Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Comprndre le Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Une entreprise de construction doit vérifier les propriétés mécaniques du béton armé utilisé pour la construction d’un pont. Pour cela, elle procède à un essai de traction sur un échantillon de béton armé afin de déterminer son module d’Young, qui est une mesure de sa rigidité. Le module d’Young est crucial pour comprendre comment le matériau réagira sous des charges différentes, ce qui est essentiel pour garantir la sécurité et la stabilité du pont.

Pour comprendre la Détermination du Module d’Young et les Contraintes et déformations en traction, cliquez sur les liens.

Données Fournies:

Longueur initiale de l’échantillon (L₀): 200 cm
Diamètre de l’échantillon (d): 15 cm
Charge appliquée (F): Varie de 0 à 500 kN en 5 étapes égales (0, 125 kN, 250 kN, 375 kN, 500 kN).
Allongements mesurés (ΔL) correspondant à chaque charge: 0 mm, 0.5 mm, 1.0 mm, 1.5 mm, 2.0 mm.

Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Questions:

1. Calculer la contrainte (σ): La contrainte est la force interne générée dans l’échantillon par l’application de la charge externe.

2. Calculer la déformation (ε): La déformation est le changement de longueur par unité de longueur originale.

3. Déterminer le module d’Young (E): Le module d’Young est la pente de la courbe contrainte-déformation dans la région élastique linéaire.

Correction : Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Rappel des données et conversions

Données fournies :

Longueur initiale de l’échantillon :
\(L_0 = 200\,\text{cm}\)
→ Conversion : \(200\,\text{cm} = 2,00\,\text{m}\)
Diamètre de l’échantillon :
\(d = 15\,\text{cm}\)
→ Conversion : \(15\,\text{cm} = 0,15\,\text{m}\)
Charges appliquées (\(F\)) :
0 kN, 125 kN, 250 kN, 375 kN, 500 kN
→ Conversion en newtons :
\(0\,\text{kN} = 0\,\text{N}, \quad 125\,\text{kN} = 125\,000\,\text{N}, \ldots\)
Allongements mesurés (\(\Delta L\)) :
0 mm, 0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm, 2,0 mm
→ Conversion en mètres :
\(0\,\text{mm} = 0\,\text{m}, \quad 0,5\,\text{mm} = 0,0005\,\text{m}, \quad 1,0\,\text{mm} = 0,001\,\text{m}, \quad 1,5\,\text{mm} = 0,0015\,\text{m}, \quad 2,0\,\text{mm} = 0,002\,\text{m}\)

1. Calcul de la contrainte (\(\sigma\))

a. Calcul de la section transversale (\(A\))

Pour un échantillon circulaire, l’aire se calcule par :

\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]

Substituons \(d = 0,15\,\text{m}\) :

\[ A = \frac{\pi \times (0,15\,\text{m})^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0,0225\,\text{m}^2}{4} \] \[ A \approx \frac{0,0707\,\text{m}^2}{4} \] \[ A \approx 0,01767\,\text{m}^2 \]

b. Calcul de la contrainte (\(\sigma\))

La contrainte se définit par :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

On réalise le calcul pour chaque charge :

1. Pour \(F = 0\,\text{kN}\) (\(0\,\text{N}\)) :

\[ \sigma = \frac{0\,\text{N}}{0,01767\,\text{m}^2} = 0\,\text{Pa} \]

2. Pour \(F = 125\,\text{kN}\) (\(125\,000\,\text{N}\)) :

\[ \sigma = \frac{125\,000\,\text{N}}{0,01767\,\text{m}^2} \] \[ \sigma \approx 7\,071\,\text{kPa} \quad \left(7,07\,\text{MPa}\right) \]

3. Pour \(F = 250\,\text{kN}\) (\(250\,000\,\text{N}\)) :

\[ \sigma = \frac{250\,000\,\text{N}}{0,01767\,\text{m}^2} \] \[ \sigma \approx 14\,142\,\text{kPa} \quad \left(14,14\,\text{MPa}\right) \]

4. Pour \(F = 375\,\text{kN}\) (\(375\,000\,\text{N}\)) :

\[ \sigma = \frac{375\,000\,\text{N}}{0,01767\,\text{m}^2} \] \[ \sigma \approx 21\,213\,\text{kPa} \quad \left(21,21\,\text{MPa}\right) \]

5. Pour \(F = 500\,\text{kN}\) (\(500\,000\,\text{N}\)) :

\[ \sigma = \frac{500\,000\,\text{N}}{0,01767\,\text{m}^2} \] \[ \sigma \approx 28\,284\,\text{kPa} \quad \left(28,28\,\text{MPa}\right) \]

2. Calcul de la déformation (\(\varepsilon\))

La déformation (\(\varepsilon\)) est définie comme le rapport de l’allongement à la longueur initiale :

\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]

Calculons pour chaque valeur d’allongement :

1. Pour \(\Delta L = 0\,\text{mm}\) (\(0\,\text{m}\)) :

\[ \varepsilon = \frac{0\,\text{m}}{2,00\,\text{m}} = 0 \]

2. Pour \(\Delta L = 0,5\,\text{mm}\) (\(0,0005\,\text{m}\)) :

\[ \varepsilon = \frac{0,0005\,\text{m}}{2,00\,\text{m}} = 0,00025 \]

3. Pour \(\Delta L = 1,0\,\text{mm}\) (\(0,001\,\text{m}\)) :

\[ \varepsilon = \frac{0,001\,\text{m}}{2,00\,\text{m}} = 0,0005 \]

4. Pour \(\Delta L = 1,5\,\text{mm}\) (\(0,0015\,\text{m}\)) :

\[ \varepsilon = \frac{0,0015\,\text{m}}{2,00\,\text{m}} = 0,00075 \]

5. Pour \(\Delta L = 2,0\,\text{mm}\) (\(0,002\,\text{m}\)) :

\[ \varepsilon = \frac{0,002\,\text{m}}{2,00\,\text{m}} = 0,001 \]

3. Détermination du module d’Young (\(E\))

Le module d’Young est obtenu à partir de la pente de la courbe contrainte-déformation dans la région élastique linéaire, c’est-à-dire :

\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} \]

On peut utiliser l’un des points de la région linéaire pour déterminer \(E\). Par exemple, en prenant le point correspondant à la charge maximale (\(F = 500\,\text{kN}\)) :

Contrainte : \(\sigma \approx 28,28\,\text{MPa}\)
Déformation : \(\varepsilon = 0,001\)

Ainsi :

\[ E = \frac{28,28\,\text{MPa}}{0,001} \] \[ E = 28\,280\,\text{MPa} \] \[ E = 28,28\,\text{GPa} \]

Vérification avec un autre point (\(F = 250\,\text{kN}\)) :

Contrainte : \(\sigma \approx 14,14\,\text{MPa}\)
Déformation : \(\varepsilon = 0,0005\)

\[ E = \frac{14,14\,\text{MPa}}{0,0005} \] \[ E = 28\,280\,\text{MPa} \quad (\approx 28,28\,\text{GPa}) \]

Les résultats sont cohérents.

Ce résultat permet de conclure que le béton armé testé présente un module d’Young de l’ordre de 28 GPa, ce qui est cohérent avec les valeurs attendues pour ce type de matériau dans le domaine de la construction.

Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

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