Études de cas pratique

EGC

Forces de poussée et moment agissant

Calcul des Forces de Poussée et Moment Agissant en Géotechnique

Comprendre le Calcul des Forces de Poussée et Moment Agissant en Géotechnique

Les murs de soutènement sont des ouvrages conçus pour retenir des masses de terre. La poussée exercée par ces terres sur le mur est une sollicitation majeure à prendre en compte dans leur dimensionnement. Le calcul de cette poussée dépend des caractéristiques du sol, de la géométrie du mur et des conditions de drainage. La théorie de Rankine est souvent utilisée pour une première estimation de la poussée active (lorsque le mur peut légèrement se déplacer) ou passive (lorsque le mur est poussé contre le sol).

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Calculer le coefficient de poussée active des terres selon Rankine.
  • Déterminer la distribution de la contrainte de poussée active sur la hauteur du mur, en tenant compte d'une surcharge.
  • Calculer la résultante de la poussée active des terres et son point d'application.
  • Calculer le moment de renversement dû à cette poussée par rapport à la base du mur.

Données de l'Exercice

Un mur de soutènement vertical de hauteur \(H\) retient un massif de sable sec sur lequel s'applique une surcharge uniforme.

Caractéristiques du mur, du sol et de la surcharge :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Surface du terrain derrière le mur : Horizontale
  • Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du sable (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
  • Cohésion du sable (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • Surcharge uniforme appliquée à la surface du remblai (\(q_s\)) : \(10 \, \text{kPa}\)
  • On considère le mur lisse (pas de frottement sol-mur).
Schéma d'un Mur de Soutènement avec Surcharge
Mur Sol (γ, φ') Surcharge qs Poussée Pa ha H = 5m

Schéma illustrant la poussée active des terres et d'une surcharge sur un mur.

Questions à Traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  2. Calculer la contrainte de poussée active horizontale due au sol (\(\sigma'_{ha,sol}\)) à la base du mur (à la profondeur \(H\)).
  3. Calculer la contrainte de poussée active horizontale due à la surcharge (\(\sigma'_{ha,q}\)) sur toute la hauteur du mur.
  4. Dessiner le diagramme de distribution de la contrainte de poussée active totale sur le mur.
  5. Calculer la résultante de la poussée active totale des terres et de la surcharge (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
  6. Déterminer la hauteur du point d'application (\(h_a\)) de la résultante totale \(P_a\) par rapport à la base du mur.
  7. Calculer le moment de renversement (\(M_a\)) dû à la poussée totale \(P_a\) par rapport à la base du mur.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique

Question 1 : Coefficient de poussée active des terres (\(K_a\))

Principe :

Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)) avec une surface de terrain horizontale derrière le mur et un mur vertical lisse, le coefficient de poussée active de Rankine est donné par :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{32^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 16^\circ) \\ &= \tan^2(29^\circ) \\ &\approx (0.5543)^2 \\ &\approx 0.3073 \end{aligned} \]

Ou avec l'autre formule : \(\sin(32^\circ) \approx 0.5299\)

\[ \begin{aligned} K_a &= \frac{1 - 0.5299}{1 + 0.5299} \\ &= \frac{0.4701}{1.5299} \\ &\approx 0.3073 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a \approx 0.307\).

Question 2 : Contrainte de poussée active horizontale due au sol (\(\sigma'_{ha,sol}\)) à la base du mur

Principe :

La contrainte de poussée active horizontale due au sol à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_{ha,sol}(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma'_{ha,sol}(H) = K_a \cdot \gamma \cdot H \]
Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.307\) (résultat Q1)
  • \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{ha,sol}(H) &= 0.307 \times 19 \, \text{kN/m}^3 \times 5.0 \, \text{m} \\ &\approx 0.307 \times 95 \, \text{kPa} \\ &\approx 29.165 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de poussée active horizontale due au sol à la base du mur est \(\sigma'_{ha,sol}(H) \approx 29.17 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Contrainte de poussée active horizontale due à la surcharge (\(\sigma'_{ha,q}\))

Principe :

Une surcharge uniforme \(q_s\) en surface du remblai engendre une contrainte de poussée horizontale constante sur toute la hauteur du mur, égale à \(K_a \cdot q_s\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma'_{ha,q} = K_a \cdot q_s \]
Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.307\) (résultat Q1)
  • \(q_s = 10 \, \text{kPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{ha,q} &= 0.307 \times 10 \, \text{kPa} \\ &\approx 3.07 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte de poussée active horizontale due à la surcharge est \(\sigma'_{ha,q} \approx 3.07 \, \text{kPa}\) (constante sur H).

Quiz Intermédiaire (Q3) : La contrainte de poussée due à une surcharge uniforme en surface :

Question 4 : Dessiner le diagramme de distribution de la contrainte de poussée active totale

Principe :

La contrainte totale de poussée active horizontale à une profondeur \(z\) est la somme de la poussée due au sol et de la poussée due à la surcharge : \(\sigma'_{ha,total}(z) = \sigma'_{ha,sol}(z) + \sigma'_{ha,q}\).

En surface (\(z=0\)) : \(\sigma'_{ha,total}(0) = K_a \cdot \gamma \cdot 0 + K_a \cdot q_s = K_a \cdot q_s\).

À la base (\(z=H\)) : \(\sigma'_{ha,total}(H) = K_a \cdot \gamma \cdot H + K_a \cdot q_s\).

Le diagramme est la superposition d'un rectangle (dû à \(q_s\)) et d'un triangle (dû au sol).

Valeurs pour le diagramme :
  • À \(z=0 \, \text{m}\) : \(\sigma'_{ha,total}(0) = \sigma'_{ha,q} \approx 3.07 \, \text{kPa}\)
  • À \(z=H=5.0 \, \text{m}\) : \(\sigma'_{ha,total}(5) = \sigma'_{ha,sol}(5) + \sigma'_{ha,q} \approx (0.307 \times 19 \times 5) + 3.07 = 29.165 + 3.07 \approx 32.235 \, \text{kPa}\)
Diagramme de Poussée Totale
Mur (H=5m) Ka*qs (3.07 kPa) Ka*γ*H (29.17 kPa) Diagramme Poussée
Résultat Question 4 : Le diagramme montre une distribution trapézoïdale (ou la somme d'un rectangle et d'un triangle) avec \(\sigma'_{ha,total}(0) \approx 3.07 \, \text{kPa}\) et \(\sigma'_{ha,total}(5) \approx 32.24 \, \text{kPa}\).

Question 5 : Résultante de la poussée active totale (\(P_a\))

Principe :

La résultante totale est la somme des résultantes des deux distributions :

  • Résultante due au sol (triangle) : \(P_{a,sol} = \frac{1}{2} (K_a \gamma H) H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\)
  • Résultante due à la surcharge (rectangle) : \(P_{a,q} = (K_a q_s) H\)
Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_a = P_{a,sol} + P_{a,q} = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 + K_a q_s H \]
Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.307\)
  • \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(q_s = 10 \, \text{kPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{a,sol} &= \frac{1}{2} \times 0.307 \times 19 \, \text{kN/m}^3 \times (5.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.307 \times 19 \times 25 \, \text{kN/m} \\ &\approx 72.91 \, \text{kN/m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{a,q} &= 0.307 \times 10 \, \text{kPa} \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 3.07 \, \text{kN/m}^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 15.35 \, \text{kN/m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_a &= P_{a,sol} + P_{a,q} \\ &\approx 72.91 \, \text{kN/m} + 15.35 \, \text{kN/m} \\ &\approx 88.26 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La résultante de la poussée active totale est \(P_a \approx 88.26 \, \text{kN/ml}\).

Question 6 : Hauteur du point d'application (\(h_a\)) de la résultante totale \(P_a\)

Principe :

Le point d'application de la résultante totale est trouvé en utilisant le théorème des moments par rapport à la base du mur. Le moment de la résultante totale est égal à la somme des moments des résultantes partielles.

\(P_a \times h_a = P_{a,sol} \times (H/3) + P_{a,q} \times (H/2)\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_a = \frac{P_{a,sol} \cdot (H/3) + P_{a,q} \cdot (H/2)}{P_a} \]
Données spécifiques :
  • \(P_{a,sol} \approx 72.91 \, \text{kN/m}\)
  • \(P_{a,q} \approx 15.35 \, \text{kN/m}\)
  • \(P_a \approx 88.26 \, \text{kN/m}\)
  • \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_a &= \frac{(72.91 \times (5.0/3)) + (15.35 \times (5.0/2))}{88.26} \\ &= \frac{(72.91 \times 1.6667) + (15.35 \times 2.5)}{88.26} \\ &= \frac{121.52 + 38.375}{88.26} \\ &= \frac{159.895}{88.26} \\ &\approx 1.812 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le point d'application de la résultante totale \(P_a\) est à environ \(1.81 \, \text{m}\) de la base du mur.

Question 7 : Moment de renversement (\(M_a\)) à la base du mur

Principe :

Le moment de renversement à la base du mur est le produit de la résultante totale de la poussée par son bras de levier (la hauteur de son point d'application par rapport à la base).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_a = P_a \times h_a \]
Données spécifiques :
  • \(P_a \approx 88.26 \, \text{kN/m}\) (résultat Q5)
  • \(h_a \approx 1.812 \, \text{m}\) (résultat Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_a &= 88.26 \, \text{kN/m} \times 1.812 \, \text{m} \\ &\approx 159.90 \, \text{kN.m/ml} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le moment de renversement à la base du mur est \(M_a \approx 159.90 \, \text{kN.m/ml}\).

Quiz Intermédiaire (Q7) : Si la surcharge \(q_s\) augmentait, le moment de renversement \(M_a\) :

Quiz Récapitulatif

1. Le coefficient de poussée active \(K_a\) pour un sol pulvérulent avec \(\phi' = 30^\circ\) est :

2. Une surcharge uniforme \(q_s\) sur le remblai derrière un mur de soutènement engendre une distribution de poussée sur le mur qui est :

3. Le point d'application de la résultante d'une poussée due uniquement au poids d'un sol pulvérulent homogène (distribution triangulaire) se situe à :

Glossaire

Poussée des Terres
Force horizontale exercée par un massif de sol sur une structure de soutènement (mur, écran, etc.).
Poussée Active (\(P_a\))
Poussée minimale exercée par le sol lorsque la structure de soutènement peut se déplacer légèrement en s'éloignant du massif de terre, permettant au sol de se mettre en état de rupture active.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Rapport entre la contrainte horizontale effective et la contrainte verticale effective dans un sol en état de poussée active. Pour un sol pulvérulent avec surface horizontale et mur lisse, \(K_a = \tan^2(45^\circ - \phi'/2)\).
Surcharge (\(q_s\))
Charge appliquée à la surface du terrain derrière le mur de soutènement (ex: circulation, stockage de matériaux).
Résultante de Poussée
Force unique équivalente à la distribution de la contrainte de poussée sur la hauteur du mur.
Point d'Application
Point sur le mur où la résultante de la poussée peut être considérée comme agissant.
Moment de Renversement (\(M_a\))
Moment produit par la résultante de la poussée des terres par rapport à un point de référence, typiquement la base du mur, tendant à faire basculer le mur.
Sol Pulvérulent
Sol dont la résistance au cisaillement est principalement due au frottement entre les grains et dont la cohésion est négligeable (ex: sables, graviers).
Exercice : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur en Géotechnique - Application Pratique

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