Études de cas pratique

EGC

Calcul de la poussée des terres sur un mur

Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique

Comprendre le Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique

Les murs de soutènement sont des ouvrages conçus pour retenir des masses de terre. La poussée exercée par ces terres sur le mur est une sollicitation majeure à prendre en compte dans leur dimensionnement. Le calcul de cette poussée dépend des caractéristiques du sol, de la géométrie du mur et des conditions de drainage. La théorie de Rankine est souvent utilisée pour une première estimation de la poussée active (lorsque le mur peut légèrement se déplacer) ou passive (lorsque le mur est poussé contre le sol).

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Calculer le coefficient de poussée active des terres selon Rankine.
  • Déterminer la distribution de la contrainte de poussée active sur la hauteur du mur.
  • Calculer la résultante de la poussée active des terres.
  • Déterminer le point d'application de cette résultante.

Données de l'Exercice

Un mur de soutènement vertical retient un massif de sable sec.

Caractéristiques du mur et du sol :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Surface du terrain derrière le mur : Horizontale
  • Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du sable (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
  • Cohésion du sable (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • On considère le mur lisse pour simplifier (pas de frottement sol-mur).
Schéma d'un Mur de Soutènement et Poussée des Terres
Mur Sol (γ, φ') Poussée σ'h(H) Pa H/3 H = 4m

Schéma illustrant la poussée active des terres sur un mur de soutènement.

Questions à Traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  2. Calculer la contrainte de poussée active horizontale (\(\sigma'_{ha}\)) à la base du mur (à la profondeur \(H\)).
  3. Calculer la résultante de la poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
  4. Déterminer la hauteur du point d'application (\(h_a\)) de la résultante \(P_a\) par rapport à la base du mur.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique

Question 1 : Coefficient de poussée active des terres (\(K_a\))

Principe :

Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)) avec une surface de terrain horizontale derrière le mur et un mur vertical lisse, le coefficient de poussée active de Rankine est donné par :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \quad \text{ou} \quad K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]

En utilisant l'autre formule :

\[ \begin{aligned} K_a &= \frac{1 - \sin(30^\circ)}{1 + \sin(30^\circ)} \\ &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a \approx 0.333\).

Quiz Intermédiaire (Q1) : Si l'angle de frottement interne \(\phi'\) du sol augmente, le coefficient de poussée active \(K_a\) :

Question 2 : Contrainte de poussée active horizontale (\(\sigma'_{ha}\)) à la base du mur

Principe :

La contrainte de poussée active horizontale à une profondeur \(z\) dans un sol pulvérulent sec avec surface horizontale est donnée par \(\sigma'_{ha}(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z)\), où \(\sigma'_v(z) = \gamma \cdot z\) est la contrainte effective verticale à cette profondeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma'_{ha}(H) = K_a \cdot \gamma \cdot H \]
Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.333\) (résultat Q1)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{ha}(H) &= 0.333 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 4.0 \, \text{m} \\ &\approx 0.333 \times 72 \, \text{kPa} \\ &\approx 23.976 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Si on utilise \(K_a = 1/3\) exactement : \(\sigma'_{ha}(H) = (1/3) \times 18 \times 4 = 24 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La contrainte de poussée active horizontale à la base du mur est \(\sigma'_{ha}(H) \approx 24.0 \, \text{kPa}\).

Quiz Intermédiaire (Q2) : La distribution de la contrainte de poussée active sur un mur retenant un sol pulvérulent sec avec surface horizontale est :

Question 3 : Résultante de la poussée active des terres (\(P_a\))

Principe :

Pour une distribution triangulaire de la contrainte de poussée, la résultante est l'aire du triangle de poussée. L'aire d'un triangle est (base × hauteur) / 2. Ici, la "base" du triangle de contrainte est \(\sigma'_{ha}(H)\) et la "hauteur" est \(H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_a = \frac{1}{2} \sigma'_{ha}(H) \times H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma'_{ha}(H) \approx 24.0 \, \text{kPa}\) (résultat Q2, en utilisant \(K_a=1/3\))
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
  • Ou : \(K_a = 1/3\), \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 24.0 \, \text{kPa} \times 4.0 \, \text{m} \\ &= 48.0 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

Ou directement avec la formule générale :

\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{6} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 16 \, \text{m}^2 \\ &= 3 \, \text{kN/m} \times 16 \, \text{m} \\ &= 48.0 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résultante de la poussée active des terres est \(P_a = 48.0 \, \text{kN/ml}\).

Question 4 : Hauteur du point d'application (\(h_a\)) de la résultante \(P_a\)

Principe :

Pour une distribution triangulaire de la poussée des terres (cas d'un sol pulvérulent homogène avec surface horizontale), la résultante s'applique au tiers de la hauteur du mur, mesurée à partir de la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_a = \frac{H}{3} \]
Données spécifiques :
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_a &= \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \\ &\approx 1.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le point d'application de la résultante \(P_a\) est à environ \(1.33 \, \text{m}\) au-dessus de la base du mur.

Quiz Intermédiaire (Q4) : Si la distribution de la poussée était uniforme (rectangulaire) au lieu de triangulaire, le point d'application de la résultante serait :

Quiz Récapitulatif

1. Le coefficient de poussée active \(K_a\) est utilisé lorsque le mur :

2. Pour un sol purement cohérent (\(\phi_u = 0\)) en conditions non drainées, la poussée active à une profondeur \(z\) (sans nappe et surface horizontale) est donnée par :

3. Le point d'application de la résultante d'une poussée triangulaire sur un mur de hauteur H se situe à :

Glossaire

Poussée des Terres
Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement (mur, écran).
Poussée Active (\(P_a\))
Poussée minimale exercée par le sol lorsque le mur peut se déplacer légèrement en s'éloignant du massif de terre.
Poussée Passive (\(P_p\))
Résistance maximale que le sol peut opposer lorsque le mur est poussé contre le massif de terre.
Coefficient de Poussée (\(K_a, K_p, K_0\))
Coefficient adimensionnel qui relie la contrainte horizontale effective à la contrainte verticale effective. \(K_a\) pour la poussée active, \(K_p\) pour la passive, \(K_0\) pour la poussée au repos.
Théorie de Rankine
Méthode de calcul de la poussée des terres qui suppose un mur vertical lisse et un remblai horizontal, et considère l'équilibre d'un élément de sol.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Caractéristique du sol représentant sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains.
Cohésion (\(c'\) ou \(c_u\))
Caractéristique du sol représentant sa résistance au cisaillement intrinsèque, indépendante de la contrainte normale.
Contrainte Effective (\(\sigma'\))
Contrainte supportée par le squelette solide du sol.
Exercice : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique - Application Pratique

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