Calcul d’une Maçonnerie

Hypothèses et Modélisation

Pour simplifier, nous considérons que le mur est constitué d’une seule « longueur » de briques, posées avec des joints de mortier partout (horizontalement, verticalement et en épaisseur si nécessaire). On arrondit toujours à l’unité supérieure afin de garantir une provision suffisante, puis on ajoute 5 % pour tenir compte des pertes.

Données de l’exercice :

• Dimensions du mur :
  • Longueur : 10 m = 1000 cm
  • Hauteur : 2,5 m = 250 cm
• Brique standard (sans joint) :
  • Longueur = 20 cm
  • Hauteur = 10 cm
  • Épaisseur = 5 cm
• Épaisseur d’un joint de mortier : 1 cm
• Coûts :
  • Prix d’une brique = 0,50 €
  • Prix du mortier = 3 €/kg
• Densité (poids spécifique) du mortier : 2 kg/L
• Pertes de matériel à prévoir : 5 %

Remarque : Pour le calcul, nous utiliserons des dimensions dites « effectives » qui incluent un joint de 1 cm pour la longueur et la hauteur de la brique. Pour l’épaisseur du mur, nous supposerons, par simplification, une épaisseur effective égale à l’épaisseur de la brique plus un joint (5 cm + 1 cm = 6 cm).

1. Calcul du Nombre de Briques

On définit les dimensions effectives d’une brique une fois posée dans le mur en tenant compte du joint de mortier adjacent (dans la direction où le joint s’applique). Ainsi :
- Dimension effective en longueur = 20 cm + 1 cm = 21 cm
- Dimension effective en hauteur = 10 cm + 1 cm = 11 cm

Important : À la première brique d’une rangée, le joint à l’extrémité initiale peut être considéré comme faisant partie du support, mais ici, pour simplifier le calcul, on considère que toute la rangée est constituée de briques "avec joint", puis on arrondit pour être sûr de disposer de suffisamment de matériel.

Formule et Calcul :

1. Nombre de briques en une rangée horizontale :
\[ N_{\text{horizontales}} = \frac{\text{Longueur du mur en cm}}{\text{Longueur effective de la brique en cm}} \] Substitution :
\[ N_{\text{horizontales}} = \frac{1000\,\text{cm}}{21\,\text{cm}} \approx 47,62 \] \[ \Rightarrow \quad \text{Arrondi à } 48\,\text{briques} \]

2. Nombre de rangées verticales :
\[ N_{\text{verticales}} = \frac{\text{Hauteur du mur en cm}}{\text{Hauteur effective de la brique en cm}} \] Substitution :
\[ N_{\text{verticales}} = \frac{250\,\text{cm}}{11\,\text{cm}} \approx 22,73 \] \[ \Rightarrow \quad \text{Arrondi à } 23\,\text{rangées} \]

3. Nombre total de briques sans provision :
\[ N_{\text{total}} = N_{\text{horizontales}} \times N_{\text{verticales}} \] Substitution :
\[ N_{\text{total}} = 48 \times 23 \] \[ N_{\text{total}} = 1104\,\text{briques} \]

4. Ajout de la marge de 5 % pour les pertes :
\[ N_{\text{bricks final}} = 1104 \times 1,05 \] \[ N_{\text{bricks final}} = 1159,2 \] \[ \Rightarrow \quad \text{Arrondi à } 1160\,\text{briques} \]

2. Calcul du Volume de Mortier

La quantité de mortier nécessaire peut être estimée en calculant le volume total du mur (dimensionné avec les joints) et en soustrayant le volume total occupé par les briques elles-mêmes. Les joints occupant l’espace restant, leur volume correspond à la différence.
Pour cette estimation, on considère la paroi comme un parallélépipède avec :
- Longueur = 1000 cm
- Hauteur = 250 cm
- Épaisseur effective (incluant un joint) = 6 cm

Formule et Calcul :

1. Volume total du mur (avec joints) :
\[ V_{\text{mur}} = \text{Longueur} \times \text{Hauteur} \times \text{Épaisseur effective} \] Substitution :
\[ V_{\text{mur}} = 1000\,\text{cm} \times 250\,\text{cm} \times 6\,\text{cm} \] \[ V_{\text{mur}} = 1\,500\,000\,\text{cm}^3 \] Pour convertir en m³, sachant que \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\) :
\[ V_{\text{mur}} = 1,5\,\text{m}^3 \]

2. Volume d’une brique (sans mortier) :
\[ V_{\text{brique}} = \text{Longueur} \times \text{Hauteur} \times \text{Épaisseur} \] Substitution :
\[ V_{\text{brique}} = 20\,\text{cm} \times 10\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} \] \[ V_{\text{brique}} = 1000\,\text{cm}^3 \] En m³ :
\[ V_{\text{brique}} = 0,001\,\text{m}^3 \]

3. Volume total occupé par les briques :
\[ V_{\text{briques totales}} = N_{\text{total sans provision}} \times V_{\text{brique}} \] Substitution (en utilisant 1104 briques avant ajout de 5 %, car la perte s’applique aussi aux matériaux hors joints) :
\[ V_{\text{briques totales}} = 1104 \times 0,001\,\text{m}^3 \] \[ V_{\text{briques totales}} = 1,104\,\text{m}^3 \]

4. Volume de mortier nécessaire (avant la provision) :
\[ V_{\text{mortier}} = V_{\text{mur}} - V_{\text{briques totales}} \] Substitution :
\[ V_{\text{mortier}} = 1,5\,\text{m}^3 - 1,104\,\text{m}^3 \] \[ V_{\text{mortier}} = 0,396\,\text{m}^3 \]

5. Ajout de 5 % de provision pour le mortier :
\[ V_{\text{mortier final}} = 0,396\,\text{m}^3 \times 1,05 \] \[ V_{\text{mortier final}} \approx 0,4158\,\text{m}^3 \]

6. Conversion en litres :
Sachant que \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}\) :
\[ V_{\text{mortier final}} \approx 0,4158 \times 1000 \] \[ V_{\text{mortier final}} = 415,8\,\text{L} \]

7. Calcul de la masse de mortier nécessaire :
Avec un poids spécifique de 2 kg par litre :
\[ m_{\text{mortier}} = 415,8\,\text{L} \times 2\,\frac{\text{kg}}{\text{L}} \] \[ m_{\text{mortier}} \approx 831,6\,\text{kg} \]

3. Calcul du Coût Total des Matériaux

On calcule séparément le coût des briques et celui du mortier, puis on les additionne.

Formule et Calcul :

1. Coût des briques :
\[ \text{Coût briques} = N_{\text{bricks final}} \times \text{Prix d’une brique} \] Substitution :
\[ \text{Coût briques} = 1160 \times 0,50\,\text{€} \] \[ \text{Coût briques} = 580\,\text{€} \]

2. Coût du mortier :
\[ \text{Coût mortier} = m_{\text{mortier}} \times \text{Prix du mortier par kg} \] Substitution :
\[ \text{Coût mortier} = 831,6\,\text{kg} \times 3\,\text{€}/\text{kg} \] \[ \text{Coût mortier} = 2494,8\,\text{€} \]

3. Coût total :
\[ \text{Coût total} = \text{Coût briques} + \text{Coût mortier} \] Substitution :
\[ \text{Coût total} = 580\,\text{€} + 2494,8\,\text{€} = 3074,8\,\text{€} \]

Synthèse Finale

1. Calcul du Nombre de Briques :
- Nombre horizontal : 48 briques
- Nombre vertical : 23 rangées
- Total sans perte : 1104 briques
- Total avec 5 % de provision : 1160 briques

2. Calcul du Volume de Mortier :
- Volume total du mur : 1,5 m³
- Volume total des briques : 1,104 m³
- Volume de mortier avant provision : 0,396 m³
- Avec 5 % de provision : 0,4158 m³ ≈ 415,8 L
- Masse correspondante (2 kg/L) : 831,6 kg

3. Coût Total des Matériaux :
- Briques : 580 €
- Mortier : 2494,8 €
- Coût total ≈ 3074,8 €