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Analyse de la Pente d’un Tronçon Routier

Analyse de la Pente d’un Tronçon Routier

Analyse de la Pente d’un Tronçon Routier

Contexte : Le profil en longReprésentation graphique de l'altitude du terrain naturel le long de l'axe d'un projet linéaire (route, voie ferrée, etc.). d'un projet routier.

L'analyse du profil en long est une étape fondamentale dans la conception des routes. Elle permet de définir l'altitude de la route finie pour optimiser les mouvements de terre (déblais/remblais), assurer un drainage correct et garantir la sécurité et le confort des usagers. Le calcul de la pente entre deux points est l'une des analyses de base de ce processus.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et interpréter la pente d'un segment de route, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en génie civil et transport.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la dénivelée entre deux points.
  • Déterminer la pente d'un tronçon en pourcentage.
  • Calculer la distance horizontale réelle à partir d'une distance sur plan et d'une échelle.
  • Comprendre l'impact de la pente sur la conception routière.

Données de l'étude

On étudie un tronçon de route rectiligne entre un point A et un point B. Les données topographiques ont été relevées et sont présentées ci-dessous.

Fiche Technique du Projet
Caractéristique Valeur
Type de route Route départementale
Région Zone de plaine
Vitesse de référence 80 km/h
Profil en Long Simplifié du Tronçon AB
Distance Horizontale Altitude Point A Alt. A Point B Alt. B Distance Horizontale (L) Dénivelée (ΔZ)
Paramètre Description Valeur Unité
Altitude du Point A Altitude de départ du tronçon 112.50 m
Altitude du Point B Altitude d'arrivée du tronçon 105.30 m
Distance sur Plan Distance mesurée entre A et B sur la carte 14.4 cm
Échelle du Plan Échelle de la carte topographique 1/2500 -

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale réelle (L) en mètres entre le point A et le point B.
  2. Calculer la dénivelée (ΔZ) en mètres entre le point A et le point B.
  3. Déterminer la pente (p) du tronçon en pourcentage (%).
  4. La pente est-elle une montée ou une descente en allant de A vers B ? Justifiez.
  5. Sachant que pour ce type de route, la pente maximale admissible est de 5%, le projet est-il conforme ?

Les bases sur le Calcul de Pente

La pente topographique est une mesure qui exprime l'inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. En génie routier, elle est cruciale et généralement exprimée en pourcentage.

1. Dénivelée (ou Dénivellation)
La dénivelée, notée \( \Delta Z \), est la différence d'altitude entre deux points. Elle se calcule simplement par : \[ \Delta Z = \text{Altitude}_{\text{finale}} - \text{Altitude}_{\text{initiale}} \] Un résultat négatif indique une descente, un résultat positif une montée.

2. Pente (p)
La pente est le rapport entre la dénivelée (la distance verticale) et la distance horizontale (L). Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100. \[ p (\text{\%}) = \frac{\Delta Z}{L} \times 100 \]

Correction : Analyse de la Pente d’un Tronçon Routier

Question 1 : Calculer la distance horizontale réelle (L) en mètres.

Principe

Pour obtenir la distance réelle sur le terrain à partir d'une carte, il faut utiliser l'échelle de cette dernière. L'échelle est le rapport entre une distance sur la carte et la distance correspondante sur le terrain.

Mini-Cours

Une échelle de 1/2500 signifie que 1 unité de mesure sur le plan (par exemple, 1 cm) représente 2500 de ces mêmes unités dans la réalité (2500 cm). C'est un facteur de conversion entre la représentation et le réel.

Remarque Pédagogique

La première étape avant tout calcul à partir d'un plan est de vérifier et comprendre son échelle. Une erreur à ce niveau faussera tous les résultats qui en découlent.

Normes

Les plans topographiques utilisés en génie civil suivent des normes de représentation cartographique qui garantissent la fiabilité des échelles et des mesures (par exemple, les normes ISO sur la cartographie).

Formule(s)

Formule de la distance réelle

\[ \text{Distance}_{\text{réelle}} = \text{Distance}_{\text{plan}} \times \text{Dénominateur de l'échelle} \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que le plan est juste et que la mesure de 14.4 cm est précise. Nous supposons aussi que le terrain est suffisamment plat pour que la distance horizontale soit une bonne approximation de la distance réelle parcourue.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Distance sur Plan\(d_{\text{plan}}\)14.4cm
ÉchelleE1/2500-
Astuces

Pour aller plus vite, on peut se créer un repère mental : sur un plan au 1/2500, 1 cm représente 25 mètres. Ainsi, 10 cm = 250 m, 4 cm = 100 m. On peut alors estimer rapidement le résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Conversion d'échelle
Sur le Plan14.4 cmÉchelle 1/2500Dans la Réalité? m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la distance réelle en centimètres

\[ \begin{aligned} L_{\text{cm}} &= 14.4 \text{ cm} \times 2500 \\ &= 36000 \text{ cm} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion de la distance en mètres

\[ \begin{aligned} L &= \frac{36000}{100} \\ &= 360 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Distance Horizontale
Point APoint BL = 360 m
Réflexions

Une distance de 360 mètres est une longueur de tronçon courante pour une étude de profil en long. Ce résultat est cohérent avec le contexte d'une route départementale.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est la mauvaise gestion des unités. Il faut bien convertir les centimètres du plan en mètres sur le terrain. Ne pas multiplier 14.4 par 2500 et donner le résultat en mètres directement !

Points à retenir
  • La distance réelle est la distance plan multipliée par le dénominateur de l'échelle.
  • La cohérence des unités (cm vers m) est cruciale.
Le saviez-vous ?

Les premières cartes à grande échelle précises ont été développées au 18ème siècle, notamment par la famille Cassini en France, révolutionnant la planification des routes et des canaux.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser directement la distance GPS ?

Pour une étude de conception, les plans topographiques issus de relevés précis (par des géomètres) sont la référence. Le GPS grand public peut manquer de la précision requise pour des calculs d'ingénierie.

Résultat Final
La distance horizontale réelle entre les points A et B est de 360 mètres.
A vous de jouer

Si la distance sur un plan au 1/5000 était de 10 cm, quelle serait la distance réelle en mètres ?

Question 2 : Calculer la dénivelée (\( \Delta Z \)) en mètres.

Principe

La dénivelée représente le changement vertical d'altitude entre deux points. C'est simplement la différence entre l'altitude du point d'arrivée et celle du point de départ.

Mini-Cours

En topographie, l'altitude est mesurée par rapport à un niveau de référence, généralement le niveau moyen de la mer (référence NGF-IGN69 en France). La dénivelée est donc une mesure relative entre deux points de ce système.

Remarque Pédagogique

Faites toujours attention à l'ordre de la soustraction : c'est "final moins initial". Le signe du résultat a une signification physique directe : négatif pour une descente, positif pour une montée.

Normes

Il n'y a pas de norme pour le calcul lui-même, mais les altitudes des points doivent provenir de relevés conformes aux normes topographiques en vigueur pour garantir leur exactitude.

Formule(s)

Formule de la dénivelée

\[ \Delta Z = \text{Altitude}_{\text{B}} - \text{Altitude}_{\text{A}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les altitudes fournies sont exactes et exprimées dans le même système de référence altimétrique.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du Point A\(Z_{\text{A}}\)112.50m
Altitude du Point B\(Z_{\text{B}}\)105.30m
Astuces

Pour éviter les erreurs de signe, demandez-vous simplement : "Est-ce que je monte ou est-ce que je descends ?". Ici, on passe de 112.50 m à 105.30 m, on descend, donc le résultat doit être négatif.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des Altitudes
Niveau de référence (ex: mer)Point AAlt. A = 112.50 mPoint BAlt. B = 105.30 m
Calcul(s)

Calcul de la différence d'altitude

\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 105.30 \text{ m} - 112.50 \text{ m} \\ &= -7.20 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Dénivelée
Alt. A (112.50m)Alt. B (105.30m)ΔZ = -7.20 m
Réflexions

Une descente de 7.20 mètres sur une distance de 360 mètres est une variation d'altitude modérée, typique d'une zone de plaine comme indiqué dans les données du projet.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inverser les termes (\(Z_{\text{A}} - Z_{\text{B}}\)), ce qui donnerait un signe incorrect et une mauvaise interprétation du sens de la pente.

Points à retenir
  • Dénivelée = Altitude finale - Altitude initiale.
  • Le signe de la dénivelée indique le sens de la pente (montée ou descente).
Le saviez-vous ?

Le Mont Blanc, plus haut sommet d'Europe occidentale, a une altitude d'environ 4807 mètres. La dénivelée de notre route est donc infime en comparaison !

FAQ
La dénivelée peut-elle être nulle ?

Oui, si deux points sont à la même altitude, la dénivelée est nulle. Le terrain entre ces deux points est alors horizontal, et la pente est de 0%.

Résultat Final
La dénivelée entre les points A et B est de -7.20 mètres.
A vous de jouer

Quelle serait la dénivelée si l'altitude du point B était de 115.00 m ?

Question 3 : Déterminer la pente (p) du tronçon en pourcentage (%).

Principe

La pente est le rapport de la distance verticale (dénivelée) sur la distance horizontale. Elle quantifie l'inclinaison de la route. On la multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage, une convention très utilisée en ingénierie routière.

Mini-Cours

Une pente de 1% signifie que l'on s'élève (ou s'abaisse) de 1 mètre verticalement pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement. Une pente de 2% correspond donc à une dénivelée de 2 mètres sur 100 mètres.

Remarque Pédagogique

Pour le calcul de la valeur de la pente, on utilise la valeur absolue de la dénivelée. Le signe nous a déjà servi à déterminer le sens (montée/descente). La valeur de la pente est toujours positive.

Normes

Les guides techniques de conception routière (comme ceux du SETRA en France) définissent les pentes maximales et minimales admissibles en fonction du type de route et de la vitesse de référence.

Formule(s)

Formule de la pente en pourcentage

\[ p (\text{\%}) = \frac{|\Delta Z|}{L} \times 100 \]
Hypothèses

Nous supposons que la pente est constante sur tout le tronçon entre A et B. En réalité, un profil en long peut avoir des variations de pente.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée\( \Delta Z \)-7.20m
Distance horizontaleL360m
Astuces

Le rapport \( \Delta Z/L \) (ici 7.2/360) est souvent un petit nombre. Si vous obtenez un résultat comme 20 ou 50 avant de multiplier par 100, il y a probablement une erreur d'unité ou de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de Pente
Distance Horizontale (L)Dénivelée |ΔZ|Pente (p) ?
Calcul(s)

Calcul de la pente

\[ \begin{aligned} p (\text{%}) &= \frac{|-7.20 \text{ m}|}{360 \text{ m}} \times 100 \\ &= \frac{7.20}{360} \times 100 \\ &= 0.02 \times 100 \\ &= 2 \text{ %} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle de Pente avec Résultat
L = 360 m|ΔZ| = 7.20 mPente = 2%
Réflexions

Une pente de 2% est considérée comme faible. Elle est confortable pour tous les types de véhicules et ne pose généralement pas de problème de sécurité ni de drainage.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier de multiplier par 100 pour obtenir un pourcentage. Un résultat de 0.02 n'est pas une pente de 0.02%, mais bien une pente de 2%.

Points à retenir
  • Pente (%) = (Dénivelée / Distance Horizontale) x 100.
  • Utiliser la valeur absolue de la dénivelée.
Le saviez-vous ?

Certaines rues de San Francisco ont des pentes de plus de 30% ! La conduite et le stationnement y sont un véritable défi technique.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser la distance réelle sur la pente au lieu de la distance horizontale ?

En génie civil, pour des pentes faibles (< 10-15%), la différence entre la distance horizontale et la distance réelle sur la pente est négligeable. L'utilisation de la distance horizontale simplifie grandement les calculs et la représentation sur les plans.

Résultat Final
La pente du tronçon routier est de 2 %.
A vous de jouer

Quelle serait la pente en % si la dénivelée était de 10 mètres sur une distance de 200 mètres ?

Question 4 : La pente est-elle une montée ou une descente de A vers B ?

Principe

Le sens de la pente est déterminé par la comparaison des altitudes de départ et d'arrivée, ce qui est mathématiquement traduit par le signe de la dénivelée calculée précédemment.

Mini-Cours

Dans un repère cartésien où l'axe des x représente la distance et l'axe des y l'altitude, une pente descendante correspond à une fonction décroissante. Le coefficient directeur de la droite, qui représente la pente, est alors négatif.

Remarque Pédagogique

C'est une question de pure logique. Si vous partez d'un point plus haut pour aller vers un point plus bas, vous descendez. Le calcul doit simplement confirmer cette intuition.

Normes

Les conventions de signalisation routière utilisent des panneaux spécifiques pour indiquer les descentes dangereuses (panneau A16 en France), en précisant la pente en pourcentage.

Formule(s)

Il n'y a pas de formule ici, mais une règle d'interprétation :

  • Si \( \Delta Z = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}} < 0 \), c'est une descente.
  • Si \( \Delta Z = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}} > 0 \), c'est une montée.
Hypothèses

L'hypothèse est que le sens de parcours est bien de A vers B, comme spécifié dans la question.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée\( \Delta Z \)-7.20m
Astuces

Le signe "moins" de la dénivelée peut être lu comme "on perd de l'altitude", ce qui signifie directement "descente".

Schéma (Avant les calculs)
Sens de Parcours
ABSens de A vers B
Calcul(s)

Aucun nouveau calcul n'est nécessaire. On se base sur le signe de \( \Delta Z \).

Schéma (Après les calculs)
Interprétation du Signe de la Dénivelée
ΔZ = -7.20 m (Négatif)DESCENTE
Réflexions

Nous avons calculé une dénivelée \( \Delta Z = -7.20 \) m. Comme le signe est négatif, cela signifie que l'altitude diminue lorsqu'on se déplace du point A vers le point B. Il s'agit donc d'une descente.

Points de vigilance

Ne pas confondre la valeur de la pente (qui est 2%) et le sens. Une pente de 2% peut être montante ou descendante. C'est le signe de la dénivelée qui tranche.

Points à retenir

Le signe de la dénivelée (Altitude finale - Altitude initiale) donne le sens de la pente.

Le saviez-vous ?

Pour les cyclistes du Tour de France, la distinction entre montée et descente est primordiale. Les descentes de cols alpins peuvent atteindre des vitesses de plus de 100 km/h !

FAQ
Et si on allait de B vers A ?

Si le sens de parcours était de B vers A, la dénivelée serait \( \Delta Z = Z_{\text{A}} - Z_{\text{B}} = 112.50 - 105.30 = +7.20 \) m. Le signe positif indiquerait alors une montée, ce qui est logique.

Résultat Final
En allant de A vers B, le tronçon est en descente car l'altitude du point B est inférieure à celle du point A.
A vous de jouer

Si \( \Delta Z = +4.0 \) m, le tronçon est-il en montée ou en descente ?

Question 5 : Le projet est-il conforme à la pente maximale de 5% ?

Principe

La conformité d'un projet est vérifiée en comparant ses caractéristiques calculées (ici, la pente) aux exigences réglementaires ou aux spécifications du cahier des charges.

Mini-Cours

Les pentes maximales sont définies pour garantir la sécurité (notamment le freinage des poids lourds en descente), le confort (éviter les sensations de "montagne russe") et la performance (permettre aux véhicules de maintenir leur vitesse sans surconsommer).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale où le travail de l'ingénieur prend tout son sens : les calculs ne sont pas un but en soi, mais un outil pour prendre une décision : "oui, c'est conforme" ou "non, il faut revoir la conception".

Normes

En France, le guide de conception "Aménagement des Routes Principales" (ARP) du SETRA donne des valeurs de pentes maximales en fonction du type de route (R60, R80, T80, etc.) et du contexte (plaine, vallonné, montagne).

Formule(s)

Critère de conformité

\[ p_{\text{calculée}} \le p_{\text{max admissible}} \]
Hypothèses

On suppose que la valeur de 5% donnée dans l'énoncé est la bonne référence normative pour le projet étudié.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pente calculée\(p_{\text{calculée}}\)2%
Pente maximale admissible\(p_{\text{max admissible}}\)5%
Astuces

Cette vérification est souvent une simple lecture et comparaison de deux nombres. L'important est de savoir où trouver la bonne valeur de référence normative.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de Conformité
Zone Non-Conforme (> 5%)Zone Conforme (≤ 5%)Pente = 2% ?
Calcul(s)

Comparaison des pentes

\[ 2\text{%} \le 5\text{%} \Rightarrow \text{Condition Vérifiée} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
Zone Non-Conforme (> 5%)Zone Conforme (≤ 5%)Pente = 2%OK !
Réflexions

La condition est respectée. La pente du projet est inférieure à la pente maximale autorisée, ce qui est favorable pour la sécurité (distance de freinage), le confort des usagers et la consommation de carburant des véhicules. Le projet n'a pas besoin d'être modifié sur ce critère.

Points de vigilance

Il faut être sûr de comparer les bonnes valeurs. Une pente de 2% est inférieure à 5%, mais elle serait supérieure à une éventuelle pente maximale de 1.5% pour un autre type d'ouvrage (ex: voie ferrée).

Points à retenir

La dernière étape d'un calcul d'ingénierie est souvent la comparaison du résultat à une valeur seuil réglementaire pour valider ou invalider une conception.

Le saviez-vous ?

Pour les personnes à mobilité réduite, la pente maximale des rampes d'accès est très réglementée et ne doit généralement pas dépasser 5% (ou 8% sur une très courte distance) pour garantir l'accessibilité.

FAQ
Que se passerait-il si la pente était de 6% ?

Le projet serait non-conforme. L'ingénieur devrait alors modifier le tracé, soit en allongeant la distance pour "étaler" la dénivelée (ce qui coûte plus cher), soit en réalisant des ouvrages de terrassement plus importants (déblais/remblais) pour adoucir la pente.

Résultat Final
Oui, le projet est conforme car la pente de 2 % est inférieure à la pente maximale admissible de 5 %.
A vous de jouer

Si la pente maximale était de 1.5%, le projet serait-il conforme ?

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude finale ou la distance horizontale et observez en temps réel l'impact sur la pente du tronçon.

Paramètres d'Entrée
105.3 m
360 m
Résultats Clés
Dénivelée (m) -
Pente (%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la dénivelée entre deux points est positive, cela signifie que :

2. Une pente de 100% correspond à un angle de :

3. Si on double la distance horizontale sans changer la dénivelée, la pente sera :

4. L'échelle 1/5000 est :

5. Une forte pente peut principalement affecter :

Profil en long
Représentation graphique de la coupe verticale d'un terrain suivant l'axe d'un projet linéaire (route, canal, etc.), montrant les altitudes du terrain naturel et du projet fini.
Dénivelée
Différence d'altitude entre deux points. Elle peut être positive (montée) ou négative (descente).
Pente
Rapport entre la dénivelée et la distance horizontale, exprimant l'inclinaison. En génie routier, elle est généralement exprimée en pourcentage (%).
Échelle cartographique
Rapport constant entre une distance mesurée sur une carte et la distance correspondante sur le terrain.
Analyse de la Pente d’un Tronçon Routier

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