Module d’Young à partir d’un Essai de Traction
📝 Situation du Projet
Un lot important d'armatures HA (Haute Adhérence) de nuance B500B vient d'être livré sur le chantier de construction de la résidence "Les Lilas", un bâtiment d'habitation R+4 situé en zone de sismicité modérée. La qualité de ces aciers est critique pour la sécurité : ils constitueront le "squelette" des poteaux et des poutres en béton armé. Si l'acier est trop "mou" (limite élastique trop basse), le bâtiment se déformera excessivement. S'il est trop "cassant" (manque de ductilité), il pourrait rompre brutalement en cas de séisme. Avant d'autoriser le ferraillage, le bureau de contrôle exige une vérification contradictoire des propriétés mécaniques sur un échantillon prélevé au hasard.
En tant qu'ingénieur au sein du laboratoire de contrôle accrédité COFRAC, vous êtes chargé de mener l'expertise. Vous devez piloter l'essai de traction sur une éprouvette prélevée, interpréter la courbe contrainte-déformation brute fournie par la machine, calculer précisément le Module d'Young expérimental (rigidité) et la Limite d'Élasticité, puis statuer officiellement sur la conformité du lot par rapport aux exigences strictes de l'Eurocode 2 et du CCTP.
- Laboratoire
Labo BTP Nord - Accréditation N°1-2345 - Fournisseur / Coulée
Arcelor Mittal / Coulée n°8945-AC - Élément Testé
Barre HA12 (Lot 45B - Poteaux RDC)
"Attention, l'acier a un comportement élastique linéaire uniquement au tout début de l'essai. Ne confondez pas la contrainte nominale (calculée sur la section initiale S0) et la contrainte réelle. Pour le calcul du Module d'Young, la précision de la mesure de l'allongement est cruciale : vérifiez que l'extensomètre n'a pas glissé !"
Les données ci-dessous constituent la base de votre expertise. Elles sont issues de la norme, du cahier des charges du chantier (CCTP) et de l'enregistrement brut de la machine de traction pilotée par ordinateur.
📚 Référentiel Normatif & Réglementaire
Le cadre légal de l'essai est défini par deux textes majeurs :
NF EN ISO 15630-1 : Méthode d'essaiEurocode 2 : Critères de conceptionLa norme ISO 15630 explique comment tirer sur la barre (vitesse, montage), tandis que l'Eurocode 2 définit les valeurs que l'acier doit atteindre pour être validé.
[Art. 3.2] ARMATURES BÉTON ARMÉ
Les aciers seront de nuance B500B (Haute Adhérence), classe de ductilité B (allongement sous charge maximale > 5%).
[Art. 3.2.1] RIGIDITÉ (MODULE E)
Le module d'élasticité conventionnel Es doit être de 200 GPa (tolérance normative ± 10 GPa).
[Art. 3.2.2] RÉSISTANCE (RE)
La limite d'élasticité caractéristique fyk (ou Re) doit être strictement supérieure ou égale à 500 MPa.
| GÉOMÉTRIE INITIALE | |
| Diamètre Nominal (d) | 12 mm (Diamètre théorique du rond lisse équivalent) |
| Longueur calibrée (L0) | 100 mm (Base de mesure de l'extensomètre) |
| CONDITIONS D'ESSAI | |
| Température | 20°C (Température normalisée) |
| Vitesse de charge | 10 MPa/s (Vitesse lente pour éviter l'échauffement) |
📊 Relevés Numériques (Points Clés)
Le logiciel de la machine a extrait les points suivants de la courbe enregistrée. Le point C a été choisi manuellement par l'opérateur comme étant le plus représentatif de la fin de la zone linéaire.
- Point A (Début): F = 0 kN, dL = 0 mm
- Point B (Intermédiaire): F = 25.0 kN, dL = 0.1105 mm
- Point C (Limite Prop.): F = 45.0 kN, dL = 0.1990 mm
⚖️ Limites Mécaniques Observées
Valeurs ultimes enregistrées avant la fin de l'essai :
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre | d | 12 | mm |
| Longueur initiale | L0 | 100 | mm |
| Force Point C | Fc | 45.0 | kN |
| Allongement Point C | dLc | 0.1990 | mm |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour mener à bien cette étude, adaptée aux spécificités techniques du projet.
[Étape 1 : Section]
Calculer la section nominale (S0) de l'éprouvette cylindrique en mm².
[Étape 2 : Contrainte & Déformation]
Convertir la Force (F) en Contrainte (σ) et l'Allongement (dL) en Déformation (ε).
[Étape 3 : Loi de Hooke]
Appliquer la loi de comportement élastique pour déduire le Module d'Young (E).
[Étape 4 : Validation]
Comparer le résultat obtenu aux exigences de la norme Eurocode 2.
Module d’Young à partir d’un Essai de Traction
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de définir avec précision la géométrie de référence de l'échantillon d'acier. En Résistance des Matériaux (RDM), les forces brutes (en Newtons) ne suffisent pas à caractériser la résistance d'un matériau, car elles dépendent de la taille de l'objet. Ce sont les contraintes (efforts par unité de surface, exprimés en Pascal ou MPa) qui déterminent les seuils physiques comme la rupture ou l'élasticité. Pour passer de la force mesurée à la contrainte intrinsèque, il est donc impératif de connaître la surface exacte sur laquelle s'applique l'effort de traction. Pour une barre crénelée de type Haute Adhérence (HA), cette surface est conventionnelle et non purement géométrique.
📚 Référentiel
NF EN ISO 15630-1 (Acier pour béton)Une barre HA n'est pas un cylindre parfait : elle possède des verrous (reliefs transversaux) et des nervures (reliefs longitudinaux) destinés à assurer une bonne adhérence avec le béton. Si on mesure le diamètre extérieur avec un pied à coulisse sur les reliefs, on inclut de la matière qui ne participe pas de manière uniforme à la résistance en traction, ce qui fausse le calcul de section (on la surestime). L'ingénieur doit donc faire abstraction de la géométrie réelle complexe pour revenir à un "diamètre nominal" \(d\), une valeur théorique normalisée définie par la masse linéique de la barre. C'est ce diamètre équivalent que nous utilisons dans les calculs.
Le diamètre est donné en millimètres (\(\text{mm}\)), la section résultante sera donc naturellement en millimètres carrés (\(\text{mm}^2\)), unité standard en génie civil.
La section droite (\(S\) ou \(A\)) d'une éprouvette cylindrique correspond à l'aire du disque perpendiculaire à l'axe de l'effort. Mathématiquement, l'aire d'un disque se calcule soit avec le rayon (\(R\)) soit avec le diamètre (\(d\)). La relation fondamentale est :
\(\text{Aire} = \pi \times R^2 = \pi \times (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi \times d^2}{4}\).
Cette formule suppose une section parfaitement circulaire et constante sur toute la longueur, ce qui est l'hypothèse simplificatrice majeure de la RDM pour les barres d'armature.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Diamètre Nominal (d) | 12 mm |
Pour les ingénieurs en béton armé, les sections des barres standard sont souvent mémorisées pour gagner du temps : un HA12 fait théoriquement \(1.13 \, \text{cm}^2\) (ou \(113 \, \text{mm}^2\)). Un HA10 fait \(0.785 \, \text{cm}^2\). Retrouver ces valeurs par le calcul permet de valider instantanément votre résultat.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons maintenant procéder au calcul numérique en remplaçant la variable littérale \(d\) par sa valeur numérique \(12\). Il est crucial de maintenir les unités cohérentes tout au long du calcul.
1. Substitution des variablesOn remplace \(d\) par \(12 \, \text{mm}\) dans l'équation.
Calcul de la sectionOn effectue la multiplication finale avec une valeur précise de \(\pi\).
Ce résultat est très cohérent pour une barre de \(12 \, \text{mm}\). Pour la suite des calculs, nous utiliserons une valeur arrondie à une décimale, soit \(113.1 \, \text{mm}^2\), ce qui offre une précision largement suffisante pour le génie civil.
Il est toujours bon de comparer le résultat obtenu aux valeurs standard des catalogues d'armatures.
Pour mémoire :
- HA10 (\(d=10\)) \(\approx 78.5 \, \text{mm}^2\)
- HA12 (\(d=12\)) \(\approx 113 \, \text{mm}^2\)
- HA14 (\(d=14\)) \(\approx 154 \, \text{mm}^2\)
Notre calcul tombe pile sur la valeur attendue, confirmant l'absence d'erreur grossière.
L'erreur la plus fréquente sur le terrain est de vouloir mesurer le diamètre réel avec un pied à coulisse. Sur une barre crénelée, vous mesurerez le diamètre "sur verrous" qui est supérieur au diamètre nominal (ex: 13-14mm pour un HA12). Utiliser cette valeur fausse entraînerait une surestimation de la section (\(S \propto d^2\)) et donc une sous-estimation dangereuse des contraintes réelles (\(\sigma = F/S\)). Fiez-vous toujours à l'étiquette du lot ou à la pesée hydrostatique pour déterminer la section efficace.
❓ Question Fréquente : Pourquoi S0 et pas S ?
En RDM classique (hypothèse des petites perturbations), on considère que la section ne varie pas significativement durant l'essai, surtout dans la phase élastique. On utilise donc la section initiale \(S_0\). En réalité, la section diminue légèrement (effet de Poisson) puis fortement avant la rupture (striction), mais pour le calcul du module d'Young, \(S_0\) est la référence normative.
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape est de normaliser les résultats bruts obtenus par la machine. La machine de traction nous fournit un couple (Force \(F\), Allongement \(\Delta L\)). Ces valeurs dépendent de la géométrie de l'éprouvette (une barre plus grosse résisterait plus, une barre plus longue s'allongerait plus). Pour caractériser le matériau (l'acier) et non l'objet (la barre), nous devons passer aux grandeurs intrinsèques : la Contrainte (\(\sigma\)) et la Déformation (\(\varepsilon\)). C'est la seule façon d'obtenir des valeurs comparables aux normes.
📚 Référentiel
RDM Générale (Loi de Hooke)Nous cherchons à calculer le Module de Young, qui est la pente de la zone linéaire. Pour cela, nous avons besoin d'un point fiable sur cette droite. Pourquoi choisir le Point C ?
- Les points trop proches de zéro (comme A) sont souvent sujets à des "bruits" de mise en place (jeux mécaniques, mors qui se serrent).
- Le Point C (\(F=45\,\text{kN}\)) est situé haut dans la zone élastique, offrant un bon rapport signal/bruit, tout en restant bien en dessous de la limite élastique probable (\(>50\,\text{kN}\)), garantissant que nous sommes toujours dans le domaine de proportionnalité.
Attention aux unités : La contrainte en Mécanique des Structures s'exprime quasi-exclusivement en Mégapascals (\(\text{MPa}\)), ce qui est équivalent à des Newtons par millimètre carré (\(\text{N}/\text{mm}^2\)).
Contrainte Normale (\(\sigma\) - Sigma) : C'est l'intensité de la force de cohésion interne par unité de surface. Elle représente "l'effort" que subit la matière.
Déformation Longitudinale (\(\varepsilon\) - Epsilon) : C'est l'allongement relatif de la pièce. C'est une grandeur sans dimension (un rapport de longueurs), souvent exprimée en "pour mille" ou en pourcentage.
Étape 1 : Données du Point C
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force (Fc) | 45.0 kN = 45 000 N |
| Allongement (dLc) | 0.1990 mm |
| Section (S0) | 113.1 mm² |
| Longueur calibrée (L0) | 100 mm |
Convertissez toujours les kN en N avant de diviser par des mm² pour obtenir directement des MPa.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons traiter séparément le calcul de la contrainte \(\sigma\) et celui de la déformation \(\varepsilon\), en veillant scrupuleusement aux unités.
1. Calcul de la Contrainte (Sigma)Force divisée par section.
Contrainte \(\sigma_c\)À ce stade, l'acier a subi une contrainte de près de \(400 \, \text{MPa}\) (une pression colossale) pour un allongement à peine visible à l'œil nu de \(0.2\,\text{mm}\). C'est typique de la grande rigidité de l'acier.
Est-ce que ces résultats sont logiques ?
La contrainte trouvée (\(398 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la limite élastique attendue pour cet acier (\(500 \, \text{MPa}\)). C'est une excellente nouvelle : cela confirme que notre Point C est bien situé dans la zone élastique, et donc que nous avons le droit d'utiliser ces valeurs pour calculer le module de Young. Si nous avions trouvé \(550 \, \text{MPa}\), nous aurions été dans la zone plastique, rendant le calcul de \(E\) impossible avec ce point.
Ne pas oublier que epsilon est sans unité. Parfois exprimé en %, il faut le remettre en décimal pour la Loi de Hooke.
❓ Question Fréquente : Et si on prend le point B ?
Si l'essai est parfaitement linéaire (théorie), le ratio \(\sigma/\varepsilon\) sera exactement le même au point B et au point C. En pratique expérimentale, on privilégie le point le plus élevé possible dans la zone élastique (le point C) car l'erreur relative de mesure y est plus faible qu'au début de l'essai.
🎯 Objectif
Nous touchons ici au cœur de l'exercice : déterminer la rigidité (ou raideur) intrinsèque du matériau. Le Module de Young (\(E\)) représente la résistance du matériau à la déformation élastique. Plus \(E\) est grand, moins le matériau se déforme sous une charge donnée. C'est une constante fondamentale pour le dimensionnement des structures (calcul des flèches, des déplacements, etc.).
📚 Référentiel
Loi de Hooke (Élasticité linéaire)Le Module de Young (\(E\)) est la "carte d'identité" élastique du matériau. C'est une constante intrinsèque : qu'il s'agisse d'un fil de fer, d'une barre de 12mm ou d'une poutre de pont, si c'est le même acier, \(E\) est identique.
Ici, nous cherchons à extraire cette constante à partir de la pente de la courbe expérimentale Contrainte-Déformation. Mathématiquement, c'est le coefficient directeur de la droite qui relie l'origine au point de fonctionnement élastique (notre point C).
C'est la traduction mathématique de la phrase : "La contrainte est proportionnelle à la déformation".
Pour un matériau isotrope en traction uniaxiale, tant que la contrainte reste inférieure à la limite élastique, la relation s'écrit :
\(\sigma = E \times \varepsilon\).
Cette loi linéaire est la base de toute la RDM élastique.
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Contrainte calculée (\(\sigma_c\)) | 397.87 MPa |
| Déformation calculée (\(\varepsilon_c\)) | 0.001990 |
Ayez toujours les ordres de grandeur en tête pour valider vos calculs :
- Acier : \(E \approx 200\,000 - 210\,000 \, \text{MPa}\) (\(200-210 \, \text{GPa}\)).
- Aluminium : \(E \approx 70\,000 \, \text{MPa}\) (\(70 \, \text{GPa}\)).
- Béton : \(E \approx 30\,000 \, \text{MPa}\) (\(30 \, \text{GPa}\)).
Si votre calcul pour de l'acier donne \(20\,000\) ou \(2\,000\,000\), arrêtez tout, il y a une erreur !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons maintenant à la division finale. C'est l'étape où la précision des calculs précédents (Q1 et Q2) prend tout son sens.
1. Calcul en MPaOn divise la contrainte par la déformation décimale.
Calcul du Module \(E\)Le GigaPascal (\(10^9\)) est l'unité usuelle pour les modules d'élasticité. On divise par 1000.
Nous obtenons une valeur extrêmement proche de la valeur théorique standard de \(200 \, \text{GPa}\). C'est un résultat expérimental quasi-parfait.
Le résultat obtenu (\(199.9 \, \text{GPa}\)) est remarquablement cohérent. Il faut savoir que l'acier de construction a un module quasi-constant quelle que soit sa nuance (qu'il soit "mou" comme du S235 ou "dur" comme du B500). Contrairement à la limite élastique qui varie selon les traitements thermiques, la rigidité atomique du fer ne change pas. Trouver environ \(200 \, \text{GPa}\) est donc la preuve que l'essai a été correctement mené.
La source d'erreur n°1 sur ce calcul en laboratoire est le glissement de l'extensomètre ou un mauvais serrage des mors au tout début de l'essai. Cela crée une "fausse" déformation initiale qui n'est pas due à l'élasticité du métal mais à la mise en place mécanique. Cela "écrase" la pente de la courbe, donnant des modules d'Young artificiellement bas (ex: \(100-150 \, \text{GPa}\)). Si vous trouvez une telle valeur, il faut suspecter le montage expérimental avant de suspecter l'acier.
❓ Question Fréquente : Pourquoi E est-il si grand ?
L'acier est un matériau très rigide grâce à ses liaisons atomiques métalliques fortes. C'est ce qui lui permet de limiter les flèches (déformations) dans les structures avec des sections relativement fines comparées au béton ou au bois.
🎯 Objectif
L'étape finale est la validation "Qualité". Il s'agit de confronter les résultats de nos calculs aux exigences normatives et contractuelles (CCTP). L'acier livré sur le chantier est-il conforme à ce qui a été commandé ? Peut-on l'utiliser en toute sécurité dans la structure ? Nous devons vérifier deux paramètres clés : la rigidité (via le Module d'Young) et la résistance (via la Limite Élastique).
📚 Référentiel
Eurocode 2 & NF EN 10080La désignation "B500B" est un code :
- B : Acier pour Béton.
- 500 : Limite élastique caractéristique minimale garantie en MPa (\(f_{yk}\) ou \(R_e\)).
- B : Classe de ductilité (capacité à se déformer avant rupture).
Notre tâche est simple : nous avons mesuré une force de début de plastification \(F_e = 58.5 \, \text{kN}\). Nous devons convertir cette force en contrainte (\(R_e\)) en utilisant la section \(S_0\) calculée en Q1, puis comparer cette valeur au seuil de \(500 \, \text{MPa}\).
Pour que le lot soit accepté, il faut respecter simultanément :
1. \(E\) compris entre \(200 \, \text{GPa} \pm 5\%\) (soit \([190 ; 210] \, \text{GPa}\)).
2. \(R_e\) supérieur ou égal à \(500 \, \text{MPa}\).
Étape 1 : Données Techniques
| Type | Valeur |
|---|---|
| Force Limite Élastique (Fe) | 58.5 kN |
| Section (S0) | 113.1 mm² |
| Module E Calculé | 199.9 GPa |
Ne confondez pas la limite élastique (\(R_e\), début des dégâts permanents) avec la résistance à la rupture (\(R_m\), charge maximale avant casse). \(R_e\) est la valeur de dimensionnement pour l'ingénieur structure ; \(R_m\) est une sécurité ultime.
Étape 2 : Calcul de Vérification
Nous calculons la contrainte correspondant à la force de limite élastique.
1. Calcul de ReOn divise la charge limite (\(58\,500 \, \text{N}\)) par la section.
Limite Élastique \(R_e\)Test logique par rapport aux seuils.
Les deux critères normatifs sont respectés sans ambiguïté. L'acier est apte au service.
L'acier testé dépasse la limite de 500 MPa avec une marge de sécurité confortable de \(17 \, \text{MPa}\) (soit environ 3.4%). C'est un résultat typique d'une production industrielle sidérurgique maîtrisée (usines type Arcelor Mittal, Riva, etc.) qui visent toujours légèrement au-dessus de la norme pour éviter les rebuts.
Si nous avions trouvé un \(R_e < 500 \, \text{MPa}\) (par exemple \(480 \, \text{MPa}\)), le lot aurait été déclaré "Non Conforme". Cela impliquerait un blocage du chantier, une contre-expertise (nouveaux essais sur d'autres éprouvettes du même lot) et potentiellement le renvoi de la marchandise. L'ingénieur n'a aucun droit de déroger à cette limite de sécurité.
❓ Question Fréquente : Et si Re = 501 MPa ?
C'est techniquement conforme, mais c'est "limite". En pratique, une valeur aussi proche du seuil minimal (sans marge de sécurité) inciterait le contrôleur technique à la prudence. Il demanderait probablement un échantillonnage plus large (tester 5 ou 10 barres de plus) pour calculer l'écart-type et s'assurer que la "valeur caractéristique" (le quantile 5%) du lot reste bien au-dessus de 500 MPa.
📄 Livrable Final (PV d'Essai)
PV DE CONTRÔLE - ESSAI DE TRACTION
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. Identification | |
| Échantillon | HA 12 - Nuance B500B |
| Section Nominale (S0) | 113.1 mm² |
| 2. Résultats Mécaniques | |
| Limite d'Élasticité (Re) | 517 MPa (Conforme > 500) |
| Résistance à la traction (Rm) | 601 MPa |
| 3. Élasticité | |
| Module de Young (E) | 199.9 GPa |
| Tolérance (200 +/- 5%) | Conforme |
| Conclusion | ACIER ACCEPTÉ |
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