Calcul des contraintes thermiques

Comprendre le Calcul des contraintes thermiques

Vous êtes ingénieur en structure et travaillez sur la conception d’un pont en acier. Une partie critique du design est de s’assurer que le pont peut résister aux variations de température saisonnières sans subir de dégâts structurels. En particulier, vous devez calculer les contraintes induites dans un élément du pont en acier en raison d’une variation de température.

Pour comprendre le calcul Poutre en Acier Traitée Thermiquement, cliquez sur le lien.

Données

Matériau: Acier
Coefficient de dilatation thermique de l’acier, \(\alpha\): \(12 \times 10^{-6}\) °C
Longueur initiale de l’élément, \(L\): 30 mètres
Variation de température, \(\Delta T\): -20°C en hiver et +35°C en été
Module d’Young de l’acier, \(E\): 210 GPa
Section transversale de l’élément: rectangulaire, 300 mm x 500 mm

Questions:

1. Calculez la variation de longueur de l’élément dû à la plus haute et à la plus basse température.

2. Supposons que l’élément ne puisse pas se dilater librement en raison de ses fixations aux deux extrémités. Calculez la contrainte induite dans l’élément pour chaque variation de température.

3. Déterminez si l’élément est susceptible de subir des dégâts en raison de ces contraintes, sachant que la limite élastique de l’acier utilisé est de 250 MPa.

Correction : Calcul des contraintes thermiques

1. Calcul de la variation de longueur de l’élément

La variation de longueur d’un matériau soumis à une variation de température (si le matériau est libre de se dilater ou de se contracter) est donnée par la relation :

\[ \Delta L = \alpha \cdot \Delta T \cdot L \]

\(\alpha\) : coefficient de dilatation thermique
\(\Delta T\) : variation de température
\(L\) : longueur initiale

1.1 Calcul pour \(\Delta T = -20~^\circ\text{C}\) (hiver)

Données :

\(\alpha = 12\times10^{-6}~^\circ\text{C}^{-1}\)
\(\Delta T = -20~^\circ\text{C}\)
\(L = 30\) m

Application de la formule :

\[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \times (-20) \times 30 \] \[ \Delta L = -2.4 \times 10^{-4} \times 30 \] \[ \Delta L = -7.2 \times 10^{-3}~\text{m} \]

Résultat :
La longueur diminue de 7,2 mm (\(-7.2\times10^{-3}\) m).

1.2 Calcul pour \(\Delta T = +35~^\circ\text{C}\) (été)

Données :

\(\alpha = 12\times10^{-6}~^\circ\text{C}^{-1}\)
\(\Delta T = +35~^\circ\text{C}\)
\(L = 30\) m

Application de la formule :

\[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \times 35 \times 30 \] \[ \Delta L = 4.2 \times 10^{-4} \times 30 \] \[ \Delta L = 12.6 \times 10^{-3}~\text{m} \]

Résultat :
La longueur augmente de 12,6 mm (\(12.6\times10^{-3}\) m).

2. Calcul de la contrainte induite lorsque l’élément est contraint

Lorsque l’élément est rigidement fixé à ses deux extrémités, il ne peut pas se dilater ou se contracter librement. Ainsi, la déformation thermique libre est annulée, ce qui induit une contrainte interne.

La contrainte induite est donnée par :

\[ \sigma = -E \cdot \epsilon_{\text{th}} \]

où la déformation thermique libre \(\epsilon_{\text{th}}\) est :

\[ \epsilon_{\text{th}} = \alpha \cdot \Delta T \]

Remarque sur le signe :

Pour une baisse de température (ΔT négatif), la contraction libre voudrait induire une déformation négative. Le fait de contraindre l’élément (empêcher cette contraction) crée une tension (contrainte positive).
Pour une hausse de température (ΔT positif), la dilatation libre serait positive. En contraignant l’élément, on induit une compression (contrainte négative).

Ainsi, la formule devient :

\[ \sigma = -E \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

2.1 Calcul pour \(\Delta T = -20~^\circ\text{C}\) (hiver)

Données :

\(E = 210\times10^9\) Pa
\(\alpha = 12\times10^{-6}~^\circ\text{C}^{-1}\)
\(\Delta T = -20~^\circ\text{C}\)

Application de la formule :

\[ \sigma = -210 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6} \times (-20) \]

\[ \sigma = -210 \times 10^9 \times (-2.4 \times 10^{-4}) \] \[ \sigma = 210 \times 10^9 \times 2.4 \times 10^{-4}
\] \[ \sigma = 50.4 \times 10^{6}~\text{Pa} \]

Résultat :

\(\sigma = +50.4\) MPa (contrainte de traction).

2.2 Calcul pour \(\Delta T = +35~^\circ\text{C}\) (été)}

Données :

\(E = 210\times10^9\) Pa
\(\alpha = 12\times10^{-6}~^\circ\text{C}^{-1}\)
\(\Delta T = +35~^\circ\text{C}\)

Application de la formule :

\[ \sigma = -210 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6} \times 35 \] \[ \sigma = -210 \times 10^9 \times 4.2 \times 10^{-4} \] \[ \sigma = 882 \times 10^{5} \] \[ \sigma = 88.2 \times 10^{6}~\text{Pa} \]

Résultat :
\(\sigma = -88.2\) MPa (contrainte de compression).

3. Vérification par rapport à la limite élastique

3.1 Comparaison des contraintes calculées avec la limite élastique

Contrainte en hiver (traction) : +50.4 MPa
Contrainte en été (compression) : –88.2 MPa
Limite élastique : 250 MPa

3.2 Conclusion

Analyse :
Les contraintes induites (50.4 MPa en traction et 88.2 MPa en compression) sont bien inférieures à la limite élastique de 250 MPa.

Conclusion :
L’élément n’est pas susceptible de subir des dégâts structurels en raison des variations de température, puisque les contraintes induites restent dans le domaine élastique du matériau.

Calcul des contraintes thermiques

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