Vérification de la Stabilité d'une Fondation

Comprendre la vérification de la Stabilité d’une Fondation

Un petit immeuble résidentiel doit être construit sur un sol argileux. On souhaite vérifier si la fondation superficielle rectangulaire prévue est stable vis-à-vis de la capacité portante du sol, à la fois juste après la construction (court terme) et après une longue période (long terme).

Données

Fondation :
- Type : Superficielle rectangulaire
- Longueur (\(L\)) : 4 \(\text{m}\)
- Largeur (\(B\)) : 2 \(\text{m}\)
- Profondeur d'ancrage (\(D\)) : 1.5 \(\text{m}\)
Charge :
- Charge totale appliquée au niveau de la fondation (\(P\)) : 500 \(\text{kN}\) (supposée centrée et uniformément répartie)
Caractéristiques du Sol (Argileux) :
- Angle de frottement interne effectif (\(\phi'\)) : 25°
- Cohésion effective (\(c'\)) : 30 \(\text{kPa}\)
- Cohésion non drainée (\(c_u\)) : 30 \(\text{kPa}\) (pour la vérification à court terme)
- Poids volumique total (\(\gamma\)) : 18 \(\text{kN/m}^3\)
Conditions Environnementales et de Calcul :
- Nappe phréatique supposée profonde (pas d'influence).
- Facteur de Sécurité requis pour la capacité portante (\(FS\)) : 3.0
- Méthode de calcul : Terzaghi (pour cet exercice)

Schéma : Fondation Superficielle

Question

Vérifier la stabilité de la fondation vis-à-vis de la capacité portante du sol, en considérant les conditions à court terme (non drainées, avec \(c_u\)) et à long terme (drainées, avec \(c'\) et \(\phi'\)).

Correction : Vérification de la Stabilité d’une Fondation

Pré-calcul : Contrainte Appliquée (\(q_{\text{app}}\))

Principe :

Calculer la pression moyenne exercée par la charge totale du bâtiment sur l'aire de la fondation.

Formule :

q_{\text{app}} = \frac{P}{A} = \frac{P}{L \times B}

Données :

Charge totale \(P = 500 \, \text{kN}\)
Longueur \(L = 4 \, \text{m}\)
Largeur \(B = 2 \, \text{m}\)

Calcul :

A = 4 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} = 8 \, \text{m}^2 \] \[ q_{\text{app}} = \frac{500 \, \text{kN}}{8 \, \text{m}^2} \] \[ q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kN/m}^2 = 62.5 \, \text{kPa}

Résultat Pré-calcul : La contrainte appliquée par la fondation sur le sol est \(q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kPa}\).

Question 1 : Vérification à Court Terme (Conditions Non Drainées)

Principe :

À court terme, dans une argile saturée, l'eau n'a pas le temps de s'évacuer lors de l'application rapide de la charge. Le sol se comporte comme un matériau purement cohérent avec un angle de frottement non drainé \(\phi_u = 0\) et une cohésion non drainée \(c_u\). On utilise la formule de capacité portante pour \(\phi=0\).

Formule de Capacité Portante (\(\phi_u=0\)) :

Selon Skempton/Terzaghi pour \(\phi=0\), \(N_q=1\), \(N_\gamma=0\). Le facteur \(N_c\) dépend de la forme et de la profondeur.

q_{u, \text{non drainé}} = c_u N_c s_c d_c + q

Où \(q\) est la surcharge au niveau de la base de la fondation.

Calcul de la Surcharge (\(q\)) :

Profondeur \(D = 1.5 \, \text{m}\)
Poids volumique \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)

q = \gamma \times D \] \[ q = 18 \, \text{kN/m}^3 \times 1.5 \, \text{m} \] \[ q = 27 \, \text{kPa}

Calcul des Facteurs (Skempton/Eurocode) :

Pour une fondation rectangulaire, \(N_c\) est souvent pris comme \(5.14 \times (1 + 0.2 B/L) \times (1 + 0.2 D/B)\) mais ne dépassant pas 9.0. Ou plus simplement \(N_c = 5.14\) pour une semelle filante, corrigé par des facteurs de forme et de profondeur.

\(N_c = 5.14\) (valeur de base)
Facteur de forme \(s_c = 1 + 0.2 \frac{B}{L} \)\(= 1 + 0.2 \times \frac{2}{4} \)\(= 1 + 0.1 = 1.1\)
Facteur de profondeur \(d_c = 1 + 0.4 \frac{D}{B} \)\(= 1 + 0.4 \times \frac{1.5}{2} \)\(= 1 + 0.3 = 1.3\)

Calcul de la Capacité Portante Ultime Non Drainée (\(q_{u, \text{non drainé}}\)) :

\(c_u = 30 \, \text{kPa}\) (Donnée)
\(N_c = 5.14\)
\(s_c = 1.1\)
\(d_c = 1.3\)
\(q = 27 \, \text{kPa}\)

q_{u, \text{non drainé}} = (c_u N_c s_c d_c) + q \] \[ q_{u, \text{non drainé}} = (30 \times 5.14 \times 1.1 \times 1.3) + 27 \] \[ q_{u, \text{non drainé}} \approx (30 \times 7.35) + 27 \] \[ q_{u, \text{non drainé}} \approx 220.5 + 27 \] \[ q_{u, \text{non drainé}} = 247.5 \, \text{kPa}

Calcul de la Capacité Portante Admissible Non Drainée (\(q_{adm, \text{non drainé}}\)) :

\(q_{u, \text{non drainé}} \approx 247.5 \, \text{kPa}\)
\(FS = 3.0\)

q_{adm, \text{non drainé}} = \frac{q_{u, \text{non drainé}}}{FS} \] \[ q_{adm, \text{non drainé}} = \frac{247.5}{3.0} = 82.5 \, \text{kPa}

Vérification de Stabilité à Court Terme :

Contrainte appliquée \(q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kPa}\)
Capacité admissible \(q_{adm, \text{non drainé}} = 82.5 \, \text{kPa}\)

q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kPa} \le q_{adm, \text{non drainé}} = 82.5 \, \text{kPa} \quad (\text{OK})

Résultat Question 1 : La fondation est stable à court terme (conditions non drainées), car la contrainte appliquée est inférieure à la capacité portante admissible non drainée.

Question 2 : Vérification à Long Terme (Conditions Drainées)

Principe :

À long terme, l'excès de pression interstitielle s'est dissipé. Le sol travaille avec ses caractéristiques effectives (\(c'\), \(\phi'\)). On utilise la formule de Terzaghi (ou similaire) pour calculer la capacité portante drainée.

Formule de Terzaghi (Rectangulaire) :

q_{u, \text{drainé}} = c' N_c s_c d_c + q N_q s_q d_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma

Où les facteurs \(N\), \(s\) et \(d\) dépendent de \(\phi'\) et de la géométrie.

Calcul des Facteurs de Capacité Portante (\(\phi' = 25^\circ\)) :

Valeurs approximatives selon Terzaghi.

\(N_c \approx 25.1\)
\(N_q \approx 12.7\)
\(N_\gamma \approx 9.7\)

Calcul des Facteurs de Forme et de Profondeur :

\(B/L = 2/4 = 0.5\)
\(D/B = 1.5/2 = 0.75\)
\(\phi' = 25^\circ\)

s_c = 1 + \left(\frac{N_q}{N_c}\right) \left(\frac{B}{L}\right) \] \[ s_c = 1 + \left(\frac{12.7}{25.1}\right) \times 0.5 \] \[ s_c \approx 1 + 0.25 = 1.25 \] \[ s_q = 1 + \left(\frac{B}{L}\right) \tan \phi' \] \[ s_q = 1 + 0.5 \times \tan 25^\circ \] \[ s_q \approx 1 + 0.5 \times 0.466 = 1.23 \] \[ s_\gamma = 1 - 0.4 \left(\frac{B}{L}\right) \] \[ s_\gamma = 1 - 0.4 \times 0.5 = 0.8

d_c = 1 + 0.4 \left(\frac{D}{B}\right) \] \[ d_c = 1 + 0.4 \times 0.75 = 1.3 \] \[ d_q = 1 + 2 \tan \phi' (1 - \sin \phi')^2 \left(\frac{D}{B}\right) \] \[ d_q = 1 + 2 \times 0.466 \times (1 - \sin 25^\circ)^2 \times 0.75 \] \[ d_q \approx 1 + 0.932 \times (1 - 0.423)^2 \times 0.75 \] \[ d_q \approx 1 + 0.932 \times (0.577)^2 \times 0.75 \] \[ d_q \approx 1 + 0.932 \times 0.333 \times 0.75 \] \[ d_q \approx 1 + 0.23 = 1.23 \] \[ d_\gamma = 1.0

Calcul de la Capacité Portante Ultime Drainée (\(q_{u, \text{drainé}}\)) :

\(c' = 30 \, \text{kPa}\)
\(q = 27 \, \text{kPa}\)
\(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
\(B = 2 \, \text{m}\)
Facteurs N : \(N_c \approx 25.1\), \(N_q \approx 12.7\), \(N_\gamma \approx 9.7\)
Facteurs s : \(s_c \approx 1.25\), \(s_q \approx 1.23\), \(s_\gamma = 0.8\)
Facteurs d : \(d_c = 1.3\), \(d_q \approx 1.23\), \(d_\gamma = 1.0\)

q_{u, \text{drainé}} = (c' N_c s_c d_c) + (q N_q s_q d_q) + (0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma)

\begin{aligned} q_{u, \text{drainé}} \approx &(30 \times 25.1 \times 1.25 \times 1.3) \\ &+ (27 \times 12.7 \times 1.23 \times 1.23) \\ &+ (0.5 \times 18 \times 2 \times 9.7 \times 0.8 \times 1.0) \end{aligned}

q_{u, \text{drainé}} \approx (1223) + (518) + (140) \] \[ q_{u, \text{drainé}} \approx 1881 \, \text{kPa}

Calcul de la Capacité Portante Admissible Drainée (\(q_{adm, \text{drainé}}\)) :

\(q_{u, \text{drainé}} \approx 1881 \, \text{kPa}\)
\(FS = 3.0\)

q_{adm, \text{drainé}} = \frac{q_{u, \text{drainé}}}{FS} \] \[ q_{adm, \text{drainé}} = \frac{1881}{3.0} \approx 627 \, \text{kPa}

Vérification de Stabilité à Long Terme :

Contrainte appliquée \(q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kPa}\)
Capacité admissible \(q_{adm, \text{drainé}} \approx 627 \, \text{kPa}\)

q_{\text{app}} = 62.5 \, \text{kPa} \le q_{adm, \text{drainé}} \approx 627 \, \text{kPa} \quad (\text{OK})

Résultat Question 2 : La fondation est stable à long terme (conditions drainées), car la contrainte appliquée est très inférieure à la capacité portante admissible drainée.