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Contreventement charpente métallique

Calcul du Contreventement d'une Charpente Métallique

Calcul du Contreventement d'une Charpente Métallique

Contexte : La Stabilité des Bâtiments face au Vent.

En structure métalliqueDomaine du génie civil qui se concentre sur la conception et la construction de structures utilisant l'acier comme matériau principal., le contreventementSystème structurel conçu pour résister aux forces latérales (horizontales) telles que le vent ou les séismes, assurant la stabilité et l'indéformabilité de l'ensemble du bâtiment. est un système de stabilisation essentiel. Il agit comme une "colonne vertébrale" pour le bâtiment, reprenant les efforts horizontaux (principalement le vent) et les transmettant aux fondations. Sans un contreventement adéquat, un portique métallique serait instable et s'effondrerait comme un château de cartes. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour vérifier la résistance d'une diagonale de contreventement soumise à l'effort du vent, en se basant sur les principes de l'EurocodeEnsemble de normes européennes de calcul technique pour les projets de construction. L'Eurocode 1 traite des actions sur les structures (dont le vent) et l'Eurocode 3 du calcul des structures en acier..

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le rôle crucial de la statique et de la résistance des matériaux dans la conception d'éléments de sécurité. Nous allons transformer une pression de vent (une charge surfacique) en une force ponctuelle, puis déterminer l'effort interne dans un élément (la diagonale) et enfin vérifier si le matériau et la géométrie de cet élément sont suffisants. C'est le quotidien de l'ingénieur structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la force due au vent sur une paroi de bâtiment selon une approche simplifiée de l'Eurocode 1Partie des normes Eurocodes qui définit les actions (charges, vent, neige, etc.) à considérer pour la conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil..
  • Déterminer l'effort de tractionSollicitation qui tend à étirer ou à allonger un matériau. Les contreventements sont souvent conçus pour travailler principalement en traction. dans les diagonales d'un contreventement en croix de Saint-André.
  • Vérifier la résistance à la traction d'un profilé en acier selon l'Eurocode 3Partie des normes Eurocodes qui fournit les règles pour le calcul et le dimensionnement des structures en acier..
  • Calculer l'élancementRapport entre la longueur de flambement d'un élément et son rayon de giration. C'est une mesure de la "minceur" d'un élément, cruciale pour évaluer son risque d'instabilité par flambement. d'une barre pour vérifier les critères de non-flambement et de rigidité.
  • Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en charpente métallique (m, kN, MPa, daN/m²).

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un hall industriel à simple RDC, constitué de portiques en acier. La stabilité longitudinale est assurée par un contreventement en croix de Saint-André (palée de stabilité) situé sur un des long-pans. On cherche à vérifier la tenue des diagonales de cette palée sous l'action du vent agissant sur le pignon.

Schéma du Portique et du Contreventement
Largeur = 20 m H = 6 m Travée L = 8 m Vent
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du bâtiment \(H\) 6 \(\text{m}\)
Largeur du bâtiment (pignon) \(B\) 20 \(\text{m}\)
Longueur de la travée contreventée \(L\) 8 \(\text{m}\)
Pression dynamique de pointe du vent \(q_p(z_e)\) 800 \(\text{Pa}\)
Profilé proposé pour les diagonales - \(\text{CHS 60.3x3.2}\) -
Nuance de l'acier - \(\text{S235}\) -

Questions à traiter

  1. Calculer la force horizontale totale du vent \(F_{w,Ed}\) s'appliquant sur la zone d'influence de la palée de stabilité.
  2. Déterminer l'effort normal de traction \(N_{Ed}\) dans une diagonale du contreventement.
  3. Vérifier que la résistance plastique à la traction du profilé CHS 60.3x3.2 est suffisante.
  4. Vérifier que l'élancement de la diagonale respecte la limite recommandée pour les éléments tendus.

Les bases du Calcul de Contreventement

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux.

1. Action du Vent (Eurocode 1) :
Le vent exerce une pression sur les parois d'un bâtiment. La force résultante est calculée par \( F_w = q_p(z_e) \cdot c_{pe} \cdot A_{\text{ref}} \), où \(q_p\) est la pression dynamique, \(c_{pe}\) un coefficient de pression (qui dépend de la paroi) et \(A_{\text{ref}}\) la surface de référence. Pour simplifier, on considère une force totale appliquée au sommet des poteaux.

2. Mécanisme du Contreventement en X :
Sous une force horizontale, le rectangle formé par les poteaux et traverses se déformerait. Les diagonales l'empêchent. Une diagonale est tendue, l'autre est comprimée. Si les diagonales sont élancées (fines), celle comprimée flamberait facilement et on considère qu'elle ne participe pas à la résistance. Seule la diagonale tendue travaille. L'effort de traction se calcule par simple trigonométrie : \( N = F / (2 \cos \alpha) \), où \(\alpha\) est l'angle de la diagonale avec la verticale.

3. Résistance en Traction (Eurocode 3) :
La résistance d'un profilé en acier à la traction simple est sa capacité à résister avant de se déformer de manière irréversible. La résistance de calcul est donnée par : \[ N_{\text{pl,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \] Où \(A\) est l'aire de la section, \(f_y\) la limite d'élasticité de l'acier (ex: 235 MPa pour S235) et \(\gamma_{M0}\) un coefficient de sécurité (généralement 1.0).

Correction : Calcul du Contreventement d'une Charpente Métallique

Question 1 : Calculer la force du vent (F_w,Ed)

Principe (le concept physique)

Le vent qui souffle sur le pignon du bâtiment crée une pression sur toute sa surface. Cette pression génère une force horizontale globale que la structure doit pouvoir supporter. Le contreventement est le système principal qui reprend cette force pour la travée où il est situé. On calcule donc la force totale appliquée sur la "zone d'influence" de cette palée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Selon l'Eurocode 1, la force du vent est complexe à déterminer. Elle dépend de la vitesse de référence du vent (liée à la région), de la rugosité du terrain, de la topographie et de la hauteur du bâtiment. Ces paramètres permettent de calculer la pression dynamique de pointe \(q_p(z_e)\). On applique ensuite des coefficients de pression externe (\(c_{pe}\)) qui modélisent l'écoulement de l'air autour du bâtiment. Pour un pignon, on a une face "au vent" (pression) et une face "sous le vent" (succion). Ici, nous utilisons une approche simplifiée en considérant une force résultante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous teniez une grande plaque de carton face au vent. Vous sentez une force qui vous pousse. Cette force est le produit de la pression du vent (en N/m²) par la surface de votre plaque (en m²). Pour un bâtiment, c'est le même principe. Chaque portique reprend la charge de la moitié de la travée qui le précède et de la moitié de celle qui le suit. La palée de contreventement reprend donc la charge de sa propre travée.

Normes (la référence réglementaire)

Les règles de calcul des actions du vent sur les constructions sont définies en Europe par la norme EN 1991-1-4 (Eurocode 1, Partie 1-4). Cette norme fournit les cartes de vent, les coefficients et les méthodes pour déterminer les charges de vent à appliquer pour le dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La force totale du vent sur la surface d'influence est la pression multipliée par cette surface. Dans notre cas simplifié, la force reprise par la palée est :

\[ F_{w,Ed} = q_p(z_e) \cdot c_{pe,\text{net}} \cdot A_{\text{influence}} \]

où \(A_{\text{influence}}\) est la surface du pignon reprise par la palée.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force du vent est une charge statique horizontale. On néglige les effets dynamiques. On considère que la force horizontale en tête des poteaux est entièrement reprise par la palée de contreventement. Pour simplifier, on considère que la palée de stabilité reprend la charge de vent appliquée sur une surface égale à la moitié du pignon.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pression dynamique de pointe, \(q_p(z_e) = 800 \, \text{Pa} = 0.8 \, \text{kN/m}^2\)
  • Largeur du bâtiment (pignon), \(B = 20 \, \text{m}\)
  • Hauteur du bâtiment, \(H = 6 \, \text{m}\)
  • Coefficient de pression net (pression + succion), \(c_{pe,\text{net}} = 1.2\) (valeur simplifiée)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Les pressions sont souvent données en Pascals (Pa) ou décaNewtons/m² (daN/m²). Il est plus simple de tout convertir en KiloNewtons (kN) et mètres (m) pour les calculs de structure. \(1 \, \text{kN/m}^2 = 1000 \, \text{Pa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Surface d'Influence du Vent sur la Palée
B = 20 mH = 6 mF_w,Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surface d'influence (moitié du pignon) :

\[ \begin{aligned} A_{\text{influence}} &= \frac{B \cdot H}{2} \\ &= \frac{20 \, \text{m} \cdot 6 \, \text{m}}{2} \\ &= 60 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la force totale sur la palée :

\[ \begin{aligned} F_{w,Ed} &= q_p(z_e) \cdot c_{pe,\text{net}} \cdot A_{\text{influence}} \\ &= 0.8 \, \text{kN/m}^2 \cdot 1.2 \cdot 60 \, \text{m}^2 \\ &= 57.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Résultante en Tête de Palée
F_w,Ed = 57.6 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force de 57.6 kN (soit environ 5.8 tonnes) est l'effort horizontal que notre système de contreventement doit encaisser et transmettre aux fondations. C'est la charge de base pour tout le reste du dimensionnement. Cette valeur est réaliste pour un bâtiment de cette taille dans une région moyennement ventée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans la surface d'influence. Il faut bien comprendre quel portique reprend quelle surface de bardage. Une autre erreur est d'oublier le coefficient \(c_{pe,net}\), qui est crucial car il prend en compte les effets de pression et de succion qui se combinent.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force du vent est le produit d'une pression par une surface.
  • La palée de contreventement reprend les efforts de sa zone d'influence.
  • La conversion des unités (Pa en kN/m²) est une étape clé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les gratte-ciels très élevés ne sont pas seulement contreventés, ils intègrent aussi des amortisseurs (amortisseurs à masse accordée) pour dissiper l'énergie du vent et limiter les oscillations, garantissant ainsi le confort des occupants.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on un coefficient de 1.2 ?

Ce coefficient \(c_{pe,\text{net}}\) de 1.2 est une simplification. En réalité, l'Eurocode 1 donne une pression de +0.8 sur la face au vent et une succion de -0.4 sur la face sous le vent. La force totale est la somme des effets, donc \( (0.8 - (-0.4)) \cdot q_p \cdot A = 1.2 \cdot q_p \cdot A \). On combine donc les deux effets en un seul coefficient.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de vent de calcul agissant au sommet de la palée de stabilité est de 57.6 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pression du vent était de 1000 Pa (1 kN/m²), quelle serait la nouvelle force \(F_{w,Ed}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer l'effort de traction (N_Ed)

Principe (le concept physique)

La force horizontale \(F_{w,Ed}\) appliquée en tête des poteaux est reprise par le système en treillis que forme le contreventement. En utilisant les lois de la statique, on peut décomposer cette force pour trouver l'effort dans chaque barre. Comme on suppose que seule la diagonale tendue travaille, elle doit reprendre à elle seule la composante diagonale de l'effort horizontal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul se base sur l'équilibre d'un nœud (le point de jonction entre le poteau, la traverse et la diagonale). La somme des forces horizontales et verticales en ce nœud doit être nulle. La force horizontale \(F_{w,Ed}\) est équilibrée par les composantes horizontales des efforts dans les deux diagonales. Si seule la diagonale tendue travaille, on a \( F_{w,Ed} = N_{Ed, \text{traction}} \cdot \cos(\theta) \), où \(\theta\) est l'angle avec l'horizontale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un carré articulé. Si vous le poussez sur un coin, il s'aplatit. Une diagonale l'empêche de se déformer. La force que vous appliquez se transforme en un effort de traction dans cette diagonale. Plus la diagonale est "plate" (proche de l'horizontale), plus l'effort de traction pour reprendre la même force horizontale sera grand.

Normes (la référence réglementaire)

Cette méthode de calcul des efforts dans les barres d'un système en treillis est une application directe des principes de la statique du solide, qui sont le fondement de toute l'analyse structurelle décrite dans l'Eurocode 3.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de l'angle \(\alpha\) de la diagonale avec la verticale :

\[ \tan(\alpha) = \frac{L}{H} \]

2. Calcul de l'effort de traction \(N_{Ed}\) (en considérant que la force Fw,Ed se répartit sur les deux nœuds en tête, soit Fw,Ed/2 par nœud) :

\[ N_{Ed} = \frac{F_{w,Ed}/2}{\cos(\alpha)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les barres sont articulées entre elles (nœuds parfaits). On suppose que la diagonale comprimée ne reprend aucun effort (elle flambe). La force horizontale se répartit équitablement entre les deux poteaux de la palée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force du vent, \(F_{w,Ed} = 57.6 \, \text{kN}\)
  • Hauteur de la palée, \(H = 6 \, \text{m}\)
  • Longueur de la travée, \(L = 8 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi utiliser la méthode des triangles semblables. Le triangle des forces (avec \(F_{w,Ed}/2\), la réaction verticale et \(N_{Ed}\)) est semblable au triangle géométrique (avec les côtés L, H et \(L_{\text{diag}}\)). On a donc la relation : \( \frac{N_{Ed}}{L_{\text{diag}}} = \frac{F_{w,Ed}/2}{L} \). C'est souvent plus rapide que de calculer les angles.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition des Forces
F/2N_Ed = ?L=8mH=6m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'angle \(\alpha\) avec la verticale :

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{L}{H} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= 1.333 \\ \alpha &= \arctan(1.333) \\ &\approx 53.13^\circ \end{aligned} \]

2. Calcul de l'effort de traction \(N_{Ed}\) :

\[ \begin{aligned} N_{Ed} &= \frac{F_{w,Ed}/2}{\cos(\alpha)} \\ &= \frac{57.6 \, \text{kN} / 2}{\cos(53.13^\circ)} \\ &= \frac{28.8}{0.6} \\ &= 48 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Effort dans la Diagonale
N_Ed = 48 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de traction dans la diagonale est de 48 kN. On remarque que cet effort est supérieur à la moitié de la force horizontale appliquée (28.8 kN). C'est normal : la diagonale doit reprendre à la fois un effort horizontal et un effort vertical. Plus la diagonale est "plate", plus cet effet de démultiplication est important.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de diviser la force \(F_{w,Ed}\) par 2 ! La force totale en tête est reprise par les deux poteaux de la palée. Une autre erreur classique est de se tromper entre le cosinus et le sinus de l'angle. Faire un petit schéma de la décomposition des forces au nœud permet de lever le doute.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Seule la diagonale tendue travaille (hypothèse courante).
  • L'effort dans la diagonale se calcule par équilibre statique d'un nœud.
  • L'effort dans la diagonale est toujours supérieur à la force horizontale qu'elle équilibre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, les contreventements sont conçus non seulement pour être résistants, mais aussi pour être ductiles. Ils doivent pouvoir se déformer de manière importante sans rompre, afin de dissiper l'énergie du tremblement de terre et d'éviter un effondrement brutal de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si on utilisait un seul contreventement en diagonale au lieu d'une croix ?

C'est possible, mais ce système ne fonctionnerait que pour une seule direction du vent. Si le vent s'inversait, la diagonale serait comprimée et pourrait flamber. Un contreventement en "K" ou en "V" est une autre solution qui permet d'avoir des barres travaillant en traction et en compression pour les deux sens de vent.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort de traction de calcul dans la diagonale est de 48 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la travée était de L=10m (H=6m, F=57.6kN), quel serait le nouvel effort \(N_{Ed}\) en kN ?

Question 3 : Vérifier la résistance à la traction

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons l'effort que la diagonale doit supporter (\(N_{Ed} = 48 \, \text{kN}\)), nous devons vérifier si le profilé choisi est assez "costaud" pour y résister. La "force" d'un profilé en traction est sa résistance plastique, \(N_{\text{pl,Rd}}\). La condition de sécurité est simple : la résistance doit être supérieure à la sollicitation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance plastique (\(N_{\text{pl,Rd}}\)) représente la charge maximale qu'une section peut supporter avant que tout le matériau n'atteigne sa limite d'élasticité (\(f_y\)). C'est le critère de dimensionnement pour les éléments tendus qui ne sont pas soumis à des phénomènes d'instabilité. Le coefficient \(\gamma_{M0}\) est un facteur de sécurité qui couvre les incertitudes sur les propriétés du matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme vérifier la charge maximale d'un câble de remorquage. Le fabricant vous donne une charge de rupture (équivalente à notre \(A \cdot f_y\)). Vous vous assurez que la force de traction que vous allez appliquer (\(N_{Ed}\)) est bien inférieure, en prenant une marge de sécurité (\(\gamma_{M0}\)).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance des sections en traction est définie au chapitre 6.2.3 de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1). La norme spécifie la formule \(N_{Ed} \le N_{t,Rd}\) et donne les expressions pour calculer la résistance de calcul \(N_{t,Rd}\), qui est \(N_{\text{pl,Rd}}\) pour la section brute.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Condition de vérification :

\[ N_{Ed} \le N_{\text{pl,Rd}} \]

2. Formule de la résistance plastique :

\[ N_{\text{pl,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On vérifie la section brute du profilé, en supposant que les assemblages aux extrémités ne réduisent pas de manière significative la section résistante. On utilise la limite d'élasticité nominale de l'acier S235.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de traction, \(N_{Ed} = 48 \, \text{kN}\)
  • Profilé : CHS 60.3x3.2. D'après un catalogue de profilés, son aire est \(A = 5.74 \, \text{cm}^2\).
  • Nuance d'acier : S235. Sa limite d'élasticité est \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\).
  • Coefficient de sécurité partiel, \(\gamma_{M0} = 1.0\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut calculer le "taux de travail" : \( \text{Taux} = N_{Ed} / N_{\text{pl,Rd}} \). Tant que ce taux est inférieur à 100%, la section est vérifiée. Cela donne une idée immédiate de la marge de sécurité disponible.

Schéma (Avant les calculs)
Sollicitation vs Résistance
N_Ed = 48 kNN_pl,Rd = ?≤
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités pour être cohérent (kN et cm²) :

\[ f_y = 235 \, \text{MPa} = 23.5 \, \text{kN/cm}^2 \]

2. Calcul de la résistance plastique \(N_{\text{pl,Rd}}\) :

\[ \begin{aligned} N_{\text{pl,Rd}} &= \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \\ &= \frac{5.74 \, \text{cm}^2 \cdot 23.5 \, \text{kN/cm}^2}{1.0} \\ &\approx 134.9 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 48 \, \text{kN} \le 134.9 \, \text{kN} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
N_Ed = 48 kNN_pl,Rd=134.9 kN✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance du profilé (environ 135 kN) est bien supérieure à l'effort qu'il doit reprendre (48 kN). Le taux de travail est de \(48 / 134.9 \approx 35.6\%\). Le profilé est donc validé avec une marge de sécurité confortable. Ce surdimensionnement est souvent nécessaire pour satisfaire le critère de rigidité (élancement) que nous allons vérifier ensuite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez toujours que les unités de l'aire (cm² ou mm²) et de la limite d'élasticité (MPa, N/mm², kN/cm²) sont cohérentes avant de les multiplier. Une erreur d'un facteur 10 ou 100 est vite arrivée et peut conduire à un sous-dimensionnement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en traction est le produit de l'aire par la limite d'élasticité.
  • La condition de sécurité est : Effort appliqué ≤ Résistance de calcul.
  • Le coefficient \(\gamma_{M0}\) est une sécurité sur le matériau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les aciers à très haute performance, la limite d'élasticité \(f_y\) peut dépasser 460 MPa, soit presque le double de celle du S235. Utiliser ces aciers permet de réduire la section des profilés et donc le poids (et le coût) de la structure, mais ils sont souvent moins ductiles.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on aussi vérifier la section nette au niveau des boulons ?

Oui, rigoureusement. L'Eurocode 3 demande aussi de vérifier la résistance de la section nette (section brute moins les trous des boulons) à la rupture. Cette vérification est souvent dimensionnante pour les assemblages avec peu de boulons ou pour les aciers à haute résistance. Pour cet exercice, nous avons simplifié en ne considérant que la section brute.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance du profilé CHS 60.3x3.2 (\(N_{\text{pl,Rd}} = 134.9\) kN) est supérieure à l'effort de calcul (\(N_{Ed} = 48\) kN). Le profilé est validé en résistance.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance \(N_{\text{pl,Rd}}\) (en kN) si on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355\) MPa) ?

Question 4 : Vérifier l'élancement

Principe (le concept physique)

Même si une barre travaille en traction, elle doit avoir une rigidité minimale pour éviter de "pendre" sous son propre poids ou de vibrer excessivement (par exemple, sous l'effet du vent ou de machines). On contrôle cela en limitant son élancement, qui est un rapport entre sa longueur et la "largeur" de sa section (représentée par le rayon de giration).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'élancement \(\lambda\) est un nombre sans dimension qui caractérise la "minceur" d'un élément. Un grand élancement signifie une barre longue et fine, susceptible de flamber en compression ou de vibrer en traction. Le rayon de giration \(i = \sqrt{I/A}\) représente la distance à laquelle on pourrait concentrer toute l'aire de la section pour obtenir le même moment quadratique. C'est une mesure de l'efficacité de la forme de la section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme comparer un fil de pêche et une tringle à rideau de même longueur. Le fil est très peu rigide (élancement très élevé), la tringle l'est beaucoup plus (élancement plus faible). Même si les deux peuvent résister à la même traction, le fil va pendre et vibrer. Les normes imposent une limite à l'élancement pour garantir un comportement "sain" de la structure et éviter des problèmes de vibrations ou de déformations parasites.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 ne donne pas de limite d'élancement stricte pour les éléments tendus, mais il est d'usage dans la profession et recommandé dans de nombreux guides d'application de limiter l'élancement des diagonales de contreventement à une valeur comprise entre 250 et 350 pour éviter les problèmes de vibrations et de mise en œuvre. Nous utiliserons une limite de 300.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Formule de l'élancement :

\[ \lambda = \frac{L_{\text{diag}}}{i} \]

Où \(L_{\text{diag}}\) est la longueur de la barre et \(i\) est le rayon de giration de la section.

2. Condition de vérification (recommandation courante) :

\[ \lambda \le 300 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La longueur de la diagonale est sa longueur géométrique entre les points de connexion. On considère que le profilé est constant sur toute sa longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur \(H = 6 \, \text{m}\), Longueur \(L = 8 \, \text{m}\).
  • Profilé : CHS 60.3x3.2. D'après un catalogue, son rayon de giration est \(i = 2.02 \, \text{cm}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul d'avant-projet rapide, on peut estimer la longueur de la diagonale et l'élancement requis pour choisir un profilé. Si \(\lambda_{\text{max}} = 300\), alors le rayon de giration minimum requis est \(i_{\text{min}} = L_{\text{diag}} / 300\). On peut alors chercher dans un catalogue le profilé le plus léger qui a un rayon de giration supérieur à cette valeur.

Schéma (Avant les calculs)
Géométrie pour le Calcul de l'Élancement
L = 8 mH = 6 mL_diag = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la longueur de la diagonale \(L_{\text{diag}}\) (par Pythagore) :

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{H^2 + L^2} \\ &= \sqrt{(6 \, \text{m})^2 + (8 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{36 \, \text{m}^2 + 64 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{100 \, \text{m}^2} \\ &= 10 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Conversion des unités en cm :

\[ L_{\text{diag}} = 10 \, \text{m} = 1000 \, \text{cm} \]

3. Calcul de l'élancement \(\lambda\) :

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{L_{\text{diag}}}{i} \\ &= \frac{1000 \, \text{cm}}{2.02 \, \text{cm}} \\ &\approx 247.5 \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 247.5 \le 300 \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de l'Élancement
λ = 248Limite λ_max = 300OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'élancement de 248 est inférieur à la limite recommandée de 300. Cela signifie que le profilé, bien que surdimensionné en résistance, a une rigidité jugée acceptable pour un élément tendu. Un profilé plus petit (par exemple un CHS 48.3) serait peut-être encore suffisant en résistance mais pourrait dépasser la limite d'élancement, le rendant trop "souple". Le choix du profilé est donc un compromis entre résistance et rigidité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La longueur à utiliser est bien la longueur entre points d'attache. De plus, il faut utiliser le rayon de giration le plus faible de la section si elle n'est pas symétrique (comme une cornière). Pour un tube circulaire, le rayon de giration est le même dans toutes les directions.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement est un critère de rigidité, pas de résistance.
  • Il se calcule par \(\lambda = L / i\).
  • Une limite usuelle pour les barres tendues est \(\lambda \le 300\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les haubans d'un pont haubané sont des éléments tendus avec un très grand élancement. Pour éviter qu'ils ne vibrent de manière catastrophique sous l'effet du vent (phénomène aéroélastique), ils sont souvent équipés d'amortisseurs externes ou leur surface est modifiée (câbles gainés avec des spirales) pour perturber l'écoulement de l'air.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette limite de 300 est-elle obligatoire ?

Non, ce n'est pas une exigence de sécurité fondamentale comme la résistance. C'est une recommandation liée au bon comportement de la structure, à sa durabilité et à sa facilité de montage. Un ingénieur peut décider de la dépasser s'il justifie par d'autres moyens (par exemple, en pré-tendant les barres) que les vibrations ou déformations ne seront pas problématiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement de la diagonale (\(\lambda \approx 248\)) est inférieur à la limite de 300. Le profilé est donc également validé vis-à-vis des critères de rigidité.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la diagonale mesurait 12 m de long (1200 cm), quel serait son élancement ?

Outil Interactif : Paramètres de Contreventement

Modifiez les paramètres du bâtiment pour voir leur influence sur l'effort dans la diagonale et sa résistance.

Paramètres d'Entrée
30 kN
8 m
6 m
Résultats Clés
Effort Diagonale (kN) -
Taux de Travail (%) -
Élancement -

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel est un gigantesque système de contreventement. Sa structure en treillis, composée de milliers de poutres et d'arcs métalliques, est conçue pour résister efficacement aux forces du vent. La forme évasée de sa base lui assure une stabilité exceptionnelle, permettant à ce monument de 300 mètres de haut de n'osciller que de quelques centimètres à son sommet, même par grand vent.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne prend-on pas en compte la diagonale comprimée ?

Pour des barres très longues et fines (très élancées), la charge qu'elles peuvent supporter en compression avant de flamber (de se "plier" sur le côté) est très faible. Il est donc plus simple et plus sûr de considérer qu'elle ne reprend aucun effort. On ne compte que sur la résistance, bien plus importante, de la barre tendue. C'est une hypothèse de calcul courante et sécuritaire.

Et si le vent souffle dans l'autre sens ?

Si le vent souffle dans la direction opposée, la force horizontale s'inverse. La diagonale qui était tendue devient comprimée (et donc "inutile" selon notre hypothèse), et celle qui était comprimée devient tendue et se met à travailler. C'est la beauté de la symétrie de la croix de Saint-André : le système fonctionne de la même manière dans les deux directions.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le rôle principal d'un contreventement dans une charpente métallique est de...

2. Si on augmente la hauteur (H) de la palée de contreventement en gardant la même largeur (L) et la même force de vent, l'effort dans la diagonale tendue va...

Contreventement
Dispositif structurel (souvent des barres en diagonale) assurant la stabilité d'un ouvrage en s'opposant à sa déformation sous l'effet de forces horizontales (vent, séisme).
Eurocodes
Ensemble de normes européennes harmonisées pour le calcul et la conception des structures de bâtiment et de génie civil.
Élancement
Rapport sans dimension caractérisant la propension d'un élément structural à flamber sous une charge de compression. Il est défini par le rapport de sa longueur de flambement à son rayon de giration.
Calcul du Contreventement d'une Charpente Métallique

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