Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Contexte : La Stabilité des Sols, un enjeu majeur en Génie Civil.

En géotechnique, comprendre l'état de contrainte dans un massif de sol est fondamental pour assurer la stabilité de tout ouvrage (fondations, murs de soutènement, talus). Le sol, contrairement à l'acier ou au béton, a une résistance complexe qui dépend à la fois de la compression et du cisaillement. Le Cercle de MohrUne représentation graphique de l'état de contrainte plan en un point, qui permet de déterminer les contraintes normales et de cisaillement sur n'importe quel plan passant par ce point. est un outil graphique puissant, développé par l'ingénieur allemand Christian Otto Mohr, qui permet de visualiser cet état de contrainte et de le comparer aux critères de rupture du sol. Cet exercice vous guidera dans la construction et l'interprétation du cercle de Mohr pour un cas pratique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment un outil graphique peut transformer des équations de transformation de contraintes complexes en une construction géométrique intuitive. Nous allons passer d'un état de contrainte connu sur des facettes verticales et horizontales à la détermination des contraintes extrêmes (principales) et à la vérification de la sécurité vis-à-vis de la rupture du sol. C'est une compétence essentielle pour tout ingénieur géotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

Construire le cercle de Mohr à partir des contraintes \(\sigma_{\text{x}}\), \(\sigma_{\text{y}}\), et \(\tau_{\text{xy}}\).
Déterminer graphiquement et par le calcul les contraintes principales majeure (\(\sigma_1\)) et mineure (\(\sigma_3\)).
Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) et l'orientation des plans correspondants.
Trouver l'orientation des plans principaux.
Utiliser le critère de rupture de Mohr-Coulomb pour évaluer la stabilité du sol.

Données de l'étude

Un élément de sol, situé à une certaine profondeur sous une fondation, est soumis à un état de contrainte plane. Les contraintes mesurées sur des facettes verticales et horizontales sont les suivantes :

Schéma de l'élément de sol et des contraintes

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte normale horizontale	\(\sigma_{\text{x}}\)	100	\(\text{kPa}\)
Contrainte normale verticale	\(\sigma_{\text{y}}\)	50	\(\text{kPa}\)
Contrainte de cisaillement	\(\tau_{\text{xy}}\)	25	\(\text{kPa}\)
Angle du plan d'étude	\(\theta\)	30	\(\text{degrés}\)
Cohésion du sol	\(c'\)	10	\(\text{kPa}\)
Angle de frottement interne	\(\phi'\)	30	\(\text{degrés}\)

Questions à traiter

Déterminer les coordonnées du centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr.
Calculer les contraintes principales majeure (\(\sigma_1\)) et mineure (\(\sigma_3\)).
Déterminer l'orientation (\(\theta_{\text{p}}\)) du plan où s'exerce la contrainte principale majeure.
Calculer les contraintes normale (\(\sigma_{\text{n}}\)) et de cisaillement (\(\tau_{\text{n}}\)) sur le plan incliné à 30° par rapport à l'horizontale.
Le sol est-il en sécurité vis-à-vis de la rupture selon le critère de Mohr-Coulomb ?

Les bases de l'analyse des contraintes du sol

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts géotechniques fondamentaux.

1. L'État de Contrainte Plan :
En un point quelconque d'un massif de sol, les contraintes agissent dans toutes les directions. Pour simplifier, on étudie souvent un "état de contrainte plan" sur un petit élément carré. \(\sigma_{\text{x}}\) et \(\sigma_{\text{y}}\) sont les contraintes normales (compression/traction) agissant perpendiculairement aux faces, et \(\tau_{\text{xy}}\) est la contrainte de cisaillement agissant parallèlement aux faces.

2. Le Cercle de Mohr :
C'est une construction graphique qui représente toutes les combinaisons possibles de contraintes normales (\(\sigma\)) et de cisaillement (\(\tau\)) sur n'importe quel plan passant par le point étudié. L'axe horizontal représente les \(\sigma\) et l'axe vertical les \(\tau\). Chaque point sur le cercle correspond à l'état de contrainte sur un plan d'une orientation spécifique.

3. Le Critère de Rupture de Mohr-Coulomb :
C'est le critère de rupture le plus utilisé pour les sols. Il stipule que le sol se rompt si la contrainte de cisaillement \(\tau\) sur un plan atteint une valeur limite qui dépend de la contrainte normale \(\sigma\) sur ce même plan, de la cohésion \(c'\) du sol et de son angle de frottement interne \(\phi'\). Graphiquement, cela se traduit par une droite (la "droite de rupture") d'équation \(\tau_{\text{rupture}} = c' + \sigma \tan(\phi')\). Si le cercle de Mohr touche cette droite, le sol est à la limite de la rupture.

Correction : Analyse des Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Question 1 : Déterminer le centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr

Principe (le concept physique)

Le cercle de Mohr est entièrement défini par deux points qui représentent l'état de contrainte sur deux plans perpendiculaires (par exemple, les faces verticale et horizontale de notre élément de sol). Le centre du cercle se trouve toujours sur l'axe des contraintes normales (\(\sigma\)) et représente la contrainte normale moyenne. Le rayon représente l'amplitude de la variation des contraintes lorsque l'on change l'orientation du plan.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coordonnées des deux points diamétralement opposés sur le cercle sont \(X(\sigma_{\text{x}}, \tau_{\text{xy}})\) et \(Y(\sigma_{\text{y}}, -\tau_{\text{xy}})\). Le centre C est le milieu du segment XY, et le rayon R est la distance CX (ou CY). La convention de signe pour \(\tau\) sur le cercle est souvent source de confusion : une contrainte \(\tau_{\text{xy}}\) qui fait tourner l'élément dans le sens anti-horaire est généralement tracée vers le bas (positive), et inversement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le cercle de Mohr comme une "carte" de toutes les contraintes possibles en un point. Le trouver revient à trouver le "centre géographique" de cette carte (la contrainte moyenne) et sa "taille" (le rayon, qui est le cisaillement maximum). Une fois que vous avez C et R, vous savez tout sur l'état de contrainte.

Normes (la référence réglementaire)

Le concept du cercle de Mohr est une base de la mécanique des milieux continus. Il n'est pas une norme en soi, mais son utilisation est implicite dans toutes les normes de calcul géotechnique, comme l'Eurocode 7, qui exigent l'analyse des états de contrainte pour vérifier la stabilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules pour le centre C (contrainte moyenne) et le rayon R sont :

C = \sigma_{\text{moy}} = \frac{\sigma_{\text{x}} + \sigma_{\text{y}}}{2}

R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\right)^2 + \tau_{\text{xy}}^2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est un milieu continu, homogène et isotrope à l'échelle de l'élément étudié. On travaille en contraintes planes, ce qui signifie que les contraintes dans la troisième dimension sont nulles ou n'influencent pas le comportement dans le plan étudié.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Contrainte normale horizontale, \(\sigma_{\text{x}} = 100 \, \text{kPa}\)
Contrainte normale verticale, \(\sigma_{\text{y}} = 50 \, \text{kPa}\)
Contrainte de cisaillement, \(\tau_{\text{xy}} = 25 \, \text{kPa}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \((\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}})/2\) est la distance horizontale du centre à la contrainte \(\sigma_{\text{x}}\). Le terme \(\tau_{\text{xy}}\) est la distance verticale. Le rayon R n'est donc que l'application du théorème de Pythagore sur ces deux distances. C'est un moyen simple de se souvenir de la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Points de construction du Cercle

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du centre C :

\begin{aligned} C &= \frac{100 + 50}{2} \\ &= 75 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Calcul du rayon R :

\begin{aligned} R &= \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 25^2} \\ &= \sqrt{25^2 + 25^2} \\ &= \sqrt{625 + 625} \\ &= \sqrt{1250} \\ &\approx 35.36 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Construction du Cercle de Mohr

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le centre à 75 kPa nous indique que l'élément de sol est globalement en compression, avec une contrainte moyenne de 75 kPa. Le rayon de 35.36 kPa nous indique que le cisaillement maximal que subit le sol est de 35.36 kPa. Ces deux valeurs résument l'intensité de la sollicitation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est la convention de signe pour \(\tau_{\text{xy}}\). Sur le cercle, les deux points de construction \(X(\sigma_{\text{x}}, \tau_{\text{xy}})\) et \(Y(\sigma_{\text{y}}, -\tau_{\text{xy}})\) doivent avoir des ordonnées opposées. Une erreur ici mènerait à un cercle incorrect.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le centre du cercle est la contrainte normale moyenne : \(C = (\sigma_{\text{x}} + \sigma_{\text{y}})/2\).
Le rayon est calculé avec le théorème de Pythagore : \(R = \sqrt{((\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}})/2)^2 + \tau_{\text{xy}}^2}\).
Ces deux valeurs (C et R) définissent entièrement le cercle.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur allemand Christian Otto Mohr (1835-1918) a développé cette méthode graphique alors qu'il travaillait sur la résistance des matériaux pour des structures comme des ponts en treillis. Son outil s'est avéré si fondamental et universel qu'il est aujourd'hui utilisé dans de nombreux domaines, de la géotechnique à la mécanique des roches en passant par la science des matériaux.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le centre du cercle de Mohr est à C = 75 kPa et son rayon est R ≈ 35.36 kPa.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(\sigma_{\text{x}}=120\), \(\sigma_{\text{y}}=60\) et \(\tau_{\text{xy}}=40 \, \text{kPa}\), quel serait le rayon R du cercle (en kPa) ?

Question 2 : Calculer les contraintes principales

Principe (le concept physique)

Les contraintes principales sont les contraintes normales extrêmes (maximale et minimale) qui existent au sein de l'élément de sol. Elles agissent sur des plans où la contrainte de cisaillement est nulle. Sur le cercle de Mohr, ces points correspondent aux intersections du cercle avec l'axe horizontal (\(\sigma\)), car c'est là que \(\tau=0\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les contraintes principales sont les valeurs propres du tenseur des contraintes. Elles représentent un système d'axes pivoté dans lequel le tenseur devient diagonal (les composantes de cisaillement s'annulent). \(\sigma_1\) est la contrainte principale majeure et \(\sigma_3\) est la contrainte principale mineure (en 2D). La troisième, \(\sigma_2\), est souvent une contrainte intermédiaire en 3D.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous serrez une éponge humide. L'eau s'échappera dans une direction perpendiculaire à la direction où vous serrez le plus fort. Cette direction de "compression maximale" est la direction de \(\sigma_1\). Les contraintes principales nous donnent les directions d'effort maximal et minimal, qui sont fondamentales pour prédire le comportement du matériau.

Normes (la référence réglementaire)

Les critères de rupture des matériaux, y compris les sols (comme le critère de Mohr-Coulomb ou de Hoek-Brown pour les roches), sont presque toujours exprimés en fonction des contraintes principales. Le calcul de \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) est donc une étape obligatoire dans toute analyse de stabilité réglementaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Géométriquement, les contraintes principales \(\sigma_1\) (majeure) et \(\sigma_3\) (mineure) sont simplement le centre plus ou moins le rayon :

\sigma_1 = C + R = \frac{\sigma_{\text{x}} + \sigma_{\text{y}}}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\right)^2 + \tau_{\text{xy}}^2}

\sigma_3 = C - R = \frac{\sigma_{\text{x}} + \sigma_{\text{y}}}{2} - \sqrt{\left(\frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\right)^2 + \tau_{\text{xy}}^2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la construction du cercle. Le calcul est une conséquence directe de la géométrie du cercle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Centre du cercle, \(C = 75 \, \text{kPa}\) (calcul Q1)
Rayon du cercle, \(R = 35.36 \, \text{kPa}\) (calcul Q1)

Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez calculé C et R, il n'y a plus de calcul complexe. C'est une simple addition et une soustraction. C'est l'un des grands avantages de la méthode du cercle de Mohr : elle décompose un problème complexe en étapes simples.

Schéma (Avant les calculs)

Identification de \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) sur le Cercle

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} \sigma_1 &= C+R \\ &= 75 + 35.36 \\ &= 110.36 \, \text{kPa} \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma_3 &= C-R \\ &= 75 - 35.36 \\ &= 39.64 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeurs des Contraintes Principales

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Même si les contraintes appliquées horizontalement et verticalement étaient de 100 et 50 kPa, la contrainte de compression maximale réelle dans le sol est de 110.36 kPa. C'est cette valeur qu'il faut utiliser pour vérifier la résistance du sol en compression. La contrainte minimale est de 39.64 kPa, ce qui indique que l'élément est en compression dans toutes les directions (pas de traction).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais confondre les contraintes appliquées (\(\sigma_{\text{x}}, \sigma_{\text{y}}\)) avec les contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_3\)). Elles ne sont égales que dans le cas particulier où le cisaillement \(\tau_{\text{xy}}\) est nul. Dans le cas général, \(\sigma_1\) est toujours supérieure à \(\sigma_{\text{x}}\) et \(\sigma_{\text{y}}\), et \(\sigma_3\) toujours inférieure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) sont les contraintes normales maximale et minimale.
Sur le cercle de Mohr, elles se trouvent sur l'axe horizontal (\(\tau=0\)).
\(\sigma_1 = C+R\) et \(\sigma_3 = C-R\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En 3D, il y a trois contraintes principales (\(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3\)). L'analyse de stabilité se fait en considérant trois cercles de Mohr dans les plans (\(\sigma_1, \sigma_2\)), (\(\sigma_2, \sigma_3\)) et (\(\sigma_1, \sigma_3\)). Le plus grand cercle (celui basé sur \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\)) est généralement le plus critique pour la rupture.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les contraintes principales sont \(\sigma_1 \approx 110.36\) kPa et \(\sigma_3 \approx 39.64\) kPa.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les données de la question 1 (\(\sigma_{\text{x}}=120, \sigma_{\text{y}}=60, \tau_{\text{xy}}=40\)), quelle serait la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) (en kPa) ?

Question 3 : Déterminer l'orientation des plans principaux

Principe (le concept physique)

Les plans principaux sont les plans réels dans le sol sur lesquels agissent les contraintes principales. Leur orientation est cruciale car les fissures ou les glissements se produisent souvent le long de plans spécifiques par rapport à ces directions. Sur le cercle de Mohr, l'angle \(2\theta_{\text{p}}\) entre le point de référence (X) et l'axe \(\sigma\) correspond au double de l'angle réel \(\theta_{\text{p}}\) de rotation du plan dans le sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'angle \(2\theta_{\text{p}}\) est l'angle qui fait pivoter le diamètre XY du cercle pour l'amener sur l'axe horizontal. La division par deux vient du fait qu'une rotation de 180° sur le cercle (retour au même état de contrainte) correspond à une rotation de seulement 90° de l'élément physique (on retrouve les mêmes plans).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le point le plus important à retenir est : **les angles sur le cercle de Mohr sont le double des angles dans la réalité**. C'est une source d'erreur fréquente. Mesurez l'angle sur votre dessin du cercle, puis divisez-le par deux pour trouver l'orientation physique du plan.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de l'orientation des plans de rupture potentiels est une étape clé des analyses de stabilité des pentes ou des murs de soutènement. Les normes de calcul fournissent des méthodes (par ex. la méthode des tranches) où l'on analyse l'équilibre sur des surfaces de glissement dont l'orientation est liée à celle des contraintes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'angle \(2\theta_{\text{p}}\) sur le cercle se trouve par trigonométrie dans le triangle formé par le centre C, le point X et la projection de X sur l'axe \(\sigma\).

\tan(2\theta_{\text{p}}) = \frac{\tau_{\text{xy}}}{\left(\frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\right)}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On mesure l'angle \(\theta_{\text{p}}\) à partir du plan d'application de \(\sigma_{\text{x}}\). Le sens de rotation (horaire ou anti-horaire) dépend de la convention de signe choisie pour \(\tau_{\text{xy}}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\sigma_{\text{x}} = 100\), \(\sigma_{\text{y}} = 50\), \(\tau_{\text{xy}} = 25 \, \text{kPa}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Dans notre cas, \((\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}})/2 = 25\) et \(\tau_{\text{xy}} = 25\). Le triangle rectangle a donc deux côtés égaux. C'est un triangle isocèle, donc ses angles aigus sont de 45°. On retrouve immédiatement \(2\theta_{\text{p}} = 45^\circ\) sans même utiliser de calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Angle \(2\theta_p\) sur le Cercle de Mohr

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'angle \(2\theta_{\text{p}}\) sur le cercle :

\begin{aligned} \tan(2\theta_{\text{p}}) &= \frac{25}{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)} \\ &= \frac{25}{25} \\ &= 1 \end{aligned}

\begin{aligned} 2\theta_{\text{p}} &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \end{aligned}

2. Calcul de l'angle réel \(\theta_{\text{p}}\) :

\begin{aligned} \theta_{\text{p}} &= \frac{45^\circ}{2} \\ &= 22.5^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Orientation des Plans Principaux

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de compression maximale de 110.36 kPa n'agit ni horizontalement ni verticalement, mais sur un plan incliné de 22.5° (sens anti-horaire) par rapport à l'horizontale. C'est cette direction qui est la plus "critique" en termes de compression pure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le sens de rotation est important. Si \(\tau_{\text{xy}}\) est positif (fait tourner l'élément dans le sens anti-horaire), la rotation de X vers l'axe \(\sigma\) sur le cercle est horaire. La rotation réelle \(\theta_{\text{p}}\) est donc aussi horaire. Il faut être cohérent avec ses conventions.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'angle sur le cercle est le double de l'angle réel : \(2\theta_{\text{cercle}} = 2\theta_{\text{réel}}\).
La formule de base est \(\tan(2\theta_{\text{p}}) = 2\tau_{\text{xy}} / (\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}})\).
Les plans principaux sont toujours perpendiculaires entre eux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les extensomètres (jauges de déformation) sont souvent placés en "rosette" à 0°, 45° et 90° sur la surface d'une structure. En mesurant les déformations dans ces trois directions, on peut, via des formules similaires à celles des contraintes, reconstituer le cercle de Mohr des déformations et trouver les déformations principales et leur orientation.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le plan principal majeur est orienté à \(\theta_{\text{p}} = 22.5^\circ\) par rapport au plan sur lequel agit \(\sigma_{\text{x}}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(\sigma_{\text{x}}=150\), \(\sigma_{\text{y}}=50\) et \(\tau_{\text{xy}}=50 \, \text{kPa}\), quel serait l'angle réel \(\theta_{\text{p}}\) (en degrés) ?

Question 4 : Calculer les contraintes sur un plan à 30°

Principe (le concept physique)

Le cercle de Mohr nous permet de trouver les contraintes sur n'importe quel plan. Un plan incliné d'un angle \(\theta\) dans la réalité correspond à une rotation d'un angle \(2\theta\) sur le cercle de Mohr, dans le même sens, à partir du point représentant le plan de référence (ici, le point X représentant la facette verticale).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Graphiquement, on part du point \(X(\sigma_{\text{x}}, \tau_{\text{xy}})\) sur le cercle. On effectue une rotation de \(2\theta = 60^\circ\) autour du centre C. Les coordonnées du nouveau point sur le cercle nous donnent directement les valeurs de \(\sigma_{\text{n}}\) et \(\tau_{\text{n}}\). Les formules analytiques sont simplement la traduction mathématique de cette opération géométrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question montre toute la puissance du cercle de Mohr. Au lieu de mémoriser et d'appliquer de longues formules de transformation, on peut simplement "lire" le résultat sur le graphique. C'est une excellente façon de vérifier ses calculs et de développer une intuition sur la variation des contraintes avec l'angle.

Normes (la référence réglementaire)

Dans l'analyse de la stabilité des ouvrages en béton ou des assemblages soudés, il est souvent nécessaire de vérifier les contraintes sur des plans spécifiques (par exemple, le plan d'un joint ou d'une fissure potentielle). Ces formules de transformation sont donc d'un usage courant dans de nombreux domaines du génie civil.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules de transformation des contraintes permettent un calcul direct :

\sigma_{\text{n}} = \frac{\sigma_{\text{x}} + \sigma_{\text{y}}}{2} + \frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\cos(2\theta) + \tau_{\text{xy}}\sin(2\theta)

\tau_{\text{n}} = -\frac{\sigma_{\text{x}} - \sigma_{\text{y}}}{2}\sin(2\theta) + \tau_{\text{xy}}\cos(2\theta)

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'angle \(\theta\) est mesuré à partir de la normale à la face où s'applique \(\sigma_{\text{x}}\), généralement dans le sens anti-horaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\sigma_{\text{x}} = 100\), \(\sigma_{\text{y}} = 50\), \(\tau_{\text{xy}} = 25 \, \text{kPa}\)
Angle du plan, \(\theta = 30^\circ\), donc \(2\theta = 60^\circ\)

Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi écrire les formules en fonction de C et R : \(\sigma_{\text{n}} = C + R \cos(2\theta_{\text{p}} - 2\theta)\) et \(\tau_{\text{n}} = R \sin(2\theta_{\text{p}} - 2\theta)\). Connaissant \(C=75, R=35.36, 2\theta_{\text{p}}=45^\circ\) et \(2\theta=60^\circ\), on a \(\sigma_{\text{n}} = 75 + 35.36 \cos(-15^\circ) \approx 109.15\) et \(\tau_{\text{n}} = 35.36 \sin(-15^\circ) \approx -9.15\). C'est souvent plus rapide si le cercle est déjà construit.

Schéma (Avant les calculs)

Rotation de 2θ sur le Cercle

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte normale \(\sigma_{\text{n}}\) :

\begin{aligned} \sigma_{\text{n}} &= \frac{100+50}{2} + \frac{100-50}{2}\cos(60^\circ) + 25\sin(60^\circ) \\ &= 75 + 25(0.5) + 25(0.866) \\ &= 75 + 12.5 + 21.65 \\ &= 109.15 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{n}}\) :

\begin{aligned} \tau_{\text{n}} &= -\frac{100-50}{2}\sin(60^\circ) + 25\cos(60^\circ) \\ &= -25(0.866) + 25(0.5) \\ &= -21.65 + 12.5 \\ &= -9.15 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Point P(σn, τn) sur le Cercle

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sur un plan incliné à 30°, la contrainte normale est de 109.15 kPa (très proche de la contrainte principale majeure, car 30° est proche de 22.5°) et la contrainte de cisaillement est de -9.15 kPa. Le signe négatif indique que le cisaillement tend à faire tourner l'élément dans le sens horaire, selon la convention utilisée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux angles ! Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés si vos angles sont en degrés. Une erreur fréquente est d'utiliser \( \theta \) au lieu de \( 2\theta \) dans les formules, ce qui donnera un résultat complètement faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le cercle de Mohr permet de trouver les contraintes sur n'importe quel plan.
Une rotation \(\theta\) dans la réalité est une rotation \(2\theta\) sur le cercle.
Les formules de transformation permettent le calcul direct sans dessiner le cercle.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les pressions interstitielles (la pression de l'eau dans les pores du sol) jouent un rôle crucial. Les calculs de rupture se font avec les "contraintes effectives" (\(\sigma' = \sigma_{\text{totale}} - u\), où \(u\) est la pression interstitielle), concept développé par Karl Terzaghi. Une augmentation de la pression d'eau réduit la contrainte effective, ce qui "déplace" le cercle de Mohr vers la gauche, le rapprochant de la rupture. C'est pourquoi les sols saturés d'eau sont souvent moins stables.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Sur le plan à 30°, les contraintes sont \(\sigma_{\text{n}} \approx 109.15\) kPa et \(\tau_{\text{n}} \approx -9.15\) kPa.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les données initiales, quelles seraient les contraintes sur un plan à 45° ? (\(\sigma_{\text{n}}\), \(\tau_{\text{n}}\))

Question 5 : Vérifier la sécurité avec le critère de Mohr-Coulomb

Principe (le concept physique)

La rupture dans un sol se produit par glissement sur un plan lorsque la contrainte de cisaillement (\(\tau\)) sur ce plan dépasse la résistance au cisaillement du sol (\(\tau_{\text{limite}}\)). Cette résistance n'est pas constante ; elle augmente avec la contrainte normale (\(\sigma\)) qui "serre" les grains de sol ensemble (le frottement) et avec la cohésion (\(c'\)) qui les "colle". Nous devons vérifier si le point le plus "dangereux" du cercle de Mohr (le plus proche de la droite de rupture) reste en dessous de cette droite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition de non-rupture est que le cercle de Mohr doit être entièrement contenu sous la droite de rupture. Le cas limite est lorsque le cercle est tangent à la droite. Le point de tangence représente alors l'état de contrainte sur le plan de rupture imminent. L'angle de ce plan de rupture par rapport aux plans principaux est de \(45^\circ + \phi'/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape finale et la plus importante pour l'ingénieur. Tout le travail de construction du cercle n'a qu'un but : comparer l'état de contrainte (le cercle) à la résistance du matériau (la droite). Si le cercle touche la droite, c'est l'alerte rouge : le sol est sur le point de céder.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 impose l'utilisation de facteurs de sécurité (ou facteurs partiels) sur les propriétés du sol (c' et tan(\(\phi'\))) et/ou sur les charges. L'analyse consiste à vérifier que le cercle de Mohr calculé avec les charges majorées reste sous la droite de rupture dessinée avec les résistances minorées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est défini par la droite :

\tau_{\text{limite}} = c' + \sigma' \tan(\phi')

La sécurité est assurée si, pour tout point (\(\sigma, \tau\)) du cercle de Mohr, on a \(|\tau| < \tau_{\text{limite}}\). Graphiquement, le cercle ne doit pas toucher la droite.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les paramètres c' et \(\phi'\) ont été correctement déterminés en laboratoire (par ex. essai triaxial) et sont représentatifs du sol en place. On travaille en contraintes effectives (on suppose ici que la pression d'eau est nulle).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Cercle de Mohr : \(C = 75\) kPa, \(R = 35.36\) kPa
Paramètres du sol : \(c' = 10\) kPa, \(\phi' = 30^\circ\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Une vérification rapide consiste à regarder le sommet du cercle. Le point le plus haut a pour coordonnées \((\sigma, \tau) = (C, R) = (75, 35.36)\). On calcule la résistance du sol pour \(\sigma = 75\) et on la compare à 35.36. Si \(\tau_{\text{limite}}(75) > 35.36\), il y a de bonnes chances que le sol soit stable (bien que le point de tangence soit le vrai critère).

Schéma (Avant les calculs)

Superposition du Cercle et de la Droite de Rupture

Calcul(s) (l'application numérique)

La méthode la plus rigoureuse est de comparer le rayon du cercle de Mohr (qui représente le cisaillement mobilisé) au rayon du cercle de Mohr qui serait tangent à la droite de rupture (qui représente le cisaillement admissible). La sécurité est assurée si :

R \le (C \cdot \sin\phi' + c' \cdot \cos\phi')

\begin{aligned} R_{\text{admissible}} &= (75 \cdot \sin 30^\circ + 10 \cdot \cos 30^\circ) \\ &= (75 \cdot 0.5 + 10 \cdot 0.866) \\ &= 37.5 + 8.66 \\ &= 46.16 \, \text{kPa} \end{aligned}

Comparaison :

R_{\text{mobilisé}} = 35.36 \, \text{kPa} < R_{\text{admissible}} = 46.16 \, \text{kPa}

Schéma (Après les calculs)

Cercle de Mohr et Droite de Rupture

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme la contrainte de cisaillement mobilisée (le rayon R) est inférieure à la résistance au cisaillement disponible, le sol est stable. Il existe une marge de sécurité. Un facteur de sécurité peut être calculé comme le rapport \(R_{\text{admissible}} / R_{\text{mobilisé}} \approx 46.16 / 35.36 \approx 1.3\), ce qui est généralement considéré comme acceptable pour des conditions statiques.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier la cohésion ! Dans un sol purement frottant (un sable sec, c'=0), la droite de rupture passe par l'origine. Oublier la cohésion dans un sol argileux sous-estime considérablement sa résistance et conduit à un dimensionnement trop conservateur (et donc trop coûteux).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La rupture du sol est gouvernée par le critère de Mohr-Coulomb.
La sécurité est assurée si le cercle de Mohr est entièrement sous la droite de rupture.
La cohésion \(c'\) et l'angle de frottement \(\phi'\) définissent la résistance du sol.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de liquéfaction des sables lors d'un tremblement de terre peut être expliqué avec le cercle de Mohr. Les secousses sismiques augmentent rapidement la pression de l'eau interstitielle. La contrainte effective diminue, le cercle de Mohr se déplace vers la gauche jusqu'à toucher l'origine. Le sol n'a alors plus aucune résistance au cisaillement et se comporte comme un liquide.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le cisaillement mobilisé (R = 35.36 kPa) est inférieur au cisaillement admissible (46.16 kPa). Le sol est donc en sécurité.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la cohésion du sol était nulle (c'=0), serait-il toujours stable ?

Outil Interactif : Stabilité d'un Sol

Modifiez les contraintes et les propriétés du sol pour voir leur influence sur le cercle de Mohr et la sécurité.

Paramètres d'Entrée

Contrainte \(\sigma_{\text{x}}\) (kPa) 100 kPa

Contrainte \(\sigma_{\text{y}}\) (kPa) 50 kPa

Cisaillement \(\tau_{\text{xy}}\) (kPa) 25 kPa

Cohésion c' (kPa) 10 kPa

Résultats Clés

Contrainte Principale \(\sigma_1\) (kPa) -

Cisaillement Max \(\tau_{\text{max}}\) (kPa) -

État du Sol -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols moderne". C'est lui qui a développé le concept de "contrainte effective", qui stipule que la résistance d'un sol ne dépend que de la contrainte transmise par le squelette solide, et non de la pression de l'eau dans les pores. Cette idée a révolutionné la géotechnique et reste la pierre angulaire de tous les calculs de stabilité aujourd'hui.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le cisaillement \(\tau_{\text{xy}}\) est-il positif sur un axe et négatif sur l'autre ?

Pour que le petit élément de sol soit en équilibre statique (ne tourne pas sur lui-même), la somme des moments doit être nulle. Cela impose que les contraintes de cisaillement sur les faces adjacentes soient égales en magnitude mais de sens opposé. Sur le cercle de Mohr, cela se traduit par des points diamétralement opposés \((\sigma_{\text{x}}, \tau_{\text{xy}})\) et \((\sigma_{\text{y}}, -\tau_{\text{xy}})\).

Que se passe-t-il si le cercle de Mohr est entièrement à gauche de l'axe vertical ?

Cela signifie que la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) est négative. En mécanique des sols, la compression est positive, donc un \(\sigma\) négatif signifie une traction. La plupart des sols (sable, argile) ont une résistance à la traction quasi nulle et se fissureraient immédiatement dans une telle situation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la cohésion (c') d'un sol augmente, la droite de rupture de Mohr-Coulomb...

Devient plus pentue
Se déplace vers le haut, parallèlement à elle-même
Ne change pas

2. Un état de contrainte où \(\sigma_{\text{x}} = \sigma_{\text{y}} = 100 \, \text{kPa}\) et \(\tau_{\text{xy}} = 0 \, \text{kPa}\) est représenté sur le diagramme de Mohr par...

Un cercle de grand rayon
Un cercle centré à l'origine
Un seul point

Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_3\)): Les valeurs extrêmes (maximale et minimale) de la contrainte normale en un point. Elles agissent sur des plans où le cisaillement est nul.
Critère de Mohr-Coulomb: Un modèle mathématique qui définit la limite de résistance d'un sol en fonction de la contrainte normale, de la cohésion et de l'angle de frottement.
Cohésion (c'): La résistance au cisaillement d'un sol lorsque la contrainte normale est nulle. C'est la "colle" entre les particules de sol, particulièrement importante pour les argiles.
Angle de Frottement (\(\phi'\)): Un paramètre qui décrit comment la résistance au cisaillement d'un sol augmente avec la contrainte normale. Il représente la friction entre les grains de sol.