Études de cas pratique

EGC

Calcul du flambement d’une colonne

Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Comprendre le Calcul du Flambement d’une Colonne

Le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité qui affecte les éléments élancés soumis à un effort de compression axial. Au-delà d'une certaine charge critique, l'élément peut brusquement fléchir latéralement et perdre sa capacité portante, même si la contrainte de compression moyenne reste inférieure à la limite d'élasticité du matériau. La vérification au flambement consiste à s'assurer que l'effort de compression de calcul (\(N_{Ed}\)) est inférieur à la résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)) de la colonne. Cette résistance dépend des propriétés du matériau, de la géométrie de la section, de la longueur de la colonne et de ses conditions d'appui.

Données de l'étude

On étudie une colonne en acier de section HEA 200, articulée à ses deux extrémités.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : HEA 200
  • Hauteur de la colonne (longueur réelle) : \(L = 5.0 \, \text{m}\)
  • Acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), \(E = 210000 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance des sections : \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance au flambement : \(\gamma_{M1} = 1.0\)
  • Caractéristiques du profilé HEA 200 (à extraire d'un catalogue ou données) :
    • Aire de la section (\(A\)) : \(53.8 \, \text{cm}^2\)
    • Moment d'inertie par rapport à l'axe faible (\(I_z\)) : \(1336 \, \text{cm}^4\)
    • Rayon de giration par rapport à l'axe faible (\(i_z\)) : \(4.98 \, \text{cm}\)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort normal de compression de calcul (\(N_{Ed}\)) : \(600 \, \text{kN}\)

Hypothèse : On vérifie le flambement par rapport à l'axe faible de la section. On utilisera la courbe de flambement "b" pour les profilés HEA (\(\alpha = 0.34\)).

Schéma : Colonne en Acier et Flambement
N_Ed L = 5.0 m Flambement d'une Colonne

Colonne articulée-articulée soumise à une charge de compression et son mode de flambement.

Questions à traiter

  1. Déterminer la longueur de flambement (\(L_{cr}\)) de la colonne.
  2. Calculer l'élancement (\(\lambda_z\)) de la colonne par rapport à son axe faible.
  3. Calculer l'effort normal critique d'Euler (\(N_{cr,z}\)).
  4. Calculer l'élancement réduit (\(\bar{\lambda}_z\)).
  5. Déterminer le facteur de réduction pour le flambement (\(\chi_z\)) en utilisant la courbe de flambement "b" (\(\alpha = 0.34\)). Formule : \(\chi = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}}\) avec \(\Phi = 0.5 [1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2]\). S'assurer que \(\chi \leq 1.0\).
  6. Calculer la résistance au flambement de calcul de la colonne (\(N_{b,Rd}\)).
  7. Vérifier si la colonne résiste à l'effort appliqué (\(N_{Ed} \leq N_{b,Rd}\)).

Correction : Calcul du Flambement d’une Colonne en Acier

Question 1 : Longueur de Flambement (\(L_{cr}\))

Principe :

La longueur de flambement (\(L_{cr}\)) est une longueur "efficace" de la colonne qui dépend de sa longueur réelle entre appuis (\(L\)) et de la manière dont ses extrémités sont maintenues (conditions d'appui). Ces conditions sont représentées par un coefficient \(k\). Pour une colonne articulée à ses deux extrémités (c'est-à-dire qu'elle peut librement tourner à chaque bout, mais pas se déplacer latéralement), le coefficient \(k\) est égal à 1.0.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{cr} = k \cdot L\]
Données spécifiques :
  • Longueur réelle (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m} = 5000 \, \text{mm}\)
  • Conditions d'appui : Articulée aux deux extrémités, donc \(k=1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{cr} &= 1.0 \times 5000 \, \text{mm} \\ &= 5000 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur de flambement est \(L_{cr} = 5000 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La longueur de flambement d'une colonne encastrée à une extrémité et libre à l'autre est :

Question 2 : Élancement (\(\lambda_z\))

Principe :

L'élancement (\(\lambda\)) est un nombre sans dimension qui mesure à quel point une colonne est "mince" ou "svelte" et donc susceptible de flamber. Il est calculé en divisant la longueur de flambement (\(L_{cr}\)) par le rayon de giration (\(i\)) de la section transversale de la colonne. Le rayon de giration indique comment l'aire de la section est répartie par rapport à son centre de gravité ; un petit rayon de giration signifie que la matière est concentrée près du centre, rendant la colonne plus flexible. On s'intéresse ici au flambement autour de l'axe faible (axe z), donc on utilise \(i_z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_z = \frac{L_{cr}}{i_z}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • \(L_{cr} = 5000 \, \text{mm}\)
  • Rayon de giration (\(i_z\)) : \(4.98 \, \text{cm} = 49.8 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_z &= \frac{5000 \, \text{mm}}{49.8 \, \text{mm}} \\ &\approx 100.40 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'élancement de la colonne par rapport à l'axe faible est \(\lambda_z \approx 100.4\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un élancement plus élevé indique une colonne :

Question 3 : Effort Normal Critique d'Euler (\(N_{cr,z}\))

Principe :

L'effort normal critique d'Euler (\(N_{cr}\)) est la charge de compression axiale théorique qui entraînerait le flambement d'une colonne idéale (parfaitement droite, matériau parfaitement élastique, charge parfaitement centrée). C'est une valeur de base pour évaluer la stabilité. Elle dépend du module d'Young du matériau (\(E\)), du moment d'inertie de la section (\(I_z\)) par rapport à l'axe de flambement, et de la longueur de flambement (\(L_{cr}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{cr,z} = \frac{\pi^2 E I_z}{L_{cr}^2}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment d'inertie (\(I_z\)) : \(1336 \, \text{cm}^4 = 1336 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
  • Longueur de flambement (\(L_{cr}\)) : \(5000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{cr,z} &= \frac{\pi^2 \times 210000 \, \text{N/mm}^2 \times (1336 \times 10^4 \, \text{mm}^4)}{(5000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{\pi^2 \times 210000 \times 13360000}{25000000} \\ &\approx \frac{9.8696 \times 210000 \times 13360000}{25000000} \\ &\approx \frac{2.7690 \times 10^{13}}{2.5 \times 10^7} \\ &\approx 1107603 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN : \(N_{cr,z} \approx 1107.6 \, \text{kN}\)

Résultat Question 3 : L'effort normal critique d'Euler est \(N_{cr,z} \approx 1107.6 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si le module d'Young (E) d'un matériau augmente, l'effort critique d'Euler :

Question 4 : Élancement Réduit (\(\bar{\lambda}_z\))

Principe :

L'élancement réduit (\(\bar{\lambda}\)) est un paramètre normalisé qui relie l'élancement géométrique de la colonne à la limite d'élasticité du matériau. Il permet d'utiliser des courbes de flambement standardisées qui tiennent compte des imperfections réelles des colonnes et du comportement non parfaitement élastique du matériau. Il est calculé soit en divisant l'élancement \(\lambda\) par un élancement de référence \(\lambda_1\), soit comme la racine carrée du rapport entre la résistance plastique de la section (\(A f_y\)) et l'effort critique d'Euler (\(N_{cr}\)).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[\bar{\lambda}_z = \sqrt{\frac{A f_y}{N_{cr,z}}} \quad \text{ou} \quad \bar{\lambda}_z = \frac{\lambda_z}{\lambda_1}\]

Où \(\lambda_1 = \pi \sqrt{\frac{E}{f_y}}\).

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Aire (\(A\)) : \(53.8 \, \text{cm}^2 = 5380 \, \text{mm}^2\)
  • Limite d'élasticité (\(f_y\)) : \(275 \, \text{MPa}\)
  • \(N_{cr,z} \approx 1107603 \, \text{N}\)
  • \(\lambda_z \approx 100.40\)
  • \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Calcul de \(\lambda_1\) :

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \pi \sqrt{\frac{210000 \, \text{MPa}}{275 \, \text{MPa}}} \\ &\approx \pi \sqrt{763.636} \\ &\approx \pi \times 27.6339 \\ &\approx 86.813 \end{aligned} \]

Calcul de \(\bar{\lambda}_z\) en utilisant \(\lambda_z / \lambda_1\) :

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_z &= \frac{100.40}{86.813} \\ &\approx 1.1565 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'élancement réduit est \(\bar{\lambda}_z \approx 1.156\).

Quiz Q4 : Un élancement réduit \(\bar{\lambda}_z > 0.2\) indique que :

Question 5 : Facteur de Réduction pour le Flambement (\(\chi_z\))

Principe :

Le facteur de réduction \(\chi\) (prononcé "khi") est un coefficient inférieur ou égal à 1 qui réduit la résistance en compression de la section pour tenir compte du risque de flambement. Sa valeur dépend de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) et d'un facteur d'imperfection \(\alpha\) qui est associé à une "courbe de flambement" spécifique (a, b, c, ou d). Ces courbes reflètent la sensibilité au flambement des différents types de profilés en acier. Pour un profilé HEA et un flambement autour de l'axe faible, on utilise souvent la courbe "b", pour laquelle \(\alpha = 0.34\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[\Phi = 0.5 [1 + \alpha(\bar{\lambda}_z - 0.2) + \bar{\lambda}_z^2]\] \[\chi_z = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}_z^2}} \quad (\text{s'assurer que } \chi_z \leq 1.0)\]
Données spécifiques :
  • \(\bar{\lambda}_z \approx 1.156\)
  • Facteur d'imperfection (\(\alpha\)) pour courbe "b" : \(0.34\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi &= 0.5 [1 + 0.34(1.156 - 0.2) + (1.156)^2] \\ &= 0.5 [1 + 0.34(0.956) + 1.336336] \\ &= 0.5 [1 + 0.32504 + 1.336336] \\ &= 0.5 [2.661376] \\ &\approx 1.3307 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \chi_z &= \frac{1}{1.3307 + \sqrt{(1.3307)^2 - (1.156)^2}} \\ &= \frac{1}{1.3307 + \sqrt{1.77076249 - 1.336336}} \\ &= \frac{1}{1.3307 + \sqrt{0.43442649}} \\ &\approx \frac{1}{1.3307 + 0.65911} \\ &= \frac{1}{1.98981} \\ &\approx 0.50256 \end{aligned} \]

Puisque \(0.50256 \leq 1.0\), la valeur est acceptable. On arrondit à \(\chi_z \approx 0.503\).

Résultat Question 5 : Le facteur de réduction pour le flambement est \(\chi_z \approx 0.503\).

Quiz Q5 : Un facteur de réduction \(\chi_z\) de 0.5 signifie que :

Question 6 : Résistance au Flambement de Calcul (\(N_{b,Rd}\))

Principe :

La résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)) est la charge de compression maximale que la colonne peut supporter en tenant compte du risque de flambement. Elle est obtenue en multipliant la résistance plastique de la section brute (\(A f_y\)) par le facteur de réduction \(\chi_z\) et en divisant par le coefficient partiel de sécurité pour l'instabilité (\(\gamma_{M1}\)).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[N_{b,Rd} = \frac{\chi_z A f_y}{\gamma_{M1}}\]
Données spécifiques :
  • \(\chi_z \approx 0.503\)
  • Aire (\(A\)) : \(5380 \, \text{mm}^2\)
  • Limite d'élasticité (\(f_y\)) : \(275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\))
  • \(\gamma_{M1} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{b,Rd} &= \frac{0.503 \times 5380 \, \text{mm}^2 \times 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &\approx \frac{0.503 \times 1479500}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 744188.5 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ N_{b,Rd} \approx 744.2 \, \text{kN} \]
Résultat Question 6 : La résistance au flambement de calcul de la colonne est \(N_{b,Rd} \approx 744.2 \, \text{kN}\).

Quiz Q6 : Si \(\gamma_{M1}\) était de 1.1 au lieu de 1.0, la valeur de \(N_{b,Rd}\) serait :

Question 7 : Vérification de la Colonne

Principe :

La colonne est considérée comme sûre vis-à-vis du flambement si l'effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à sa résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)). C'est la condition de sécurité fondamentale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq N_{b,Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 600 \, \text{kN}\)
  • \(N_{b,Rd} \approx 744.2 \, \text{kN}\)
Comparaison :
\[600 \, \text{kN} \leq 744.2 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée, ce qui signifie que la colonne est capable de résister à la charge de compression appliquée sans flamber.

Résultat Question 7 : La colonne résiste à l'effort de compression appliqué (\(N_{Ed} \leq N_{b,Rd}\)).

Quiz Q7 : Si \(N_{Ed} > N_{b,Rd}\), que doit faire l'ingénieur ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Qu'est-ce que le flambement (ou flambage) ?

9. La longueur de flambement (\(L_{cr}\)) d'une colonne dépend :

10. Le facteur de réduction pour le flambement (\(\chi\)) est toujours :

Glossaire

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité élastique ou plastique d'un élément structural élancé soumis à un effort normal de compression, qui se traduit par une flexion latérale soudaine.
Colonne (ou Poteau)
Élément structural vertical travaillant principalement en compression.
Longueur de Flambement (\(L_{cr}\))
Longueur équivalente d'une colonne articulée-articulée qui aurait la même charge critique de flambement que la colonne réelle avec ses conditions d'appui spécifiques. \(L_{cr} = k \cdot L\), où \(k\) est le coefficient de longueur de flambement.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration de la section (\(\lambda = L_{cr}/i\)). C'est une mesure de la "minceur" de la colonne.
Rayon de Giration (\(i\))
Caractéristique géométrique d'une section, définie par \(i = \sqrt{I/A}\), où \(I\) est le moment d'inertie et \(A\) l'aire de la section.
Effort Normal Critique d'Euler (\(N_{cr}\))
Charge axiale théorique maximale qu'une colonne idéale (parfaitement droite, matériau élastique, charge centrée) peut supporter avant de flamber.
Élancement Réduit (\(\bar{\lambda}\))
Paramètre normalisé utilisé dans les calculs de flambement selon l'Eurocode, qui tient compte de la limite d'élasticité du matériau. \(\bar{\lambda} = \sqrt{A f_y / N_{cr}}\) ou \(\lambda / \lambda_1\).
Courbe de Flambement
Courbe (ex: a, b, c, d dans l'Eurocode 3) qui définit la relation entre l'élancement réduit et le facteur de réduction \(\chi\), en fonction du type de profilé et des imperfections.
Facteur de Réduction pour le Flambement (\(\chi\))
Coefficient (\(\leq 1.0\)) qui réduit la résistance en compression de la section pour tenir compte de l'effet du flambement.
Résistance au Flambement de Calcul (\(N_{b,Rd}\))
Résistance ultime d'une colonne à la compression, en tenant compte du risque de flambement.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Calcul du Flambement d’une Colonne - Exercice d'Application

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