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Calcul d’une poutre en acier

Calcul d’une poutre en acier

Calcul d’une poutre en acier

Contexte : Conception d'un plancher de bureaux.

Le dimensionnement d'un solivage (l'ensemble des poutres supportant un plancher) est une tâche fondamentale en ingénierie des structures. L'objectif est de choisir le profilé en acier le plus léger (et donc le plus économique) capable de satisfaire à la fois les exigences de **sécurité** (résistance à la rupture, ou État Limite Ultime - ELUVérification de la résistance de la structure sous des charges majorées par des coefficients de sécurité. Assure que la structure ne s'effondre pas.) et de **confort** (limitation de la déformation, ou État Limite de Service - ELSVérification de la déformation ou des vibrations sous les charges réelles (non majorées). Assure le confort des usagers et la durabilité des éléments non-structuraux.). Cet exercice vous guidera à travers la démarche complète de l'ingénieur : calcul des charges, pré-dimensionnement, choix du profilé et vérifications finales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice simule une étude de cas réelle. Nous allons appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode, utiliser les caractéristiques de profilés normalisés et effectuer toutes les vérifications nécessaires (flexion, cisaillement, flèche). C'est une approche complète qui montre que le dimensionnement ne se limite pas à un seul calcul, mais est un processus itératif de choix et de validation.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode pour déterminer les efforts à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer le module de flexion requis et sélectionner un profilé IPE adéquat dans un catalogue.
  • Vérifier la résistance à l'effort tranchant, un aspect souvent négligé mais essentiel.
  • Mener une vérification complète de la flèche en comparant la déformation à une limite réglementaire.
  • Comprendre l'interaction entre le choix de la nuance d'acier (S235 vs S355) et le dimensionnement.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les solives d'un plancher de bureau. Ces solives, en acier de nuance S235, ont une portée de 6 mètres et sont espacées de 2.5 mètres. Elles sont considérées comme simplement appuyées.

Schéma du solivage et de la zone de chargement
p L = 6.0 m Entreaxe = 2.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charges permanentes (hors poids propre) \(G'\) 3.0 \(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation (bureaux) \(Q'\) 2.5 \(\text{kN/m}^2\)
Limite de flèche (éléments non fragiles) \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -
Module de Young de l'acier \(E\) 210 000 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les charges linéiques à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) et à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)).
  2. Déterminer le moment fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) maximaux à l'ELU.
  3. Calculer le module de flexion requis (\(W_{\text{el,req}}\)) et choisir le profilé IPE le plus léger adéquat dans la table fournie.
  4. Vérifier la résistance à l'effort tranchant du profilé choisi.
  5. Vérifier la flèche à l'ELS et conclure sur la validité du dimensionnement.

Les bases du dimensionnement aux Eurocodes

Revoyons les concepts clés pour cet exercice.

1. Combinaisons de Charges :
Pour assurer la sécurité, on majore les charges pour la vérification de la résistance (ELU) et on utilise les charges réelles pour la vérification du confort (ELS). Les formules de base sont : \[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \quad (\text{pour l'ELU}) \] \[ p_{\text{ser}} = G + Q \quad (\text{pour l'ELS}) \] Où G sont les charges permanentes et Q les charges d'exploitation.

2. Résistance au Cisaillement :
En plus de la flexion, il faut vérifier que l'âme de la poutre ne se déchire pas sous l'effet de l'effort tranchant. La résistance plastique au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) est donnée par : \[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{v,z} \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}} \] Où \(A_{v,z}\) est l'aire de cisaillement du profilé (donnée dans les catalogues) et \(\gamma_{M0}\) est un coefficient de sécurité (pris à 1.0). On doit vérifier que \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{pl,Rd}}\).

Correction : Calcul d’une poutre en acier

Question 1 : Calculer les charges linéiques

Principe (le concept physique)

Chaque solive supporte une bande de plancher dont la largeur est égale à l'espacement (l'entreaxe) entre les solives. Pour passer des charges surfaciques (en kN/m²) aux charges linéiques (en kN/m) appliquées sur notre poutre, il suffit de multiplier par cette largeur de chargement, aussi appelée "surface d'influence".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La descente de charges est le processus qui consiste à transférer les charges depuis leur point d'application (le plancher) jusqu'aux fondations, en passant par tous les éléments porteurs (solives, poutres, poteaux). La conversion de charge surfacique en charge linéique est la première étape de cette descente.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que chaque poutre est responsable de "collecter" la pluie qui tombe sur une bande de toiture de 2.5m de large. La quantité d'eau (la charge) que la poutre doit évacuer dépend directement de la largeur de cette bande. C'est exactement le même principe ici.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 0 (NF EN 1990) définit les principes des combinaisons d'actions. Les coefficients 1.35 pour les charges permanentes (G) et 1.5 pour les charges variables (Q) sont les valeurs fondamentales pour la combinaison à l'ELU en situation de projet durable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Conversion de charge surfacique (p') en linéique (p) :

\[ p = p' \times \text{entreaxe} \]

Combinaisons de charges à l'ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 G + 1.5 Q \]

Combinaisons de charges à l'ELS :

\[ p_{\text{ser}} = G + Q \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plancher est un simple tablier qui répartit les charges uniformément et les transmet intégralement aux solives. On néglige le poids propre de la solive dans un premier temps (il sera vérifié implicitement par la marge de sécurité).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes surfaciques, \(G' = 3.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation surfaciques, \(Q' = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entreaxe des solives = 2.5 m
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez les unités en kN et m pour cette étape. Les calculs sont plus simples et moins sujets aux erreurs de puissances de dix. On ne convertira en N et mm que lorsque c'est nécessaire pour les calculs de contraintes ou de flèche.

Schéma (Avant les calculs)
Surface d'Influence d'une Solive
Zone de chargementSolive2.5 m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge linéique permanente (G) :

\[ \begin{aligned} G &= G' \times \text{entreaxe} \\ &= 3.0 \, \text{kN/m}^2 \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 7.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge linéique d'exploitation (Q) :

\[ \begin{aligned} Q &= Q' \times \text{entreaxe} \\ &= 2.5 \, \text{kN/m}^2 \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 6.25 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Application de la combinaison de charges à l'ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \\ &= 1.35 \cdot 7.5 + 1.5 \cdot 6.25 \\ &= 10.125 + 9.375 \\ &= 19.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

4. Application de la combinaison de charges à l'ELS :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= G + Q \\ &= 7.5 + 6.25 \\ &= 13.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges Linéiques sur la Solive
ELU: p_Ed = 19.5 kN/mELS: p_ser = 13.75 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On constate que la charge de calcul pour la résistance (ELU) est environ 42% plus élevée que la charge de service (ELS). Cette marge de sécurité est fondamentale dans la conception des structures pour garantir la sécurité des personnes en cas de surcharges imprévues.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les charges surfaciques en charges linéiques en multipliant par l'entreaxe. Une autre erreur est d'utiliser la mauvaise combinaison de charges pour la mauvaise vérification (par ex. utiliser la charge ELU pour le calcul de flèche).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Charge linéique = Charge surfacique × entreaxe.
  • Utiliser la combinaison ELU (1.35G + 1.5Q) pour les calculs de résistance.
  • Utiliser la combinaison ELS (G + Q) pour les calculs de déformation (flèche).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les valeurs des charges d'exploitation (2.5 kN/m² pour des bureaux) sont issues de décennies d'observations et de statistiques. Elles représentent une valeur "caractéristique", qui a une faible probabilité (souvent 5%) d'être dépassée pendant la durée de vie de l'ouvrage.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on toujours utiliser 1.35 et 1.5 ?

Non, ce sont les coefficients pour la combinaison fondamentale la plus courante. Si plusieurs charges variables agissent simultanément (par ex. exploitation + vent), l'Eurocode prévoit des coefficients de réduction pour tenir compte de la faible probabilité que toutes les charges soient à leur maximum au même moment.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge à utiliser pour les calculs de résistance (ELU) est de 19.5 kN/m. Celle pour le calcul de flèche (ELS) est de 13.75 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entreaxe passait à 3.0 m, quelle serait la nouvelle valeur de \(p_{\text{Ed}}\) en kN/m ?

Question 2 : Calculer les efforts maximaux à l'ELU

Principe (le concept physique)

À partir de la charge de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)), on détermine les deux efforts internes critiques pour le dimensionnement : le moment fléchissant maximal, qui gouverne la résistance en flexion, et l'effort tranchant maximal, qui gouverne la résistance au cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une poutre isostatique, les efforts internes (moment M et effort tranchant V) peuvent être déterminés en tout point par les seules équations de la statique. Le moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant. Le moment est donc maximal lorsque l'effort tranchant s'annule, ce qui, pour une poutre sur appuis simples avec charge uniforme, se produit au milieu de la travée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'effort tranchant est maximal aux appuis (la poutre risque de se "cisailler" près des supports), tandis que le moment fléchissant est maximal au centre (la poutre risque de "casser en deux" par flexion au milieu). Il est crucial de vérifier la poutre pour ces deux sollicitations aux endroits où elles sont maximales.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1) fournit les méthodes de calcul pour déterminer la résistance des sections en acier à ces efforts de flexion et de cisaillement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du moment fléchissant maximal :

\[ M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]

Formule de l'effort tranchant maximal :

\[ V_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules sont valables pour une poutre isostatique (appuis simples) et une charge uniformément répartie. Toute modification (encastrement, charge ponctuelle) changerait ces formules.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_{\text{Ed}} = 19.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul en kN et m est le plus direct. \(M_{\text{Ed}} = (19.5 \times 6^2) / 8 = 87.75\) kN·m. \(V_{\text{Ed}} = (19.5 \times 6) / 2 = 58.5\) kN. Pas de conversion, pas de risque d'erreur de puissance de dix à ce stade.

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Forme)
Effort Tranchant (V)+Vmax-VmaxMoment Fléchissant (M)+Mmax
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{19.5 \, \text{kN/m} \cdot (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{19.5 \cdot 36}{8} \\ &= 87.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{19.5 \, \text{kN/m} \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 58.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Valeurs)
Effort Tranchant (V)58.5 kN-58.5 kNMoment Fléchissant (M)87.75 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs, 87.75 kN·m et 58.5 kN, sont les sollicitations maximales que notre profilé devra être capable de supporter. Elles serviront de base à toutes les vérifications de résistance qui suivront.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré sur la portée L dans la formule du moment ! C'est une erreur très fréquente qui sous-estime massivement le moment fléchissant. Le moment est proportionnel au carré de la portée, ce qui signifie qu'une poutre deux fois plus longue subit un moment quatre fois plus grand.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal est au centre : \(M_{\text{Ed}} = p_{\text{Ed}}L^2/8\).
  • L'effort tranchant maximal est aux appuis : \(V_{\text{Ed}} = p_{\text{Ed}}L/2\).
  • Ces deux valeurs sont les "efforts de design" pour la poutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres continues (qui reposent sur plus de deux appuis), le moment maximal n'est plus au milieu des travées, mais au niveau des appuis intermédiaires, et il est négatif (les fibres supérieures sont tendues). Le dimensionnement devient plus complexe.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort tranchant est-il nul au milieu ?

L'effort tranchant représente la somme des forces verticales à gauche d'une section. À l'appui gauche, il vaut la réaction (pL/2). En se déplaçant vers la droite, la charge répartie "pousse vers le bas" et diminue progressivement l'effort tranchant. Exactement au milieu, la moitié de la charge a été appliquée, annulant exactement la réaction de l'appui. L'effort tranchant est donc nul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment de calcul est de 87.75 kN·m et l'effort tranchant de calcul est de 58.5 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée passait à 8.0 m, quel serait le nouveau moment \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m ?

Question 3 : Pré-dimensionnement et choix du profilé

Principe (le concept physique)

Le pré-dimensionnement consiste à déterminer la "taille" minimale requise pour le profilé. On utilise la formule de la contrainte en flexion (\(\sigma = M/W\)) et on l'inverse pour trouver le module de flexion minimal requis (\(W_{\text{el,req}}\)) pour que la contrainte ne dépasse pas la limite d'élasticité de l'acier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le dimensionnement en flexion est basé sur la condition que la contrainte maximale dans la section (\(\sigma_{\text{max}}\)) reste inférieure ou égale à la résistance du matériau (\(f_y\)). La formule \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{Ed}} / W_{\text{el}}\) est la clé. En s'assurant que le profilé choisi a un \(W_{\text{el}}\) supérieur au \(W_{\text{el,req}}\), on garantit que la condition de résistance en flexion est respectée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape où la théorie rencontre la pratique. Le calcul nous donne un chiffre (le \(W_{\text{el,req}}\)), et nous devons ensuite jouer le rôle de l'ingénieur en consultant un catalogue pour trouver un produit réel qui satisfait ce besoin, en choisissant le plus léger (et donc le moins cher).

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions et propriétés des profilés en acier (IPE, HEA, etc.) sont standardisées au niveau européen par la norme NF EN 10365. Les catalogues des fabricants d'acier (comme ArcelorMittal) fournissent des tables basées sur ces normes.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ W_{\text{el,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}}}{f_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est de "Classe 1" ou "2" selon l'Eurocode, ce qui signifie qu'elle peut atteindre sa pleine capacité de résistance plastique sans voiler localement. C'est le cas pour tous les profilés IPE standards en flexion simple.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 87.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 87.75 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Limite d'élasticité (S235), \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les conversions, on peut calculer directement en cm³. Si \(M_{\text{Ed}}\) est en kN·m, la formule devient \(W_{\text{el,req}} (\text{cm}^3) \ge (M_{\text{Ed}} \times 100) / (f_y / 10)\). Ici : \((87.75 \times 100) / 23.5 \approx 373.4\) cm³. C'est une astuce courante dans les bureaux d'études.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Profilé Adéquat
Calcul:W_req = ?Catalogue:Trouver IPE
Tableau de sélection des profilés IPE
Profilé\(W_{\text{el,z}}\) (cm³)\(I_z\) (cm⁴)\(A_{v,z}\) (cm²)Masse (kg/m)
IPE 220252277216.226.2
IPE 240324389218.930.7
IPE 270429579020.336.1
IPE 300557835622.442.2
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du module de flexion requis en mm³ :

\[ \begin{aligned} W_{\text{el,req}} &\ge \frac{87.75 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 373404 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en cm³ :

\[ W_{\text{el,req}} \ge 373.4 \, \text{cm}^3 \]

En regardant la table, le premier profilé dont le \(W_{\text{el,z}}\) est supérieur à 373.4 cm³ est l'**IPE 270** (avec 429 cm³).

Schéma (Après les calculs)
Sélection du Profilé
Requis: 373.4 cm³Choisi: IPE 270 (429 cm³)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de l'IPE 270 est la première étape du dimensionnement. Il est le candidat le plus économique car c'est le plus léger qui satisfait la condition de résistance en flexion. Il faut maintenant vérifier qu'il satisfait aussi les autres critères (cisaillement et flèche).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas se tromper de colonne dans les tables de profilés ! Il faut bien utiliser le module de flexion élastique (\(W_{\text{el,z}}\)) pour cette vérification et non le moment quadratique (\(I_z\)) ou le module plastique (\(W_{\text{pl,z}}\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le pré-dimensionnement en flexion se base sur le module de flexion \(W_{\text{el}}\).
  • On calcule le module requis : \(W_{\text{el,req}} = M_{\text{Ed}} / f_y\).
  • On choisit dans un catalogue le profilé le plus léger avec un \(W_{\text{el}}\) supérieur au \(W_{\text{el,req}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul de structure modernes peuvent tester des centaines de profilés en quelques secondes pour trouver automatiquement le plus optimisé, non seulement en poids, mais aussi en tenant compte des coûts de fabrication et de montage.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi choisir le plus léger ?

Le coût de l'acier est directement proportionnel à son poids. En choisissant le profilé le plus léger qui satisfait toutes les conditions de sécurité et de service, l'ingénieur optimise le coût global du projet. C'est un aspect fondamental de son métier.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le module de flexion requis est de 373.4 cm³. On choisit le profilé IPE 270.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355\) MPa), quel serait le nouveau \(W_{\text{el,req}}\) en cm³ ?

Question 4 : Vérifier la résistance à l'effort tranchant

Principe (le concept physique)

Maintenant que le profilé est choisi, on doit s'assurer qu'il résiste aussi à l'effort tranchant. On calcule la résistance au cisaillement du profilé (\(V_{\text{pl,Rd}}\)) et on la compare à l'effort tranchant de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)). C'est une vérification de sécurité pour s'assurer que l'âme de la poutre ne va pas "se déchirer" près des appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement d'un profilé en I est presque entièrement assurée par son âme (la partie verticale). L'aire de cisaillement \(A_{v,z}\) est une valeur approchée de l'aire de l'âme. La formule de résistance est basée sur le critère de von Mises, qui donne la limite d'élasticité en cisaillement comme étant \(f_y / \sqrt{3}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour les poutres IPE dans les bâtiments, la résistance au cisaillement est très rarement le critère qui dimensionne la poutre. La flexion ou la flèche sont presque toujours plus contraignantes. Cependant, la vérification reste obligatoire et peut devenir critique pour des poutres très courtes avec de très fortes charges.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de calcul de la résistance au cisaillement plastique \(V_{\text{pl,Rd}}\) est donnée dans l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1), section 6.2.6.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{v,z} \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{M0}} \quad (\text{avec } \gamma_{M0} = 1.0) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a pas de risque de voilement par cisaillement de l'âme, ce qui est vrai pour les profilés IPE standards non-raidis.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée pour IPE 270)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 58.5 \, \text{kN}\)
  • Aire de cisaillement (catalogue), \(A_{v,z} = 20.3 \, \text{cm}^2 = 2030 \, \text{mm}^2\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut approximer la résistance au cisaillement par \(V_{\text{pl,Rd}} \approx 0.6 \times A_{v,z} \times f_y\), car \(1/\sqrt{3} \approx 0.577\). Le calcul devient : \(0.6 \times 2030 \times 235 \approx 286\) kN.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification au Cisaillement
Appliqué: V_Ed = 58.5 kN≤ ?Résistance: V_pl,Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance au cisaillement :

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{A_{v,z} \cdot f_y}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{2030 \, \text{mm}^2 \cdot 235 \, \text{N/mm}^2}{\sqrt{3}} \\ &\approx 275433 \, \text{N} \\ &\approx 275.4 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Vérification :

\[ V_{\text{Ed}} = 58.5 \, \text{kN} \le V_{\text{pl,Rd}} = 275.4 \, \text{kN} \quad (\text{VÉRIFIÉ}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
Appliqué: 58.5 kN≤Résistance: 275.4 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le taux de travail au cisaillement est de \(58.5 / 275.4 \approx 21\%\). La marge de sécurité est énorme, ce qui confirme que pour cette poutre, la flexion et la flèche sont bien les critères prépondérants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre l'aire totale de la section (A) avec l'aire de cisaillement (\(A_{v,z}\)). Utiliser l'aire totale surestimerait la résistance au cisaillement car les semelles y contribuent très peu.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement est une vérification obligatoire.
  • Elle dépend de l'aire de l'âme du profilé (\(A_{v,z}\)).
  • La condition est \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{pl,Rd}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres de ponts ou les poutres très hautes et fines (poutres à âme pleine), l'âme peut "voiler" (se déformer comme une feuille de papier froissée) bien avant que la résistance plastique au cisaillement ne soit atteinte. L'ingénieur doit alors ajouter des raidisseurs verticaux pour empêcher ce phénomène.

FAQ (pour lever les doutes)
D'où vient le \(\sqrt{3}\) ?

Il vient du critère de plasticité de von Mises. Ce critère définit la limite élastique d'un matériau sous un état de contraintes complexe. Pour un état de cisaillement pur, le critère se simplifie et montre que la limite d'élasticité en cisaillement (\(\tau_y\)) est égale à la limite d'élasticité en traction (\(f_y\)) divisée par \(\sqrt{3}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance au cisaillement (275.4 kN) est bien supérieure à l'effort appliqué (58.5 kN). La poutre est validée pour l'effort tranchant.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la résistance au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) d'un IPE 240 (Avz = 18.9 cm²) en acier S235 ? (en kN)

Question 5 : Vérifier la flèche et conclure

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale. On calcule la flèche réelle de notre IPE 270 sous les charges de service (\(p_{\text{ser}}\)) et on la compare à la limite admissible pour garantir le confort des usagers et l'intégrité des cloisons et autres éléments non-structuraux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche (\(5pL^4 / 384EI\)) montre une dépendance très forte à la portée (\(L^4\)). C'est pourquoi la flèche devient très rapidement le critère dimensionnant pour les poutres de grande portée. La rigidité en flexion de la poutre, représentée par le terme \(E \cdot I\), est le seul paramètre qui s'oppose à cette déformation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un plancher qui fléchit trop donne une sensation d'inconfort et d'insécurité, même s'il est parfaitement résistant. Il peut aussi causer des fissures dans les cloisons ou le carrelage. La vérification de la flèche est donc une question de qualité et de durabilité de l'ouvrage, d'où son appartenance à l'État Limite de Service (ELS).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 et ses annexes nationales recommandent des limites de flèche en fonction de l'usage du bâtiment. L/300 est une valeur courante pour les planchers supportant des cloisons, tandis que L/250 peut suffire pour des toitures, et L/500 peut être exigé pour des planchers supportant des équipements très sensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_z} \]
\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les charges non pondérées (ELS) car on s'intéresse à la déformation en conditions normales d'utilisation, et non à un scénario de rupture.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée pour IPE 270)
  • Charge de service, \(p_{\text{ser}} = 13.75 \, \text{kN/m} = 13.75 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 6000 \, \text{mm}\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment quadratique (catalogue), \(I_z = 5790 \, \text{cm}^4 = 57900000 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter de manipuler des chiffres très grands, on peut utiliser une formule avec des unités mixtes mais cohérentes. Si \(p_{\text{ser}}\) est en kN/m, L en m, E en MPa (N/mm²) et I en cm⁴, la formule devient : \(f_{\text{max}} (\text{mm}) = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4 \cdot 10^7}{384 \cdot E \cdot I_z}\).

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche
f_max = ?Limite admissible f_adm = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_z} \\ &= \frac{5 \cdot 13.75 \cdot (6000)^4}{384 \cdot 210000 \cdot 57900000} \\ &\approx 19.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche admissible :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{6000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 20 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ f_{\text{max}} = 19.1 \, \text{mm} \le f_{\text{adm}} = 20 \, \text{mm} \quad (\text{VÉRIFIÉ}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification de Flèche
f_max = 19.1 mmLimite f_adm = 20 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le profilé IPE 270 en acier S235 satisfait toutes les exigences. Sa résistance en flexion est utilisée à 87%, et sa rigidité (pour la flèche) est utilisée à 95%. C'est un excellent dimensionnement : le profilé n'est ni sous-dimensionné (ce qui serait dangereux), ni surdimensionné (ce qui serait coûteux). Le critère de flèche est bien le plus contraignant, comme c'est souvent le cas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus grave serait d'utiliser la charge ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) pour le calcul de flèche. Cela conduirait à une flèche surestimée et pourrait pousser à choisir un profilé plus gros que nécessaire, engendrant un surcoût inutile pour le projet.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de flèche se fait à l'ELS avec les charges de service.
  • La formule pour une charge répartie est \(f_{\text{max}} = 5pL^4 / 384EI\).
  • La flèche calculée doit être inférieure à la limite admissible (ex: L/300).
  • Un bon dimensionnement utilise le profilé au plus près de ses capacités sans les dépasser.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire la flèche sans changer de profilé, les ingénieurs peuvent utiliser la "contre-flèche". Cela consiste à fabriquer la poutre avec une courbure initiale vers le haut. Sous l'effet des charges permanentes, la poutre s'aplatit pour devenir horizontale, et seule la flèche due aux charges d'exploitation est alors perceptible.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la flèche était trop grande ?

Si la vérification de flèche n'était pas passée (par exemple, si on avait trouvé f_max = 22 mm > 20 mm), il aurait fallu recommencer le processus à partir de la question 3 et choisir un profilé plus grand (un IPE 300), puis refaire les vérifications pour ce nouveau profilé. Le dimensionnement est un processus itératif.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche calculée (19.1 mm) est inférieure à la limite (20 mm). Le profilé IPE 270 est validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la flèche maximale (en mm) d'un IPE 300 (\(I_z = 8356\) cm⁴) dans les mêmes conditions ?

Outil Interactif : Dimensionnement d'un Solivage IPE

Modifiez les paramètres pour trouver le profilé optimal pour différentes configurations.

Paramètres d'Entrée
6.0 m
2.5 kN/m²
Résultats du Dimensionnement
Profilé Optimal Requis -
Critère Dimensionnant -
Poids de la Poutre (kg) -

Le Saviez-Vous ?

Utiliser un acier plus résistant (comme le S355 au lieu du S235) permet de choisir un profilé plus petit pour satisfaire le critère de résistance (ELU). Cependant, la rigidité de l'acier (le module E) est la même pour toutes les nuances. Par conséquent, un profilé plus petit sera moins rigide et fléchira davantage. C'est pourquoi, très souvent, le choix final est dicté par le critère de flèche (ELS), annulant le bénéfice d'un acier plus résistant.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite de flèche est-elle L/300 ici et L/250 dans d'autres cas ?

La limite de flèche dépend de ce que la poutre supporte. Une limite plus stricte (comme L/300 ou même L/500) est utilisée pour les planchers supportant des éléments fragiles (cloisons en maçonnerie, carrelage) pour éviter leur fissuration. Une limite moins stricte (comme L/250) peut être acceptable pour des toitures ou des planchers sans finitions fragiles.

A-t-on pris en compte le poids propre de la poutre ?

Dans cet exercice, pour simplifier, le poids propre du profilé n'a pas été inclus dans la charge G. Dans une étude réelle, l'ingénieur fait une première estimation, choisit un profilé, ajoute son poids propre aux charges permanentes, puis refait la vérification. C'est un processus itératif rapide.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le critère de résistance (ELU) est vérifié à 50% et celui de flèche (ELS) à 95%, le dimensionnement est principalement gouverné par :

2. Si on passe d'un acier S235 à un S355, le module de flexion requis (\(W_{\text{el,req}}\)) va :

État Limite Ultime (ELU)
Vérification relative à la sécurité et à la résistance de la structure. On s'assure que la poutre ne rompt pas sous des charges majorées.
État Limite de Service (ELS)
Vérification relative au confort et à la durabilité. On s'assure que la déformation (flèche) de la poutre reste dans des limites acceptables sous les charges de service.
Solive
Poutre secondaire d'un plancher, généralement de portée modérée, qui s'appuie sur des poutres principales ou des murs.
Calcul d’une poutre en acier

D’autres exercices de structure métallique :

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