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Calcul du flambement d’une colonne

Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Contexte : La stabilité des éléments comprimés, un enjeu majeur en structure métallique.

En structure métalliqueDomaine du génie civil qui se concentre sur la conception et la construction de structures utilisant l'acier comme matériau principal, comme les ponts, les bâtiments industriels ou les gratte-ciels., les éléments élancés soumis à un effort de compression, comme les poteaux ou les diagonales de treillis, ne se rompent pas par écrasement mais par un phénomène d'instabilité appelé flambementPhénomène d'instabilité d'une structure élancée soumise à de la compression. Au lieu de se comprimer, la structure se déforme brusquement de manière latérale. C'est une ruine brutale et dangereuse.. Il s'agit d'une déformation latérale brusque qui peut entraîner la ruine de la structure. La prédiction de la charge critique d'EulerCharge de compression théorique maximale qu'un poteau élancé idéal peut supporter sans flamber. Elle a été formulée par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. est donc une étape fondamentale et vitale dans le dimensionnement de toute structure métallique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous plonge au cœur de la vérification de la stabilité des poteaux. Nous allons déterminer la capacité portante d'un profilé en acier en calculant sa charge critique de flambement. C'est un calcul de sécurité essentiel pour tout ingénieur en structure, qui doit s'assurer qu'un poteau peut supporter les charges prévues avec un coefficient de sécurité adéquat.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les propriétés géométriques d'un profilé métallique (HEA).
  • Calculer le rayon de girationMesure de la façon dont la surface d'une section est répartie autour de son centre de gravité. Il est crucial pour les calculs de flambement. Un grand rayon de giration indique une meilleure résistance au flambement. Unité : mm ou cm. et l'élancementRapport sans dimension entre la longueur de flambement d'un poteau et son rayon de giration. Il mesure la "sveltesse" du poteau. Plus l'élancement est élevé, plus le risque de flambement est grand. d'un poteau.
  • Déterminer la longueur de flambement en fonction des conditions d'appuis.
  • Appliquer la formule d'Euler pour calculer la charge critique de flambement.
  • Calculer la contrainte critique et la comparer à la limite d'élasticité de l'acier.

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un poteau en acier S235, constitué d'un profilé HEA 200. Le poteau a une longueur de 5 mètres. Il est considéré comme articulé à ses deux extrémités (rotule-rotule). On cherche à déterminer la charge de compression maximale qu'il peut supporter avant de flamber.

Schéma du poteau et de ses appuis
N L = 5000 mm Profilé HEA 200 z y
Paramètre Symbole Valeur Unité
Type de profilé - HEA 200 -
Module d'élasticité de l'acier \(E\) 210 000 \(\text{MPa}\)
Limite d'élasticité de l'acier (S235) \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Longueur réelle du poteau \(L\) 5000 \(\text{mm}\)
Moment quadratique (axe fort y-y) \(I_y\) 3692 \(\text{cm}^4\)
Moment quadratique (axe faible z-z) \(I_z\) 1336 \(\text{cm}^4\)
Aire de la section \(A\) 53.8 \(\text{cm}^2\)

Questions à traiter

  1. Déterminer la longueur de flambement \(L_k\) du poteau.
  2. Calculer le rayon de giration \(i_{\text{min}}\) de la section.
  3. Calculer l'élancement \(\lambda\) du poteau.
  4. Calculer la charge critique d'Euler \(N_{cr}\) en kN.
  5. Calculer la contrainte critique d'Euler \(\sigma_{cr}\) et vérifier la validité du calcul d'Euler.

Les bases du Flambement

Avant de commencer, rappelons les concepts fondamentaux de la stabilité des poteaux.

1. Longueur de Flambement (\(L_k\)) :
Ce n'est pas la longueur réelle du poteau, mais une longueur "efficace" qui dépend de la manière dont ses extrémités sont tenues. Elle représente la longueur d'un poteau équivalent articulé-articulé qui aurait le même comportement au flambement. On la calcule avec \(L_k = K \cdot L\), où \(K\) est un coefficient dépendant des appuis (par ex. K=1 pour articulé-articulé, K=0.5 pour encastré-encastré).

2. Élancement (\(\lambda\)) :
C'est le paramètre clé qui mesure la "sveltesse" d'un poteau. Il est défini par \(\lambda = L_k / i\), où \(i\) est le rayon de giration. Un poteau est considéré comme "élancé" et donc sensible au flambement si son élancement est élevé. Le flambement se produit toujours autour de l'axe ayant le plus faible moment quadratique, donc le plus petit rayon de giration.

3. Charge Critique d'Euler (\(N_{\text{cr}}\)) :
C'est la force de compression théorique qui provoque le flambement. La formule d'Euler, valable pour les poteaux élancés restant dans le domaine élastique, est : \[ N_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I_{\text{min}}}{L_k^2} \] Elle montre que la résistance au flambement dépend du carré de la longueur, ce qui en fait un paramètre extrêmement sensible.

Correction : Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Question 1 : Déterminer la longueur de flambement (Lk)

Principe (le concept physique)

La longueur de flambement représente la distance entre deux points d'inflexion successifs sur la déformée du poteau lorsqu'il flambe. Cette forme sinusoïdale est la base du modèle d'Euler. Les conditions d'appuis (encastré, articulé, libre) contraignent la forme de cette déformée et modifient donc cette longueur "efficace".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient K est dérivé de la résolution de l'équation différentielle de la déformée fléchie. Pour un cas articulé-articulé, la déformée est une simple sinusoïde sur toute la longueur L, donc la longueur de flambement est L (K=1). Pour un cas encastré-encastré, la déformée est une sinusoïde sur la partie centrale, avec des points d'inflexion à L/4 de chaque extrémité, d'où une longueur de flambement de L/2 (K=0.5).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous tenez une règle verticalement. Si vous la tenez simplement entre vos doigts (articulé), elle est facile à faire "flamber". Si vous la serrez fermement dans vos poings (encastré), il est beaucoup plus difficile de la faire plier. C'est l'effet des conditions d'appuis : un encastrement "raccourcit" virtuellement la longueur de flambement et augmente considérablement la stabilité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (EN 1993-1-1) fournit des valeurs théoriques et recommandées pour le coefficient de longueur de flambement K en fonction de la modélisation des liaisons (parfaitement articulées, parfaitement encastrées, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule générale est :

\[ L_k = K \cdot L \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les liaisons aux extrémités sont des rotules parfaites, sans aucune friction ni rigidité en rotation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur réelle du poteau, \(L = 5000 \, \text{mm}\)
  • Conditions d'appuis : Articulé - Articulé (Rotulé - Rotulé)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le cas le plus courant en théorie, articulé-articulé, le coefficient K vaut toujours 1. C'est le cas de référence. La longueur de flambement est donc simplement égale à la longueur réelle du poteau entre les appuis.

Schéma (Avant les calculs)
Mode de Flambement pour un Poteau Articulé-Articulé
Lk = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Pour des appuis articulé-articulé, le coefficient de flambement K est égal à 1.0.

\[ \begin{aligned} L_k &= 1.0 \cdot L \\ &= 1.0 \cdot 5000 \, \text{mm} \\ &= 5000 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Longueur de Flambement Calculée
Lk = 5000 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Dans ce cas de base, la longueur qui va "travailler" en flambement est la longueur totale du poteau. Toute modification des appuis (par exemple, un encastrement) réduirait cette longueur et augmenterait la stabilité, ce qui est souvent recherché en pratique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus grave est de mal choisir le coefficient K. Utiliser K=0.7 (articulé-encastré) ou K=0.5 (encastré-encastré) alors que les appuis sont articulés mènerait à une surestimation dangereuse de la capacité portante du poteau.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La longueur de flambement \(L_k\) dépend des conditions d'appuis.
  • Elle est calculée par \(L_k = K \cdot L\).
  • Pour le cas de base articulé-articulé, K = 1.0.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les cadres de bâtiments, les poteaux sont rarement parfaitement articulés ou encastrés. Leurs liaisons avec les poutres leur confèrent une rigidité intermédiaire. Des méthodes plus complexes (comme les diagrammes de justification de la stabilité) sont utilisées par les ingénieurs pour déterminer des valeurs de K plus réalistes, souvent comprises entre 0.7 et 2.0.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'arrive-t-il si une extrémité est libre (comme un poteau de signalisation) ?

C'est le cas le plus défavorable. Pour un poteau encastré à la base et libre en tête, le coefficient K est de 2.0. La longueur de flambement est le double de la longueur réelle, car le poteau se déforme comme la moitié d'une sinusoïde de longueur 2L. Sa capacité portante est donc très faible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La longueur de flambement du poteau est de 5000 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était parfaitement encastré à ses deux extrémités, quelle serait sa longueur de flambement en mm ?

Question 2 : Calculer le rayon de giration (imin)

Principe (le concept physique)

Le rayon de giration \(i\) est une distance "fictive" qui représente à quelle distance du centre de gravité on pourrait concentrer toute l'aire de la section pour obtenir le même moment quadratique. Il est défini par \(i = \sqrt{I/A}\). Un grand rayon de giration signifie que la matière est efficacement répartie loin du centre, ce qui est excellent contre le flambement. Comme le flambement se produit toujours dans la direction la plus "faible", on doit toujours utiliser le rayon de giration minimal, qui correspond au moment quadratique minimal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une section donnée, il existe deux axes principaux d'inertie (généralement y-y et z-z pour les profilés symétriques). Le flambement se produira autour de l'axe pour lequel la résistance est la plus faible, c'est-à-dire l'axe associé au moment quadratique \(I\) le plus petit. Par conséquent, on calcule \(i_y = \sqrt{I_y/A}\) et \(i_z = \sqrt{I_z/A}\) et on retient la plus petite des deux valeurs pour le calcul de l'élancement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une règle plate. Il est très facile de la faire flamber dans sa direction la plus fine (faible inertie, faible rayon de giration), mais presque impossible dans sa direction la plus haute (forte inertie, grand rayon de giration). Un poteau se comportera toujours de la même manière : il choisira le "chemin de moindre résistance" et flambera dans sa direction la plus souple.

Normes (la référence réglementaire)

Les catalogues de profilés métalliques, conformes à des normes comme la NF EN 10025, fournissent directement toutes les caractéristiques géométriques nécessaires, y compris les moments quadratiques, l'aire, et souvent les rayons de giration, pour éviter aux ingénieurs de les recalculer à chaque fois.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le rayon de giration est donné par :

\[ i = \sqrt{\frac{I}{A}} \]

On doit trouver \(i_{\text{min}}\) en utilisant \(I_{\text{min}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs géométriques exactes du catalogue pour le profilé HEA 200.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment quadratique (axe faible), \(I_z = 1336 \, \text{cm}^4\)
  • Aire de la section, \(A = 53.8 \, \text{cm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Les catalogues donnent souvent les valeurs en cm² ou cm⁴. Il est plus sûr de tout convertir dans un système cohérent (par exemple, le mm) avant de commencer les calculs. \(1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}\), donc \(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\) et \(1 \, \text{cm}^4 = 10000 \, \text{mm}^4\).

Schéma (Avant les calculs)
Axes d'Inertie d'un Profilé HEA
y (axe fort)z (axe faible)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Identifier l'inertie minimale :

\[ I_y = 3692 \, \text{cm}^4 \text{ et } I_z = 1336 \, \text{cm}^4 \Rightarrow I_{\text{min}} = I_z = 1336 \, \text{cm}^4 \]

2. Convertir les unités en mm :

\[ \begin{aligned} I_{\text{min}} &= 1336 \cdot (10)^4 \, \text{mm}^4 \\ &= 13,360,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= 53.8 \cdot (10)^2 \, \text{mm}^2 \\ &= 5380 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

3. Calculer le rayon de giration minimal :

\[ \begin{aligned} i_{\text{min}} &= \sqrt{\frac{I_{\text{min}}}{A}} \\ &= \sqrt{\frac{13360000 \, \text{mm}^4}{5380 \, \text{mm}^2}} \\ &\approx \sqrt{2483.3} \, \text{mm} \\ &\approx 49.83 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Rayon de Giration Minimal
i_min ≈ 49.8 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rayon de giration minimal est d'environ 49.8 mm. Cette valeur, combinée à la longueur de flambement, va nous permettre de calculer l'élancement, qui est le véritable indicateur du risque de flambement du poteau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper d'axe et d'utiliser le moment quadratique fort (\(I_y\)) au lieu du faible (\(I_z\)). Cela conduirait à un rayon de giration plus grand, un élancement plus faible, et donc une charge critique surestimée. Toujours vérifier que vous utilisez bien \(I_{\text{min}}\) !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rayon de giration est \(i = \sqrt{I/A}\).
  • Le flambement se produit toujours autour de l'axe le plus faible.
  • Il faut donc toujours utiliser \(I_{\text{min}}\) pour calculer \(i_{\text{min}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poteaux très sollicités, on cherche parfois à avoir une résistance au flambement égale dans les deux directions. C'est pourquoi on utilise des profilés tubulaires (ronds ou carrés) ou des profilés en croix, dont les moments quadratiques (et donc les rayons de giration) sont identiques dans toutes les directions.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'appelle-t-on "rayon" de giration ?

Le terme vient de la mécanique du solide et de l'inertie de masse. Si on faisait tourner la section autour de son centre, le rayon de giration serait le rayon d'un anneau mince de même masse et de même aire qui aurait le même moment d'inertie. L'analogie a été conservée en résistance des matériaux.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rayon de giration minimal de la section est d'environ 49.83 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le rayon de giration (en mm) autour de l'axe fort (y-y) ?

Question 3 : Calculer l'élancement (λ)

Principe (le concept physique)

L'élancement \(\lambda\) (lambda) est un nombre sans dimension qui compare la "tendance à flamber" d'un poteau (sa longueur de flambement \(L_k\)) à sa "capacité à y résister" (son rayon de giration \(i_{\text{min}}\)). C'est le critère universel pour évaluer la sensibilité au flambement. Un poteau court et trapu aura un faible élancement, tandis qu'un poteau long et fin aura un élancement élevé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'élancement est fondamental car il permet de classer les poteaux. En dessous d'une certaine valeur limite (l'élancement critique d'Euler), la ruine se produit par écrasement du matériau (plastification) avant même que le flambement élastique ne puisse se produire. Au-dessus de cette limite, la ruine est gouvernée par l'instabilité de flambement. Les normes de calcul (Eurocode 3) utilisent des courbes de flambement qui sont directement fonction de cet élancement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un spaghetti non cuit. Il est très élancé. Si vous appuyez dessus, il ne s'écrase pas, il flambe immédiatement. Maintenant, pensez à un petit cube de sucre. Il est très peu élancé. Si vous appuyez dessus, il s'écrase. L'élancement est ce qui vous permet de savoir si votre poteau se comporte plutôt comme le spaghetti ou comme le sucre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 définit des limites d'élancement pour différents types de structures afin d'éviter des éléments excessivement flexibles qui pourraient être sujets à des vibrations ou à des dommages lors du transport et du montage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule de l'élancement est :

\[ \lambda = \frac{L_k}{i_{\text{min}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le poteau est parfaitement droit et que la charge est appliquée parfaitement au centre de la section.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur de flambement, \(L_k = 5000 \, \text{mm}\) (du calcul Q1)
  • Rayon de giration minimal, \(i_{\text{min}} = 49.83 \, \text{mm}\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que \(L_k\) et \(i_{\text{min}}\) sont dans la même unité (par exemple, en mm) avant de faire la division. Le résultat, \(\lambda\), est un nombre pur, sans unité.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation de l'Élancement
Lki_minλ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{L_k}{i_{\text{min}}} \\ &= \frac{5000 \, \text{mm}}{49.83 \, \text{mm}} \\ &\approx 100.34 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Élancement Calculé
Lk=5000i_min=49.8λ ≈ 100.3
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un élancement d'environ 100 est typique pour des poteaux de bâtiment. C'est une valeur suffisamment élevée pour que le flambement soit le mode de ruine prédominant, ce qui justifie l'utilisation de la formule d'Euler comme première approche.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur d'unité sur \(L_k\) ou \(i_{\text{min}}\) (par exemple, l'un en mm et l'autre en cm) est une faute classique qui faussera complètement la valeur de l'élancement et tous les calculs qui en découlent.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement \(\lambda = L_k / i_{\text{min}}\) mesure la sveltesse du poteau.
  • Un \(\lambda\) élevé signifie un risque de flambement élevé.
  • C'est un nombre sans dimension.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Différents matériaux ont des limites d'élancement pratiques différentes. Un poteau en bois peut être considéré comme très élancé avec un \(\lambda\) de 80, alors qu'un poteau en acier avec le même élancement serait considéré comme moyennement élancé. Cela est dû aux rapports différents entre leur rigidité (E) et leur résistance (fy).

FAQ (pour lever les doutes)
Un élancement élevé est-il toujours un problème ?

Pas nécessairement. Cela indique simplement que le flambement est le mode de ruine à considérer. Pour des éléments comme les haubans d'un pont ou les mâts tenus par des câbles, un élancement très élevé est normal et parfaitement acceptable, car ils sont conçus pour travailler en traction ou sont stabilisés par des supports intermédiaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement du poteau est d'environ 100.3.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un poteau plus trapu de même longueur mais avec un \(i_{\text{min}}\) de 80 mm, quel serait le nouvel élancement ?

Question 4 : Calculer la charge critique d'Euler (Ncr)

Principe (le concept physique)

La charge critique d'Euler est le point de bifurcation de l'équilibre. En dessous de cette charge, si le poteau est légèrement déformé latéralement, il revient à sa position droite (équilibre stable). Exactement à cette charge, il peut rester dans la position déformée (équilibre indifférent). Au-delà, la moindre perturbation provoque une augmentation rapide de la déformation latérale jusqu'à la ruine (équilibre instable). C'est la charge maximale que le poteau "parfait" peut théoriquement supporter.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule d'Euler est la solution de l'équation différentielle de la poutre fléchie sous compression axiale : \(EI y'' + Ny = 0\). Elle représente la plus petite valeur propre non nulle qui satisfait les conditions aux limites. Elle montre que la résistance au flambement est proportionnelle à la rigidité de flexion \(EI\) et inversement proportionnelle au carré de la longueur de flambement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule d'Euler est l'une des plus importantes et des plus élégantes de la mécanique des structures. Notez l'influence énorme de la longueur (\(L_k^2\) au dénominateur). Doubler la longueur d'un poteau ne divise pas sa résistance par deux, mais par quatre ! C'est pourquoi les ingénieurs cherchent à réduire les longueurs de flambement en ajoutant des contreventements.

Normes (la référence réglementaire)

La formule d'Euler est la base théorique de toutes les méthodes de calcul de flambement, y compris celles de l'Eurocode 3. Cependant, les normes introduisent des coefficients réducteurs (courbes de flambement) pour tenir compte des imperfections inévitables dans les poteaux réels (défaut de rectitude, excentricité de la charge, contraintes résiduelles).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge critique d'Euler est :

\[ N_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I_{\text{min}}}{L_k^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un poteau "parfait" : matériau parfaitement élastique, homogène, isotrope, poteau parfaitement droit, charge parfaitement centrée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module d'élasticité, \(E = 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment quadratique minimal, \(I_{\text{min}} = 13360000 \, \text{mm}^4\) (du calcul Q2)
  • Longueur de flambement, \(L_k = 5000 \, \text{mm}\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque \(N_{\text{cr}}\) est proportionnel à \(E\), vous pouvez rapidement estimer l'effet d'un changement de matériau. Par exemple, un poteau en aluminium (E ≈ 70 000 MPa, soit 1/3 de l'acier) aura une charge critique environ trois fois plus faible qu'un poteau en acier de mêmes dimensions.

Schéma (Avant les calculs)
Poteau sous Charge de Compression
N -> N_cr?
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités N et mm, le résultat sera en N.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr}} &= \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I_{\text{min}}}{L_k^2} \\ &= \frac{\pi^2 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (13360000 \, \text{mm}^4)}{(5000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{2.77 \times 10^{13}}{2.5 \times 10^7} \, \text{N} \\ &\approx 1,108,560 \, \text{N} \end{aligned} \]

2. Convertir en Kilonewtons (kN) :

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr}} &\approx \frac{1108560}{1000} \, \text{kN} \\ &\approx 1108.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge Critique Calculée
N_cr ≈ 1109 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge critique théorique est d'environ 1109 kN (environ 110 tonnes). C'est la charge maximale que ce poteau pourrait supporter dans des conditions idéales. En pratique, à cause des imperfections, la charge de ruine réelle sera inférieure. Les normes appliquent un coefficient de sécurité pour en tenir compte.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le carré sur la longueur de flambement \(L_k\). C'est l'erreur la plus fréquente et elle a des conséquences dramatiques sur le résultat. Assurez-vous également d'utiliser des unités cohérentes (N et mm sont un bon choix).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge critique d'Euler est la charge de flambement d'un poteau parfait.
  • Formule : \(N_{\text{cr}} = \pi^2 E I_{\text{min}} / L_k^2\).
  • Elle est très sensible à la longueur de flambement (\(1/L_k^2\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effondrement du pont de Québec en 1907, qui a coûté la vie à 75 ouvriers, est un exemple tragique d'une erreur de calcul de flambement. Les membrures comprimées de la structure étaient sous-dimensionnées et ont flambé sous le poids propre du pont en construction, bien avant qu'il ne soit achevé.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule fonctionne-t-elle pour les poteaux courts ?

Non, c'est sa principale limitation. La formule d'Euler n'est valable que pour les poteaux "élancés" qui flambent dans le domaine élastique. Pour les poteaux courts et trapus, la ruine se produit par écrasement (plastification) du matériau à une charge inférieure à la charge critique d'Euler.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge critique de flambement d'Euler est d'environ 1108.6 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était en aluminium (E ≈ 70 000 MPa), quelle serait sa charge critique en kN ?

Question 5 : Calculer la contrainte critique et vérifier la validité

Principe (le concept physique)

La contrainte critique est simplement la charge critique divisée par l'aire de la section (\(\sigma_{\text{cr}} = N_{\text{cr}} / A\)). Elle représente la contrainte moyenne dans le poteau au moment du flambement. La théorie d'Euler n'est valable que si cette contrainte est inférieure à la limite d'élasticité du matériau (\(f_y\)). Si \(\sigma_{\text{cr}}\) est supérieure à \(f_y\), cela signifie que le matériau commencera à plastifier (à s'écraser) avant même que la charge de flambement élastique ne soit atteinte. Dans ce cas, le modèle d'Euler n'est plus applicable et des théories plus complexes (flambement inélastique) sont nécessaires.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition \(\sigma_{\text{cr}} \le f_y\) définit la frontière entre le flambement élastique (pour les poteaux élancés) et le flambement inélastique ou la ruine par compression (pour les poteaux trapus). L'élancement pour lequel \(\sigma_{\text{cr}} = f_y\) est appelé l'élancement critique d'Euler, \(\lambda_1 = \pi \sqrt{E/f_y}\). Si \(\lambda > \lambda_1\), le flambement est élastique. Si \(\lambda < \lambda_1\), il est inélastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette dernière étape est le "contrôle de validité" de toute notre démarche. Elle permet de s'assurer que nous avons utilisé le bon outil (la formule d'Euler) pour le bon problème (un poteau élancé). C'est comme vérifier que l'on utilise un thermomètre pour mesurer la température et non une règle. Si la contrainte critique dépasse la limite élastique, notre "thermomètre" d'Euler donne une valeur absurde et il faut changer d'outil.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 utilise ce principe pour définir la limite d'élancement \(\lambda_1\). Pour un acier S235, \(\lambda_1 \approx 93.9\). Comme notre élancement (\(\lambda \approx 100.3\)) est supérieur à cette valeur, nous sommes bien dans le domaine du flambement élastique, ce qui confirme que l'approche d'Euler est la bonne base théorique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte critique est :

\[ \sigma_{\text{cr}} = \frac{N_{\text{cr}}}{A} \]

La condition de validité est :

\[ \sigma_{\text{cr}} \le f_y \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On vérifie si l'hypothèse d'un comportement purement élastique, implicite dans la formule d'Euler, est cohérente avec la résistance réelle du matériau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge critique, \(N_{\text{cr}} = 1,108,560 \, \text{N}\) (du calcul Q4)
  • Aire de la section, \(A = 5380 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q2)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut calculer l'élancement limite \(\lambda_1 = \pi \sqrt{E/f_y} = \pi \sqrt{210000/235} \approx 93.9\). Puisque notre élancement \(\lambda \approx 100.3\) est supérieur à 93.9, on sait d'avance que le flambement sera élastique et que la formule d'Euler est valide, sans même avoir besoin de calculer la contrainte.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Contrainte Critique
Limite Élastique f_y = 235 MPaContrainteσ_cr = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la contrainte critique :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{cr}} &= \frac{1108560 \, \text{N}}{5380 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 206.05 \, \text{N/mm}^2 \end{aligned} \]

2. Vérifier la condition de validité :

\[ 206.05 \, \text{MPa} \le 235 \, \text{MPa} \quad (\text{Vérifié !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Critique vs Limite Élastique
Limite Élastique f_y = 235 MPaσ_cr ≈ 206 MPaVALIDE ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte critique (206 MPa) est inférieure à la limite d'élasticité (235 MPa). La condition est respectée. Cela signifie que le poteau flambera bien dans le domaine élastique, et le calcul de la charge critique d'Euler est donc théoriquement valide. Le poteau est suffisamment élancé pour que l'instabilité géométrique (flambement) se produise avant l'instabilité matérielle (plastification).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais conclure sur la résistance d'un poteau sans faire cette vérification. Si la contrainte critique calculée est supérieure à la limite élastique, la charge critique d'Euler n'a aucun sens physique : elle ne sera jamais atteinte. La charge de ruine réelle sera alors inférieure et devra être calculée avec des méthodes de flambement inélastique (décrites dans les normes).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte critique est \(\sigma_{\text{cr}} = N_{\text{cr}}/A\).
  • La formule d'Euler est valide seulement si \(\sigma_{\text{cr}} \le f_y\).
  • Cette vérification distingue le flambement élastique (poteaux élancés) du flambement inélastique (poteaux trapus).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les aciers à haute résistance (par exemple S355 ou S460), la limite d'élasticité \(f_y\) est plus élevée. Par conséquent, la limite d'élancement \(\lambda_1\) est plus faible. Cela signifie que pour ces aciers, une plus grande proportion de poteaux courants tombent dans la catégorie du flambement inélastique, rendant les calculs selon les courbes de l'Eurocode encore plus importants.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si \(\sigma_{cr}\) est beaucoup plus grand que \(f_y\) ?

Cela indique que le poteau est très trapu (faible élancement). Dans ce cas, le flambement n'est pas du tout un problème. La ruine se produira par écrasement (plastification) lorsque la contrainte moyenne \(N/A\) atteindra la limite d'élasticité \(f_y\). La charge maximale est alors simplement \(N_{max} = A \cdot f_y\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte critique est d'environ 206 MPa. Comme 206 MPa < 235 MPa, la théorie d'Euler est applicable.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour l'acier S235, quel est l'élancement maximal pour lequel la formule d'Euler n'est plus valide (c'est-à-dire où \(\sigma_{\text{cr}} > f_y\)) ?

Outil Interactif : Stabilité du Poteau

Modifiez la longueur du poteau et le type de profilé pour voir leur influence sur la charge critique de flambement et la contrainte associée.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
Résultats Clés
Élancement (\(\lambda\)) -
Charge Critique (kN) -
Contrainte Critique (MPa) -

Le Saviez-Vous ?

Leonhard Euler (1707-1783), le mathématicien suisse qui a développé la théorie du flambement, est l'un des scientifiques les plus prolifiques de l'histoire. Devenu presque aveugle à la fin de sa vie, il a continué à produire des travaux majeurs en dictant ses découvertes à ses assistants. On estime que l'ensemble de ses œuvres pourrait remplir entre 60 et 80 volumes in-quarto.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le poids propre du poteau n'intervient-il pas dans le calcul ?

Pour la plupart des poteaux de bâtiments, le poids propre est très faible par rapport aux charges qu'ils supportent (charges de plancher, de toiture...). Il est donc généralement négligé dans le calcul de la charge critique. Cependant, pour des structures très hautes et élancées comme les mâts de télécommunication ou les cheminées, le poids propre devient significatif et doit être pris en compte dans des calculs plus avancés.

Que se passe-t-il si la charge n'est pas parfaitement centrée ?

Une charge excentrée crée un moment fléchissant dès le début du chargement (\(M = N \cdot e\), où e est l'excentricité). Le poteau est alors soumis à de la "flexion composée" (compression + flexion). Il ne flambe pas brusquement comme dans le modèle d'Euler, mais sa déformation latérale augmente progressivement avec la charge jusqu'à la ruine. La capacité portante est alors réduite par rapport au cas de charge centrée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un poteau flambe toujours autour de son axe...

2. Si on remplace un poteau articulé-articulé par un poteau encastré-encastré de même longueur et section, sa charge critique d'Euler sera...

Flambement
Phénomène d'instabilité par lequel un élément comprimé élancé se déforme brusquement transversalement à l'axe de compression.
Élancement
Rapport sans dimension entre la longueur de flambement et le rayon de giration, caractérisant la sensibilité d'un poteau au flambement.
Charge Critique d'Euler
Charge de compression théorique maximale qu'un poteau parfait peut supporter avant de flamber élastiquement.
Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

D’autres exercices de structure métallique:

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