Pertes de Précontrainte dans une Poutre
Contexte : Dimensionnement d'un ouvrage d'art en béton précontraint.
Vous êtes en charge de la vérification d'une poutre de pont en béton précontraint par post-tensionTechnique où les câbles sont tendus après le durcissement du béton.. L'objectif est de déterminer la force de précontrainte réelle agissant dans les câbles après toutes les pertes instantanées et différées.
Remarque Pédagogique : Comprendre les pertes de précontrainte est crucial pour garantir la sécurité et la durabilité de l'ouvrage. Une sous-estimation des pertes peut entraîner une fissuration précoce du béton.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les différents types de pertes (instantanées et différées).
- Calculer les pertes par frottement le long du câble.
- Estimer les pertes par recul d'ancrage et raccourcissement élastique.
- Comprendre l'impact du temps (fluage, relaxation) sur la force finale.
Données de l'étude
On considère une poutre isostatique de longueur \(L = 30 \text{ m}\), précontrainte par un câble parabolique centré à mi-travée.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Longueur de la poutre | 30 m |
| Coefficient de frottement (\(\mu\))Frottement angulaire entre le câble et la gaine (en rad⁻¹). | 0,18 |
| Frottement linéaire (\(k\)) | 0,002 m⁻¹ |
| Recul d'ancrage (\(g\)) | 6 mm |
Schéma du Système (Tracé du Câble)
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force initiale au vérin | \(P_0\) | 1500 | \(\text{kN}\) |
| Module d'élasticité (Acier) | \(E_p\) | 195 000 | \(\text{MPa}\) |
| Section du câble | \(A_p\) | 1000 | \(\text{mm}^2\) |
| Déviation angulaire totale | \(\alpha_{tot}\) | 0,15 | \(\text{rad}\) |
Questions à traiter
- Calculer les pertes par frottement à mi-travée (\(x = 15 \text{ m}\)).
- Estimer la perte par recul d'ancrage (conceptuel).
- Déterminer la force finale approximative après pertes différées.
- Calculer l'allongement théorique total du câble lors de la mise en tension.
Les bases théoriques
La force de précontrainte ne reste pas constante le long du câble ni dans le temps. On distingue deux familles de pertes.
1. Pertes Instantanées
Elles se produisent au moment de la mise en tension.
Frottement (Formule d'Euler)
Où :
- \(\mu\) : Coefficient de frottement angulaire.
- \(\alpha(x)\) : Déviation angulaire cumulée jusqu'à \(x\).
- \(k\) : Coefficient de frottement linéaire (effet parasite).
2. Pertes Différées
Elles évoluent lentement dans le temps (sur plusieurs années).
Composantes principales
- Retrait du béton : Raccourcissement dû au séchage.
- Fluage du béton : Déformation lente sous charge constante.
- Relaxation de l'acier : Perte de tension à longueur constante.
Correction : Pertes de Précontrainte dans une Poutre
Question 1 : Pertes par frottement à mi-travée
Principe
Lors de la mise en tension, le câble frotte contre la paroi interne de la gaine métallique ou plastique. Ce frottement s'oppose au mouvement de l'acier vers le vérin, créant une chute de tension progressive. On distingue deux causes principales :
- Le frottement par courbure : Induit par la géométrie du tracé (le câble appuie contre la gaine dans les virages, analogue à une courroie sur une poulie).
- L'effet parasite (Wobble) : Induit par les imperfections involontaires de l'alignement de la gaine lors du coulage du béton (vibrations, écarts de pose).
Mini-Cours
La tension \(P(x)\) suit une décroissance exponentielle décrite par la formule d'Euler (ou du cabestan). Pour de faibles valeurs de l'exposant (inférieures à 0,2), on peut linéariser la formule (\(e^{-x} \approx 1-x\)), mais le calcul exponentiel reste la référence exacte. L'angle \(\alpha\) doit impérativement être exprimé en radians.
Remarque Pédagogique
Si la perte par frottement calculée est trop élevée, sur le chantier on peut utiliser des lubrifiants (cire, graisse) ou "surtendre" temporairement le câble (aller au-delà de la tension cible puis relâcher) pour vaincre les frottements statiques avant de revenir à la tension de service.
Normes
L'Eurocode 2 (Tableau 5.1) fournit des plages de valeurs pour \(\mu\) : environ 0,19 pour des torons dans une gaine métallique et jusqu'à 0,12 pour une gaine plastique lubrifiée. Le coefficient \(k\) varie généralement de 0,005 à 0,010 rad/m (souvent converti en m⁻¹ pour simplifier).
Formule(s)
Loi de variation de tension
Le terme \(\mu \alpha(x)\) représente la part "géométrique" et \(kx\) la part "parasite" (liée à la longueur).
Hypothèses
On suppose que le tracé est parfaitement parabolique. Pour une parabole de flèche \(f\) et de portée \(L\), l'angle total de déviation est approximativement \(\alpha_{tot} \approx 8f/L\). Ici, l'énoncé nous donne directement \(\alpha(x)\) cumulé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Position étudiée | \(x\) | 15 m (mi-travée) |
| Angle cumulé à x | \(\alpha\) | 0,075 rad (moitié de l'angle total) |
| Frottement angulaire | \(\mu\) | 0,18 rad⁻¹ |
| Frottement linéaire | \(k\) | 0,002 m⁻¹ |
Astuces
Vérifiez toujours vos unités : si on vous donne \(k\) en "rad/m" ou "1/m", c'est la même dimension physique (l'inverse d'une longueur), car le radian est sans dimension.
[Schéma de principe - Frottement]
Calcul(s)
Calcul intermédiaire : Coefficient de perte global
Nous commençons par évaluer l'exposant de la fonction exponentielle. Ce terme sans dimension regroupe les deux sources de frottement : l'effet de courbure (produit du coefficient \(\mu\) par l'angle cumulé \(\alpha\)) et l'effet linéaire (produit du coefficient parasite \(k\) par la distance \(x\)). En remplaçant par les valeurs numériques :
On remarque que le terme linéaire (\(0,030\)) est prépondérant devant le terme angulaire (\(0,0135\)) sur cette portion droite/parabolique, ce qui est typique des tracés peu courbes.
Calcul Principal : Force restante
Maintenant que nous avons le coefficient global de perte, nous l'injectons dans la formule d'Euler. Cela revient à multiplier la force initiale par un facteur d'atténuation. Mathématiquement, nous calculons d'abord l'exponentielle de l'opposé du coefficient :
Le résultat de \(1436,1 \text{ kN}\) correspond à la force présente dans le câble à 15 mètres du vérin. La différence avec la force initiale (\(63,9 \text{ kN}\)) représente l'effort 'consommé' par les frottements.
Schéma (Répartition de la force)
Réflexions
La perte relative est de 4,3%. Cela signifie que 95,7% de la force appliquée au vérin est effectivement transmise au béton au milieu de la poutre. C'est un excellent rendement.
Points de vigilance
Attention à la symétrie : si on tend par un seul bout, la force continue de diminuer jusqu'à l'autre extrémité (30m). Si on tend par les deux bouts, la force est minimale au centre.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La perte par frottement est inévitable et cumulable.
- Le coefficient \(k\) dépend du soin apporté à la fixation de la gaine sur le chantier.
Le saviez-vous ?
Sur des structures nucléaires, on utilise des gaines graissées où le coefficient de frottement peut descendre jusqu'à \(\mu = 0,05\), réduisant drastiquement les pertes.
FAQ
Pourquoi l'exponentielle ?
Car la perte de force \(dP\) sur une petite longueur \(dx\) est proportionnelle à la force \(P(x)\) présente à cet endroit (analogie avec la courroie sur une poulie).
A vous de jouer
Si on tend par un seul côté, quelle serait la force à l'autre bout (x=30m) ?
📝 Mémo
Wobble = Frottement parasite linéaire. Courbure = Frottement géométrique angulaire.
Question 2 : Perte par recul d'ancrage
Principe
Lorsqu'on relâche la pression du vérin, le câble cherche à se rétracter. Il entraîne avec lui les clavettes coniques qui pénètrent dans le bloc d'ancrage pour le bloquer. Ce mouvement de quelques millimètres (\(g\)) détend le câble. Le frottement qui s'opposait à la tension s'inverse alors et s'oppose à ce relâchement : c'est le frottement inverse.
Mini-Cours
Théorie du coin : Le recul crée une perte maximale à l'ancrage qui diminue linéairement jusqu'à s'annuler à une distance \(L_{inf}\) (longueur d'influence). La pente de la courbe de tension s'inverse sur cette zone : on passe d'une pente \(-p\) à une pente \(+p\).
Remarque Pédagogique
Cette perte est particulièrement pénalisante pour les câbles courts, car le relâchement \(g\) se répartit sur une faible longueur, entraînant une chute de tension \(\Delta \sigma = E \cdot g / L\) très importante.
Normes
Les valeurs de recul \(g\) sont fournies par les fabricants d'ancrages (Freyssinet, VSL, etc.) et sont généralement comprises entre 5 et 8 mm.
Formule(s)
Longueur d'influence
Avec \(p\) le frottement unitaire (perte de force par mètre) estimé constant près de l'ancrage.
Hypothèses
On linéarise la perte par frottement calculée précédemment pour obtenir un gradient \(p\) constant. On suppose que le frottement inverse a la même valeur absolue que le frottement direct.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Recul d'ancrage | \(g\) | 6 mm = 0,006 m |
| Module Young | \(E_p\) | 195 000 MPa (N/mm²) |
| Section | \(A_p\) | 1000 mm² |
Astuces
L'aire du triangle de perte dans le diagramme des tensions correspond à l'énergie de déformation perdue, égale au produit \(E_p A_p g\).
Mécanisme de blocage
Calcul(s)
Calcul intermédiaire : Gradient de frottement (p)
Pour déterminer l'intensité du frottement qui va s'opposer au recul, nous calculons la perte de force moyenne par mètre. À la question 1, nous avons établi qu'il y a une perte de \(63.9\) kN sur une distance de \(15\) mètres. Le gradient \(p\) correspond donc au rapport de ces deux valeurs :
Ce gradient de \(4,26 \text{ N/mm}\) signifie que pour chaque millimètre de câble, les frottements retiennent \(4,26\) Newtons. C'est cette "rugosité" qui va empêcher le câble de glisser trop loin.
Calcul Principal : Longueur d'influence
Nous cherchons maintenant la longueur \(L_{inf}\) affectée par le recul. Nous injectons les valeurs dans la formule : \(E_p=195000\), \(A_p=1000\), \(g=6\). Le produit au numérateur (la rigidité axiale \(\times\) le recul) représente une "force virtuelle" de \(1,170,000,000\). En divisant par le gradient \(p=4.26\), nous obtenons le carré de la longueur :
Nous trouvons une longueur d'environ \(16,6 \text{ m}\). Cela signifie que le relâchement de la tension se propage jusqu'à \(16,6\) mètres de l'ancrage avant d'être totalement arrêté par les frottements.
Calcul Final : Perte à l'ancrage
La perte de force est maximale au niveau de l'ancrage (\(x=0\)). Géométriquement, sur le diagramme des tensions, la pente s'inverse : au lieu de descendre de \(p\), elle remonte de \(p\) sur la distance \(L_{inf}\), créant un écart total de \(2p\) :
Cette perte de \(141,4 \text{ kN}\) est très importante (presque 10% de la force). Elle se soustrait à la force initiale \(P_0\) au niveau de l'ancrage.
Schéma (Diagramme de Tension)
Réflexions
On constate que \(L_{inf}\) (16,6m) dépasse la mi-portée (15m). Cela signifie que le recul d'ancrage a "effacé" tout le bénéfice du frottement sur la première moitié de la poutre et a même réduit la force au centre !
Points de vigilance
Lorsque \(L_{inf}\) est très grand, la perte affecte une grande partie de la poutre. Dans les cas extrêmes, la tension peut devenir insuffisante pour reprendre les charges de service.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Recul d'ancrage = Perte locale très forte.
- La zone perturbée est limitée par \(L_{inf}\).
- Plus le frottement \(p\) est fort, plus \(L_{inf}\) est courte (le câble est "coincé" plus vite).
Le saviez-vous ?
Pour les câbles courts, on utilise parfois des ancrages à vis ou des systèmes sans recul pour éviter cette perte massive.
FAQ
Comment vérifier le recul sur chantier ?
On trace un repère de peinture sur le câble à la sortie du vérin avant blocage, et on mesure son déplacement après transfert de la force.
A vous de jouer
Si le frottement \(p\) double (gaine très oxydée), la longueur d'influence \(L_{inf}\) est divisée par ?
📝 Mémo
\(L_{inf}\) est inversement proportionnelle à la racine carrée du frottement. Moins ça glisse, plus la perte est localisée.
Question 3 : Force finale (après pertes différées)
Principe
Contrairement à l'acier de charpente, le béton est un matériau "vivant" dont les propriétés évoluent avec le temps. Les pertes différées sont la conséquence de trois phénomènes physiques distincts qui se cumulent sur la durée de vie de l'ouvrage (typiquement 100 ans).
Mini-Cours
Définitions clés :
- Retrait : Évaporation de l'eau excédentaire et hydratation du ciment. Le béton raccourcit même sans charge.
- Fluage : Sous la compression permanente de la précontrainte, le béton continue de se raccourcir lentement (comportement viscoélastique).
- Relaxation : L'acier tendu, maintenu à longueur constante (car ancré aux extrémités), perd spontanément une partie de sa tension interne (réarrangement atomique).
Remarque Pédagogique
Ces trois phénomènes sont interdépendants : le fluage raccourcit le béton, ce qui détend un peu l'acier, ce qui réduit la contrainte, donc réduit le fluage futur... C'est un couplage complexe !
Normes
L'Eurocode 2 propose des formules détaillées prenant en compte l'humidité relative, l'épaisseur de la pièce, la classe de ciment et l'âge au chargement. Pour un avant-projet, des forfaits sont acceptés.
Formule(s)
Bilan des forces
Hypothèses
Pour cet exercice, nous utiliserons une estimation forfaitaire globale courante en phase de conception préliminaire : les pertes totales (instantanées + différées) représentent environ 20% de la force initiale \(P_0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force initiale \(P_0\) | 1500 kN |
| Taux de pertes global estimé | 20 % |
Astuces
Retenez la règle des "80/20" : Dans la plupart des cas courants de post-tension, il vous restera environ 80% de la force que vous avez mise au départ.
Évolution temporelle de la Force
Calcul(s)
Calcul Principal
Pour obtenir la force finale, nous devons soustraire 20% de la force initiale. Cela revient à multiplier la force par le facteur \((1 - 0,20) = 0,80\) :
La valeur de \(1200 \text{ kN}\) est la 'force utile' ou 'force de service'. C'est cette valeur minimale garantie qui sera utilisée pour vérifier que le béton ne fissure pas sous les charges d'exploitation. La perte totale est de 300 kN, soit l'équivalent du poids de 30 voitures !
Schéma (État Final - Gauge)
Réflexions
Les pertes différées ne sont pas une option, elles sont une certitude physique. Tout dimensionnement qui ignorerait ces phénomènes conduirait à une ruine de l'ouvrage à moyen terme.
Points de vigilance
Attention aux conditions climatiques : un environnement très sec (désert) augmente le retrait, tandis qu'un environnement humide le réduit. Le calcul doit être adapté au site.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Pertes Instantanées (t=0) : Frottement + Recul + Raccourcissement élastique.
- Pertes Différées (t=infini) : Fluage + Retrait + Relaxation.
- La somme représente une part significative de l'effort initial.
Le saviez-vous ?
La relaxation de l'acier a été fortement réduite grâce aux aciers modernes "TBR" (Très Basse Relaxation), qui sont aujourd'hui la norme.
FAQ
Quand s'arrêtent les pertes différées ?
Théoriquement jamais (asymptote), mais on considère qu'au bout de 30 ans, 95% des pertes ont eu lieu. La majorité se produit dans les 6 premiers mois.
A vous de jouer
Si on utilisait un béton à ultra-hautes performances (BFUP) avec très peu de fluage, le taux de perte serait-il supérieur ou inférieur à 20% ?
📝 Mémo
Le temps joue contre la précontrainte. Il faut "sur-dimensionner" initialement pour avoir le compte à la fin.
Question 4 : Allongement du câble
Principe
Pour s'assurer que la force de 1500 kN est bien présente partout dans le câble (et pas seulement au vérin à cause d'un blocage), on mesure l'allongement total du câble. L'acier se comporte comme un ressort géant : s'il est tendu, il s'allonge proportionnellement à la force (Loi de Hooke).
Mini-Cours
L'allongement \(\Delta L\) est l'intégrale des déformations \(\epsilon(x)\) le long du câble : \[ \Delta L = \int_0^L \epsilon(x) dx = \int_0^L \frac{P(x)}{A_p E_p} dx \] Comme \(P(x)\) n'est pas constante (frottements), on utilise une force moyenne.
Remarque Pédagogique
C'est le contrôle roi sur chantier ! Le manomètre du vérin donne la force "à l'entrée", mais seul l'allongement confirme le comportement global du câble.
Normes
La norme NF EN 13670 exige que l'écart entre l'allongement calculé et mesuré soit inférieur à 5%. En cas de dépassement, une non-conformité est ouverte.
Formule(s)
Loi de Hooke (Forme intégrée)
Hypothèses
On approxime la force moyenne \(P_{moy}\) par la moyenne arithmétique entre la force au vérin (\(P_0\)) et la force à l'autre extrémité (calculée approximativement avec les pertes par frottement sur toute la longueur \(L\)). Pour simplifier ici, nous utiliserons la valeur à mi-travée calculée en Q1 comme valeur moyenne.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Force moyenne (estimée) | \(P_{moy}\) | \(\approx 1436 \text{ kN}\) (voir Q1) |
| Longueur totale | \(L\) | 30 m = 30 000 mm |
| Section acier | \(A_p\) | 1000 mm² |
| Module Young | \(E_p\) | 195 000 MPa |
Astuces
Un câble de précontrainte s'allonge d'environ 6 à 7 mm par mètre sous tension maximale. Pour 30m, on attend donc environ \(30 \times 7 = 210 \text{ mm}\). Bon ordre de grandeur !
Câble avant mise en tension
Calcul Principal
On applique la formule en veillant à la cohérence des unités. Le numérateur représente l'effort total (Force \(\times\) Longueur) : \(1,436,000 \text{ N} \times 30,000 \text{ mm} = 43,080,000,000\). Le dénominateur représente la rigidité du câble (\(EA\)) : \(1000 \times 195,000 = 195,000,000\). En divisant l'un par l'autre :
Le résultat de \(22,1 \text{ cm}\) est l'allongement physique attendu. Sur le chantier, si le vérin sort de \(22\) cm, on saura que la force est correcte. Un écart significatif indiquerait un problème de frottement anormal ou une erreur de section.
Schéma (Après tension)
Visualisation de l'allongement
Réflexions
Un allongement de 22 cm est considérable. Le vérin doit avoir une course suffisante. Si le vérin a une course de 15 cm, il faudra s'y reprendre en deux fois (ce qu'on appelle "batonner").
Points de vigilance
Erreur classique : Ne pas prendre en compte le "mou" initial du câble (mise en place) dans la mesure. On commence souvent la mesure à 20% de la force (\(P_{20\%}\)) pour avoir un câble tendu droit, et on extrapole le reste.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Loi de Hooke : Allongement = Force × Longueur / (Section × Module).
- Un écart d'allongement > 5% signifie un problème (frottement excessif, erreur de section, problème de vérin).
Le saviez-vous ?
Sur le viaduc de Millau, les câbles de précontrainte sont si longs que les allongements se comptent en mètres !
FAQ
Et si l'allongement est trop court ?
Cela signifie souvent que le frottement est plus fort que prévu (gaine écrasée, rouille). La force n'arrive pas au bout du câble. Danger !
A vous de jouer
Si on utilisait un acier avec un Module \(E_p\) plus faible (plus "mou"), l'allongement serait-il plus grand ou plus petit ?
📝 Mémo
Le contrôle de l'allongement est la ceinture de sécurité du calcul de précontrainte.
🎛️ Simulateur : Pertes par Frottement
Visualisez l'évolution de la force le long de la poutre en fonction des paramètres.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle perte est considérée comme "instantanée" ?
2. Si le coefficient de frottement \(\mu\) augmente, la force au centre de la poutre :
📚 Glossaire
- Relaxation
- Perte de tension de l'acier à longueur constante au cours du temps.
- Fluage
- Déformation différée du béton sous une charge constante maintenue dans le temps.
- Wobble
- Frottement parasite dû aux imperfections involontaires du tracé de la gaine.
- Ancrage Actif
- Extrémité du câble où l'on applique la force de mise en tension avec le vérin.
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