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Vérification d’une poutre métallique

Vérification d’une Poutre Métallique

Vérification d’une Poutre Métallique

Contexte : Le Squelette d'Acier des Bâtiments.

Les poutres métalliques, et en particulier les profilés en "I" (comme les IPE), sont les éléments de base de la plupart des ossatures de bâtiments industriels, commerciaux ou de bureaux. Elles constituent les "solives" qui supportent les planchers. Le rôle de l'ingénieur est de s'assurer que la poutre choisie est capable de supporter les charges qui lui sont appliquées (poids propre, plancher, occupants, mobilier) sans se rompre ni se déformer excessivement. Cette vérification se fait selon des règles normatives précises, comme celles de l'Eurocode 3, en distinguant l'État Limite Ultime (ELU), lié à la sécurité et à la ruine, de l'État Limite de Service (ELS), lié au confort et à l'aspect.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'étude complet et très classique du dimensionnement en structure métallique. Nous allons partir des charges d'exploitation, appliquer les combinaisons de charges réglementaires, calculer les sollicitations (moment fléchissant, effort tranchant), et enfin comparer ces sollicitations aux résistances du profilé choisi. C'est la démarche exacte suivie dans un bureau d'études structures.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer le moment fléchissant et l'effort tranchant maximaux dans une poutre sur appuis simples.
  • Vérifier la résistance d'un profilé IPE à la flexion et au cisaillement selon l'Eurocode 3.
  • Vérifier la déformation (flèche) d'une poutre et la comparer à une limite admissible.
  • Comprendre la différence fondamentale entre une vérification à l'ELU (sécurité) et une vérification à l'ELS (confort).

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher en profilé IPE 240, en acier de nuance S235. La poutre est sur deux appuis simples et a une portée de 6 mètres. Elle supporte des charges uniformément réparties.

Schéma de la Poutre et de son Chargement
q (G+Q) L = 6.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Charge permanente (hors poids propre) \(G_k\) 4.0 \(\text{kN/m}\)
Charge d'exploitation \(Q_k\) 3.0 \(\text{kN/m}\)
Profilé - \(\text{IPE 240}\) -
Nuance de l'acier - \(\text{S235}\) -
Module de Young de l'acier \(E\) 210 000 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU, \(M_{Ed}\).
  2. Vérifier la résistance de la poutre à la flexion.
  3. Vérifier la résistance de la poutre au cisaillement.
  4. Vérifier la flèche de la poutre à l'ELS.

Les bases de la Vérification de Poutres

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de l'Eurocode.

1. Combinaisons de Charges :
Pour assurer la sécurité, on majore les charges pour les vérifications de résistance (ELU) et on les garde à leur valeur nominale pour les vérifications de confort (ELS). Les formules de base sont :

  • ELU : \(p_{Ed} = 1.35 \cdot G_k + 1.50 \cdot Q_k\)
  • ELS : \(p_{ser} = G_k + Q_k\)

2. Sollicitations Maximales (Poutre sur 2 appuis, charge répartie) :
Pour une charge uniformément répartie \(p\) sur une poutre de portée \(L\), les efforts maximaux sont bien connus :

  • Moment fléchissant max (au milieu) : \(M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{8}\)
  • Effort tranchant max (aux appuis) : \(V_{\text{max}} = \frac{p \cdot L}{2}\)

3. Flèche Maximale :
La déformation maximale (flèche) pour ce cas de charge est donnée par la formule : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] Cette flèche est ensuite comparée à une limite, souvent une fraction de la portée (par exemple L/250).

Correction : Vérification d’une Poutre Métallique

Question 1 : Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU, \(M_{Ed}\)

Principe (le concept physique)

L'État Limite Ultime (ELU) correspond à la ruine de la structure. Pour garantir la sécurité, on majore les charges permanentes (G) et d'exploitation (Q) avec des coefficients de sécurité. La charge ainsi pondérée (\(p_{Ed}\)) est utilisée pour calculer les efforts maximaux (moment \(M_{Ed}\), effort tranchant \(V_{Ed}\)) que la poutre devra pouvoir supporter sans se rompre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison de charges \(1.35 G + 1.5 Q\) est la combinaison fondamentale de l'Eurocode 0 (EN 1990) pour les bâtiments. Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes est plus faible que le 1.50 sur les charges variables, car les charges permanentes (poids des matériaux) sont connues avec une meilleure précision que les charges d'exploitation (personnes, mobilier, etc.).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à l'ELU comme au "pire scénario" pour la poutre. On imagine que le bâtiment est chargé au maximum de sa capacité et, par sécurité, on augmente encore un peu ces charges. La poutre doit pouvoir résister à cette situation extrême. C'est le cœur de la vérification de la sécurité structurelle.

Normes (la référence réglementaire)

Les combinaisons de charges sont définies dans la norme EN 1990. Les formules pour les sollicitations (\(pL^2/8\)) sont des résultats fondamentaux de la Résistance des Matériaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge de calcul à l'ELU :

\[ p_{Ed} = 1.35 \cdot G_k + 1.50 \cdot Q_k \]

2. Moment fléchissant de calcul :

\[ M_{Ed} = \frac{p_{Ed} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que les charges sont uniformément réparties et que la poutre est parfaitement sur deux appuis simples (rotulés). Le poids propre du profilé est inclus dans les charges permanentes Gk.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente, \(G_k = 4.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation, \(Q_k = 3.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il est essentiel de garder des unités cohérentes tout au long du calcul. Utiliser les kilonewtons (kN) et les mètres (m) est une pratique courante. Le moment sera alors obtenu en kilonewton-mètres (kN·m), l'unité standard pour le dimensionnement.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme)
M_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge pondérée \(p_{Ed}\) :

\[ \begin{aligned} p_{Ed} &= 1.35 \cdot G_k + 1.50 \cdot Q_k \\ &= 1.35 \cdot 4.0 \, \text{kN/m} + 1.50 \cdot 3.0 \, \text{kN/m} \\ &= 5.4 \, \text{kN/m} + 4.5 \, \text{kN/m} \\ &= 9.9 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant \(M_{Ed}\) :

\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{p_{Ed} \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{9.9 \, \text{kN/m} \cdot (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{9.9 \cdot 36}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 44.55 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur)
M_Ed = 44.55 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment de 44.55 kN·m représente la sollicitation de flexion maximale que la poutre subit dans le scénario de charge le plus défavorable. C'est cette valeur que nous allons maintenant comparer à la résistance de la section du profilé IPE 240.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la portée \(L\) au carré dans la formule du moment. Une autre erreur est d'utiliser la mauvaise combinaison de charges (par exemple, la combinaison ELS pour un calcul ELU).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification à l'ELU se fait avec des charges pondérées (\(1.35G+1.5Q\)).
  • Le moment maximal pour une charge répartie est au centre de la poutre.
  • La formule à retenir est \(M = pL^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés en I sont si efficaces pour reprendre la flexion car la matière est concentrée dans les semelles, le plus loin possible de l'axe neutre. Ce sont les semelles qui reprennent la quasi-totalité du moment fléchissant (l'une en traction, l'autre en compression), tandis que l'âme reprend principalement l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le poids propre de la poutre n'est-il pas calculé séparément ?

Dans la pratique, on le calcule (pour un IPE 240, il est d'environ 0.307 kN/m). Pour simplifier l'exercice, on a considéré qu'il était déjà inclus dans la charge permanente Gk de 4.0 kN/m. Dans un cas réel, on aurait Gk = charge du plancher + poids propre de la poutre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul à l'ELU est \(M_{Ed} = 44.55 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée était de 8 mètres, quel serait le nouveau moment \(M_{Ed}\) en kN·m ?

Question 2 : Vérifier la résistance de la poutre à la flexion

Principe (le concept physique)

Après avoir calculé la sollicitation de flexion (\(M_{Ed}\)), nous devons la comparer à la capacité de résistance de la poutre (\(M_{c,Rd}\)). Si la résistance est supérieure à la sollicitation, la poutre est considérée comme sûre vis-à-vis de la flexion. Pour un profilé compact comme un IPE, la résistance est gouvernée par sa capacité plastique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance plastique en flexion, \(M_{pl,Rd}\), est le moment qui provoque la plastification complète de la section. Elle est calculée avec le module de section plastique (\(W_{pl}\)), qui est une caractéristique géométrique du profilé. Tant que la poutre est maintenue latéralement (ce qu'on suppose ici, par le plancher), elle peut atteindre cette pleine capacité plastique sans instabilité (déversement).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de vérité. À la question 1, nous avons calculé "l'attaque" (le moment appliqué). Maintenant, nous calculons la "défense" (le moment résistant). Le match est gagné si la défense est plus forte que l'attaque. C'est le principe de base de toute vérification de sécurité en ingénierie.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion des sections est définie au chapitre 6.2.5 de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1). Pour une section de Classe 1 ou 2 (ce qui est le cas des IPE standards), la résistance de calcul est la résistance plastique \(M_{pl,Rd}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Condition de vérification :

\[ M_{Ed} \le M_{pl,Rd} \]

2. Formule de la résistance plastique en flexion :

\[ M_{pl,Rd} = \frac{W_{pl,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est de Classe 1, ce qui lui permet d'atteindre sa pleine capacité plastique. On suppose également que le risque de déversement (flambement latéral-torsionnel) est empêché par le plancher connecté à la semelle supérieure de la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{Ed} = 44.55 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Profilé : IPE 240. D'après catalogue, \(W_{pl,y} = 366.6 \, \text{cm}^3\).
  • Nuance d'acier : S235, donc \(f_y = 235 \, \text{MPa}\).
  • Coefficient de sécurité partiel, \(\gamma_{M0} = 1.0\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Les unités sont cruciales ici. \(W_{pl,y}\) est en cm³, \(f_y\) en MPa (ou N/mm²). Une conversion simple est de transformer \(f_y\) en kN/cm² (\(235 \, \text{MPa} = 23.5 \, \text{kN/cm}^2\)). Le produit \(W_{pl,y} \cdot f_y\) donnera un résultat en kN·cm, qu'il faudra diviser par 100 pour obtenir des kN·m.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Moment Appliqué vs Moment Résistant
M_Ed = 44.55M_pl,Rd = ?≤
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ f_y = 235 \, \text{MPa} = 23.5 \, \text{kN/cm}^2 \]

2. Calcul du moment plastique résistant \(M_{pl,Rd}\) :

\[ \begin{aligned} M_{pl,Rd} &= \frac{W_{pl,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \\ &= \frac{366.6 \, \text{cm}^3 \cdot 23.5 \, \text{kN/cm}^2}{1.0} \\ &= 8615.1 \, \text{kN} \cdot \text{cm} \\ &= 86.15 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 44.55 \, \text{kN} \cdot \text{m} \le 86.15 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance en Flexion
M_Ed = 44.55M_pl,Rd=86.15✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de la poutre (86.15 kN·m) est presque le double de la sollicitation (44.55 kN·m). Le taux de travail est de \(44.55 / 86.15 \approx 51.7\%\). La poutre est donc correctement dimensionnée pour la flexion, avec une marge de sécurité confortable. Le choix du profilé IPE 240 semble adéquat pour cette condition.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il est crucial de bien identifier la caractéristique géométrique à utiliser : le module plastique \(W_{pl}\) pour une section de classe 1 ou 2, et non le module élastique \(W_{el}\) qui est plus faible et donnerait une résistance sous-estimée. De plus, il faut s'assurer que l'hypothèse anti-déversement est bien valide.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion dépend du module plastique (\(W_{pl}\)) et de la limite d'élasticité (\(f_y\)).
  • La vérification est \(M_{Ed} \le M_{pl,Rd}\).
  • Cette vérification n'est valide que si la section est compacte (Classe 1 ou 2) et que le déversement est bloqué.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La capacité d'une section à atteindre son moment plastique est une des grandes avantages de l'acier. Cela permet une redistribution des efforts dans les structures hyperstatiques (continues), un concept appelé "rotule plastique", qui offre une réserve de sécurité supplémentaire par rapport à un calcul purement élastique.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le déversement ?

Le déversement est un phénomène d'instabilité qui affecte les poutres fléchies. La semelle comprimée de la poutre se comporte comme une colonne et a tendance à flamber latéralement, entraînant une torsion de toute la section. C'est un mode de ruine qui peut survenir bien avant que le moment plastique ne soit atteint si la poutre n'est pas correctement maintenue.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance en flexion (\(M_{pl,Rd} = 86.15 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)) est supérieure au moment sollicitant (\(M_{Ed} = 44.55 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)). La poutre est vérifiée en flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un IPE 220 (\(W_{pl,y} = 285.4 \, \text{cm}^3\)), quelle serait sa résistance \(M_{pl,Rd}\) en kN·m ?

Question 3 : Vérifier la résistance de la poutre au cisaillement

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant (\(V_{Ed}\)) est une sollicitation qui tend à faire "glisser" verticalement les sections de la poutre les unes par rapport aux autres. Cet effort est maximal aux appuis. Nous devons vérifier que la capacité de la poutre à résister à ce "glissement", appelée résistance plastique au cisaillement (\(V_{pl,Rd}\)), est suffisante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un profilé en I, c'est l'âme (la partie verticale) qui reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant. La résistance est donc calculée sur la base de l'aire de l'âme, appelée aire de cisaillement (\(A_v\)). La formule de résistance fait intervenir le critère de von Mises pour le cisaillement, d'où l'apparition du terme \(\sqrt{3}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de couper une pile de feuilles de papier avec des ciseaux. C'est un effort de cisaillement. Pour une poutre en I, c'est l'âme qui agit comme le papier et résiste à la coupe. La vérification au cisaillement est généralement moins critique que la flexion pour les poutres de bâtiment, mais elle reste une étape de sécurité indispensable, surtout pour les poutres courtes et très chargées.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification au cisaillement est définie au chapitre 6.2.6 de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1). La norme fournit la formule de la résistance plastique au cisaillement et la manière de calculer l'aire de cisaillement \(A_v\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Effort tranchant de calcul :

\[ V_{Ed} = \frac{p_{Ed} \cdot L}{2} \]

2. Résistance plastique au cisaillement :

\[ V_{pl,Rd} = \frac{A_v \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}} \]

3. Condition de vérification :

\[ V_{Ed} \le V_{pl,Rd} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'âme de la poutre n'est pas sujette au voilement par cisaillement, ce qui est le cas pour les profilés IPE standards dans des conditions normales.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_{Ed} = 9.9 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Profilé : IPE 240. D'après catalogue, son aire de cisaillement est \(A_v = 18.96 \, \text{cm}^2\).
  • Nuance d'acier : S235, donc \(f_y = 235 \, \text{MPa}\).
  • Coefficient de sécurité partiel, \(\gamma_{M0} = 1.0\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la conversion d'unités, si \(A_v\) est en cm² et \(f_y\) en MPa (N/mm²), on peut convertir \(A_v\) en mm² (\(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\)). Le résultat sera en N, qu'il faudra diviser par 1000 pour obtenir des kN.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant
+V_Ed = ?-V_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant \(V_{Ed}\) :

\[ \begin{aligned} V_{Ed} &= \frac{p_{Ed} \cdot L}{2} \\ &= \frac{9.9 \, \text{kN/m} \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 29.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance au cisaillement \(V_{pl,Rd}\) :

\[ \begin{aligned} V_{pl,Rd} &= \frac{A_v \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}} \\ &= \frac{(18.96 \cdot 100 \, \text{mm}^2) \cdot 235 \, \text{N/mm}^2}{\sqrt{3} \cdot 1.0} \\ &= \frac{445560}{\sqrt{3}} \, \text{N} \\ &\approx 257245 \, \text{N} \\ &\approx 257.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 29.7 \, \text{kN} \le 257.2 \, \text{kN} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance au Cisaillement
V_Ed = 29.7V_pl,Rd=257.2✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance au cisaillement (257.2 kN) est extrêmement élevée par rapport à la sollicitation (29.7 kN). Le taux de travail est seulement de \(29.7 / 257.2 \approx 11.5\%\). Cela confirme que pour les poutres de bâtiment standards, le cisaillement est très rarement le critère qui dimensionne le profilé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre l'aire totale de la section \(A\) avec l'aire de cisaillement \(A_v\). Utiliser l'aire totale surestimerait la résistance au cisaillement. De plus, ne pas oublier le facteur \(\sqrt{3}\) qui provient du critère de plasticité de von Mises.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant est maximal aux appuis.
  • La résistance au cisaillement dépend de l'aire de l'âme (\(A_v\)).
  • La vérification est \(V_{Ed} \le V_{pl,Rd}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts métalliques de grande portée, les poutres sont souvent à hauteur variable : très hautes au-dessus des piles (où le moment est maximal) et moins hautes en milieu de travée. L'épaisseur de l'âme peut aussi varier le long de la poutre pour optimiser la résistance au cisaillement là où elle est la plus nécessaire.

FAQ (pour lever les doutes)
Y a-t-il une interaction entre la flexion et le cisaillement ?

Oui. Si l'effort tranchant est très élevé (typiquement si \(V_{Ed}\) dépasse 50% de \(V_{pl,Rd}\)), il peut réduire la capacité de la poutre à résister au moment fléchissant. L'Eurocode 3 fournit des formules pour prendre en compte cette interaction. Dans notre cas, comme \(V_{Ed}\) est très faible (11.5%), l'interaction est négligeable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance au cisaillement (\(V_{pl,Rd} = 257.2 \, \text{kN}\)) est supérieure à l'effort tranchant sollicitant (\(V_{Ed} = 29.7 \, \text{kN}\)). La poutre est vérifiée au cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(p_{Ed}\) était de 20 kN/m, quel serait le nouvel effort tranchant \(V_{Ed}\) en kN ?

Question 4 : Vérifier la flèche de la poutre à l'ELS

Principe (le concept physique)

L'État Limite de Service (ELS) concerne le confort des usagers et l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, vitrages). On vérifie que la déformation (la flèche) de la poutre sous les charges d'utilisation normales (non pondérées) ne dépasse pas une limite acceptable. Une flèche trop importante peut être visuellement dérangeante, provoquer des vibrations inconfortables ou endommager des finitions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de la flèche est un calcul de déformation élastique. Il dépend de la charge, de la portée, mais aussi de la rigidité de la poutre, qui est le produit du module de Young du matériau (\(E\)) et du moment quadratique (ou inertie) de la section (\(I_y\)). La formule \(5pL^4/(384EI)\) est une formule classique de la RDM pour ce cas de charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez marcher sur un plancher. S'il est trop souple, vous le sentez "rebondir" sous vos pas. C'est ce que la vérification de flèche vise à empêcher. On ne vérifie pas si le plancher va s'effondrer (ça, c'est l'ELU), mais s'il est suffisamment rigide pour être confortable et fonctionnel au quotidien. C'est pourquoi on utilise les charges de service, qui représentent une utilisation normale.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche ne sont généralement pas imposées de manière absolue par les Eurocodes, mais sont laissées à l'appréciation de l'ingénieur ou spécifiées dans les annexes nationales ou les cahiers des charges. Une limite courante pour les planchers est \(L/250\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge de calcul à l'ELS :

\[ p_{ser} = G_k + Q_k \]

2. Flèche maximale :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

3. Limite de flèche :

\[ f_{\text{lim}} = \frac{L}{250} \]

4. Condition de vérification :

\[ f_{\text{max}} \le f_{\text{lim}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue un calcul élastique. On considère que la poutre n'a pas de contre-flèche (une courbure initiale vers le haut pour compenser la déformation).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges \(G_k = 4.0 \, \text{kN/m}\), \(Q_k = 3.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Profilé IPE 240. D'après catalogue, \(I_y = 3892 \, \text{cm}^4\).
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est le point le plus délicat ici à cause de la puissance 4 sur la portée. La méthode la plus sûre est de tout convertir dans un système cohérent, par exemple en Newtons (N) et millimètres (mm). \(1 \, \text{kN/m} = 1 \, \text{N/mm}\). \(1 \, \text{cm}^4 = 10000 \, \text{mm}^4\).

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la Poutre (Flèche)
f_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge de service \(p_{ser}\) :

\[ \begin{aligned} p_{ser} &= G_k + Q_k \\ &= 4.0 \, \text{kN/m} + 3.0 \, \text{kN/m} \\ &= 7.0 \, \text{kN/m} = 7.0 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]

2. Conversion des données en N et mm :

\[ \begin{aligned} L &= 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm} \\ I_y &= 3892 \, \text{cm}^4 = 38,920,000 \, \text{mm}^4 \\ E &= 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2 \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \cdot (7.0 \, \text{N/mm}) \cdot (6000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (38,920,000 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{4.536 \times 10^{16}}{3.139 \times 10^{18}} \, \text{mm} \\ &\approx 14.45 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Calcul de la flèche limite \(f_{\text{lim}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{6000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 24 \, \text{mm} \end{aligned} \]

5. Vérification :

\[ 14.45 \, \text{mm} \le 24 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Flèche
f_max = 14.5 mmLimite f_lim = 24 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée (14.5 mm) est bien inférieure à la limite admissible (24 mm). Le taux de travail en flèche est de \(14.45 / 24 \approx 60\%\). La poutre est donc suffisamment rigide pour l'usage prévu. On note que le taux de travail en flèche (60%) est supérieur à celui en flexion (52%), ce qui montre que pour cette poutre, la rigidité est un critère presque aussi important que la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale difficulté est la gestion des unités. La portée \(L\) est à la puissance 4, une petite erreur d'unité (m vs mm) conduit à une erreur gigantesque (facteur \(1000^4\)). Toujours utiliser un système d'unités cohérent (N et mm est le plus sûr) pour tous les termes de la formule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS, avec des charges de service (\(G_k+Q_k\)).
  • La flèche dépend de la rigidité de la poutre (\(E \cdot I\)).
  • La flèche calculée doit être inférieure à une limite, souvent une fraction de la portée (\(L/250\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très longues portées, les ingénieurs fabriquent parfois les poutres avec une "contre-flèche". C'est une courbure initiale vers le haut, calculée pour que, une fois les charges permanentes appliquées, la poutre devienne parfaitement horizontale. Seules les charges d'exploitation créent alors une flèche visible vers le bas.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette limite de L/250 est-elle toujours la même ?

Non, elle dépend de l'usage. Pour une toiture non accessible, on peut accepter L/200. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, on peut exiger une limite plus stricte comme L/400. Pour une poutre supportant un chemin de roulement de pont roulant, les limites sont encore plus sévères. C'est un choix de conception important.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche maximale (\(f_{\text{max}} \approx 14.5 \, \text{mm}\)) est inférieure à la flèche limite (\(f_{\text{lim}} = 24 \, \text{mm}\)). La poutre est vérifiée à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était un IPE 220 (\(I_y = 2772 \, \text{cm}^4\)), quelle serait la nouvelle flèche \(f_{max}\) en mm ?

Outil Interactif : Paramètres de la Poutre

Modifiez les charges et la portée pour voir leur influence sur les sollicitations et les vérifications.

Paramètres d'Entrée
4.0 kN/m
3.0 kN/m
6.0 m
Résultats Clés (IPE 240)
Moment Sollicitant \(M_{Ed}\) (kN·m) -
Taux de Travail en Flexion (%) -
Flèche à l'ELS (mm) -

Le Saviez-Vous ?

Le profilé en "I" moderne a été breveté en 1849 par l'ingénieur français Alphonse Halbou. Sa forme optimisée, qui maximise l'inertie et la résistance en flexion pour un poids de matière donné, a révolutionné la construction et a rendu possible l'édification des premiers gratte-ciels et des grands ponts métalliques de la fin du XIXe siècle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi vérifie-t-on la flèche à l'ELS et non à l'ELU ?

La flèche n'est pas un critère de sécurité (ruine) mais de confort et de fonctionnement. Une flèche excessive sous les charges de service (non pondérées) peut causer des fissures dans les cloisons, un mauvais écoulement de l'eau, ou une sensation d'inconfort pour les usagers. On la vérifie donc dans des conditions d'utilisation normales (ELS).

Qu'arrive-t-il si la vérification au cisaillement n'est pas satisfaite ?

Un effort tranchant trop élevé peut provoquer la ruine de l'âme de la poutre. Si la vérification n'est pas satisfaite, il faut soit choisir un profilé avec une âme plus épaisse, soit ajouter des raidisseurs verticaux à l'âme pour augmenter sa résistance au cisaillement, notamment près des appuis où l'effort tranchant est maximal.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la portée (L) d'une poutre sur deux appuis avec une charge répartie, le moment fléchissant maximal est...

2. La vérification de la résistance en flexion à l'ELU (\(M_{Ed} \le M_{pl,Rd}\)) vise principalement à garantir...

État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à des déformations excessives de la structure. Les vérifications à l'ELU garantissent la sécurité de l'ouvrage.
État Limite de Service (ELS)
État au-delà duquel les critères d'exploitation ou de confort ne sont plus respectés (déformation, vibrations excessives). Les vérifications à l'ELS garantissent le bon fonctionnement et le confort.
Moment Plastique (\(M_{pl,Rd}\))
Moment fléchissant maximal qu'une section peut supporter avant la formation d'une "rotule plastique", correspondant à la plastification complète de la section.
Vérification d’une Poutre Métallique

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