Calcul des pressions de terre
Comprendre le calcul des pressions de terre
Vous êtes ingénieur géotechnique dans une société de construction chargée de concevoir un mur de soutènement le long d’une nouvelle route. La route est située sur un terrain incliné, et le mur de soutènement est nécessaire pour empêcher l’érosion du sol et assurer la stabilité de la route. La région présente un sol granulaire sans cohésion.
Pour comprendre la Pressions de Terre au Repos et en Mouvement, cliquez sur le lien.
Données fournies pour l’exercice:
- Hauteur du mur de soutènement: \(H = 5\, \text{m}\)
- Angle de frottement interne du sol (\(\phi\)): \(30^\circ\)
- Densité du sol (\(\gamma\)): \(18\, \text{kN/m}^3\)
- Angle d’inclinaison du terrain derrière le mur (\(\beta\)): \(0^\circ\) (terrain horizontal pour simplifier)
- Coefficient de poussée des terres au repos (\(K_0\)): non requis ici car nous calculons la pression active et passive
- Supposons l’absence d’eau souterraine (pas de poussée hydrostatique)
Questions:
1. Calculer la pression de terre active (\(P_a\)) en utilisant la formule de Rankine
2. Calculer la pression de terre passive (\(P_p\)) avec la formule de Rankine adaptée pour la pression passive
Correction : Calcul des pressions de terre
1. Calcul de la pression de terre active (\(P_a\))
Pour un sol sans cohésion et un mur vertical, la formule de Rankine pour la pression active s’appuie sur le coefficient d’action active (\(K_a\)) qui dépend de l’angle de frottement interne (\(\phi\)). La distribution de la pression est triangulaire et la force totale s’exprime par :
\[ P_a = \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_a \]
1.1. Formule et calcul de \(K_a\)
Le coefficient d’action active est calculé par :
\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ – \frac{\phi}{2}\right) \]
Données utilisées :
- \(\phi = 30^\circ\)
Calcul détaillé :
1. Calculer l’angle dans la parenthèse :
\[ 45^\circ – \frac{30^\circ}{2} = 45^\circ – 15^\circ = 30^\circ \]
2. Calculer la tangente de \(30^\circ\) :
\[ \tan(30^\circ) \approx 0,57735 \]
3. Élever ce résultat au carré :
\[ K_a = (0,57735)^2 \approx 0,3333 \]
1.2. Calcul de la force de pression active (\(P_a\))
En utilisant la formule :
\[ P_a = \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_a \]
Substitution des données :
- \(\gamma = 18\,\text{kN/m}^3\)
- \(H = 5\,\text{m}\)
- \(K_a \approx 0,3333\)
Détail des calculs :
1. Calcul de \(H^2\) :
\[ H^2 = 5^2 = 25\,\text{m}^2 \]
2. Multiplier la densité par \(H^2\) :
\[ \gamma \, H^2 = 18\,\text{kN/m}^3 \times 25\,\text{m}^2 \] \[ = 450\,\text{kN/m} \]
3. Appliquer le coefficient \(K_a\) :
\[ 450\,\text{kN/m} \times 0,3333 \approx 150\,\text{kN/m} \]
4. Appliquer le facteur \(\frac{1}{2}\) :
\[ P_a = \frac{1}{2} \times 150\,\text{kN/m} \] \[ P_a = 75\,\text{kN/m} \]
Conclusion pour la pression active :
La pression de terre active est Pₐ ≈ 75 kN/m.
2. Calcul de la pression de terre passive (\(P_p\))
Pour la pression passive, on utilise la formule similaire à celle de la pression active, mais avec le coefficient d’action passive (\(K_p\)) qui s’exprime par :
\[ P_p = \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_p \]
2.1. Formule et calcul de \(K_p\)
Le coefficient d’action passive est calculé par :
\[ K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) \]
Données utilisées :
- \(\phi = 30^\circ\)
Calcul détaillé :
1. Calculer l’angle dans la parenthèse :
\[ 45^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ \]
2. Calculer la tangente de \(60^\circ\) :
\[ \tan(60^\circ) \approx 1,73205 \]
3. Élever ce résultat au carré :
\[ K_p = (1,73205)^2 \approx 3,0 \]
2.2. Calcul de la force de pression passive (\(P_p\))
En utilisant la formule :
\[ P_p = \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_p \]
Substitution des données :
- \(\gamma = 18\,\text{kN/m}^3\)
- \(H = 5\,\text{m}\)
- \(K_p \approx 3,0\)
Détail des calculs :
1. Comme précédemment, \(H^2 = 25\,\text{m}^2\)
2. Calcul de \(\gamma \times H^2\) :
\[ \gamma \, H^2 = 18\,\text{kN/m}^3 \times 25\,\text{m}^2 \] \[ = 450\,\text{kN/m} \]
3. Appliquer le coefficient \(K_p\) :
\[ 450\,\text{kN/m} \times 3,0 = 1350\,\text{kN/m} \]
4. Appliquer le facteur \(\frac{1}{2}\) :
\[ P_p = \frac{1}{2} \times 1350\,\text{kN/m} \] \[ P_p = 675\,\text{kN/m} \]
Conclusion pour la pression passive :
La pression de terre passive est Pₚ ≈ 675 kN/m.
Calcul des pressions de terre
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