Calcul de l’Angle de Talus dans Différents Sols
Comprendre le Calcul de l’Angle de Talus dans Différents Sols
Vous êtes ingénieur civil travaillant sur un projet de construction d’une route qui doit traverser une zone vallonnée. Pour préparer le terrain, il est nécessaire de réaliser des travaux de terrassement en créant des talus. La stabilité de ces talus est cruciale pour la sécurité et la viabilité du projet.
Pour comprendre l’Évaluation des propriétés d’un sol, cliquez sur le lien.
Données :
- Le sol est constitué de trois couches :
- Couche supérieure : Argile avec une cohésion de 25 kPa et un angle de frottement interne de 20°.
- Couche intermédiaire : Sable limoneux avec une cohésion de 5 kPa et un angle de frottement interne de 30°.
- Couche inférieure : Gravier avec un angle de frottement interne de 40° et négligeable cohésion.
Poids volumique moyen des sols (\(\gamma\)) :
– Argile : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
– Sable limoneux : \(17 \, \text{kN/m}^3\)
– Gravier : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
- La hauteur prévue pour le talus est de 10 mètres.
- La route doit pouvoir supporter un trafic de véhicules lourds, ce qui nécessite une largeur de base du talus de 15 mètres.
- La région connaît des précipitations annuelles moyennes de 1200 mm, ce qui peut influencer la stabilité du talus en raison de la saturation des sols.
Question :
Déterminer l’angle de talus nécessaire pour chaque couche de sol pour assurer une stabilité optimale sans recourir à des structures de soutènement coûteuses.
Correction : Calcul de l’Angle de Talus dans Différents Sols
Remarque générale :
Dans un talus plan, le facteur de sécurité peut être exprimé par la somme des contributions de la cohésion et de la résistance par frottement. Une expression simplifiée (dans le cadre d’un modèle infinitésimal ou d’une analyse de glissement plan) est :
\[ FS = \frac{c}{\gamma\,H\,\sin\theta} + \frac{\tan\varphi}{\tan\theta} \]
où
- \(c\) est la cohésion (en kPa),
- \(\varphi\) est l’angle de frottement interne,
- \(\gamma\) est le poids volumique du sol (en kN/m³),
- \(H\) est la hauteur du talus (en m),
- \(\theta\) est l’angle de talus recherché (en °).
Pour un sol dépourvu de cohésion (ou négligeable), le premier terme disparaît et la stabilité se réduit à :
\[ FS = \frac{\tan\varphi}{\tan\theta}\quad\Longrightarrow\quad \tan\theta = \frac{\tan\varphi}{FS} \]
Nous appliquons cette démarche pour chacune des trois couches, en substituant les valeurs numériques données.
1. Calcul de l’angle de talus pour l’Argile
Données :
- Cohésion : \( c = 25\ \text{kPa} \)
- Angle de frottement interne : \( \varphi = 20^\circ \)
- Poids volumique : \( \gamma = 18\ \text{kN/m}^3 \)
- Hauteur du talus : \( H = 10\ \text{m} \)
- Facteur de sécurité exigé : \( FS = 1,5 \)
Formule utilisée :
\[ FS = \frac{c}{\gamma\,H\,\sin\theta} + \frac{\tan\varphi}{\tan\theta} \]
Substitution des données et réécriture de l’équation :
1. Calcul du premier terme constant :
\[ \frac{c}{\gamma\,H} = \frac{25}{18 \times 10} = \frac{25}{180} \approx 0,13889 \]
Ce terme apparaît sous la forme :
\[ \frac{0,13889}{\sin\theta} \]
2. Calcul de \(\tan\varphi\) pour \(\varphi=20^\circ\) :
\[ \tan(20^\circ) \approx 0,36397 \]
3. L’équation de stabilité devient alors :
\[ \frac{0,13889}{\sin\theta} + \frac{0,36397}{\tan\theta} = 1,5 \]
Or, comme \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\), le deuxième terme se réécrit :
\[ \frac{0,36397}{\tan\theta} = 0,36397\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]
4. L’équation s’écrit donc sous la forme :
\[ \frac{0,13889 + 0,36397\,\cos\theta}{\sin\theta} = 1,5 \]
Résolution (par recherche numérique) :
Nous cherchons \(\theta\) tel que :
\[ 0,13889 + 0,36397\,\cos\theta = 1,5\,\sin\theta \]
Nous procédons par essais :
- Pour \(\theta = 15^\circ\) :
\(\sin15^\circ \approx 0,25882\) et \(\cos15^\circ \approx 0,96593\)
Calcul du membre de gauche (LG) :
\[ = 0,13889 + 0,36397 \times 0,96593 \] \[ \approx 0,13889 + 0,35158 \] \[ = 0,49047 \]
Membre de droite (MR) :
\[ 1,5 \times 0,25882 \approx 0,38823 \]
Ici, LG \(>\) MR.
- Pour \(\theta = 20^\circ\) :
\(\sin20^\circ \approx 0,34202\) et \(\cos20^\circ \approx 0,93969\)
LG :
\[ = 0,13889 + 0,36397 \times 0,93969 \approx 0,13889 + 0,34196 \] \[ = 0,48085 \]
MR :
\[ 1,5 \times 0,34202 \approx 0,51303 \]
Ici, LG \(<\) MR.
On constate que l’égalité se situe entre 15° et 20°. En affinant (par exemple avec \(\theta \approx 18,8^\circ\)) on trouve que :
Pour \(\theta \approx 18,8^\circ\), les deux membres sont quasiment égaux.
Conclusion pour l’Argile :
L’angle de talus maximum admissible pour l’argile, afin d’obtenir \(FS = 1,5\), est d’environ 18,8°.
2. Calcul de l’angle de talus pour le Sable limoneux
Données :
- Cohésion : \( c = 5\ \text{kPa} \)
- Angle de frottement interne : \( \varphi = 30^\circ \)
- Poids volumique : \( \gamma = 17\ \text{kN/m}^3 \)
- Hauteur du talus : \( H = 10\ \text{m} \)
- \( FS = 1,5 \)
Formule utilisée :
\[ FS = \frac{c}{\gamma\,H\,\sin\theta} + \frac{\tan\varphi}{\tan\theta} \]
Substitution des données :
1. Premier terme :
\[ \frac{c}{\gamma\,H} = \frac{5}{17 \times 10} = \frac{5}{170} \approx 0,02941 \]
Ce terme devient :
\[ \frac{0,02941}{\sin\theta} \]
2. Calcul de \(\tan\varphi\) pour \(\varphi = 30^\circ\) :
\[ \tan(30^\circ) \approx 0,57735 \]
3. L’équation devient :
\[ \frac{0,02941}{\sin\theta} + \frac{0,57735}{\tan\theta} = 1,5 \]
Avec \(\frac{0,57735}{\tan\theta} = 0,57735\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\), on obtient :
\[ \frac{0,02941 + 0,57735\,\cos\theta}{\sin\theta} = 1,5 \]
Résolution (recherche numérique) :
Nous avons à résoudre :
\[ 0,02941 + 0,57735\,\cos\theta = 1,5\,\sin\theta \]
Par essais :
- Pour \(\theta = 20^\circ\) :
\(\sin20^\circ \approx 0,34202\), \(\cos20^\circ \approx 0,93969\)
LG :
\[ = 0,02941 + 0,57735 \times 0,93969 \] \[ \approx 0,02941 + 0,54207 \] \[ = 0,57148 \]
MR :
\[ 1,5 \times 0,34202 \approx 0,51303 \]
Ici, LG \(>\) MR.
- Pour \(\theta = 22^\circ\) :
\(\sin22^\circ \approx 0,37461\), \(\cos22^\circ \approx 0,92718\)
LG :
\[ = 0,02941 + 0,57735 \times 0,92718 \] \[ \approx 0,02941 + 0,53538 \] \[ = 0,56479 \]
MR :
\[ 1,5 \times 0,37461 \approx 0,56192 \]
Les valeurs sont quasiment égales.
Conclusion pour le Sable limoneux :
L’angle de talus maximum admissible pour le sable limoneux est d’environ 22°.
3. Calcul de l’angle de talus pour le Gravier
Données :
- Le gravier présente une cohésion négligeable : \( c \approx 0 \)
- Angle de frottement interne : \( \varphi = 40^\circ \)
- Poids volumique : \( \gamma = 19\ \text{kN/m}^3 \)
- Hauteur du talus : \( H = 10\ \text{m} \)
- \( FS = 1,5 \)
Formule utilisée (pour un sol cohésionnellement négligeable) :
Comme \( c \approx 0 \), la formule se simplifie en :
\[ FS = \frac{\tan\varphi}{\tan\theta} \]
Pour \( FS = 1,5 \), on a :
\[ \tan\theta = \frac{\tan\varphi}{FS} \]
Calcul numérique :
1. Calcul de \(\tan(40^\circ)\) :
\[ \tan(40^\circ) \approx 0,83910 \]
2. Détermination de \(\tan\theta\) :
\[ \tan\theta = \frac{0,83910}{1,5} \approx 0,55940 \]
3. Calcul de l’angle \(\theta\) :
\[ \theta = \arctan(0,55940) \approx 29,3^\circ \]
Conclusion pour le Gravier :
L’angle de talus maximum admissible pour le gravier est d’environ 29,3°.
Synthèse finale et remarques complémentaires
- Argile : Angle de talus ≈ 18,8°
- Sable limoneux : Angle de talus ≈ 22°
- Gravier : Angle de talus ≈ 29,3°
Remarque sur les conditions réelles :
Les précipitations annuelles moyennes de 1200 mm peuvent conduire à la saturation partielle ou totale des sols, modifiant ainsi la cohésion effective et l’angle de frottement (par effet de réduction de la résistance intergranulaire et augmentation des pressions interstitielle). Ainsi, ces calculs représentent une première estimation en conditions « sèches » ou en utilisant les propriétés « initiales ». Une analyse complémentaire en cas de saturation (ou en intégrant des facteurs de correction hydrologiques) sera nécessaire pour affiner le dimensionnement du talus.De plus, la géométrie imposée par le projet (talus de 10 m de hauteur avec une base de 15 m, soit une pente d’environ 33,7° par rapport à l’horizontale) devra être comparée aux angles maximum admissibles calculés pour chaque couche. Ici, la couche la plus critique (l’argile) limite la conception, ce qui pourrait conduire à la nécessité de modifier la géométrie ou d’envisager des mesures de stabilisation.
Calcul de l’Angle de Talus dans Différents Sols
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