Études de cas pratique

EGC

Calcul du Volume de Béton d’un Escalier

Calcul du Volume de Béton d’un Escalier

Calculer le Volume de Béton d’un Escalier

Comprendre le Calcul du Volume de Béton pour un Escalier

Le calcul précis du volume de béton nécessaire pour un escalier est une étape essentielle dans la planification d'un chantier. Il permet d'estimer les coûts des matériaux, de commander les bonnes quantités et d'éviter le gaspillage. Pour un escalier en béton armé, les principaux éléments dont il faut calculer le volume sont la paillasse (la dalle inclinée qui supporte les marches) et les marches elles-mêmes.

Ce calcul dépend directement des dimensions de l'escalier : hauteur totale à franchir, nombre de marches, hauteur et giron de chaque marche, emmarchement (largeur de l'escalier) et épaisseur de la paillasse. Cet exercice se concentrera sur le calcul du volume de béton pour une volée d'escalier droit.

Données de l'étude

On souhaite calculer le volume de béton nécessaire pour une volée d'escalier droit ayant les caractéristiques suivantes :

  • Hauteur totale à franchir (\(H_{\text{etage}}\)) : \(2.80 \, \text{m}\)
  • Nombre de hauteurs de marche (\(N_h\)) : \(16\)
  • Giron (\(g\)) : \(27 \, \text{cm}\)
  • Emmarchement (largeur de l'escalier, \(E\)) : \(0.90 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la paillasse (mesurée perpendiculairement à la pente, \(e_p\)) : \(15 \, \text{cm}\)
Schéma : Volée d'Escalier et Paillasse
ep Hetage g h Lesc (Reculement) Lp Volée d'Escalier et Paillasse

Schéma d'une volée d'escalier droit montrant la paillasse et les marches.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur de marche réelle (\(h\)).
  2. Calculer le nombre de girons (\(N_g\)).
  3. Calculer le reculement total de l'escalier (\(L_{\text{esc}}\)).
  4. Calculer la longueur de la paillasse (\(L_p\)), mesurée le long de la pente.
  5. Calculer le volume de béton de la paillasse (\(V_{\text{paillasse}}\)).
  6. Calculer le volume de béton d'une seule marche (partie triangulaire au-dessus de la paillasse, \(V_{\text{marche}}\)).
  7. Calculer le volume total de béton pour les marches (\(V_{\text{total marches}}\)).
  8. Calculer le volume total de béton pour la volée de l'escalier (\(V_{\text{total escalier}}\)).

Correction : Calcul du Volume de Béton d’un Escalier

Question 1 : Hauteur de Marche Réelle (\(h\))

Principe :

La hauteur de marche est la hauteur totale à franchir divisée par le nombre de hauteurs (ou contremarches). Chaque marche permet de s'élever d'une hauteur \(h\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[h = \frac{H_{\text{etage}}}{N_h}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur d'étage (\(H_{\text{etage}}\)) : \(2.80 \, \text{m} = 280 \, \text{cm}\)
  • Nombre de hauteurs (\(N_h\)) : \(16\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= \frac{280 \, \text{cm}}{16} \\ &= 17.5 \, \text{cm} \end{aligned} \]

La hauteur de chaque marche sera donc de 17.5 cm.

Résultat Question 1 : La hauteur de marche réelle est \(h = 17.5 \, \text{cm}\).

Question 2 : Nombre de Girons (\(N_g\))

Principe :

Le giron est la partie horizontale de la marche où l'on pose le pied. Dans un escalier droit standard, il y a toujours un giron de moins que le nombre de hauteurs. La dernière hauteur mène directement au palier supérieur, il n'y a donc pas de giron "final" appartenant à la volée elle-même.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_g = N_h - 1\]
Données spécifiques :
  • Nombre de hauteurs (\(N_h\)) : \(16\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_g &= 16 - 1 \\ &= 15 \end{aligned} \]

L'escalier aura donc 15 girons.

Résultat Question 2 : Le nombre de girons est \(N_g = 15\).

Question 3 : Reculement Total de l'Escalier (\(L_{\text{esc}}\))

Principe :

Le reculement est la longueur horizontale totale que l'escalier occupe au sol. Il se calcule en multipliant la profondeur d'un giron par le nombre total de girons.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{\text{esc}} = N_g \times g\]
Données spécifiques :
  • Nombre de girons (\(N_g\)) : \(15\)
  • Giron (\(g\)) : \(27 \, \text{cm} = 0.27 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{\text{esc}} &= 15 \times 27 \, \text{cm} \\ &= 405 \, \text{cm} \\ &= 4.05 \, \text{m} \end{aligned} \]

L'escalier s'étendra sur une longueur de 4.05 mètres au sol.

Résultat Question 3 : Le reculement total de l'escalier est \(L_{\text{esc}} = 4.05 \, \text{m}\).

Question 4 : Longueur de la Paillasse (\(L_p\))

Principe :

La paillasse est la dalle inclinée sous les marches. Sa longueur (\(L_p\)) correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont la hauteur totale de l'escalier (\(H_{\text{etage}}\)) et son reculement (\(L_{\text{esc}}\)). On applique le théorème de Pythagore : \(a^2 + b^2 = c^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_p = \sqrt{H_{\text{etage}}^2 + L_{\text{esc}}^2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur d'étage (\(H_{\text{etage}}\)) : \(2.80 \, \text{m}\)
  • Reculement (\(L_{\text{esc}}\)) : \(4.05 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_p &= \sqrt{(2.80 \, \text{m})^2 + (4.05 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{7.84 \, \text{m}^2 + 16.4025 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{24.2425 \, \text{m}^2} \\ &\approx 4.923667 \, \text{m} \end{aligned} \]

La longueur inclinée de la paillasse est d'environ 4.924 mètres.

Résultat Question 4 : La longueur de la paillasse est \(L_p \approx 4.924 \, \text{m}\).

Question 5 : Volume de Béton de la Paillasse (\(V_{\text{paillasse}}\))

Principe :

Le volume de la paillasse est calculé comme le volume d'un prisme droit : sa surface (longueur inclinée \(L_p\) multipliée par l'emmarchement \(E\)) multipliée par son épaisseur (\(e_p\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{paillasse}} = L_p \times e_p \times E\]
Données spécifiques :
  • Longueur de la paillasse (\(L_p\)) : \(4.924 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la paillasse (\(e_p\)) : \(15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}\)
  • Emmarchement (\(E\)) : \(0.90 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{paillasse}} &= 4.924 \, \text{m} \times 0.15 \, \text{m} \times 0.90 \, \text{m} \\ &= 0.7386 \, \text{m}^2 \times 0.90 \, \text{m} \\ &\approx 0.66474 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume de béton pour la paillasse est d'environ 0.665 m³.

Résultat Question 5 : Le volume de béton de la paillasse est \(V_{\text{paillasse}} \approx 0.665 \, \text{m}^3\).

Question 6 : Volume de Béton d'une Marche (\(V_{\text{marche}}\))

Principe :

Chaque marche en béton au-dessus de la paillasse a une section approximativement triangulaire. L'aire de ce triangle est (base × hauteur) / 2, soit (\(g \times h\)) / 2. Pour obtenir le volume d'une marche, on multiplie cette aire par l'emmarchement (largeur) de l'escalier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{marche}} = \left(\frac{1}{2} \times g \times h\right) \times E\]
Données spécifiques :
  • Giron (\(g\)) : \(27 \, \text{cm} = 0.27 \, \text{m}\)
  • Hauteur de marche (\(h\)) : \(17.5 \, \text{cm} = 0.175 \, \text{m}\)
  • Emmarchement (\(E\)) : \(0.90 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{marche}} &= \left(\frac{1}{2} \times 0.27 \, \text{m} \times 0.175 \, \text{m}\right) \times 0.90 \, \text{m} \\ &= (0.5 \times 0.04725 \, \text{m}^2) \times 0.90 \, \text{m} \\ &= 0.023625 \, \text{m}^2 \times 0.90 \, \text{m} \\ &\approx 0.0212625 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume de béton pour une seule marche est d'environ 0.0213 m³.

Résultat Question 6 : Le volume de béton d'une marche est \(V_{\text{marche}} \approx 0.0213 \, \text{m}^3\).

Question 7 : Volume Total de Béton pour les Marches (\(V_{\text{total marches}}\))

Principe :

Le volume total de béton pour l'ensemble des marches est simplement le volume d'une marche multiplié par le nombre total de marches. Le nombre de marches est égal au nombre de hauteurs (\(N_h\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{total marches}} = N_h \times V_{\text{marche}}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de hauteurs/marches (\(N_h\)) : \(16\)
  • Volume d'une marche (\(V_{\text{marche}}\)) : \(0.0212625 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{total marches}} &= 16 \times 0.0212625 \, \text{m}^3 \\ &= 0.3402 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume total pour toutes les marches est de 0.3402 m³.

Résultat Question 7 : Le volume total de béton pour les marches est \(V_{\text{total marches}} = 0.3402 \, \text{m}^3\).

Question 8 : Volume Total de Béton pour l'Escalier (\(V_{\text{total escalier}}\))

Principe :

Le volume total de béton pour la volée complète de l'escalier est la somme du volume de la paillasse et du volume total des marches.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{total escalier}} = V_{\text{paillasse}} + V_{\text{total marches}}\]
Données spécifiques (résultats précédents) :
  • Volume de la paillasse (\(V_{\text{paillasse}}\)) : \(0.66474 \, \text{m}^3\)
  • Volume total des marches (\(V_{\text{total marches}}\)) : \(0.3402 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{total escalier}} &= 0.66474 \, \text{m}^3 + 0.3402 \, \text{m}^3 \\ &= 1.00494 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume total de béton nécessaire pour cet escalier est d'environ 1.005 m³.

Résultat Question 8 : Le volume total de béton pour la volée de l'escalier est \(V_{\text{total escalier}} \approx 1.005 \, \text{m}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'emmarchement (E) de l'escalier augmente, le volume total de béton :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

9. La paillasse d'un escalier est :

10. Pour calculer le volume de la paillasse, on multiplie sa longueur inclinée, son épaisseur et :

11. Le volume de la partie triangulaire d'une marche est calculé avec la formule de l'aire d'un triangle multipliée par :

Glossaire

Paillasse
Dalle inclinée en béton armé qui forme la structure portante d'une volée d'escalier et sur laquelle reposent les marches.
Giron (\(g\))
Distance horizontale entre les nez de deux marches consécutives.
Hauteur de Marche (\(h\))
Distance verticale entre les nez de deux marches consécutives.
Emmarchement (\(E\))
Largeur utile de l'escalier, c'est-à-dire la largeur des marches.
Volée
Suite ininterrompue de marches entre deux paliers (ou entre un plancher et un palier).
Reculement (\(L_{\text{esc}}\))
Longueur horizontale totale occupée par une volée d'escalier au sol.
Calcul du Volume de Béton d'un Escalier - Exercice d'Application

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