Calcul des Connexions Métalliques

Comprendre le Calcul des Connexions Métalliques

Les connexions sont des points critiques dans les structures métalliques, car elles assurent le transfert des efforts entre les différents éléments (poutres, poteaux, etc.). Le dimensionnement correct des assemblages boulonnés est essentiel pour garantir la sécurité et la stabilité de l'ensemble de la structure. Il s'agit de vérifier que l'assemblage peut résister aux efforts de calcul (traction, cisaillement, moment) sans dépasser les capacités des boulons ou des pièces assemblées. Cet exercice se concentre sur la vérification d'un assemblage simple soumis à un effort de traction, en calculant la résistance des boulons au cisaillement et la résistance des plats à la pression diamétrale.

Données de l'étude

On étudie un assemblage à simple recouvrement constitué de deux plats en acier S275, assemblés par une file de 4 boulons de classe 8.8. L'assemblage est soumis à un effort de traction centré à l'État Limite Ultime (ELU).

Caractéristiques géométriques et matériaux :

Épaisseur du plat 1 (\(t_1\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Épaisseur du plat 2 (\(t_2\)) : \(12 \, \text{mm}\)
Largeur des plats (\(w_p\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Diamètre des boulons (\(d\)) : \(16 \, \text{mm}\) (M16)
Diamètre des trous pour les boulons (\(d_0\)) : \(18 \, \text{mm}\) (standard pour M16)
Nombre de boulons (\(n_{bolts}\)) : 4 (disposés en une seule file)
Acier des plats : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), \(f_u = 430 \, \text{MPa}\))
Boulons : Classe 8.8 (\(f_{ub} = 800 \, \text{MPa}\) - résistance à la rupture de l'acier du boulon)
Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) : \(\gamma_{M2} = 1.25\) (pour la résistance des assemblages)
Coefficient \(\alpha_v\) pour le cisaillement des boulons : \(0.6\) (pour classe 8.8)
Coefficients pour la pression diamétrale (simplifié, dépend des distances aux bords et entraxes) : \(k_1 = 2.5\) et \(\alpha_b = 1.0\) (hypothèses simplificatrices pour cet exercice)

Sollicitations (ELU) :

Effort de traction de calcul appliqué à l'assemblage (\(N_{Ed}\)) : \(180 \, \text{kN}\)

Schéma : Assemblage Boulonné à Simple Recouvrement

Deux plats en acier assemblés par une file de boulons, soumis à un effort de traction.

Questions à traiter

Calculer l'aire résistante au cisaillement (\(A_s\)) d'un boulon M16 (on pourra prendre \(A_s \approx 0.78 \times \text{Aire nominale}\) si la valeur exacte n'est pas disponible, ou utiliser une valeur tabulée si fournie, par exemple \(A_s = 157 \, \text{mm}^2\) pour M16 cl. 8.8).
Calculer la résistance de calcul au cisaillement d'un seul boulon (\(F_{v,Rd}\)).
Déterminer l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) pour le calcul de la pression diamétrale.
Calculer la résistance de calcul à la pression diamétrale par boulon (\(F_{b,Rd}\)) sur le plat le plus faible.
Déterminer la résistance de calcul d'un boulon pour cet assemblage (\(F_{bolt,Rd}\)).
Calculer le nombre minimal de boulons requis (\(n_{requis}\)) pour reprendre l'effort \(N_{Ed}\).
Vérifier si la disposition proposée (4 boulons) est suffisante.

Correction : Calcul des Connexions Métalliques – Vérification d'un Assemblage Boulonné

Question 1 : Aire Résistante au Cisaillement (\(A_s\)) d'un Boulon M16

Principe :

L'aire résistante au cisaillement (\(A_s\)) d'un boulon est l'aire de sa section qui est effectivement sollicitée en cisaillement. Si le plan de cisaillement passe par la partie filetée du boulon (cas le plus défavorable et souvent supposé pour les calculs standards), cette aire est plus petite que l'aire nominale du boulon (\(\pi d^2/4\)). Les normes fournissent des valeurs pour \(A_s\) ou des facteurs pour la calculer. Pour un boulon M16, une valeur courante pour \(A_s\) (aire de la section résistante en traction, souvent utilisée aussi pour le cisaillement dans la partie filetée) est d'environ \(157 \, \text{mm}^2\).

Données spécifiques :

Boulon M16. On utilisera la valeur donnée dans l'énoncé : \(A_s = 157 \, \text{mm}^2\).

Calcul :

Aucun calcul n'est nécessaire ici car la valeur est fournie.

A_s = 157 \, \text{mm}^2

Résultat Question 1 : L'aire résistante au cisaillement d'un boulon M16 est \(A_s = 157 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Résistance de Calcul au Cisaillement d'un Boulon (\(F_{v,Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon (\(F_{v,Rd}\)) dépend de la résistance à la rupture de l'acier du boulon (\(f_{ub}\)), de son aire résistante au cisaillement (\(A_s\)), d'un coefficient \(\alpha_v\) (qui dépend de la classe de l'acier du boulon), et du coefficient partiel de sécurité pour les assemblages (\(\gamma_{M2}\)). L'assemblage est à simple cisaillement, donc on considère un seul plan de cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :

F_{v,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}

Données spécifiques :

\(\alpha_v = 0.6\) (pour boulons de classe 4.6, 5.6, 8.8, 10.9)
\(f_{ub} = 800 \, \text{MPa} = 800 \, \text{N/mm}^2\) (pour classe 8.8)
\(A_s = 157 \, \text{mm}^2\)
\(\gamma_{M2} = 1.25\)

Calcul :

\begin{aligned} F_{v,Rd} &= \frac{0.6 \times 800 \, \text{N/mm}^2 \times 157 \, \text{mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{480 \times 157}{1.25} \, \text{N} \\ &= \frac{75360}{1.25} \, \text{N} \\ &= 60288 \, \text{N} \end{aligned}

Conversion en kN : \(F_{v,Rd} \approx 60.29 \, \text{kN}\).
Note : L'énoncé donnait \(F_{v,Rd,bolt} = 45.2 \, \text{kN}\). Nous allons utiliser la valeur calculée ici pour la suite de l'exercice pour la cohérence des étapes, mais il est important de noter que les valeurs tabulées dans les normes ou les logiciels peuvent inclure d'autres facteurs ou des hypothèses spécifiques. Pour cet exercice, nous suivons les formules pas à pas. Si l'énoncé avait imposé d'utiliser 45.2 kN, il aurait fallu le faire.

Résultat Question 2 : La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon est \(F_{v,Rd} \approx 60.29 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si on utilisait des boulons de classe 10.9 (\(f_{ub} = 1000 \, \text{MPa}\)) au lieu de 8.8, la résistance au cisaillement \(F_{v,Rd}\) (tous les autres paramètres étant égaux) serait :

Plus élevée.
Plus faible.
Inchangée.
Dépendante de \(f_y\) uniquement.

Question 3 : Épaisseur Déterminante (\(t_{min}\)) pour la Pression Diamétrale

Principe :

La résistance à la pression diamétrale dépend de l'épaisseur de la pièce de métal la plus mince dans laquelle le boulon exerce une pression. Dans un assemblage à simple recouvrement avec deux plats d'épaisseurs \(t_1\) et \(t_2\), l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) est la plus petite de ces deux épaisseurs.

Formule(s) utilisée(s) :

t_{min} = \min(t_1, t_2)

Données spécifiques :

Épaisseur du plat 1 (\(t_1\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Épaisseur du plat 2 (\(t_2\)) : \(12 \, \text{mm}\)

Calcul :

t_{min} = \min(10 \, \text{mm}, 12 \, \text{mm}) = 10 \, \text{mm}

Résultat Question 3 : L'épaisseur déterminante pour la pression diamétrale est \(t_{min} = 10 \, \text{mm}\).

Question 4 : Résistance de Calcul à la Pression Diamétrale par Boulon (\(F_{b,Rd}\))

Principe :

La résistance à la pression diamétrale (\(F_{b,Rd}\)) est la capacité de la pièce assemblée à résister à l'écrasement local dû à la pression exercée par le corps du boulon. Elle dépend de la résistance à la rupture de l'acier du plat (\(f_u\)), du diamètre du boulon (\(d\)), de l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)), et de coefficients (\(k_1, \alpha_b\)) qui tiennent compte des distances aux bords et des entraxes. On divise ensuite par \(\gamma_{M2}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, simplifiée) :

F_{b,Rd} = \frac{k_1 \alpha_b f_u d t_{min}}{\gamma_{M2}}

Les coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) dépendent des géométries des pinces et entraxes \(e_1, e_2, p_1, p_2\) et du diamètre du trou \(d_0\). Pour cet exercice, des valeurs simplifiées sont données.

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :

\(k_1 = 2.5\) (hypothèse simplificatrice)
\(\alpha_b = 1.0\) (hypothèse simplificatrice, souvent pour les trous standards et des pinces suffisantes)
Résistance à la rupture de l'acier des plats (\(f_u\)) : \(430 \, \text{MPa} = 430 \, \text{N/mm}^2\) (pour S275)
Diamètre du boulon (\(d\)) : \(16 \, \text{mm}\)
Épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) : \(10 \, \text{mm}\)
\(\gamma_{M2} = 1.25\)

Calcul :

\begin{aligned} F_{b,Rd} &= \frac{2.5 \times 1.0 \times 430 \, \text{N/mm}^2 \times 16 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm}}{1.25} \\ &= \frac{172000}{1.25} \, \text{N} \\ &= 137600 \, \text{N} \end{aligned}

Conversion en kN :

F_{b,Rd} = 137.6 \, \text{kN}

Résultat Question 4 : La résistance de calcul à la pression diamétrale par boulon est \(F_{b,Rd} = 137.6 \, \text{kN}\).

Question 5 : Résistance de Calcul d'un Boulon (\(F_{bolt,Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul d'un boulon dans un assemblage à simple cisaillement est la plus petite des valeurs entre sa résistance au cisaillement (\(F_{v,Rd}\)) et sa résistance à la pression diamétrale sur la pièce la plus faible (\(F_{b,Rd}\)). C'est le mode de ruine qui cédera en premier qui dicte la capacité du boulon.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{bolt,Rd} = \min(F_{v,Rd}, F_{b,Rd})

Données spécifiques :

\(F_{v,Rd} \approx 60.29 \, \text{kN}\) (calculée)
\(F_{b,Rd} = 137.6 \, \text{kN}\) (calculée)

Calcul :

F_{bolt,Rd} = \min(60.29 \, \text{kN}, 137.6 \, \text{kN}) = 60.29 \, \text{kN}

La résistance du boulon est donc limitée par sa résistance au cisaillement.

Résultat Question 5 : La résistance de calcul d'un boulon pour cet assemblage est \(F_{bolt,Rd} \approx 60.29 \, \text{kN}\).

Question 6 : Nombre Minimal de Boulons Requis (\(n_{requis}\))

Principe :

Le nombre minimal de boulons requis est obtenu en divisant l'effort total de calcul à transmettre (\(N_{Ed}\)) par la résistance de calcul d'un seul boulon (\(F_{bolt,Rd}\)). Ce nombre doit toujours être arrondi à l'entier supérieur.

Formule(s) utilisée(s) :

n_{requis} = \text{Arrondi.Supérieur}\left(\frac{N_{Ed}}{F_{bolt,Rd}}\right)

Données spécifiques :

Effort de traction (\(N_{Ed}\)) : \(250 \, \text{kN}\)
Résistance d'un boulon (\(F_{bolt,Rd}\)) : \(\approx 60.29 \, \text{kN}\)

Calcul :

\begin{aligned} n_{theorique} &= \frac{250 \, \text{kN}}{60.29 \, \text{kN/boulon}} \\ &\approx 4.1466 \, \text{boulons} \end{aligned}

n_{requis} = \text{Arrondi.Supérieur}(4.1466) = 5 \, \text{boulons}

Résultat Question 6 : Le nombre minimal de boulons requis est de 5.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la résistance d'un boulon (\(F_{bolt,Rd}\)) était plus élevée, le nombre de boulons requis pour le même effort \(N_{Ed}\) serait :

Plus grand.
Plus petit.
Inchangé.
Égal à 1.

Question 7 : Vérification de la Disposition Proposée (4 boulons)

Principe :

On compare le nombre de boulons effectivement prévus dans la conception (ici, 4 boulons étaient mentionnés dans l'énoncé initial comme exemple de disposition, mais la question 6 a déterminé qu'il en faut 5) au nombre requis. Si le nombre prévu est inférieur au nombre requis, l'assemblage n'est pas sûr.

L'énoncé initial de l'étude mentionnait "une file de 4 boulons". Nous allons vérifier cette disposition par rapport à ce qui a été calculé comme nécessaire.

Données spécifiques :

Nombre de boulons prévus : 4
Nombre de boulons requis (\(n_{requis}\)) : 5 (calculé à la question 6)

Comparaison :

\text{Nombre prévu} = 4 < n_{requis} = 5

La condition de sécurité n'est pas remplie avec seulement 4 boulons. La résistance totale de l'assemblage avec 4 boulons serait :

N_{j,Rd,prevu} = 4 \times F_{bolt,Rd} \approx 4 \times 60.29 \, \text{kN} = 241.16 \, \text{kN}

Comparaison avec l'effort agissant :

N_{Ed} = 250 \, \text{kN} > N_{j,Rd,prevu} = 241.16 \, \text{kN} \quad (\text{NON OK !})

Résultat Question 7 : La disposition proposée avec 4 boulons n'est pas suffisante car le nombre requis est de 5 boulons. L'assemblage avec 4 boulons aurait une résistance de \( \approx 241.16 \, \text{kN}\), ce qui est inférieur à l'effort appliqué de \(250 \, \text{kN}\). Il faut utiliser au moins 5 boulons.

Glossaire

Assemblage Boulonné: Connexion entre deux ou plusieurs pièces réalisée à l'aide de boulons (tige filetée + écrou) ou de vis.
Simple Recouvrement: Type d'assemblage où les pièces à joindre sont superposées et connectées par un ou plusieurs organes d'assemblage. Les boulons sont alors en simple cisaillement.
Simple Cisaillement: Situation où un organe d'assemblage (comme un boulon) est sollicité par des forces tendant à le couper selon un seul plan transversal.
Effort de Calcul (\(N_{Ed}\)): Force (traction, compression, cisaillement) agissant sur un élément ou un assemblage, calculée à l'État Limite Ultime (ELU) en tenant compte des coefficients de pondération des charges.
Résistance de Calcul au Cisaillement d'un Boulon (\(F_{v,Rd}\)): Capacité maximale d'un boulon à résister à un effort de cisaillement par plan de cisaillement, à l'ELU.
Résistance de Calcul à la Pression Diamétrale (\(F_{b,Rd}\)): Capacité d'une pièce assemblée à résister à l'écrasement localisé dû à la pression exercée par le corps d'un boulon, à l'ELU.
État Limite Ultime (ELU): État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments avant rupture ou perte de stabilité.
Limite d'Élasticité (\(f_y\)): Contrainte à partir de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement de manière significative.
Résistance à la Rupture (\(f_u\)): Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de rompre en traction.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_{M2}\)): Coefficient appliqué à la résistance caractéristique des assemblages pour obtenir leur résistance de calcul.

Calcul des Connexions Métalliques

Données de l'étude

Schéma : Assemblage Boulonné à Simple Recouvrement

Questions à traiter

Correction : Calcul des Connexions Métalliques – Vérification d'un Assemblage Boulonné

Question 1 : Aire Résistante au Cisaillement (\(A_s\)) d'un Boulon M16

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Résistance de Calcul au Cisaillement d'un Boulon (\(F_{v,Rd}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Épaisseur Déterminante (\(t_{min}\)) pour la Pression Diamétrale

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Résistance de Calcul à la Pression Diamétrale par Boulon (\(F_{b,Rd}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, simplifiée) :

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :

Calcul :

Question 5 : Résistance de Calcul d'un Boulon (\(F_{bolt,Rd}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Nombre Minimal de Boulons Requis (\(n_{requis}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Vérification de la Disposition Proposée (4 boulons)

Principe :

Données spécifiques :

Comparaison :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

Glossaire

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