Contrainte ultime pour une charge inclinée
Comprendre la Contrainte ultime pour une charge inclinée
Vous êtes ingénieur en génie civil et devez concevoir les fondations d’un bâtiment. Une des fondations sera soumise à une charge inclinée due à la structure du bâtiment. Votre tâche est de calculer la contrainte ultime de cette fondation pour assurer la sécurité et la stabilité de la construction.
Pour comprendre le Calcul de la Contrainte Verticale en Fondation, cliquez sur le lien.
Données :
- Charge appliquée (P) : 1500 kN
- Angle d’inclinaison de la charge (θ) par rapport à la verticale : 25 degrés
- Dimensions de la fondation : 2m x 3m
- Profondeur de la fondation : 1,5 m
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Angle de frottement du sol (φ) : 30 degrés
- Cohésion du sol (C) : 25 kN/m²
Questions :
1. Calculez la contrainte verticale (σv) et la contrainte horizontale (σh) dues à la charge inclinée.
2. Déterminez la contrainte ultime (qu) en utilisant la théorie de la capacité portante de Terzaghi ou une autre méthode appropriée.
3. Évaluez si la contrainte ultime est suffisante pour supporter la charge appliquée. Considérez un facteur de sécurité de 3.
Correction : Contrainte ultime pour une charge inclinée
1. Calcul des contraintes dues à la charge inclinée
1.1. Décomposition de la charge appliquée
Données :
- Charge totale : \( P = 1500\ \text{kN} \)
- Angle d’inclinaison : \( \theta = 25^\circ \)
Calcul des composantes :
- Composante verticale
Formule :
\[ P_v = P \cdot \cos(\theta) \]
Calcul :
\[ P_v = 1500 \times \cos(25^\circ) \] \[ P_v \approx 1500 \times 0,9063 \] \[ P_v = 1359,45\ \text{kN} \]
- Composante horizontale
Formule :
\[ P_h = P \cdot \sin(\theta) \]
Calcul :
\[ P_h = 1500 \times \sin(25^\circ) \] \[ P_h \approx 1500 \times 0,4226 \] \[ P_h = 633,90\ \text{kN} \]
1.2. Calcul des contraintes sur la semelle de fondation
Les dimensions de la fondation sont :
- Longueur : \( 3\ \text{m}\)
- Largeur : \( 2\ \text{m} \)
L’aire de la semelle est :
\[ A = 2 \times 3 = 6\ \text{m}^2 \]
Contrainte verticale (\( \sigma_v \)) :
Formule :
\[ \sigma_v = \frac{P_v}{A} \]
Calcul :
\[ \sigma_v = \frac{1359,45\ \text{kN}}{6\ \text{m}^2} \] \[ \sigma_v \approx 226,58\ \text{kN/m}^2 \]
Contrainte horizontale (\( \sigma_h \)) :
On considère que la composante horizontale est répartie sur la même aire.
Formule :
\[ \sigma_h = \frac{P_h}{A} \]
Calcul :
\[ \sigma_h = \frac{633,90\ \text{kN}}{6\ \text{m}^2} \] \[ \sigma_h \approx 105,65\ \text{kN/m}^2 \]
2. Calcul de la capacité portante ultime (\( q_u \))
Pour déterminer la contrainte ultime de la fondation, nous utilisons la formule de Terzaghi pour une fondation superficielle :
\[ q_u = c\,N_c + \sigma_{v0}\,N_q + \frac{1}{2}\,\gamma\,B\,N_\gamma \]
2.1. Présentation des données
- Cohésion du sol : \( c = 25\ \text{kN/m}^2 \)
- Poids volumique du sol : \( \gamma = 18\ \text{kN/m}^3 \)
- Profondeur de la fondation : \( D = 1,5\ \text{m} \)
La pression du sol à la base :
\[ \sigma_{v0} = \gamma \times D \] \[ \sigma_{v0} = 18 \times 1,5 \] \[ \sigma_{v0} = 27\ \text{kN/m}^2 \]
- Largeur de la semelle dans la direction critique (dimension la plus réduite) : \( B = 2\ \text{m} \)
- Angle de frottement interne du sol : \( \phi = 30^\circ \)
2.2. Calcul des facteurs de capacité portante
Pour \( \phi = 30^\circ \), les facteurs sont calculés avec les formules classiques :
Facteur \( N_q \) :
Formule :
\[ N_q = e^{\pi \tan\phi}\,\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) \]
Calcul détaillé :
– \( \tan(30^\circ) \approx 0,5774 \)
– \( \pi \tan(30^\circ) \approx \pi \times 0,5774 \approx 1,814 \)
– \( e^{1,814} \approx 6,13 \)
– \( 45^\circ+\frac{30^\circ}{2} = 45^\circ+15^\circ = 60^\circ \)
– \( \tan(60^\circ) \approx 1,732 \)
– \( \tan^2(60^\circ) \approx 3,00 \)
Ainsi,
\[ N_q \approx 6,13 \times 3,00 \] \[ N_q = 18,39 \] arrondi à \(N_q \approx 18,36\) (pour cohérence avec les valeurs usuelles.)
Facteur \( N_c \) :
Formule :
\[ N_c = \frac{N_q – 1}{\tan\phi} \]
Calcul :
\[ N_c = \frac{18,36 – 1}{0,5774} \] \[ N_c \approx \frac{17,36}{0,5774} \] \[ N_c \approx 30,06 \]
Facteur \( N_\gamma \) :
Formule (pour Terzaghi) :
\[ N_\gamma = 2\,(N_q+1)\,\tan\phi \]
Calcul :
\[ N_\gamma = 2 \times (18,36+1) \times 0,5774 \] \[ N_\gamma \approx 22,38 \]
2.3. Substitution dans la formule de Terzaghi
- \( c\,N_c = 25 \times 30,06 \approx 751,5\ \text{kN/m}^2 \)
- \( \sigma_{v0}\,N_q = 27 \times 18,36 \approx 495,72\ \text{kN/m}^2 \)
- \( \frac{1}{2}\,\gamma\,B\,N_\gamma = 0,5 \times 18 \times 2 \times 22,38 \approx 402,84\ \text{kN/m}^2 \)
Donc, la capacité portante ultime est :
\[ q_u = 751,5 + 495,72 + 402,84 \] \[ q_u \approx 1650,06\ \text{kN/m}^2 \]
On arrondit :
\[ q_u \approx 1650\ \text{kN/m}^2 \]
3. Vérification du facteur de sécurité
3.1. Détermination de la contrainte admissible
Le facteur de sécurité (FS) exigé est de 3. La contrainte admissible (\( q_{adm} \)) se calcule par :
\[ q_{adm} = \frac{q_u}{\text{FS}} = \frac{1650}{3} \approx 550\ \text{kN/m}^2 \]
3.2. Comparaison avec la contrainte appliquée
La contrainte verticale calculée sur la semelle était :
\[ \sigma_v \approx 226,58\ \text{kN/m}^2 \]
Évaluation :
La contrainte \( \sigma_v \) (226,58 kN/m²) est largement inférieure à \( q_{adm} \) (550 kN/m²). Ceci indique que, sous l’effet de la charge inclinée, la fondation est conçue pour résister à la charge appliquée avec un facteur de sécurité respecté.
Contrainte ultime pour une charge inclinée
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