Études de cas pratique

EGC

Calcul des contraintes thermiques

Calcul des Contraintes Thermiques

Comprendre les Contraintes Thermiques

Les matériaux se dilatent lorsqu'ils sont chauffés et se contractent lorsqu'ils sont refroidis. Ce phénomène est appelé dilatation thermique. Si un élément de structure est libre de se déformer, une variation de température induira un changement de longueur (ou de volume) sans générer de contraintes internes. Cependant, si la déformation due à la variation de température est empêchée (par exemple, par des appuis rigides), des contraintes internes, appelées contraintes thermiques, se développent dans le matériau. Ces contraintes peuvent être significatives et doivent être prises en compte dans la conception des structures.

Données de l'étude

Une barre en acier de section circulaire est encastrée rigidement à ses deux extrémités. À une température de référence, la barre est juste ajustée entre les encastrements sans contrainte initiale.

Caractéristiques de la barre et conditions :

  • Matériau : Acier
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section (\(d\)) : \(30 \, \text{mm}\)
  • Augmentation de température (\(\Delta T\)) : \(+60 \, ^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de dilatation thermique de l'acier (\(\alpha\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
  • Module de Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
Schéma : Barre Encastrée Soumise à une Variation de Température
Mur A Mur B Barre d'acier L0 = 2.0 m Augmentation ΔT = +60°C Fth Fth

Barre en acier encastrée aux deux extrémités et soumise à une augmentation de température.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre.
  2. Calculer l'allongement thermique libre (\(\delta_T\)) que subirait la barre si elle n'était pas encastrée.
  3. Puisque la barre est encastrée aux deux extrémités, quelle est la déformation axiale (\(\epsilon_{th}\)) qui est empêchée et qui correspond à la déformation mécanique induite ?
  4. Calculer la contrainte thermique (\(\sigma_{th}\)) induite dans la barre. Préciser si c'est une traction ou une compression.
  5. Calculer la force axiale (\(F_{th}\)) exercée par les encastrements sur la barre.

Correction : Calcul des Contraintes Thermiques

Question 1 : Aire de la Section Transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(d\)) : \(30 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (30 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 900}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 225\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 706.858 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale de la barre est \(A \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Allongement Thermique Libre (\(\delta_T\))

Principe :

L'allongement (ou la contraction) thermique libre d'un matériau est proportionnel à sa longueur initiale, à la variation de température et à son coefficient de dilatation thermique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_T = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]
Données spécifiques (unités cohérentes : m, °C) :
  • Coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(+60 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_T &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \cdot (2.0 \, \text{m}) \cdot (60 \, ^\circ\text{C}) \\ &= 12 \cdot 2.0 \cdot 60 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 1440 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 0.00144 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres : \(\delta_T = 0.00144 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} = 1.44 \, \text{mm}\).

Résultat Question 2 : L'allongement thermique libre serait \(\delta_T = 1.44 \, \text{mm}\).

Question 3 : Déformation Axiale Empêchée (\(\epsilon_{th}\))

Principe :

Puisque la barre est encastrée aux deux extrémités, son allongement total est nul. L'allongement thermique libre \(\delta_T\) doit donc être compensé par une déformation mécanique de compression \(\delta_M\) de même magnitude mais de signe opposé, de sorte que \(\delta_{total} = \delta_T + \delta_M = 0\). La déformation axiale (relative) empêchée, qui correspond à la déformation mécanique induite, est \(\epsilon_{th} = \delta_T / L_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon_{th} = \frac{\delta_T}{L_0} = \alpha \cdot \Delta T \]

Cette déformation \(\epsilon_{th}\) est celle qui serait observée si la barre était libre. Puisqu'elle est empêchée, une déformation mécanique \(\epsilon_M = -\epsilon_{th}\) est induite.

Données spécifiques :
  • \(\delta_T = 0.00144 \, \text{m}\)
  • \(L_0 = 2.0 \, \text{m}\)
  • Ou directement : \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\), \(\Delta T = 60 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{th} &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \cdot (60 \, ^\circ\text{C}) \\ &= 720 \times 10^{-6} \\ &= 0.00072 \end{aligned} \]

La déformation mécanique induite pour contrer cet allongement est \(\epsilon_M = -0.00072\).

Résultat Question 3 : La déformation axiale empêchée (et donc la déformation mécanique induite) est \(\epsilon_M = -0.00072\).

Question 4 : Contrainte Thermique (\(\sigma_{th}\))

Principe :

La contrainte thermique est la contrainte mécanique induite par l'empêchement de la déformation thermique. Elle est calculée par la loi de Hooke, en utilisant la déformation mécanique induite \(\epsilon_M\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{th} = E \cdot \epsilon_M = E \cdot (-\alpha \Delta T) \]
Données spécifiques (unités MPa) :
  • Module de Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
  • \(\epsilon_M = -0.00072\) (ou \(\alpha \Delta T = 0.00072\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{th} &= (210 \times 10^3 \, \text{MPa}) \cdot (-0.00072) \\ &= -151.2 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique une contrainte de compression, ce qui est attendu car la barre veut s'allonger (due au chauffage) mais est empêchée par les encastrements.

Résultat Question 4 : La contrainte thermique induite dans la barre est \(\sigma_{th} = -151.2 \, \text{MPa}\) (Compression).

Question 5 : Force Axiale (\(F_{th}\))

Principe :

La force axiale induite par la contrainte thermique est le produit de la contrainte thermique et de l'aire de la section transversale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{th} = \sigma_{th} \cdot A \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(\sigma_{th} = -151.2 \, \text{MPa} = -151.2 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(A \approx 706.86 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{th} &= (-151.2 \, \text{N/mm}^2) \cdot (706.86 \, \text{mm}^2) \\ &\approx -106877.6 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kiloNewtons : \(F_{th} \approx -106.88 \, \text{kN}\).

Le signe négatif indique une force de compression exercée par les encastrements sur la barre (ou une force de traction exercée par la barre sur les encastrements si elle tentait de se contracter).

Résultat Question 5 : La force axiale exercée par les encastrements sur la barre est \(F_{th} \approx -106.88 \, \text{kN}\) (force de compression).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la barre était en aluminium (\(\alpha_{alu} \approx 23 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\), \(E_{alu} \approx 70 \, \text{GPa}\)) au lieu d'acier, la contrainte thermique induite (pour le même \(\Delta T\)) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une contrainte thermique se développe dans un matériau si :

2. Si une barre encastrée aux deux extrémités est refroidie (\(\Delta T < 0\)), la contrainte thermique induite sera :

Glossaire

Dilatation Thermique
Phénomène par lequel les dimensions d'un corps varient en fonction de sa température. L'allongement ou la contraction est proportionnel à la variation de température.
Coefficient de Dilatation Thermique (\(\alpha\))
Propriété d'un matériau qui quantifie sa variation relative de longueur par degré de changement de température. Unité : \( /^\circ\text{C} \) ou \( / \text{K} \).
Allongement Thermique Libre (\(\delta_T\))
Changement de longueur qu'un corps subirait s'il était libre de se dilater ou de se contracter sous l'effet d'une variation de température, sans aucune contrainte externe. Calculé par \(\delta_T = \alpha L_0 \Delta T\).
Contrainte Thermique (\(\sigma_{th}\))
Contrainte mécanique induite dans un corps lorsque sa déformation thermique libre est empêchée ou restreinte par des conditions d'appui ou des liaisons externes. Pour une déformation totalement empêchée, \(\sigma_{th} = -E \alpha \Delta T\).
Module de Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation en traction ou compression uniaxiale.
Encastrement
Type d'appui qui empêche toute translation et toute rotation de l'extrémité d'un élément structural.
Calcul des Contraintes Thermiques - Exercice d'Application

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