Calcul la teneur en eau au point de saturation (Ws)
Contexte : L'eau dans les sols, un paramètre critique en Génie Civil.
En géotechnique, la quantité d'eau présente dans les vides d'un sol régit une grande partie de son comportement mécanique. La teneur en eau à saturationC'est la teneur en eau (w) d'un sol lorsque tous ses vides sont remplis d'eau. Elle représente la quantité maximale d'eau que le sol peut contenir pour une structure donnée. (\(w_{\text{sat}}\)) est une propriété fondamentale qui représente la capacité maximale de stockage d'eau d'un sol. La connaître est essentiel pour les ingénieurs afin d'anticiper les problèmes de tassement, de gonflement ou de perte de portance liés aux variations hydriques dans les projets de fondations, de barrages ou de terrassements.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des relations de phase en mécanique des sols. Nous allons utiliser des propriétés physiques facilement mesurables en laboratoire (masse volumique sèche, densité des grains) pour déduire des paramètres clés de la structure du sol (indice des vides, porosité) et sa capacité maximale en eau. C'est une démarche fondamentale pour caractériser un sol et prédire son comportement.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'indice des vides (\(e\)) d'un sol à partir de sa masse volumique sèche.
- Calculer la porosité (\(n\)) du sol à partir de l'indice des vides.
- Appliquer la relation fondamentale pour déterminer la teneur en eau à saturation (\(w_{\text{sat}}\)).
- Calculer la masse volumique du sol à l'état saturé (\(\rho_{\text{sat}}\)).
- Se familiariser avec les paramètres d'état et les unités en géotechnique (g/cm³, %, sans dimension).
Données de l'étude
Schéma de l'échantillon de sol (Phases)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique sèche | \(\rho_d\) | 1.65 | \(\text{g/cm}^3\) |
| Densité relative des grains | \(G_s\) | 2.70 | \(\text{(sans)}\) |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_w\) | 1.00 | \(\text{g/cm}^3\) |
Questions à traiter
- Calculer l'indice des vides (\(e\)) du sol.
- Calculer la porosité (\(n\)) du sol.
- Déterminer la teneur en eau à saturation (\(w_{\text{sat}}\)) en pourcentage.
- Calculer la masse volumique du sol à l'état saturé (\(\rho_{\text{sat}}\)).
Les bases de la Mécanique des Sols
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés des relations de phase.
1. Indice des vides (\(e\)) et Porosité (\(n\)) :
Ces deux paramètres décrivent le volume occupé par les vides par rapport au volume total ou au volume des grains.
L'indice des vides est le rapport du volume des vides sur le volume des grains solides : \(e = V_v / V_s\).
La porosité est le rapport du volume des vides sur le volume total : \(n = V_v / V_t\). Ils sont liés par la relation : \(n = e / (1+e)\).
2. Masse Volumique Sèche (\(\rho_d\)) :
C'est la masse des grains solides uniquement, divisée par le volume total de l'échantillon (\( \rho_d = M_s / V_t \)). Elle caractérise la compacité du sol. Elle est liée à \(G_s\) et \(e\) par la formule clé :
\[ \rho_d = \frac{G_s \cdot \rho_w}{1+e} \]
3. Teneur en eau (\(w\)) et Degré de Saturation (\(S_r\)) :
La teneur en eau est le rapport de la masse d'eau à la masse des grains secs : \(w = M_w / M_s\). Le degré de saturation est le pourcentage du volume des vides qui est rempli d'eau : \(S_r = V_w / V_v\). Ces paramètres sont liés par une relation fondamentale :
\[ S_r \cdot e = w \cdot G_s \]
À saturation, \(S_r = 100\% = 1\), ce qui simplifie la relation pour trouver \(w_{\text{sat}}\).
Correction : Calcul la teneur en eau au point de saturation (Ws)
Question 1 : Calculer l'indice des vides (e)
Principe (le concept physique)
L'indice des vides (\(e\)) est un indicateur fondamental du "volume vide" disponible dans un sol. Un sable lâche aura un indice des vides élevé, tandis qu'une argile compacte aura un indice des vides faible. On ne peut pas le mesurer directement, mais on peut le déduire de la masse volumique sèche (\(\rho_d\)), qui mesure à quel point les grains solides (\(G_s\)) sont tassés dans un volume donné.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\rho_d = (G_s \cdot \rho_w) / (1+e)\) découle de la définition des termes. La masse des solides est \(M_s = V_s \cdot G_s \cdot \rho_w\). Le volume total est \(V_t = V_s + V_v = V_s(1 + e)\). En divisant \(M_s\) par \(V_t\), on obtient la formule. C'est l'une des relations les plus importantes en mécanique des sols.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'indice des vides est un nombre sans dimension, souvent compris entre 0.4 (sable dense) et 1.5 (argile molle), mais il peut dépasser ces valeurs. Pensez-y comme ceci : si \(e=1\), cela signifie que le volume des vides est exactement égal au volume des grains solides.
Normes (la référence réglementaire)
La détermination en laboratoire de la masse volumique sèche et de la densité des grains est standardisée par des normes (par exemple, NF P94-053 et NF P94-054 en France, ou les normes ASTM). La précision de ces mesures initiales est cruciale pour la validité de tous les calculs qui en découlent.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de la formule de la masse volumique sèche pour isoler l'indice des vides \(e\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les grains solides sont incompressibles et que les valeurs de \(\rho_d\) et \(G_s\) fournies sont représentatives de l'échantillon.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse volumique sèche, \(\rho_d = 1.65 \, \text{g/cm}^3\)
- Densité relative des grains, \(G_s = 2.70\)
- Masse volumique de l'eau, \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\), la formule se simplifie souvent en \(e = (G_s / \rho_d) - 1\) lorsque l'on travaille dans ce système d'unités (g, cm³). C'est très pratique pour des calculs rapides.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Masse et Volume
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule réarrangée.
Schéma (Après les calculs)
Proportions de Volume
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un indice des vides de 0.636 est typique pour un sable moyennement compact. Cela signifie que le volume des vides représente environ 64% du volume des grains solides. Cette valeur est la clé qui va nous permettre de débloquer tous les autres calculs.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de mal isoler \(e\) dans la formule. Assurez-vous de bien soustraire 1 à la fin du rapport. Une autre erreur est l'incohérence des unités : si la masse volumique est en kg/m³, il faut utiliser \(\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'indice des vides (\(e\)) quantifie le volume des "trous" par rapport au volume des grains.
- Il se calcule à partir de \(\rho_d\) et \(G_s\).
- La formule de base est \(\rho_d = (G_s \cdot \rho_w) / (1+e)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Certains sols, comme les tourbes ou les vases, peuvent avoir un indice des vides très élevé, dépassant parfois 10 ! Cela signifie que le volume d'eau et de gaz est plus de dix fois supérieur au volume des particules solides. Construire sur de tels sols représente un défi technique majeur.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le sol était plus lâche avec \(\rho_d = 1.50 \, \text{g/cm}^3\), quel serait le nouvel indice des vides ?
Question 2 : Calculer la porosité (n)
Principe (le concept physique)
La porosité (\(n\)) est une autre façon d'exprimer le volume des vides, mais cette fois-ci en le rapportant au volume total de l'échantillon. C'est un pourcentage qui indique quelle fraction du volume total du sol est "vide". C'est un concept plus intuitif que l'indice des vides pour visualiser l'espace disponible pour l'eau ou l'air.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les deux paramètres \(n\) et \(e\) mesurent la même chose (le volume des vides) mais avec une référence différente (volume total pour \(n\), volume des solides pour \(e\)). On peut passer de l'un à l'autre très facilement. Sachant que \(V_t = V_s + V_v\), on peut démontrer les relations : \(n = e / (1+e)\) et \(e = n / (1-n)\). Ces transformations sont constantes en mécanique des sols.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La porosité est toujours un nombre inférieur à 1 (ou 100%). Une porosité de 0.5 (ou 50%) signifie que la moitié du volume de votre sol est constituée de vides. C'est une valeur très élevée. Pour notre sol, avec un indice des vides de 0.636, on s'attend à une porosité inférieure à 50%.
Normes (la référence réglementaire)
La porosité n'est généralement pas une mesure directe mais un paramètre calculé, comme dans cet exercice. Sa valeur est fondamentale dans d'autres domaines du génie civil, comme l'hydrogéologie, où elle gouverne la capacité de stockage d'eau des aquifères, ou en génie pétrolier pour évaluer les réservoirs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La relation directe entre la porosité \(n\) et l'indice des vides \(e\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul repose uniquement sur la valeur de l'indice des vides calculée précédemment, supposée correcte.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Indice des vides, \(e = 0.636\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un calcul mental rapide, si \(e\) est petit (disons < 0.2), alors \(n\) est très proche de \(e\). Si \(e=1\), alors \(n = 1/2 = 0.5\). Cela vous donne des points de repère pour vérifier vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Du Rapport e au Pourcentage n
Calcul(s) (l'application numérique)
On exprime souvent la porosité en pourcentage en multipliant le résultat par 100.
Conversion en pourcentage :
Schéma (Après les calculs)
Porosité du Sol
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une porosité de 38.9% confirme que l'échantillon est un sol moyennement compact. Près de 40% de son volume est disponible pour être rempli par de l'eau et/ou de l'air. C'est ce volume que nous allons "remplir" à la prochaine étape pour trouver la teneur en eau à saturation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les formules de conversion. \(n = e / (1+e)\) est la plus courante. L'erreur serait d'utiliser \(e/(1-e)\) ou une autre variation. Vérifiez toujours que votre résultat pour \(n\) est bien inférieur à 1.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La porosité (\(n\)) est le rapport du volume des vides au volume TOTAL.
- Elle est toujours inférieure à 1 (ou 100%).
- La formule de conversion est \(n = e / (1+e)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La structure des vides (la taille et la connexion des pores) est aussi importante que la porosité elle-même. Une argile peut avoir une porosité plus élevée qu'un sable, mais ses pores sont si fins que l'eau y circule très difficilement (faible perméabilité). Un sable, avec des pores plus grands et mieux connectés, sera beaucoup plus perméable.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un sol très poreux avec un indice des vides \(e = 1.0\), quelle serait sa porosité en % ?
Question 3 : Déterminer la teneur en eau à saturation (\(w_{\text{sat}}\))
Principe (le concept physique)
La teneur en eau à saturation (\(w_{\text{sat}}\)) représente la masse d'eau maximale que peut contenir le sol, exprimée en pourcentage de la masse des grains secs. Pour atteindre cet état, il faut que tous les vides, dont nous avons calculé le volume relatif via \(e\), soient complètement remplis d'eau. La quantité d'eau que ces vides peuvent contenir dépend de leur volume (\(e\)) et de la densité des grains (\(G_s\)) qui "retiennent" cette eau par leur masse.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(S_r \cdot e = w \cdot G_s\) est la pierre angulaire de la mécanique des sols. Elle lie les quatre paramètres fondamentaux. "Saturation" signifie que le degré de saturation \(S_r\) est de 100%, soit \(S_r=1\). La formule devient alors \(1 \cdot e = w_{\text{sat}} \cdot G_s\). En isolant \(w_{\text{sat}}\), on obtient la formule de calcul directe. C'est une application simple mais puissante de cette relation générale.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Attention, la teneur en eau est un rapport de MASSES (\(M_w/M_s\)) et peut dépasser 100% pour des sols très organiques ou avec un indice des vides très élevé. Une teneur en eau de 25% signifie que la masse d'eau représente un quart de la masse des grains de sol secs.
Normes (la référence réglementaire)
La teneur en eau à saturation n'est pas une mesure directe mais un état de référence calculé. En pratique, sur le terrain, on mesure la teneur en eau naturelle (\(w_{\text{nat}}\)) et on la compare à \(w_{\text{sat}}\) (et à d'autres limites comme les limites d'Atterberg) pour évaluer l'état hydrique du sol et les risques associés (liquéfaction si \(w_{\text{nat}}\) est proche de \(w_{\text{sat}}\) dans les sables, etc.).
Formule(s) (l'outil mathématique)
À saturation (\(S_r = 1\)), la formule est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'eau qui remplit les vides a une masse volumique de 1.00 g/cm³, ce qui est standard sauf cas particuliers (eau saline, etc.).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Indice des vides, \(e = 0.636\) (du calcul Q1)
- Densité relative des grains, \(G_s = 2.70\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Comme \(G_s\) pour la plupart des sols minéraux est compris entre 2.65 et 2.75, on peut approximer \(w_{\text{sat}}\) comme étant \(e / 2.7\). Pour notre sol avec \(e \approx 0.64\), on s'attend à un résultat de l'ordre de \(0.64 / 2.7 \approx 0.237\), soit 23.7%. C'est un bon moyen de vérifier son calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Remplissage des Vides par l'Eau
Calcul(s) (l'application numérique)
Le résultat est un ratio. On le multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage.
Conversion en pourcentage :
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Masses à Saturation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une teneur en eau à saturation de 23.6% signifie que lorsque ce sol est complètement saturé, la masse de l'eau qu'il contient représente 23.6% de la masse de ses grains solides. C'est une information cruciale. Si sur le terrain on mesure une teneur en eau de 20%, on sait que le sol est proche de la saturation et qu'une faible pluie pourrait le saturer, modifiant potentiellement son comportement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas inverser \(e\) et \(G_s\) dans la formule. L'indice des vides est au numérateur. De plus, ne pas oublier de convertir le résultat en pourcentage si la question le demande. Une réponse de "0.236" est correcte, mais "23.6%" est souvent la forme attendue.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La saturation correspond à \(S_r = 100\%\).
- La formule de base est \(S_r \cdot e = w \cdot G_s\).
- À saturation, cela devient \(w_{\text{sat}} = e / G_s\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le phénomène de liquéfaction des sables lors d'un tremblement de terre se produit dans des sables saturés et lâches. Les secousses sismiques augmentent brutalement la pression de l'eau dans les pores jusqu'à annuler les contraintes entre les grains. Le sol perd alors toute sa résistance et se comporte comme un liquide, d'où des effondrements de bâtiments spectaculaires.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un sol avec le même indice des vides (\(e=0.636\)) mais des grains plus légers (\(G_s=2.50\)), quelle serait la nouvelle \(w_{\text{sat}}\) en % ?
Question 4 : Calculer la masse volumique du sol saturé (\(\rho_{\text{sat}}\))
Principe (le concept physique)
La masse volumique saturée (\(\rho_{\text{sat}}\)) est la masse totale de l'échantillon (grains + eau remplissant tous les vides) divisée par le volume total. C'est le "poids" maximal que peut atteindre le sol pour un volume donné. C'est une valeur essentielle pour calculer les contraintes dans le sol sous le niveau de la nappe phréatique et pour les études de stabilité des pentes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse totale à saturation est la masse des solides (\(M_s\)) plus la masse de l'eau (\(M_w\)). On a \(M_s = V_s \cdot G_s \cdot \rho_w\) et \(M_w = V_v \cdot \rho_w\). Le volume total est \(V_t = V_s + V_v\). En remplaçant \(V_v = e \cdot V_s\) et en divisant la masse totale par le volume total, on obtient : \(\rho_{\text{sat}} = (V_s G_s \rho_w + e V_s \rho_w) / (V_s + e V_s)\), qui se simplifie en \(\rho_{\text{sat}} = ((G_s + e)\rho_w) / (1+e)\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Logiquement, la masse volumique saturée doit être supérieure à la masse volumique sèche, car on a remplacé l'air (de masse négligeable) par de l'eau dans les vides. Elle doit aussi être inférieure à la masse volumique des grains (\(G_s \cdot \rho_w = 2.70\) g/cm³), car il y a toujours des vides. Attendez-vous donc à un résultat compris entre 1.65 et 2.70 g/cm³.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de \(\rho_{\text{sat}}\) est une étape standard dans tout rapport géotechnique. Cette valeur est utilisée dans les calculs de contrainte effective selon le principe de Terzaghi (\(\sigma' = \sigma - u\)), où la contrainte totale \(\sigma\) dépend de \(\rho_{\text{sat}}\) sous la nappe, et \(u\) est la pression de l'eau. C'est la base de toute la mécanique des sols moderne.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il existe plusieurs formules équivalentes, la plus directe utilisant \(G_s\) et \(e\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul suppose que le sol est complètement saturé (\(S_r = 100\%\)) et que l'indice des vides ne change pas pendant la saturation (pas de gonflement ou de compression).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Indice des vides, \(e = 0.636\) (du calcul Q1)
- Densité relative des grains, \(G_s = 2.70\)
- Masse volumique de l'eau, \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une autre formule utile est \(\rho_{\text{sat}} = \rho_d (1 + w_{\text{sat}})\). Puisque nous avons déjà calculé \(\rho_d\) (donné) et \(w_{\text{sat}}\), le calcul peut être plus rapide : \(1.65 \times (1 + 0.236) = 1.65 \times 1.236 \approx 2.04\). C'est un excellent moyen de vérifier votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des Masses et Volumes
Calcul(s) (l'application numérique)
En utilisant \(G_s\) et \(e\) :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Masses Volumiques
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La masse volumique du sol augmente de 1.65 g/cm³ (à sec) à 2.04 g/cm³ (saturé), soit une augmentation de près de 24%. Cette augmentation de poids est considérable et doit être prise en compte dans le calcul des fondations et la stabilité des ouvrages en terre. Notre résultat est cohérent, car il se situe bien entre la masse volumique sèche et celle des grains.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre la masse volumique saturée (\(\rho_{\text{sat}}\)) avec la masse volumique déjaugée (\(\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\)), qui est utilisée pour le calcul des contraintes effectives. Assurez-vous d'utiliser la bonne formule et de ne pas oublier le terme \(\rho_w\) si vous n'êtes pas dans le système d'unités (g, cm³).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La masse volumique saturée est le "poids" du sol quand tous les vides sont pleins d'eau.
- La formule clé est \(\rho_{\text{sat}} = ((G_s + e)\rho_w) / (1+e)\).
- \(\rho_{\text{sat}}\) est toujours supérieure à \(\rho_d\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'ingénieur et scientifique autrichien Karl von Terzaghi est considéré comme le père de la mécanique des sols moderne. C'est lui qui, en 1925, a formulé le principe fondamental de la contrainte effective, qui stipule que la résistance d'un sol ne dépend que de la contrainte "effective" supportée par le squelette solide, et non de la pression de l'eau. Tous ces calculs de masse volumique en sont une application directe.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant l'astuce, si un sol a \(\rho_d = 1.80 \, \text{g/cm}^3\) et \(w_{\text{sat}} = 15\%\), quelle est sa \(\rho_{\text{sat}}\) en \(\text{g/cm}^3\) ?
Outil Interactif : Paramètres d'État du Sol
Modifiez les propriétés de base du sol pour voir leur influence sur sa capacité en eau.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le terme "géotechnique" a été proposé pour la première fois en 1948 par Karl von Terzaghi lors de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique des Sols à Rotterdam. Il voulait un terme plus large que "mécanique des sols" pour englober la géologie de l'ingénieur, l'hydrogéologie et d'autres sciences de la terre appliquées au génie civil. Il est aujourd'hui universellement adopté.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi utilise-t-on \(G_s\) (sans unité) plutôt que la masse volumique des grains \(\rho_s\) (en g/cm³) ?
La densité relative des grains \(G_s\) est le rapport de la masse volumique des grains \(\rho_s\) sur la masse volumique de l'eau \(\rho_w\). L'utiliser rend les formules plus simples et universelles, car le terme \(\rho_w\) est souvent factorisé. Comme \(\rho_w\) vaut 1 g/cm³, les valeurs numériques de \(G_s\) et \(\rho_s\) sont les mêmes dans ce système d'unités, ce qui est très pratique.
Est-ce qu'un sol peut se compacter quand on le sature ?
Oui, c'est un phénomène connu sous le nom d'effondrement ou de "collapse". Certains sols, notamment les limons déposés par le vent (loess), ont une structure de grains très lâche et métastable à l'état sec. Lorsqu'ils sont saturés, les liaisons faibles entre les grains se dissolvent, et la structure s'effondre brutalement sous son propre poids ou une faible charge, provoquant des tassements importants et soudains.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on compacte un sol (sa masse volumique sèche \(\rho_d\) augmente), sa teneur en eau à saturation \(w_{\text{sat}}\) va...
2. Deux sols ont le même indice des vides \(e\). Lequel aura la plus forte teneur en eau à saturation \(w_{\text{sat}}\) ?
- Indice des Vides (\(e\))
- Rapport du volume des vides sur le volume des particules solides. C'est une mesure de la compacité du squelette solide du sol.
- Teneur en Eau (\(w\))
- Rapport de la masse d'eau sur la masse des particules solides sèches, exprimé en pourcentage.
- Degré de Saturation (\(S_r\))
- Pourcentage du volume des vides qui est occupé par l'eau. Un sol est dit saturé lorsque \(S_r = 100\%\).
D’autres exercices de Géotechnique:
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