(y_{\text{NS}}\)0.444-
Rapport de flux E-O\(y_{\text{EO}}\)0.306-
Astuces

Pour vérifier votre calcul, la somme de tous les temps de vert effectifs que vous calculez (\(g_{e,i}\)) doit être égale au temps de cycle disponible (\(C_o - L\)). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre le "gâteau" de 60 secondes de temps de vert utile qui doit être partagé entre les deux phases en fonction de leurs poids respectifs.

Répartition du temps de vert utile
60s utilesg_e,NS = ?(Poids: 0.444)g_e,EO = ?(Poids: 0.306)
Calcul(s)

Étape 1 : Calculer le temps de vert total disponible

\[ \begin{aligned} C_o - L &= 68 - 8 \\ &= 60 \text{ s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calculer le vert effectif pour la phase Nord-Sud

\[ \begin{aligned} g_{e,\text{NS}} &= \frac{y_{\text{NS}}}{Y} \cdot (C_o - L) \\ &= \frac{0.444}{0.750} \cdot 60 \\ &\approx 0.592 \cdot 60 \\ &\approx 35.5 \text{ s} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calculer le vert effectif pour la phase Est-Ouest

\[ \begin{aligned} g_{e,\text{EO}} &= \frac{y_{\text{EO}}}{Y} \cdot (C_o - L) \\ &= \frac{0.306}{0.750} \cdot 60 \\ &\approx 0.408 \cdot 60 \\ &\approx 24.5 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de cycle (ou diagramme des phases) est une frise chronologique qui montre la séquence et la durée de chaque signal sur le cycle complet de 68 secondes.

Diagramme du plan de feux final
Vert N-S (35.5s)JRVert E-O (24.5s)JR0s35.5s39.5s64s68s
Réflexions

La phase Nord-Sud reçoit 11 secondes de vert de plus que la phase Est-Ouest, ce qui reflète directement sa charge de trafic plus élevée. La répartition semble cohérente avec les données d'entrée.

Points de vigilance

Ne pas confondre le temps de vert effectif (\(g_e\)) avec le temps de vert réel (\(g\)) affiché sur le feu. Le vert réel est légèrement plus long pour compenser les pertes au démarrage (\(g = g_e + l\)). Pour cet exercice, nous nous concentrons sur le vert effectif qui est la base du calcul de capacité.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Le temps de vert disponible (\(C_o-L\)) est partagé au prorata des rapports de flux.
  • Formule Essentielle : \(g_{e,i} = (y_i / Y) \cdot (C_o - L)\)
  • Point de Vigilance Majeur : La somme des \(g_e\) doit égaler \(C_o - L\).
Le saviez-vous ?

La couleur verte a été choisie pour "Go" en partie à cause de sa bonne visibilité, mais aussi par convention issue du monde ferroviaire, où le vert signifiait déjà "voie libre".

FAQ
Et le temps de feu jaune, où est-il ?

Le temps de jaune est un temps de dégagement. Il est inclus dans le calcul du temps perdu. Le temps de vert réel affiché serait le vert effectif plus le temps perdu au démarrage moins le temps de jaune. C'est une notion plus avancée, mais pour le calcul de capacité, seul le vert effectif compte.

Résultat Final
Les temps de vert effectifs sont : \(g_{e,\text{NS}} \approx 35.5\) s et \(g_{e,\text{EO}} \approx 24.5\) s.
A vous de jouer

Avec un temps de vert disponible de 70s et \(y_{\text{NS}}=0.5, y_{\text{EO}}=0.3\) (donc Y=0.8), quel serait \(g_{e,\text{NS}}\) ?

Question 5 : Calculer le retard moyen par véhicule (d) pour l'ensemble du carrefour.

Principe

Le retard est la mesure la plus tangible de la performance d'un carrefour du point de vue de l'usager. La formule de Webster permet d'estimer ce retard en se basant sur la durée du cycle, la répartition du temps de vert et le degré de saturation du carrefour.

Mini-Cours

Le retard a deux composantes principales. La première, calculée ici, est due aux arrivées uniformes des véhicules : c'est le retard "normal" dû au fonctionnement cyclique du feu. Une seconde composante (non calculée ici pour rester simple) est le retard dû au dépassement de capacité, qui devient très important lorsque le carrefour est saturé.

Remarque Pédagogique

Le retard est très sensible à la saturation. Même une petite augmentation du trafic peut faire exploser le retard si le carrefour est déjà bien chargé. C'est pourquoi il est crucial de bien dimensionner les feux pour les heures de pointe.

Normes

Les manuels de capacité, comme le Highway Capacity Manual (HCM) américain, définissent des Niveaux de Service (Level of Service - LOS) de A (excellent) à F (congestion) en fonction du retard moyen par véhicule. Par exemple, un retard de 16.5s correspondrait typiquement à un niveau de service B, ce qui est considéré comme très bon.

Formule(s)

Formule du retard de Webster (terme uniforme)

\[ d_i = \frac{0.5 \cdot C_o \cdot (1 - \lambda_i)^2}{1 - y_i} \quad \text{avec} \quad \lambda_i = \frac{g_{e,i}}{C_o} \]

Formule du retard moyen pondéré

\[ d_{\text{moyen}} = \frac{\sum (d_i \cdot q_i)}{\sum q_i} \]
Hypothèses

On néglige le second terme de la formule de Webster, qui modélise le retard aléatoire et de saturation. Cette simplification est acceptable tant que le carrefour n'est pas trop proche de la saturation (Y < 0.85).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats calculés dans les questions précédentes pour cette dernière étape.

ParamètreSymboleValeurUnité
Cycle Optimal\(C_o\)68s
Vert effectif N-S\(g_{e,\text{NS}}\)35.5s
Vert effectif E-O\(g_{e,\text{EO}}\)24.5s
Rapport de flux N-S\(y_{\text{NS}}\)0.444-
Rapport de flux E-O\(y_{\text{EO}}\)0.306-
Débit N-S\(q_{\text{NS}}\)800\(\text{véh/h}\)
Débit E-O\(q_{\text{EO}}\)550\(\text{véh/h}\)
Astuces

Le terme \(\lambda_i\) représente la proportion de temps de vert allouée à la phase i. Le terme \((1-\lambda_i)\) représente donc la proportion de temps où le feu est rouge pour cette phase. Le retard est approximativement proportionnel au carré de la durée du rouge, ce qui est logique.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le concept de retard : la différence entre le temps de parcours réel (avec attente au feu) et le temps de parcours idéal (sans arrêt).

Illustration du concept de retard
Parcours idéal (sans feu):Parcours réel (avec feu):AttenteRetard (d)
Calcul(s)

Étape 1 : Calculer la proportion de vert (\(\lambda_i\)) pour la phase N-S

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{NS}} &= \frac{g_{e,\text{NS}}}{C_o} \\ &= \frac{35.5}{68} \\ &\approx 0.522 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calculer la proportion de vert (\(\lambda_i\)) pour la phase E-O

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{EO}} &= \frac{g_{e,\text{EO}}}{C_o} \\ &= \frac{24.5}{68} \\ &\approx 0.360 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calculer le retard pour la phase N-S

\[ \begin{aligned} d_{\text{NS}} &= \frac{0.5 \cdot C_o \cdot (1 - \lambda_{\text{NS}})^2}{1 - y_{\text{NS}}} \\ &= \frac{0.5 \cdot 68 \cdot (1 - 0.522)^2}{1 - 0.444} \\ &= \frac{34 \cdot (0.478)^2}{0.556} \\ &= \frac{7.77}{0.556} \\ &\approx 14.0 \text{ s} \end{aligned} \]

Étape 4 : Calculer le retard pour la phase E-O

\[ \begin{aligned} d_{\text{EO}} &= \frac{0.5 \cdot C_o \cdot (1 - \lambda_{\text{EO}})^2}{1 - y_{\text{EO}}} \\ &= \frac{0.5 \cdot 68 \cdot (1 - 0.360)^2}{1 - 0.306} \\ &= \frac{34 \cdot (0.640)^2}{0.694} \\ &= \frac{13.93}{0.694} \\ &\approx 20.1 \text{ s} \end{aligned} \]

Étape 5 : Calculer le retard moyen pondéré

\[ \begin{aligned} d_{\text{moyen}} &= \frac{(d_{\text{NS}} \cdot q_{\text{NS}}) + (d_{\text{EO}} \cdot q_{\text{EO}})}{q_{\text{NS}} + q_{\text{EO}}} \\ &= \frac{(14.0 \cdot 800) + (20.1 \cdot 550)}{800 + 550} \\ &= \frac{11200 + 11055}{1350} \\ &= \frac{22255}{1350} \\ &\approx 16.5 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme à barres compare les retards calculés pour chaque phase et met en évidence le retard moyen global du carrefour.

Comparaison des retards par phase
0s15s30s14.0sNord-Sud20.1sEst-OuestMoyen: 16.5s
Réflexions

Le retard sur l'axe Est-Ouest (20.1s) est plus élevé que sur l'axe Nord-Sud (14.0s), même si le trafic y est plus faible. C'est normal : parce que l'axe E-O a moins de trafic, on lui a donné moins de temps de vert, ce qui augmente proportionnellement le temps d'attente pour ses usagers. C'est le résultat du compromis global.

Points de vigilance

Ne pas oublier de faire la moyenne pondérée par les débits. Le retard moyen du carrefour n'est pas la simple moyenne arithmétique des retards de chaque phase. Il doit donner plus de poids à la phase qui a le plus de véhicules.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le retard est l'indicateur de performance final pour l'usager.
  • Formule Essentielle : La formule de Webster pour le retard, suivie d'une moyenne pondérée.
  • Point de Vigilance Majeur : Pensez à la pondération par les débits pour le retard moyen global.
Le saviez-vous ?

Certaines villes expérimentent des systèmes sans feux, comme les "shared spaces" (espaces partagés) ou les giratoires complexes, qui reposent sur la communication visuelle et la négociation entre usagers pour gérer les flux, souvent avec succès dans les zones à vitesse réduite.

FAQ
Ce retard de 16.5s est-il bon ?

Oui, c'est un excellent résultat. Selon les standards du HCM, cela correspond à un Niveau de Service B, indiquant des conditions de circulation très fluides avec un retard minimal pour la plupart des usagers.

Résultat Final
Le retard moyen par véhicule pour ce carrefour est d'environ \(16.5 \text{ s}\).
A vous de jouer

Intuitivement, si le trafic sur les deux axes était identique (ex: 800 véh/h chacun), le retard sur chaque axe serait-il identique ?

Outil Interactif : Simulateur de Plan de Feux

Utilisez les curseurs pour modifier les débits de trafic critiques sur les deux axes et observez en temps réel l'impact sur la durée de cycle optimale et le retard moyen total. Le graphique montre comment le retard évolue en fonction du débit sur l'axe Nord-Sud, pour un débit Est-Ouest fixe.

Paramètres d'Entrée
800 véh/h
550 véh/h
Résultats Clés
Cycle Optimal (Co) - s
Retard Moyen Pondéré - s/véh

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le trafic sur l'axe Nord-Sud augmente considérablement, que deviendra la durée de cycle optimale (Co) ?

2. Qu'est-ce que le "débit de saturation" (S) représente ?

3. Dans la formule de Webster, le "temps perdu" (L) inclut :

4. Un rapport de flux total (Y) de 0.95 indique que le carrefour est :

5. L'objectif principal de la méthode de Webster est de :

Carrefour à feux
Intersection où la circulation est régulée par des signaux lumineux.
Cycle de feux (Co)
Temps total pour une séquence complète de tous les signaux lumineux (vert, jaune, rouge) pour toutes les phases.
Débit de saturation (S)
Débit horaire maximal de véhicules pouvant traverser une intersection depuis une voie, en supposant que le feu est constamment vert.
Phase
Période de temps pendant laquelle un ensemble de mouvements de trafic non conflictuels reçoivent le droit de passage (feu vert).
Rapport de flux (y)
Ratio du débit de trafic réel sur le débit de saturation (y = q/S). Il mesure le degré d'utilisation de la capacité d'une phase.
Retard
Temps d'attente supplémentaire subi par un véhicule par rapport à un trajet sans interruption à travers le carrefour.
Temps perdu (L)
Partie du cycle non utilisée efficacement pour l'écoulement du trafic, incluant les temps de démarrage et les rouges intégraux.
Temps de vert effectif (ge)
Partie du temps de vert durant laquelle le débit de saturation est atteint. C'est le temps de vert réel moins les pertes au démarrage.
Exercice : Optimisation des Feux de Signalisation

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