EGC

Dimensionnement d’une Longrine

Dimensionnement d’une Longrine en Béton Armé

Dimensionnement d’une Longrine en béton armé

Contexte : Quel est le rôle d'une longrine ?

Une longrinePoutre en béton armé reposant sur des appuis discrets (plots, pieux) et servant à supporter des charges, comme un mur de soubassement. est une poutre en béton armé qui repose sur des appuis discrets, tels que des plots de fondation ou des têtes de pieux. Son rôle principal est de répartir les charges d'un mur ou de poteaux sur ces appuis et de franchir une portée sans contact direct avec le sol sous-jacent. Le dimensionnement correct de ses armatures est essentiel pour qu'elle puisse résister aux efforts de flexion et de cisaillement sans se rompre ni subir de déformations excessives.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le processus complet de dimensionnement des armatures longitudinales d'une longrine soumise à des charges uniformément réparties, en suivant les principes de l'Eurocode 2. Vous apprendrez à déterminer les charges, à calculer les sollicitations (moment fléchissant et effort tranchant) et à en déduire la section d'acier nécessaire.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges permanentes (poids propre, mur) et d'exploitation.
  • Déterminer la charge de calcul à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant maximal (\(V_{\text{Ed}}\)).
  • Dimensionner les armatures longitudinales de flexion (\(A_s\)) requises.
  • Vérifier les dispositions constructives minimales et maximales pour le ferraillage.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une longrine en béton armé de section rectangulaire, simplement appuyée sur deux semelles de fondation. Cette longrine supporte un mur en maçonnerie sur toute sa longueur.

Schéma de la longrine et de son chargement
Mur en maçonnerie (g_mur) Longrine (b=30, h=50) L = 6.0 m

Caractéristiques du projet et des matériaux :

  • Portée de la longrine entre appuis : \(L = 6.0 \, \text{m}\).
  • Section de la longrine : base \(b = 30 \, \text{cm}\), hauteur \(h = 50 \, \text{cm}\).
  • Charge permanente du mur : \(g_{\text{mur}} = 12 \, \text{kN/m}\).
  • Charge d'exploitation sur la longrine : \(q = 5 \, \text{kN/m}\).
  • Classe de résistance du béton : \(\text{C25/30}\) (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\)).
  • Limite d'élasticité de l'acier : \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\).
  • Enrobage des armatures : \(c = 3.5 \, \text{cm}\).
  • Poids volumique du béton armé : \(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m}^3\).
  • Coefficients partiels de sécurité : \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\), \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\).

Questions à traiter

  1. Calculer les charges permanentes totales (\(G\)) et la charge de calcul à l'ELU (\(P_u\)).
  2. Déterminer le moment fléchissant maximal à l'ELU (\(M_{\text{Ed}}\)).
  3. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) et le bras de levier (\(z\)).
  4. Calculer la section d'armatures longitudinales requise (\(A_s\)).
  5. Proposer un schéma de ferraillage longitudinal et transversal pour la longrine.

Correction : Dimensionnement d’une Longrine en béton armé

Question 1 : Calculer les charges et la sollicitation de calcul (\(P_u\))

Principe (le concept physique)

La première étape de tout dimensionnement est d'identifier et de quantifier toutes les forces qui s'appliquent sur la structure. On distingue les charges permanentes (G), qui sont toujours présentes (poids propre, poids des éléments portés), des charges d'exploitation (Q), qui sont variables (personnes, mobilier, neige). Pour le calcul à l'État Limite Ultime (ELU), on majore ces charges avec des coefficients de sécurité pour obtenir la charge de calcul \(P_u\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions à l'ELU la plus courante est \(1.35G + 1.5Q\). Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes G couvre les incertitudes sur les poids volumiques des matériaux et les dimensions. Le coefficient 1.5 sur les charges d'exploitation Q couvre l'incertitude sur l'intensité et la localisation de ces charges, qui sont par nature plus aléatoires. L'objectif est de garantir que la structure reste sûre même dans les conditions de chargement les plus défavorables probables au cours de sa vie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul du poids propre est une étape souvent oubliée mais fondamentale. Une structure doit avant tout être capable de se supporter elle-même ! Assurez-vous de bien utiliser les bonnes unités (mètres pour les dimensions, kN/m³ pour le poids volumique) pour obtenir une charge linéique en kN/m.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 0 (NF EN 1990), Clause 6.4.3.2 & Annexe Nationale : Cette norme définit les principes des combinaisons d'actions pour les calculs de sécurité. La formule \(1.35G + 1.5Q\) est la combinaison fondamentale la plus utilisée pour les bâtiments courants en France.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que toutes les charges sont uniformément réparties sur la longueur de la longrine. On néglige les effets dynamiques et on considère un cas de charge simple.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre de la longrine (\(g_{pp}\)) :

\[ g_{pp} = b \times h \times \gamma_{\text{béton}} \]

Charge permanente totale (\(G\)) :

\[ G = g_{pp} + g_{\text{mur}} \]

Charge de calcul à l'ELU (\(P_u\)) :

\[ P_u = 1.35 \times G + 1.5 \times Q \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = 0.30 \, \text{m}\) ; \(h = 0.50 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(g_{\text{mur}} = 12 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q = q = 5 \, \text{kN/m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre :

\[ \begin{aligned} g_{pp} &= 0.30 \, \text{m} \times 0.50 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 3.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul de la charge permanente totale :

\[ \begin{aligned} G &= 3.75 \, \text{kN/m} + 12 \, \text{kN/m} \\ &= 15.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul de la charge de calcul à l'ELU :

\[ \begin{aligned} P_u &= 1.35 \times 15.75 \, \text{kN/m} + 1.5 \times 5 \, \text{kN/m} \\ &= 21.26 \, \text{kN/m} + 7.5 \, \text{kN/m} \\ &= 28.76 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de calcul ultime, 28.76 kN/m, est la charge "fictive" que la longrine doit pouvoir supporter sans rompre. On remarque que le poids du mur représente la part la plus importante des charges permanentes, et que les charges permanentes pondérées (21.26 kN/m) sont bien plus significatives que les charges d'exploitation pondérées (7.5 kN/m) dans ce cas précis.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est fondamentale car elle transforme des données physiques (dimensions, matériaux) en une sollicitation de calcul unique (\(P_u\)) qui intègre les notions de sécurité réglementaires. Toutes les vérifications de résistance qui suivent se baseront sur cette charge ultime.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur d'unité : Une erreur fréquente est de mélanger les cm et les m dans le calcul du poids propre. Convertissez toujours toutes les dimensions en mètres avant de multiplier par le poids volumique en kN/m³.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans des cas plus complexes, comme pour les ponts ou les structures industrielles, il existe de nombreuses autres combinaisons d'actions à vérifier, incluant le vent, la neige, les variations de température, ou les effets sismiques, chacune avec ses propres coefficients de sécurité.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pondère-t-on pas le poids propre et le mur avec des coefficients différents ?

Les deux sont des charges permanentes (G). Le poids propre est une charge permanente "directe", et le mur une charge permanente "indirecte". Selon l'Eurocode, toutes les charges permanentes sont regroupées et affectées du même coefficient \(\gamma_G\) (ici, 1.35).

Résultat Final : La charge de calcul à l'ELU est \(P_u\) = 28.76 kN/m.

À vous de jouer !

Question 2 : Déterminer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)
M_max

Sous l'effet de la charge répartie \(P_u\), la longrine se déforme en flexion. Le moment fléchissant est une mesure de l'effort interne qui provoque cette flexion. Pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniforme, le moment est nul aux appuis et maximal au milieu de la travée. C'est ce moment maximal, noté \(M_{\text{Ed}}\), qui va dimensionner les armatures principales en partie basse de la longrine.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du moment fléchissant provient de l'intégration de l'effort tranchant le long de la poutre, qui lui-même provient de l'intégration des charges. Pour une poutre isostatique (simplement appuyée), les réactions d'appui sont d'abord calculées (\(R = P_u L / 2\)). L'effort tranchant à une distance x de l'appui est \(V(x) = R - P_u x\). Le moment fléchissant est \(M(x) = \int V(x) dx = Rx - P_u x^2/2\). Ce moment est maximal lorsque sa dérivée (l'effort tranchant) est nulle, ce qui se produit à mi-portée (x = L/2).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La formule \(P_u L^2 / 8\) est un grand classique de la Résistance Des Matériaux (RDM) qu'il faut connaître par cœur. Elle ne s'applique que pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie. Pour d'autres cas de chargement ou d'appuis, les formules changent !

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), Annexe C : Bien que l'Eurocode ne donne pas directement les formules de RDM, ses annexes fournissent des méthodes simplifiées et des abaques pour les cas courants de poutres continues. Le calcul du moment par la RDM reste la base de tout dimensionnement.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On modélise la longrine comme une poutre isostatique (appuis simples), ce qui est une hypothèse courante et sécuritaire. On considère que la charge \(P_u\) est parfaitement uniforme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment fléchissant maximal à l'ELU :

\[ M_{\text{Ed}} = \frac{P_u \cdot L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul \(P_u\) : \(28.76 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L\) : \(6.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{28.76 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{28.76 \times 36}{8} \\ &= 129.42 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un moment de 129.42 kN.m est une sollicitation significative qui va nécessiter une section d'acier conséquente. Ce moment crée une traction maximale en fibre inférieure de la poutre à mi-portée, et une compression maximale en fibre supérieure. C'est pour reprendre cette traction que nous allons calculer les armatures.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de \(M_{\text{Ed}}\) est l'étape qui relie les charges externes aux efforts internes dans la structure. C'est la sollicitation principale pour le dimensionnement en flexion. Sans cette valeur, il est impossible de déterminer la quantité d'acier nécessaire pour que la poutre ne rompe pas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré sur la portée L : L'erreur la plus fréquente en RDM est d'oublier de mettre la portée au carré (\(L^2\)) dans la formule du moment, ce qui conduit à une sous-estimation drastique de l'effort.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la longrine était continue sur plusieurs travées, le moment maximal en travée serait plus faible (proche de \(P_u L^2 / 10\)), mais des moments négatifs (provoquant une traction en partie supérieure) apparaîtraient au-dessus des appuis intermédiaires, nécessitant des armatures en chapeau.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on aussi calculer l'effort tranchant ?

Oui, absolument. L'effort tranchant maximal, \(V_{\text{Ed}} = P_u L / 2\), est utilisé pour vérifier la résistance au cisaillement de la longrine et pour dimensionner les armatures transversales (cadres et étriers). Cet exercice se concentre sur la flexion, mais une étude complète inclurait cette vérification.

Résultat Final : Le moment fléchissant maximal à l'ELU est \(M_{\text{Ed}}\) = 129.42 kN.m.

À vous de jouer !

Question 3 : Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) et le bras de levier (\(z\))

Principe (le concept physique)

Le moment réduit \(\mu_{cu}\) est un nombre sans dimension qui compare le moment sollicitant \(M_{\text{Ed}}\) à la capacité de résistance maximale en compression du béton de la section. Cette comparaison permet de savoir si la section de béton est suffisamment grande et si la rupture se produira de manière ductile (par plastification de l'acier) ou fragile (par écrasement du béton). De ce moment réduit, on déduit le bras de levier \(z\), qui est la distance entre le centre de compression du béton et le centre de traction des aciers.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul se base sur l'équilibre d'une section rectangulaire en flexion simple à l'ELU. On utilise un diagramme rectangulaire simplifié pour les contraintes de compression dans le béton. Le moment réduit est limité à une valeur \(\mu_{lim}\) qui garantit que l'acier atteint sa limite élastique avant que le béton ne s'écrase (pivot A ou B). Si \(\mu_{cu} > \mu_{lim}\), la section de béton est trop petite et doit être augmentée. Le bras de levier \(z\) est calculé à partir de la position de l'axe neutre, qui dépend elle-même de \(\mu_{cu}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La vérification \(\mu_{cu} \le \mu_{lim}\) est une étape de sécurité cruciale. Elle prévient les ruptures fragiles par compression du béton, qui sont soudaines et sans signe avant-coureur. Un bon dimensionnement vise toujours une rupture ductile par plastification de l'acier.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), Clauses 6.1 et 3.1.7 : Ces clauses définissent les diagrammes contrainte-déformation pour le béton et l'acier, et les principes de calcul des sections en flexion simple. La valeur de \(\mu_{lim}\) dépend du type d'acier et de la classe de ductilité.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton. Pour un béton C25/30, on prend \(f_{cd} = f_{ck} / \gamma_c\). La hauteur utile \(d\) est calculée en supposant un enrobage de 3.5 cm et un diamètre moyen d'armature de 16 mm pour être conservateur (\(d = h - c - \phi/2\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile \(d\):

\[ d = h - c - \frac{\phi}{2} \]

Résistance de calcul du béton \(f_{cd}\):

\[ f_{cd} = \frac{0.85 \times f_{ck}}{\gamma_c} \]

Moment réduit ultime \(\mu_{cu}\):

\[ \mu_{cu} = \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{cd}} \]

Bras de levier des efforts internes \(z\):

\[ z = \frac{d}{2} \left(1 + \sqrt{1 - 2\mu_{cu}}\right) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed}} = 129.42 \, \text{kN.m} = 129.42 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\) ; \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • \(c = 35 \, \text{mm}\) ; \(\phi = 16 \, \text{mm}\) (hypothèse pour d)
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\) ; \(\gamma_c = 1.5\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Hauteur utile \(d\):

\[ \begin{aligned} d &= 500 - 35 - 16/2 \\ &= 457 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Résistance de calcul du béton \(f_{cd}\):

\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25}{1.5} \\ &= 14.17 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Moment réduit \(\mu_{cu}\):

\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{129.42 \times 10^6}{300 \times 457^2 \times 14.17} \\ &= 0.146 \end{aligned} \]

Vérification de la ductilité (pour C25/30, \(\mu_{lim} \approx 0.372\)):

\[ \mu_{cu} = 0.146 < 0.372 \Rightarrow \text{OK, rupture ductile} \]

Bras de levier \(z\):

\[ \begin{aligned} z &= \frac{457}{2} \left(1 + \sqrt{1 - 2 \times 0.146}\right) \\ &= 228.5 \times (1 + 0.841) \\ &= 420.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment réduit de 0.146 est bien inférieur à la limite, ce qui signifie que la section de béton est confortablement dimensionnée pour éviter une rupture par compression. Le bras de levier \(z\) est d'environ 421 mm, ce qui correspond à \(0.92d\). C'est une valeur typique pour des sections faiblement ou normalement armées.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur du calcul en flexion. Elle permet de s'assurer que la poutre est bien dimensionnée et de calculer le bras de levier \(z\), qui est indispensable pour déterminer la force de traction dans les aciers, et donc la section d'acier nécessaire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités du moment : L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le moment \(M_{\text{Ed}}\) de kN.m en N.mm. Il faut multiplier par \(10^6\). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée !

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe des abaques de calcul (diagrammes d'interaction) qui permettent de trouver directement la section d'acier en fonction du moment réduit, sans passer par le calcul explicite du bras de levier \(z\). Ces outils étaient très utilisés avant la généralisation des logiciels de calcul.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si \(\mu_{cu} > \mu_{lim}\) ?

Si le moment réduit est trop élevé, cela signifie que la section de béton est insuffisante. Il n'est pas possible de compenser en ajoutant plus d'acier (ce qui ne ferait qu'aggraver le problème). Il faut impérativement augmenter les dimensions de la section (la hauteur \(h\) ou la base \(b\)) ou utiliser un béton de classe de résistance supérieure (\(f_{ck}\) plus élevé).

Résultat Final : Le moment réduit est \(\mu_{cu} = 0.146\) et le bras de levier est \(z = 420.7 \, \text{mm}\).

À vous de jouer !

Question 4 : Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_s\))

Principe (le concept physique)

Le béton est très résistant en compression mais très faible en traction. En flexion, la partie inférieure de la longrine est tendue. On place donc des barres d'acier, les armatures longitudinales, pour reprendre cet effort de traction. La section d'acier \(A_s\) est calculée pour que la force de traction qu'elle peut supporter équilibre la force de compression dans le béton, créant ainsi un couple résistant égal au moment sollicitant \(M_{\text{Ed}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équilibre de la section s'écrit : Force de traction = Force de compression. La force de traction dans l'acier est \(A_s \times f_{yd}\), où \(f_{yd} = f_{yk} / \gamma_s\) est la résistance de calcul de l'acier. Le moment résistant est cette force multipliée par le bras de levier \(z\). On a donc \(M_{\text{Ed}} = (A_s \cdot f_{yd}) \cdot z\). En isolant \(A_s\), on obtient la formule de dimensionnement. Il faut ensuite vérifier que cette section respecte les pourcentages minimal et maximal d'armatures imposés par la norme pour garantir un comportement ductile et maîtriser la fissuration.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul donne une section d'acier théorique (en mm² ou cm²). L'étape suivante, non traitée ici, consiste à choisir un nombre de barres d'un diamètre commercial (ex: 3 barres de 20 mm de diamètre) dont la section totale est supérieure ou égale à la section calculée, tout en respectant les règles d'espacement pour permettre un bon bétonnage.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), Clause 9.2.1.1 : Cette clause définit les pourcentages d'armatures minimales (\(A_{s,min}\)) et maximales (\(A_{s,max}\)) pour les poutres afin d'assurer un comportement satisfaisant à l'ELU et à l'ELS (État Limite de Service).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les armatures sont en acier de classe B ou C (ductilité normale ou haute), ce qui justifie l'utilisation du diagramme bilinéaire avec palier plastique pour le calcul de \(f_{yd}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de calcul de l'acier \(f_{yd}\):

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \]

Section d'armatures requise \(A_s\):

\[ A_s = \frac{M_{\text{Ed}}}{z \cdot f_{yd}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed}} = 129.42 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • \(z = 420.7 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Résistance de calcul de l'acier \(f_{yd}\):

\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &= 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Section d'armatures requise \(A_s\):

\[ \begin{aligned} A_s &= \frac{129.42 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{420.7 \, \text{mm} \times 434.78 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{129.42 \times 10^6}{182914} \\ &= 707.56 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

On convertit en cm² : \(707.56 \, \text{mm}^2 = 7.08 \, \text{cm}^2\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une section de 7.08 cm² est une valeur tout à fait standard pour une poutre de cette taille et sous ce chargement. Un choix pratique pourrait être 3 barres HA 20 (section totale = 9.42 cm²) ou 4 barres HA 16 (section totale = 8.04 cm²). Le choix final dépendra des contraintes d'encombrement et des règles de non-fragilité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est l'aboutissement du dimensionnement en flexion. Elle fournit la quantité de matière (acier) à mettre en œuvre pour que la structure soit capable de résister aux sollicitations calculées précédemment, tout en garantissant la sécurité requise par les normes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser \(f_{yk}\) au lieu de \(f_{yd}\): Oublier de diviser la limite élastique de l'acier par le coefficient de sécurité \(\gamma_s\) est une erreur grave. Cela reviendrait à ne prendre aucune sécurité sur le matériau acier, ce qui est interdit et dangereux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le calcul à l'État Limite de Service (ELS) est également nécessaire pour vérifier que les contraintes dans les matériaux restent dans le domaine élastique et que les déformations (la flèche de la poutre) sont acceptables en conditions normales d'utilisation, afin d'éviter des désordres sur les éléments portés (fissuration du mur, par exemple).

FAQ (pour lever les doutes)
A-t-on besoin d'armatures en partie haute de la longrine ?

Pour une poutre sur deux appuis simples, le moment est toujours positif, donc la partie haute est toujours comprimée. Théoriquement, aucune armature de résistance n'est nécessaire. En pratique, on place toujours des "armatures de montage" ou "aciers chapeaux" (ex: 2 HA 10) pour maintenir les cadres en place lors du bétonnage et pour reprendre d'éventuels petits moments parasites.

Résultat Final : La section d'armatures longitudinales requise est \(A_s\) = 7.08 cm².

À vous de jouer !

Question 5 : Proposer un schéma de ferraillage longitudinal et transversal

Principe (le concept physique)

Le calcul nous a donné une section d'acier théorique. L'étape finale de l'ingénieur est de traduire ce chiffre en un arrangement concret de barres d'acier commerciales. Il faut choisir un nombre de barres et un diamètre qui fournissent une section d'acier au moins égale à celle calculée, tout en respectant les règles d'espacement pour un bon enrobage par le béton. On représente ce choix sur des schémas de ferraillage clairs pour le chantier.

Choix des armatures

Nous avons calculé un besoin de \(A_s = 7.08 \, \text{cm}^2\).
Un choix possible est 4 barres HA 16 (Haute Adhérence, diamètre 16 mm).
La section d'une barre HA 16 est de 2.01 cm². La section totale fournie est donc : \(4 \times 2.01 = 8.04 \, \text{cm}^2\).
On a bien \(8.04 \, \text{cm}^2 \ge 7.08 \, \text{cm}^2\). Ce choix est valide.
Pour les armatures supérieures (de montage), on peut choisir 2 barres HA 10.

Schéma de Ferraillage Longitudinal
2 HA 10 (aciers de montage) 4 HA 16 (aciers principaux)
Schéma de Ferraillage Transversal (Coupe)
2 HA 10 4 HA 16 b=30cm h=50cm

Outil Interactif : Calculateur de Longrine

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Projet
Résultats
Charge ELU P_u (kN/m) -
Moment M_Ed (kN.m) -
Section d'acier A_s : -

Pour Aller Plus Loin : Ferraillage Transversal

Vérification à l'effort tranchant : Le dimensionnement complet d'une longrine ne s'arrête pas à la flexion. Il faut également calculer l'effort tranchant maximal (\(V_{\text{Ed}} = P_u L / 2\)) et vérifier que la contrainte de cisaillement dans le béton est admissible. Si ce n'est pas le cas, ou pour des raisons réglementaires (couture des bielles), on doit calculer et mettre en place des armatures transversales (cadres, étriers) pour reprendre cet effort.

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "bras de levier" (\(z\)) est fondamental en béton armé. Il a été théorisé par l'ingénieur allemand Emil Mörsch au début du 20ème siècle. Son modèle de "treillis" (truss analogy) où le béton comprimé forme la membrure supérieure, les aciers tendus la membrure inférieure et des bielles de béton inclinées reprennent le cisaillement, est encore à la base de la compréhension du fonctionnement des poutres en béton armé aujourd'hui.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la longrine n'est-elle pas simplement posée sur le sol ?

Poser une fondation directement sur le sol de surface la rend vulnérable aux mouvements du sol (gel/dégel, gonflement/retrait des argiles). La longrine, en reportant les charges sur des plots ou pieux ancrés plus profondément dans un sol stable ("le bon sol"), s'affranchit de ces aléas et assure la pérennité de l'ouvrage.

Comment choisir la section (bxh) de la longrine au départ ?

Le choix initial est un pré-dimensionnement basé sur l'expérience et des ratios courants. Un ratio classique pour la hauteur est \(h \approx L/10\) à \(L/15\), où L est la portée. Pour notre cas, \(600/12 = 50\) cm, ce qui correspond bien à la hauteur choisie. La largeur \(b\) est souvent dictée par la largeur du mur qu'elle supporte. On vérifie ensuite par le calcul que cette section est adéquate.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la portée \(L\) de la longrine double, le moment maximal \(M_{\text{Ed}}\) est :

2. Quel est le principal objectif du coefficient 1.35 sur les charges permanentes G ?

Longrine
Poutre en béton armé, généralement de section rectangulaire, qui sert de fondation en reliant des appuis ponctuels (plots, pieux) et en supportant des charges (murs, poteaux).
État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un dommage structurel majeur de l'ouvrage. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en s'assurant que la structure ne s'effondre pas sous les charges majorées.
Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\))
Effort interne dans une poutre qui provoque sa flexion. Il est maximal là où la traction (et donc le besoin en armatures) est la plus forte.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre de béton la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues. C'est le paramètre clé qui définit le bras de levier interne de la section.
Fondamentaux du Béton Armé : Dimensionnement d'une Longrine

D’autres exercices de béton armé :

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *