Consolidation primaire et secondaire du sol

Vous êtes ingénieur géotechnique pour une entreprise de génie civil, chargé de concevoir les fondations d’un immeuble de grande hauteur dans une zone urbaine dynamique. Le site choisi présente un défi particulier en raison de sa composition de sol argileux, avec une couche d’argile molle profonde sous une couche de sable compact.

Données Fournies

Profil de sol :
- Couche supérieure : Sable compact, épaisseur \(H_{sable} = 5 \, \text{m}\), poids volumique \(\gamma_{sable} = 19 \, \text{kN/m}^3\).
- Couche inférieure : Argile molle, épaisseur \(H_{argile} = 15 \, \text{m}\), poids volumique \(\gamma_{argile} = 17 \, \text{kN/m}^3\).
- Nappe phréatique supposée à l'interface Sable/Argile (à z = -5 m).
- Substratum sous l'argile supposé drainant (double drainage).
Propriétés de l'argile molle :
- Indice des vides initial (\(e_1\)) : 1.2
- Indice des vides final après chargement complet (\(e_2\)) : 0.9 (correspondant à \(\sigma'_{v2}\))
- Pression interstitielle initiale *au milieu* de la couche (\(u_0\)) : 25 \(\text{kPa}\)
- Contrainte effective *finale* au milieu de la couche après chargement et consolidation complète (\(\sigma'_{v2}\)) : 270 \(\text{kPa}\)
- Temps pour atteindre 50% de consolidation primaire (\(t_{50}\)) : 12 mois
- Coefficient de consolidation secondaire (\(C_\alpha\)) : Inconnu (non fourni).
Poids volumique de l’eau (\(\gamma_w\)) : 9.81 \(\text{kN/m}^3\)
Durée considérée pour l'estimation (\(t_f\)) : 24 mois (depuis le début de la construction)

Schéma du Profil de Sol

Questions

Calculer la contrainte effective initiale (\(\sigma'_{0}\)) au milieu de la couche d’argile molle.
Déterminer l’indice de compressibilité (\(C_c\)) de l’argile molle.
Calculer le coefficient de consolidation (\(c_v\)) de l’argile molle.
Estimer la variation d'indice des vides due à la consolidation primaire (\(\Delta e_1\)) après 24 mois.
Discuter de la possibilité d'estimer la consolidation secondaire (\(\Delta e_2\)) à 24 mois et expliquer pourquoi un calcul précis n'est pas possible avec les données fournies.

Correction : Consolidation primaire et secondaire du sol

Question 1 : Calcul de la contrainte effective initiale (\(\sigma'_{0}\))

Calcul de la Contrainte Verticale Totale (\(\sigma_v\)) au milieu de l'argile (Z=12.5m) :

La contrainte totale à une certaine profondeur est simplement le poids de toutes les couches de sol situées au-dessus de ce point. On calcule le poids de la couche de sable, puis le poids de la moitié supérieure de la couche d'argile (puisque nous calculons au milieu).

\(H_{sable} = 5 \, \text{m}\)
\(\gamma_{sable} = 19 \, \text{kN/m}^3\)
Profondeur dans l'argile = \(12.5 - 5 = 7.5 \, \text{m}\)
\(\gamma_{argile} = 17 \, \text{kN/m}^3\)

\begin{aligned} \sigma_v &= (\text{Poids du sable}) + (\text{Poids de l'argile au-dessus du milieu}) \\ &= (\gamma_{sable} \times H_{sable}) + (\gamma_{argile} \times (Z - H_{sable})) \\ &= (19 \, \text{kN/m}^3 \times 5 \, \text{m}) + (17 \, \text{kN/m}^3 \times 7.5 \, \text{m}) \\ &= 95 \, \text{kPa} + 127.5 \, \text{kPa} \\ &= 222.5 \, \text{kPa} \end{aligned}

Donc, le poids total des terres au-dessus de 12.5m de profondeur est de 222.5 kPa.

Calcul de la Contrainte Effective Initiale (\(\sigma'_{0}\)) :

La contrainte effective (\(\sigma'\)) est la contrainte qui est réellement supportée par le squelette solide du sol. Elle est égale à la contrainte totale (\(\sigma_v\)) moins la pression de l'eau contenue dans les pores du sol (pression interstitielle, \(u\)). C'est cette contrainte effective qui provoque le tassement.

\sigma'_{0} = \sigma_v - u_0

\(\sigma_v = 222.5 \, \text{kPa}\)
\(u_0 = 25 \, \text{kPa}\) (Pression interstitielle initiale donnée)

\sigma'_{0} = 222.5 \, \text{kPa} - 25 \, \text{kPa} \] \[ \sigma'_{0} = 197.5 \, \text{kPa}

Résultat Question 1 :

La contrainte effective initiale au milieu de la couche d'argile est \(\sigma'_{0} \approx 197.5 \, \text{kPa}\). C'est la pression supportée par les grains d'argile avant l'application de la nouvelle charge.

Question 2 : Détermination de l’indice de compressibilité (\(C_c\))

Formule :

L'indice de compressibilité (\(C_c\)) mesure à quel point l'indice des vides (\(e\), qui représente le volume des vides par rapport au volume des solides) diminue lorsque la contrainte effective augmente. On le calcule sur une échelle logarithmique de contrainte car la compressibilité de l'argile n'est pas linéaire. \(C_c\) représente la pente de la droite de compressibilité vierge dans un diagramme \(e - \log(\sigma')\).

C_c = \frac{e_1 - e_2}{\log_{10}(\sigma'_{v2} / \sigma'_{0})}

Où \(e_1\) et \(\sigma'_0\) sont l'indice des vides et la contrainte effective initiaux, et \(e_2\) et \(\sigma'_{v2}\) sont les valeurs finales après application de la charge et consolidation complète.

Données :

Indice des vides initial \(e_1 = 1.2\)
Indice des vides final \(e_2 = 0.9\)
Contrainte effective initiale \(\sigma'_{0} \approx 197.5 \, \text{kPa}\)
Contrainte effective finale \(\sigma'_{v2} = 270 \, \text{kPa}\)

Calcul de l'Indice de Compressibilité :

\begin{aligned} C_c &= \frac{1.2 - 0.9}{\log_{10}(270 / 197.5)} \\ &= \frac{0.3}{\log_{10}(1.367)} \\ &\approx \frac{0.3}{0.1358} \\ &\approx 2.21 \end{aligned}

Résultat Question 2 :

L'indice de compressibilité de l'argile molle est \(C_c \approx 2.21\). (Une valeur de \(C_c\) supérieure à 1 indique une très forte compressibilité, ce qui est cohérent avec une "argile molle").

Question 3 : Calcul du coefficient de consolidation (\(c_v\))

Calcul de la Longueur de Drainage (\(H_{dr}\)) :

La vitesse de consolidation dépend de la distance maximale que l'eau doit parcourir pour sortir de la couche d'argile. Si la couche est drainée par le haut et par le bas (double drainage), cette distance est la moitié de l'épaisseur totale de la couche.

Épaisseur de la couche d'argile \(H_{argile} = 15 \, \text{m}\)
Condition : Double drainage (supposé)

H_{dr} = H_{argile} / 2 = 15 \, \text{m} / 2 = 7.5 \, \text{m}

Formule :

Le coefficient de consolidation (\(c_v\)) représente la "vitesse" à laquelle le sol se consolide. Il est lié au temps nécessaire (\(t_{50}\)) pour atteindre un certain pourcentage de consolidation (ici 50%). Le facteur temps (\(T_{50}\)) est une valeur théorique sans dimension qui correspond à 50% de consolidation. Pour un double drainage, \(T_{50} \approx 0.197\).

c_v = \frac{T_{50} H_{dr}^2}{t_{50}}

Données :

\(T_{50} \approx 0.197\) (valeur théorique pour U=50%, double drainage)
\(H_{dr} = 7.5 \, \text{m}\)
\(t_{50} = 12 \, \text{mois} = 1 \, \text{an}\)

Calcul du Coefficient de Consolidation :

\begin{aligned} c_v &= \frac{0.197 \times (7.5 \, \text{m})^2}{1 \, \text{an}} \\ &= 0.197 \times 56.25 \, \text{m}^2/\text{an} \\ &\approx 11.08 \, \text{m}^2/\text{an} \end{aligned}

Résultat Question 3 :

Le coefficient de consolidation de l'argile molle est \(c_v \approx 11.1 \, \text{m}^2/\text{an}\). Cette valeur indique la rapidité avec laquelle l'excès de pression interstitielle se dissipe.

Question 4 : Estimation de la consolidation primaire (\(\Delta e_1\)) à 24 mois

Calcul du Facteur Temps (\(T_v\)) à t = 24 mois :

Le facteur temps \(T_v\) à un instant \(t\) donné nous permet de savoir où en est le processus de consolidation. Il dépend de \(c_v\), du temps écoulé \(t\), et de la longueur de drainage \(H_{dr}\).

\(c_v \approx 11.08 \, \text{m}^2/\text{an}\)
\(t = 24 \, \text{mois} = 2 \, \text{ans}\)
\(H_{dr} = 7.5 \, \text{m}\)

T_v = \frac{c_v t}{H_{dr}^2} = \frac{(11.08 \, \text{m}^2/\text{an}) \times (2 \, \text{ans})}{(7.5 \, \text{m})^2} \] \[ T_v = \frac{22.16}{56.25} \approx 0.394

Calcul du Degré de Consolidation (\(U\)) à t = 24 mois :

Le degré de consolidation \(U\) est le pourcentage du tassement primaire total qui a eu lieu au temps \(t\). On l'estime à partir de \(T_v\). Différentes formules d'approximation existent.

Comme \(T_v = 0.394 > 0.28\), nous utilisons l'approximation suivante :

U \approx 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 T_v / 4}

\begin{aligned} U &\approx 1 - \frac{8}{9.87} e^{-9.87 \times 0.394 / 4} \\ &\approx 1 - 0.81 \times e^{-0.972} \\ &\approx 1 - 0.81 \times 0.378 \\ &\approx 1 - 0.306 \\ &\approx 0.694 \quad (69.4\%) \end{aligned}

Après 24 mois, environ 69.4% du tassement primaire total a eu lieu.

Calcul de la Variation d'Indice des Vides Primaire (\(\Delta e_1\)) à 24 mois :

La variation totale de l'indice des vides due à la consolidation primaire est la différence entre l'indice initial et final (\(e_1 - e_2\)). La variation à un temps \(t\) est cette variation totale multipliée par le degré de consolidation \(U(t)\) atteint à ce temps.

\Delta e_1(t) = U(t) \times (e_1 - e_2)

\(U(t=24m) \approx 0.694\)
\(e_1 = 1.2\)
\(e_2 = 0.9\)

\Delta e_1(24m) = 0.694 \times (1.2 - 0.9) \] \[ \Delta e_1(24m) = 0.694 \times 0.3 \] \[ \Delta e_1(24m) \approx 0.208

Résultat Question 4 :

La variation d'indice des vides estimée due à la consolidation primaire après 24 mois est \(\Delta e_1 \approx 0.208\). Cela représente environ 69.4% de la variation totale d'indice des vides primaire (\(1.2 - 0.9 = 0.3\)).

Question 5 : Discussion sur la consolidation secondaire (\(\Delta e_2\)) à 24 mois

Concept :

Après que l'eau en excès a été expulsée (fin de la consolidation primaire), le sol peut continuer à tasser très lentement. C'est la consolidation secondaire, due à un réarrangement progressif des particules d'argile sous la charge constante (un peu comme un fluage). Ce phénomène est caractérisé par le coefficient \(C_\alpha\).

Formule Générale :

Le calcul de la variation d'indice des vides \(\Delta e_2\) due à la consolidation secondaire entre un temps de début \(t_i\) (généralement pris comme la fin de la consolidation primaire) et un temps final \(t_f\) nécessite le coefficient \(C_\alpha\).

\Delta e_2 = C_\alpha \times \log_{10}\left(\frac{t_f}{t_i}\right)

Limitation et Discussion :

1. Donnée Manquante : Le coefficient \(C_\alpha\) est une propriété intrinsèque de l'argile et n'a pas été fourni. Sans lui, aucun calcul numérique de \(\Delta e_2\) n'est possible.

2. Timing : La consolidation secondaire devient significative seulement *après* la fin de la consolidation primaire. Nous avons calculé (Question 4) qu'à 24 mois (2 ans), la consolidation primaire n'est qu'à 69.4% achevée. Calculons le temps nécessaire pour atteindre, par exemple, 90% de consolidation primaire (\(T_{90} \approx 0.848\)) :

t_{90} = \frac{T_{90} H_{dr}^2}{c_v} = \frac{0.848 \times (7.5 \, \text{m})^2}{11.08 \, \text{m}^2/\text{an}} \] \[ t_{90} \approx \frac{0.848 \times 56.25}{11.08} \approx 4.3 \, \text{ans}

Cela montre que la consolidation primaire prendra plus de 4 ans pour être quasi-complète. Par conséquent, à 24 mois, le phénomène de consolidation secondaire n'a pas encore réellement commencé ou est totalement négligeable par rapport à la consolidation primaire en cours.

Résultat Question 5 :

Il n'est pas possible de calculer \(\Delta e_2\) car \(C_\alpha\) est inconnu. De toute façon, à 24 mois, la consolidation primaire est loin d'être terminée (\(U \approx 69\%\)), donc la consolidation secondaire est négligeable à ce stade.