Forces de Poussée et Moment sur un Mur de Soutènement
Contexte : La Stabilité des Murs de Soutènement, un Enjeu Majeur.
Les murs de soutènement sont des ouvrages omniprésents en génie civil, utilisés pour retenir des terres et créer des plateformes ou des routes à flanc de colline. Leur stabilité dépend entièrement de leur capacité à résister à la force exercée par le sol qu'ils retiennent : la poussée des terresForce latérale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On distingue la poussée active (le mur s'éloigne du sol), la poussée passive (le mur est poussé contre le sol) et la poussée au repos.. Une mauvaise estimation de cette force peut conduire à des défaillances catastrophiques (glissement, renversement). Cet exercice applique la théorie de Rankine, l'une des méthodes fondamentales, pour calculer cette poussée et le moment de renversement qu'elle engendre.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la mécanique des sols à un problème de dimensionnement concret. Nous allons partir des propriétés intrinsèques d'un sol (son poids et son angle de frottement) pour déterminer les actions mécaniques (force et moment) sur une structure. C'est le cœur du métier d'ingénieur géotechnicien : traduire un profil de sol en efforts pour concevoir un ouvrage sûr.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le coefficient de poussée active des terres selon la théorie de Rankine.
- Déterminer la distribution de la pression de poussée sur la hauteur du mur.
- Calculer la force de poussée totale (la résultante) s'appliquant sur le mur.
- Déterminer le point d'application de la force de poussée.
- Calculer le moment de renversement généré par la poussée par rapport à la base du mur.
Données de l'étude
Schéma du Mur de Soutènement
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur du mur | \(H\) | 6 | \(\text{m}\) |
| Poids volumique du sable | \(\gamma\) | 18 | \(\text{kN/m³}\) |
| Angle de frottement interne du sable | \(\phi'\) | 30 | \(\text{degrés}\) |
| Nappe phréatique | Absente (sol sec) | ||
Questions à traiter
- Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\) selon la théorie de Rankine.
- Déterminer la contrainte horizontale de poussée active \(\sigma'_h\) à la base du mur (z = 6 m).
- Calculer la force de poussée active totale \(P_a\) s'exerçant sur le mur (par mètre linéaire de mur).
- Calculer le moment de renversement \(M_a\) dû à cette force par rapport à la base du mur.
Les bases de la Poussée des Terres
Avant la correction, revoyons les concepts clés de la théorie de Rankine (1857).
1. Le Coefficient de Poussée Active (\(K_a\)) :
Ce coefficient adimensionnel relie la contrainte effective verticale \(\sigma'_v\) à la contrainte effective horizontale \(\sigma'_h\) lorsque le sol est en état de rupture "actif" (c'est-à-dire qu'il se détend et pousse l'ouvrage). Pour un sol sans cohésion avec un remblai horizontal, il ne dépend que de l'angle de frottement \(\phi'\).
\[ K_a = \tan^2 \left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]
2. La Pression de Poussée Active :
La contrainte (ou pression) de poussée active à une profondeur \(z\) est simplement la contrainte verticale à cette profondeur, multipliée par \(K_a\). Dans un sol homogène, \(\sigma'_v(z) = \gamma \cdot z\). La pression de poussée est donc :
\[ \sigma'_h(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z \]
La distribution de la pression est donc triangulaire, nulle en surface et maximale à la base.
3. La Force de Poussée Totale (\(P_a\)) :
La force totale est la résultante des pressions. C'est l'aire du diagramme de pression triangulaire.
\[ P_a = \frac{1}{2} \cdot (\text{base}) \cdot (\text{hauteur}) = \frac{1}{2} \cdot (K_a \gamma H) \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \]
Cette force s'applique au centre de gravité du triangle, soit à H/3 de la base.
Correction : Forces de Poussée et Moment sur un Mur de Soutènement
Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active \(K_a\)
Principe (le concept physique)
Le coefficient de poussée active, \(K_a\), représente le rapport entre la contrainte horizontale et la contrainte verticale dans un massif de sol qui est sur le point de se rompre par expansion. C'est l'état de contrainte horizontale minimal que le sol peut atteindre. Il quantifie la "facilité" avec laquelle le sol pousse sur l'ouvrage. Plus l'angle de frottement \(\phi'\) est élevé (sol résistant), plus \(K_a\) est faible.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La théorie de Rankine est basée sur l'équilibre d'un petit élément de sol. L'état "actif" est atteint lorsque le cercle de Mohr des contraintes devient tangent à la critère de rupture de Mohr-Coulomb. La formule de \(K_a\) découle directement de cette condition géométrique. Cette théorie suppose que le mur est parfaitement lisse et vertical, et que le remblai est horizontal.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez un tas de sable sec. L'angle de la pente naturelle qu'il forme est son angle de frottement \(\phi'\). Un sol avec un \(\phi'\) de 30° est un sol "moyen". Un sol avec un \(\phi'\) de 40° est très frottant et poussera beaucoup moins. \(K_a\) est la traduction mathématique de cette intuition.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 autorise l'utilisation de méthodes analytiques comme celle de Rankine pour le calcul des pressions des terres, en particulier pour des géométries simples. Il précise les valeurs caractéristiques des paramètres de sol à utiliser.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)), un remblai horizontal et un mur vertical sans frottement :
Ou de manière équivalente :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique les hypothèses de Rankine : le mur est parfaitement lisse (pas de frottement sol-mur), le remblai est horizontal, et le sol est homogène et sans cohésion.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Angle de frottement interne du sable, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour \(\phi' = 30^\circ\), les valeurs de \(K_a\) et \(K_p\) (coefficient de poussée passive) sont très classiques et valent la peine d'être mémorisées : \(K_a = 1/3\) et \(K_p = 3\). Cela permet de vérifier rapidement ses calculs dans de nombreux exercices.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre \(\sigma'_v\) et \(\sigma'_h\)
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec \(\phi' = 30^\circ\) :
Schéma (Après les calculs)
Coefficient de Poussée Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un coefficient \(K_a\) de 1/3 signifie que la contrainte horizontale que le sol exerce sur le mur n'est que le tiers de la contrainte verticale (le poids du sol). C'est parce que le sol, grâce à son frottement interne, est capable de se "tenir" partiellement lui-même.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" pour le calcul de \(\sin(30^\circ)\). Une erreur fréquente est d'utiliser le mode "radians". De plus, ne confondez pas la formule de \(K_a\) avec celle de \(K_p\) (poussée passive), où les signes sont inversés.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(K_a\) relie la contrainte horizontale à la contrainte verticale en état actif.
- Pour un sol sans cohésion et un remblai horizontal, \(K_a = (1-\sin\phi')/(1+\sin\phi')\).
- \(K_a\) est toujours inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La théorie de Charles-Augustin de Coulomb (1776) est plus ancienne et plus générale que celle de Rankine. Elle peut prendre en compte le frottement entre le mur et le sol ainsi qu'un remblai incliné, mais les calculs sont plus complexes. Pour le cas simple de cet exercice, les deux théories donnent le même résultat.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le coefficient \(K_a\) pour un sable plus lâche avec un angle de frottement de 25° ?
Question 2 : Déterminer la contrainte de poussée \(\sigma'_h\) à la base
Principe (le concept physique)
La pression exercée par un fluide (comme l'eau) augmente linéairement avec la profondeur. Le sol se comporte de manière similaire : la contrainte verticale due à son propre poids augmente linéairement. Comme la contrainte de poussée horizontale est proportionnelle à la contrainte verticale (\(\sigma'_h = K_a \sigma'_v\)), elle augmente aussi linéairement, partant de zéro à la surface pour atteindre sa valeur maximale à la base du mur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte verticale effective à la base du mur est \(\sigma'_v(H) = \gamma \cdot H\) (car il n'y a pas de nappe phréatique, donc \(u=0\) et \(\sigma'_v = \sigma_v\)). En appliquant le coefficient de poussée, on obtient la contrainte horizontale maximale qui sera utilisée pour dimensionner l'épaisseur du mur à sa base.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est un calcul en deux temps : d'abord, on calcule le poids du sol à la base (la contrainte verticale), puis on applique le "rabais" \(K_a\) pour trouver la partie de cette contrainte qui pousse horizontalement. N'oubliez jamais cette première étape de calcul de la contrainte verticale.
Normes (la référence réglementaire)
Le diagramme de pression triangulaire est le diagramme de charge de base utilisé dans l'Eurocode 7 pour la justification de la résistance à la flexion et au cisaillement du mur de soutènement lui-même.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte verticale à la profondeur H :
La contrainte horizontale à la profondeur H :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le sol est sec, donc la contrainte totale est égale à la contrainte effective. Le poids volumique \(\gamma\) est constant sur toute la hauteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Coefficient de poussée active, \(K_a = 1/3\)
- Poids volumique du sable, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m³}\)
- Hauteur du mur, \(H = 6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Effectuez le produit \(K_a \cdot \gamma\) une seule fois. Ce terme représente la pente du diagramme de pression. Ici, \(1/3 \times 18 = 6 \, \text{kPa/m}\). Pour n'importe quelle profondeur \(z\), la pression sera simplement \(6 \cdot z\).
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Pression Triangulaire
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la contrainte verticale à la base :
2. Calcul de la contrainte horizontale à la base :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression avec Valeurs
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression maximale exercée par le sol sur le mur est de 36 kPa (ou 36 kN/m²) à sa base. Cette valeur est cruciale pour vérifier que le matériau du mur (béton, par exemple) peut résister à cette pression sans se rompre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas que la pression est nulle en surface (pour un remblai horizontal). Le diagramme doit toujours être triangulaire dans ce cas simple. Si vous obtenez une valeur non nulle en surface, c'est qu'il y a une erreur ou une surcharge qui n'était pas mentionnée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La pression de poussée active augmente linéairement avec la profondeur.
- Elle est nulle en surface (z=0) et maximale à la base (z=H).
- Sa valeur maximale est \(\sigma'_{h,max} = K_a \gamma H\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Si une surcharge uniforme \(q\) (comme une route ou un parking) est appliquée sur le remblai, elle crée une contrainte verticale constante \(\sigma'_v = q\) sur toute la hauteur. Cela ajoute un diagramme de pression rectangulaire (\(\sigma'_h = K_a \cdot q\)) qui se superpose au diagramme triangulaire dû au poids du sol.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte de poussée à mi-hauteur du mur (z=3m) ?
Question 3 : Calculer la force de poussée totale \(P_a\)
Principe (le concept physique)
La force totale, ou résultante, est l'effet global de la distribution de pression sur le mur. Mathématiquement, c'est l'intégrale de la pression sur la surface du mur. Pour une distribution de pression simple comme notre triangle, cela revient simplement à calculer l'aire de ce triangle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La force est calculée par unité de longueur du mur (par exemple, pour 1 mètre de mur "entrant dans l'écran"). C'est pourquoi son unité est le kN/m (kilonewtons par mètre linéaire). Pour obtenir la force totale sur un mur de longueur L, il suffirait de multiplier \(P_a\) par L.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une application directe d'un principe de base en mécanique : pour passer d'une pression (en kPa, soit kN/m²) à une force linéique (en kN/m), on intègre (ou on calcule l'aire) sur une des dimensions (ici la hauteur).
Normes (la référence réglementaire)
La force \(P_a\) est l'action qui sera utilisée dans l'Eurocode 7 pour vérifier la stabilité du mur au glissement sur sa base. On compare cette force motrice aux forces résistantes (frottement à la base, butée à l'avant).
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'aire d'un triangle est (base x hauteur) / 2. Ici, la "base" du triangle de pression est \(\sigma'_h(H)\) et sa "hauteur" est \(H\).
En remplaçant \(\sigma'_h(H)\) par son expression :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment. Le calcul suppose une distribution de pression parfaitement triangulaire.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte de poussée à la base, \(\sigma'_{h}(H) = 36 \, \text{kPa}\)
- Hauteur du mur, \(H = 6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Utilisez directement la formule finale \(P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\). C'est plus rapide et évite les erreurs de calcul intermédiaires. \(P_a = 0.5 \times (1/3) \times 18 \times 6^2 = 0.5 \times 6 \times 36 = 3 \times 36 = 108 \, \text{kN/m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Aire du Diagramme de Pression
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule l'aire du triangle de pression :
Schéma (Après les calculs)
Force de Poussée Totale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour chaque mètre de longueur, le mur doit résister à une force horizontale de 108 kN (environ 10.8 tonnes). C'est une force considérable qui doit être reprise par le poids du mur et la fondation pour éviter que le mur ne glisse.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux unités. Le produit de kPa (kN/m²) par des m donne des kN/m. Ne vous trompez pas dans le facteur 1/2 pour l'aire d'un triangle. Oublier ce facteur est une erreur très fréquente qui double la force calculée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La force de poussée est l'aire du diagramme de pression.
- Pour une pression triangulaire, \(P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\).
- Elle est exprimée en force par unité de longueur (kN/m).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La poussée "passive" (\(K_p\)) est la résistance maximale que le sol peut opposer lorsqu'on le comprime. Elle est beaucoup plus grande que la poussée active. On l'utilise pour calculer la résistance offerte par le sol à l'avant du pied d'un mur de soutènement, ce qui aide à sa stabilité.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la force de poussée totale \(P_a\) si le mur ne faisait que 3 m de haut ?
Question 4 : Calculer le moment de renversement \(M_a\)
Principe (le concept physique)
Le moment de renversement est la tendance de la force de poussée à faire pivoter (ou "basculer") le mur autour de sa base. Il est calculé en multipliant l'intensité de la force par son "bras de levier", qui est la distance verticale entre le point d'application de la force et le point de pivot (ici, le pied du mur).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En stabilité des murs, on compare ce moment moteur (le moment de renversement \(M_a\)) au moment stabilisateur, qui est principalement généré par le poids propre du mur. Le rapport (Moment stabilisateur / Moment de renversement) est le coefficient de sécurité au renversement, qui doit être supérieur à une valeur imposée par les normes (typiquement 1.5 ou 2.0).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la même physique que lorsque vous essayez de faire basculer une armoire. Il est plus facile de la faire basculer en poussant tout en haut (grand bras de levier) qu'en poussant tout en bas (petit bras de levier). Ici, la force de poussée s'applique à H/3, ce qui définit son bras de levier.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification de la stabilité au renversement est l'une des vérifications fondamentales de l'état limite d'équilibre (EQU) requise par l'Eurocode 7 pour tous les ouvrages de soutènement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le moment est la force multipliée par le bras de levier.
Le bras de levier est la hauteur du point d'application par rapport à la base :
Donc, la formule complète est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le point de pivot pour le renversement est l'arête inférieure avant du mur (le "talon").
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force de poussée totale, \(P_a = 108 \, \text{kN/m}\)
- Hauteur du mur, \(H = 6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
En combinant les formules, on peut trouver une expression directe pour le moment : \(M_a = (\frac{1}{2} K_a \gamma H^2) \cdot \frac{H}{3} = \frac{1}{6} K_a \gamma H^3\). Le moment de renversement est donc proportionnel au cube de la hauteur ! Doubler la hauteur d'un mur multiplie le moment de renversement par 8, ce qui explique pourquoi les très hauts murs sont si difficiles à concevoir.
Schéma (Avant les calculs)
Moment de Renversement
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du bras de levier :
2. Calcul du moment de renversement :
Schéma (Après les calculs)
Moment de Renversement Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La poussée du sol génère un moment de 216 kN.m pour chaque mètre de longueur du mur. Pour assurer la stabilité, le moment créé par le poids propre du mur (qui tend à le maintenir droit) doit être significativement plus grand. C'est pour cela que les murs de soutènement sont souvent très massifs (murs-poids) ou ont une semelle large à l'arrière pour utiliser le poids du remblai lui-même comme force stabilisatrice.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper de bras de levier. Pour une pression triangulaire, il est toujours de H/3 par rapport à la base. Pour d'autres formes de diagramme (trapézoïdal, en cas de surcharge), le calcul du bras de levier est plus complexe.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment de renversement est la force multipliée par son bras de levier.
- Le bras de levier de la poussée active (diagramme triangulaire) est H/3.
- Le moment de renversement est une action clé pour vérifier la stabilité au basculement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les murs en "Terre Armée®", inventés par Henri Vidal, utilisent un principe ingénieux. Au lieu de construire un mur massif, on incorpore des bandes de renfort métalliques ou géosynthétiques dans le remblai lui-même. Ces bandes, par frottement, "arment" le sol et transforment l'ensemble en un massif cohérent et autostable, qui ne nécessite qu'un parement léger en façade.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le moment de renversement si la force de 108 kN/m s'appliquait à mi-hauteur (H/2) ?
Outil Interactif : Influence de l'Angle de Frottement
Utilisez le curseur pour modifier l'angle de frottement \(\phi'\) du sable et observez son impact direct sur la force de poussée totale et le moment de renversement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour H=6m)
Le Saviez-Vous ?
Le mur de soutènement du port de Gênes, en Italie, est l'un des plus hauts du monde, atteignant des hauteurs de plus de 50 mètres. La conception de tels ouvrages repousse les limites de la géotechnique et nécessite des analyses complexes qui vont bien au-delà de la simple théorie de Rankine, incluant des modélisations numériques avancées pour prendre en compte le comportement non-linéaire du sol et les interactions complexes avec la structure.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre la poussée "active" et la poussée "passive" ?
La poussée active se développe lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol, permettant au sol de se "détendre" jusqu'à un état de rupture. C'est la force minimale que le sol exerce. La poussée passive, beaucoup plus grande, se développe lorsque le mur est poussé contre le sol, le comprimant jusqu'à un état de rupture. C'est la résistance maximale que le sol peut offrir.
La théorie de Rankine est-elle toujours applicable ?
Non, elle a des limites. Elle est idéale pour des cas simples (mur vertical lisse, remblai horizontal). Si le mur a un frottement significatif avec le sol, si le remblai est incliné, ou si la géométrie est complexe, la théorie de Coulomb ou des méthodes numériques (éléments finis) sont plus appropriées.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'angle de frottement \(\phi'\) d'un sol augmente, la force de poussée active...
2. Si on double la hauteur H d'un mur de soutènement, le moment de renversement est multiplié par...
- Poussée des Terres
- Force latérale exercée par un massif de sol sur un ouvrage (mur, écran de soutènement). C'est une action fondamentale à prendre en compte dans le dimensionnement de ces ouvrages.
- Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
- Paramètre de résistance au cisaillement d'un sol. Il représente le frottement entre les grains du sol. Plus il est élevé, plus le sol est résistant.
- Moment de Renversement (\(M_a\))
- Moment généré par les forces de poussée qui tend à faire basculer le mur autour de sa base. Il doit être équilibré par un moment stabilisateur (dû au poids de l'ouvrage) pour garantir la stabilité.
D’autres exercices de géotechnique :
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