EGC

Contrainte ultime pour une charge inclinée

Contrainte Ultime pour une Charge Inclinée en Géotechnique

Calcul de la Contrainte Ultime d'une Semelle sous Charge Inclinée

Contexte : Stabilité des Fondations, un Pilier du Génie Civil.

En géotechnique, la capacité portanteLa charge maximale qu'un sol peut supporter sans subir de rupture par cisaillement. C'est un paramètre fondamental pour la conception de toute fondation. est la pression maximale que le sol peut supporter avant de rompre. Le calcul de cette capacité est essentiel pour assurer la stabilité des fondations de tous les ouvrages (bâtiments, ponts, éoliennes). Les charges ne sont pas toujours parfaitement verticales ; les forces dues au vent, aux séismes, ou à la géométrie de la structure (arcs, portiques) peuvent être inclinées. Une charge inclinée réduit significativement la capacité portante du sol et doit être prise en compte avec des facteurs correctifs spécifiques. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la capacité portante d'une semelle superficielle soumise à une charge inclinée, en utilisant la méthode de Meyerhof.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment les formules théoriques de la mécanique des sols sont adaptées pour refléter des conditions de chargement réelles. Nous partirons de l'équation de base de Terzaghi et y ajouterons des coefficients (de forme, de profondeur, et surtout d'inclinaison) pour affiner le calcul. C'est une approche classique de l'ingénieur géotechnicien pour passer d'un modèle idéalisé à une application pratique et sécuritaire.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les facteurs de capacité portante (Nq, Nc, Nγ) en fonction de l'angle de frottement du sol.
  • Déterminer les facteurs de forme et de profondeur pour une fondation rectangulaire.
  • Calculer les facteurs d'inclinaison de la charge.
  • Appliquer l'équation de capacité portante généralisée pour trouver la contrainte ultime.
  • Calculer la charge ultime que la fondation peut supporter.

Données de l'étude

On étudie une semelle de fondation rectangulaire en béton armé, ancrée dans un sol sableux. Elle est soumise à une charge Q, inclinée d'un angle \(\delta\) par rapport à la verticale. On cherche à déterminer la charge ultime \(Q_{\text{ult}}\) que la fondation peut supporter avant la rupture du sol.

Schéma de la fondation sous charge inclinée
Sol : c', φ', γ Largeur B Df Q δ
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la semelle \(B\) 2.0 \(\text{m}\)
Longueur de la semelle \(L\) 3.0 \(\text{m}\)
Profondeur d'ancrage \(D_f\) 1.5 \(\text{m}\)
Angle de frottement interne du sol \(\phi'\) 30 \(\text{degrés}\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 10 \(\text{kPa}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Inclinaison de la charge / verticale \(\delta\) 15 \(\text{degrés}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les facteurs de capacité portante \(N_c\), \(N_q\) et \(N_\gamma\).
  2. Calculer les facteurs de forme \(s_c\), \(s_q\) et \(s_\gamma\).
  3. Calculer les facteurs d'inclinaison \(i_c\), \(i_q\) et \(i_\gamma\).
  4. Calculer la contrainte ultime \(q_{\text{ult}}\) et la charge ultime \(Q_{\text{ult}}\) que la fondation peut supporter.

Les bases de la Capacité Portante

Avant la correction, revoyons l'équation fondamentale qui régit la stabilité des fondations superficielles.

L'Équation Généralisée de Capacité Portante :
La capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) d'une fondation est la somme de trois termes : la contribution de la cohésion, la contribution de la surcharge (le poids des terres à côté de la fondation), et la contribution du poids du sol sous la fondation. L'équation généralisée (selon Meyerhof) s'écrit : \[ q_{\text{ult}} = c'N_c s_c d_c i_c + qN_q s_q d_q i_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma i_\gamma \] Où :

  • \(c', q, \gamma\) sont les propriétés du sol (cohésion, surcharge, poids volumique).
  • \(N_c, N_q, N_\gamma\) sont les facteurs de portance (dépendent de \(\phi'\)).
  • \(s_c, s_q, s_\gamma\) sont les facteurs de forme (dépendent de B/L).
  • \(d_c, d_q, d_\gamma\) sont les facteurs de profondeur (dépendent de Df/B).
  • \(i_c, i_q, i_\gamma\) sont les facteurs d'inclinaison (dépendent de \(\delta\)).
Pour cet exercice, nous supposerons les facteurs de profondeur \(d_c, d_q, d_\gamma\) égaux à 1 pour simplifier.

Correction : Calcul de la Contrainte Ultime d'une Semelle sous Charge Inclinée

Question 1 : Calculer les facteurs de capacité portante

Principe (le concept physique)

Les facteurs de capacité portante (Nc, Nq, Nγ) sont des coefficients adimensionnels qui traduisent la manière dont le sol résiste sous la fondation. Ils sont dérivés de l'analyse de l'équilibre plastique d'un coin de sol sous la charge. Ils dépendent uniquement de l'angle de frottement interne du sol, \(\phi'\). Plus \(\phi'\) est élevé (sol plus frottant), plus ces facteurs augmentent de manière exponentielle, indiquant une capacité du sol bien meilleure à supporter des charges.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces facteurs sont issus de la théorie de la plasticité. Le mécanisme de rupture de Prandtl, par exemple, modélise la rupture du sol sous une fondation filante via trois zones : un coin triangulaire actif sous la fondation, une zone de cisaillement radial et une zone passive latérale. Les facteurs N sont des solutions intégrées de cet équilibre. Les formules varient légèrement selon les auteurs (Terzaghi, Meyerhof, Hansen, Vesic), mais le principe reste le même.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez pousser une boîte sur du sable (\(\phi'\) élevé) par rapport à de la vase (\(\phi'\) faible). Sur le sable, la résistance est forte. C'est pareil pour une fondation : un sol avec un \(\phi'\) élevé offre une grande "accroche" et donc des facteurs N élevés. Ces facteurs sont le cœur du calcul, tout le reste vient les corriger.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) fournit des abaques et des formules pour déterminer ces facteurs. Il est courant que les ingénieurs utilisent des feuilles de calcul ou des logiciels qui implémentent directement les formules recommandées par la norme en vigueur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteur de portance Nq :

\[ N_q = e^{\pi \tan(\phi')} \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2}) \]

Facteur de portance Nc :

\[ N_c = (N_q - 1) \cot(\phi') \]

Facteur de portance Nγ :

\[ N_\gamma = (N_q - 1) \tan(1.4 \phi') \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules supposent un sol homogène et isotrope, et un mécanisme de rupture par cisaillement généralisé, typique des sables denses.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour \(\phi' = 30^\circ\), le terme \(\tan^2(45 + \phi'/2) = \tan^2(60^\circ) = (\sqrt{3})^2 = 3\). C'est une valeur à connaître car \(\phi' = 30^\circ\) est un cas d'école très fréquent. Mémoriser cela accélère le calcul de Nq.

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre φ' et les Facteurs N
φ' = 30°Nq = ?Nc = ?Nγ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de Nq :

\[ \begin{aligned} N_q &= e^{\pi \tan(30^\circ)} \tan^2(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}) \\ &= e^{1.814} \times (\tan(60^\circ))^2 \\ &= 6.125 \times 3 \\ &\approx 18.4 \end{aligned} \]

2. Calcul de Nc :

\[ \begin{aligned} N_c &= (N_q - 1) \cot(30^\circ) \\ &= (18.4 - 1) \times 1.732 \\ &\approx 30.14 \end{aligned} \]

3. Calcul de Nγ :

\[ \begin{aligned} N_\gamma &= (N_q - 1) \tan(1.4 \times 30^\circ) \\ &= 17.4 \times \tan(42^\circ) \\ &\approx 15.67 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul purement numérique.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces valeurs (30.14, 18.4, 15.67) sont les multiplicateurs de base pour la cohésion, la surcharge et le poids du sol. Elles montrent que pour un sable avec un frottement de 30°, la cohésion est le paramètre qui contribue le plus (via Nc), suivi de la surcharge (Nq) et enfin du poids du sol (Nγ).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper entre degrés et radians. Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice. Une autre erreur est d'utiliser les formules d'un auteur (ex: Terzaghi) avec les facteurs de forme ou d'inclinaison d'un autre (ex: Meyerhof). Il faut rester cohérent.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs \(N_c, N_q, N_\gamma\) ne dépendent QUE de l'angle de frottement \(\phi'\).
  • Ils augmentent très vite lorsque \(\phi'\) augmente.
  • Ils représentent la résistance de base du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les argiles non drainées (\(\phi' = 0\)), la théorie donne \(N_c = \pi + 2 \approx 5.14\), \(N_q = 1\) et \(N_\gamma = 0\). La capacité portante ne dépend alors que de la cohésion non drainée \(c_u\), un résultat fondamental en mécanique des sols.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi existe-t-il plusieurs jeux de formules (Terzaghi, Meyerhof...) ?

Ce sont des solutions semi-empiriques à un problème complexe. Chaque chercheur a affiné la théorie de base en tenant compte de plus de paramètres (rugosité de la semelle, forme du mécanisme de rupture) et en se basant sur des résultats expérimentaux, d'où les légères différences.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les facteurs de capacité portante sont : \(N_c \approx 30.14\), \(N_q \approx 18.4\), et \(N_\gamma \approx 15.67\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable plus lâche avec \(\phi' = 28^\circ\), que vaudrait approximativement Nq ? (Indice: il sera plus faible).

Question 2 : Calculer les facteurs de forme

Principe (le concept physique)

Une fondation carrée ou circulaire est plus efficace qu'une fondation filante (très longue) car le sol peut se mobiliser sur tout le périmètre pour résister à l'enfoncement (confinement 3D). Les facteurs de forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\)) sont des coefficients correcteurs (généralement > 1) qui augmentent la capacité portante pour tenir compte de cet effet tridimensionnel. Ils dépendent du rapport largeur/longueur (B/L) de la semelle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les formules de base des facteurs N sont établies pour une fondation "filante" (L infiniment grand), ce qui correspond à un problème en 2D (déformation plane). Pour les fondations réelles (rectangulaires, carrées, circulaires), le mécanisme de rupture est en 3D. Les facteurs de forme sont des ajustements empiriques, basés sur des essais en laboratoire et des modélisations numériques, pour passer du cas 2D au cas 3D.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme essayer d'enfoncer une planche (fondation filante) ou un piquet (fondation carrée) dans le sable. Le piquet est bien plus difficile à enfoncer pour la même surface de contact, car le sable sur les côtés "bloque" le mouvement. Les facteurs de forme modélisent ce "blocage" supplémentaire.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 propose ses propres formules pour les facteurs de forme, qui sont légèrement différentes de celles de Meyerhof mais suivent la même logique. Le choix de la méthode doit être cohérent sur l'ensemble du calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteur de forme pour la cohésion, sc :

\[ s_c = 1 + 0.2 \frac{B}{L} \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2}) \]

Facteurs de forme pour la surcharge et le poids du sol, sq et sγ :

\[ s_q = s_\gamma = 1 + 0.1 \frac{B}{L} \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est appliquée au centre de la fondation. Si elle était excentrée, il faudrait utiliser une largeur "effective" B' plus faible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur, \(B = 2.0 \, \text{m}\)
  • Longueur, \(L = 3.0 \, \text{m}\)
  • Angle de frottement, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une fondation carrée (B=L), le rapport B/L vaut 1. Pour une fondation filante (L -> ∞), B/L vaut 0 et tous les facteurs de forme valent 1 (on retrouve le cas 2D). Notre cas (B/L = 2/3) est intermédiaire.

Schéma (Avant les calculs)
Influence de la Forme
Filante (s=1)Rectangulaire (s>1)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de sc :

\[ \begin{aligned} s_c &= 1 + 0.2 \times \frac{2}{3} \times \tan^2(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}) \\ &= 1 + 0.2 \times \frac{2}{3} \times 3 \\ &= 1 + 0.4 \\ &= 1.4 \end{aligned} \]

2. Calcul de sq et sγ :

\[ \begin{aligned} s_q = s_\gamma &= 1 + 0.1 \times \frac{2}{3} \times \tan^2(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}) \\ &= 1 + 0.1 \times \frac{2}{3} \times 3 \\ &= 1 + 0.2 \\ &= 1.2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul purement numérique.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les termes de portance liés à la cohésion, la surcharge et le poids du sol sont majorés de 40% et 20% respectivement, par rapport à une fondation filante de même largeur. C'est une augmentation non négligeable qui montre l'importance de la forme de la semelle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser B et L. B est toujours la plus petite dimension de la semelle. Une inversion fausserait le calcul des facteurs de forme.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs de forme corrigent le passage d'un modèle 2D (filante) à 3D (rectangulaire).
  • Ils dépendent du rapport B/L et de \(\phi'\).
  • Ils sont toujours supérieurs ou égaux à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations circulaires de diamètre D, on utilise les mêmes formules que pour une fondation carrée en posant B = L = D. La géométrie axisymétrique est la plus efficace en termes de capacité portante.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(s_c\) est-il différent de \(s_q\) et \(s_\gamma\)?

Les mécanismes de rupture associés à la cohésion (qui agit comme une "colle") et au frottement (qui dépend de la contrainte normale) ne sont pas identiques. Les ajustements empiriques ont montré que la forme de la fondation n'a pas exactement le même impact sur ces différentes composantes de la résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les facteurs de forme sont : \(s_c = 1.4\), \(s_q = 1.2\), et \(s_\gamma = 1.2\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la fondation était carrée (B=L=2m), que vaudrait le facteur de forme \(s_q\) ?

Question 3 : Calculer les facteurs d'inclinaison

Principe (le concept physique)

Une charge inclinée a une composante horizontale qui tend à faire "glisser" la fondation et réduit la mobilisation de la résistance du sol sous la base. Le mécanisme de rupture est modifié, il devient asymétrique. Les facteurs d'inclinaison (\(i_c, i_q, i_\gamma\)) sont des coefficients réducteurs (inférieurs à 1) qui quantifient cette perte de capacité portante. Ils dépendent de l'angle d'inclinaison \(\delta\) de la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La composante horizontale de la charge génère des contraintes de cisaillement à l'interface sol-fondation, ce qui réduit la contrainte normale effective et donc la résistance au frottement. De plus, elle "pousse" le mécanisme de rupture, le rendant moins efficace. Les formules des facteurs 'i' sont des expressions empiriques qui tentent de capturer cette double réduction de résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme essayer de se tenir debout sur une pente sableuse. Si vous vous tenez droit (charge verticale), c'est stable. Si vous vous penchez (charge inclinée), vous avez beaucoup plus de chances de glisser. La fondation subit le même effet : plus la charge est inclinée, plus le risque de "glisser" (rupture du sol) est grand, et donc plus la charge verticale qu'elle peut supporter diminue.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige la vérification de la stabilité au glissement en plus de la vérification de la capacité portante. La composante horizontale de la charge doit être inférieure à la résistance au cisaillement mobilisable à la base de la fondation. Les facteurs d'inclinaison intègrent implicitement une partie de cet effet dans le calcul de portance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteurs d'inclinaison pour la cohésion et la surcharge, ic et iq :

\[ i_c = i_q = (1 - \frac{\delta^\circ}{90^\circ})^2 \]

Facteur d'inclinaison pour le poids du sol, iγ :

\[ i_\gamma = (1 - \frac{\delta^\circ}{\phi'})^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'inclinaison se fait dans la direction de la largeur B. Si l'inclinaison était dans la direction de la longueur L, les formules pourraient être différentes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Inclinaison de la charge, \(\delta = 15^\circ\)
  • Angle de frottement, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que le facteur \(i_\gamma\) est particulièrement sensible car il compare l'inclinaison \(\delta\) directement à l'angle de frottement \(\phi'\). Si la charge s'incline autant que l'angle de frottement (\(\delta = \phi'\)), ce facteur devient nul, indiquant que le terme de poids du sol ne contribue plus du tout à la portance.

Schéma (Avant les calculs)
Effet de l'Inclinaison de la Charge
Rupture Symétrique (δ=0)Rupture Asymétrique (δ>0)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de ic et iq :

\[ \begin{aligned} i_c = i_q &= (1 - \frac{15}{90})^2 \\ &= (1 - 0.1667)^2 \\ &= (0.8333)^2 \\ &\approx 0.694 \end{aligned} \]

2. Calcul de iγ :

\[ \begin{aligned} i_\gamma &= (1 - \frac{15}{30})^2 \\ &= (1 - 0.5)^2 \\ &= (0.5)^2 \\ &= 0.25 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul purement numérique.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe une réduction significative. La contribution de la cohésion et de la surcharge est réduite à environ 69% de sa valeur, tandis que la contribution du poids du sol est drastiquement réduite à seulement 25% de sa valeur. C'est le terme le plus sensible à l'inclinaison, comme le laissait présager la formule.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser un angle \(\delta\) supérieur à \(\phi'\), car la formule pour \(i_\gamma\) n'aurait plus de sens physique (le glissement se produirait avant la rupture par poinçonnement). De plus, les angles \(\delta\) et \(\phi'\) doivent être en degrés dans ces formules empiriques.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs d'inclinaison sont des coefficients réducteurs (\(\le 1\)).
  • Ils modélisent la perte de portance due à la composante horizontale de la charge.
  • Le terme en \(N_\gamma\) est le plus affecté.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les fondations d'éoliennes offshore sont soumises à d'énormes charges horizontales et moments dus au vent et aux vagues. Leur conception est un défi géotechnique majeur où le calcul de la capacité portante sous charges combinées (verticale, horizontale, moment) est absolument critique.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge est inclinée dans les deux directions ?

Si la charge a une composante horizontale dans la direction de B et de L, le calcul se complexifie. Il faut calculer la résultante de l'inclinaison et utiliser des formules adaptées, qui sont often fournies dans des manuels de géotechnique avancés ou gérées par des logiciels spécialisés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les facteurs d'inclinaison sont : \(i_c = 0.694\), \(i_q = 0.694\), et \(i_\gamma = 0.25\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'inclinaison était seulement de \(5^\circ\), que vaudrait le facteur \(i_\gamma\) ?

Question 4 : Calculer la contrainte et la charge ultimes

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de synthèse. On assemble tous les éléments calculés précédemment (propriétés du sol, facteurs de portance, facteurs correctifs de forme et d'inclinaison) dans l'équation généralisée de capacité portante. Cela nous donne la contrainte maximale \(q_{\text{ult}}\) que le sol peut supporter sous la fondation. La charge ultime \(Q_{\text{ult}}\) est simplement cette contrainte multipliée par la surface de la fondation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation est une application du principe de superposition, où l'on additionne les résistances dues à différentes sources (cohésion, surcharge, poids). C'est une approximation, car en réalité ces termes interagissent, mais elle s'est avérée suffisamment précise et sécuritaire pour la pratique de l'ingénierie. Le passage de la contrainte (\(q_{\text{ult}}\) en kPa) à la charge (\(Q_{\text{ult}}\) en kN) se fait en multipliant par l'aire de la fondation, en supposant une distribution de contrainte uniforme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment "où tout se rejoint". Chaque petit calcul prend son sens. Il est utile de calculer chaque terme de l'équation (terme de cohésion, de surcharge, de poids) séparément pour voir leur contribution respective à la résistance totale. Cela donne une meilleure compréhension du comportement du sol.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 spécifie l'utilisation de facteurs de sécurité partiels, appliqués soit sur les propriétés des matériaux (par ex. on divise tan(\(\phi'\)) par \(\gamma_m\)), soit sur les charges (\(\gamma_F\)), soit sur les résistances (\(\gamma_R\)). Le calcul de \(q_{\text{ult}}\) est le calcul de la résistance, qui serait ensuite divisée par un facteur de sécurité global ou partiel pour obtenir la résistance de calcul admissible.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte ultime q_ult :

\[ q_{\text{ult}} = c'N_c s_c i_c + qN_q s_q i_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma i_\gamma \]

Charge ultime Q_ult :

\[ Q_{\text{ult}} = q_{\text{ult}} \times (B \times L) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les facteurs de profondeur sont égaux à 1, comme indiqué dans l'énoncé. On suppose également que le niveau de la nappe phréatique est suffisamment profond pour ne pas affecter le poids volumique du sol.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Toutes les données et tous les facteurs calculés précédemment.
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez une cohérence stricte des unités. Si vous travaillez en kN et en mètres (le standard en géotechnique), alors les contraintes (c' et q) doivent être en kPa (kN/m²), et le poids volumique \(\gamma\) en kN/m³. Le résultat pour \(q_{\text{ult}}\) sera alors directement en kPa.

Schéma (Avant les calculs)
Synthèse des Composantes de la Portance
CohésionSurchargePoids Sol++q_ult = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surcharge q :

\[ \begin{aligned} q &= \gamma \times D_f \\ &= 18 \, \text{kN/m³} \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 27 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Calcul des composantes de la contrainte ultime :

\[ \begin{aligned} \text{Terme cohésion} &= c'N_c s_c i_c \\ &= 10 \times 30.14 \times 1.4 \times 0.694 \\ &\approx 292.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme surcharge} &= qN_q s_q i_q \\ &= 27 \times 18.4 \times 1.2 \times 0.694 \\ &\approx 413.4 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme poids sol} &= 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma i_\gamma \\ &= 0.5 \times 18 \times 2.0 \times 15.67 \times 1.2 \times 0.25 \\ &\approx 84.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Sommation des composantes pour obtenir q_ult :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult}} &= 292.6 + 413.4 + 84.6 \\ &= 790.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

4. Calcul de la charge ultime Q_ult :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{ult}} &= q_{\text{ult}} \times B \times L \\ &= 790.6 \, \text{kPa} \times (2.0 \, \text{m} \times 3.0 \, \text{m}) \\ &= 4743.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul purement numérique.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La capacité portante ultime est de 791 kPa. On voit que la contribution la plus importante vient du terme de surcharge (413 kPa), suivi du terme de cohésion (293 kPa). Le terme de poids du sol, fortement pénalisé par le facteur d'inclinaison, ne contribue plus que pour 85 kPa. Sans l'inclinaison, ce terme aurait valu \(84.6 / 0.25 = 338.4\) kPa, ce qui montre l'impact majeur de la charge inclinée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur finale classique est d'oublier de multiplier la contrainte ultime \(q_{\text{ult}}\) par l'aire de la fondation pour obtenir la charge ultime \(Q_{\text{ult}}\). Un ingénieur doit fournir une charge (en kN ou MN) que la structure peut appliquer, pas seulement une contrainte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de portance est la somme de 3 termes : cohésion, surcharge, poids du sol.
  • Chaque terme est corrigé par des facteurs de forme, profondeur, et inclinaison.
  • La charge ultime \(Q_{\text{ult}}\) est la contrainte ultime \(q_{\text{ult}}\) multipliée par l'aire BxL.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise ne s'est pas effondrée car le sol argileux sous-jacent, en se consolidant sous le poids de la tour, a vu sa résistance au cisaillement augmenter avec le temps (un processus appelé "consolidation"). Cette augmentation de résistance a fini par stopper le basculement, juste avant que la contrainte n'atteigne la valeur de rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que la capacité portante admissible ?

La capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) est la contrainte de rupture. En pratique, on ne charge jamais le sol jusqu'à ce point. On définit une capacité portante admissible (\(q_{\text{adm}}\)) en divisant \(q_{\text{ult}}\) par un facteur de sécurité global (généralement entre 2.5 et 3). C'est cette valeur admissible que la charge de service ne doit pas dépasser.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte ultime est \(q_{\text{ult}} \approx 791 \, \text{kPa}\). La charge inclinée ultime que la fondation peut supporter est \(Q_{\text{ult}} \approx 4744 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était parfaitement verticale (\(\delta = 0^\circ\)), quelle serait la charge ultime \(Q_{\text{ult}}\) en kN ?

Outil Interactif : Influence des Paramètres

Modifiez l'inclinaison de la charge et les propriétés du sol pour observer leur impact sur la capacité portante.

Paramètres d'Entrée
15 °
30 °
10 kPa
Résultats Clés
Contrainte Ultime (kPa) -
Charge Ultime (kN) -
Coefficient de Réduction (dû à δ) -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien puis américain, il a révolutionné le génie civil en établissant les principes fondamentaux du comportement des sols, notamment le principe de la contrainte effective, qui est la pierre angulaire de toute la géotechnique moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la charge est aussi excentrée ?

Une charge excentrée (non appliquée au centre de la semelle) crée une distribution de pression non uniforme sous la fondation. Pour en tenir compte, on utilise le concept de "largeur effective". On calcule la contrainte sur une aire réduite de la semelle (B' = B - 2e, où 'e' est l'excentricité), ce qui diminue encore la capacité portante. Les effets de l'inclinaison et de l'excentricité se cumulent.

Cette méthode est-elle toujours applicable ?

Cette méthode est valable pour les fondations superficielles (Df/B < 4 environ) sur un sol homogène. Pour les sols en couches, les fondations profondes (pieux), ou les sols très compressibles (argiles molles), des méthodes de calcul différentes et plus complexes sont nécessaires. De plus, on doit toujours vérifier le tassement, qui peut être le critère dimensionnant même si la capacité portante est suffisante.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel terme de la capacité portante est le plus affecté par l'inclinaison de la charge ?

2. Si on remplace le sol par un sable plus dense avec un angle de frottement \(\phi'\) de 35° au lieu de 30°, la capacité portante va...

Capacité Portante
La contrainte (ou charge) maximale qu'un sol peut supporter à la base d'une fondation sans qu'il y ait de rupture par cisaillement dans le massif de sol.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Propriété intrinsèque d'un sol granulaire qui mesure sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains. C'est le paramètre le plus influent pour la capacité portante des sables.
Cohésion (\(c'\))
Propriété d'un sol fin (argile) qui mesure sa résistance au cisaillement due aux forces d'attraction entre les particules. Elle est souvent nulle pour les sables propres.
Contrainte Ultime pour une Charge Inclinée en Géotechnique

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