Forces de poussée et moment agissant (théorie de Rankine)
Comprendre les forces de poussée et moment agissant au bas d’un mur (théorie de Rankine)
Soit un mur de soutènement de hauteur h, retournant de la terre sur son côté gauche. La surface derrière le mur est plane. Les caractéristiques du sol sont données par son angle de frottement interne \(\phi\) et sa masse volumique apparente \(\gamma\). Le mur a un frottement à sa base avec le sol décrit par l’angle \(\delta\).
Données :
\begin{align*}
h & = 5 \text{ m} \\
\phi & = 30^\circ \\
\gamma & = 18 \text{ kN/m}^3 \\
\delta & = 20^\circ
\end{align*}
Pour comprendre la Pressions de Terre au Repos et en Mouvement, cliquez sur lien.
Questions:
1. Poussée de terre active (Ea) selon Rankine:
Utilisez la théorie de Rankine pour déterminer la poussée de terre active maximale au bas du mur.
2. Position de la ligne d’action de la poussée active:
Calculez la distance \(z\) du bas du mur au point d’application de la force de poussée active.
3. Moment agissant au bas du mur:
Calculez le moment exercé par la poussée active au bas du mur.
Correction : forces de poussée et moment agissant
1. Calcul de la poussée de terre active \( E_a \)
1.1. Détermination du coefficient de poussée active \( K_a \)
La théorie de Rankine pour un mur vertical sans frottement à la paroi donne :
\[ K_{a0} = \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right) \]
Cependant, lorsque le mur présente un frottement à sa base (angle \(\delta\)), la résultante active est réduite. Une méthode classique consiste à multiplier \( K_{a0} \) par un facteur correcteur égal à \( \cos^2\delta \). Ainsi, le coefficient modifié est :
\[ K_{a} = \cos^2\delta \times \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right) \]
Calcul détaillé :
- Calcul de \(\tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right)\) :
1. Calcul de \(\frac{\varphi}{2}\) :
\[ \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \]
2. Calcul de l’angle :
\[ 45^\circ – 15^\circ = 30^\circ \]
3. Calcul de la tangente :
\[ \tan(30^\circ) \approx 0.57735 \]
4. Élever au carré :
\[ \tan^2(30^\circ) \approx (0.57735)^2 \approx 0.33333 \]
- Calcul de \(\cos^2\delta\) :
1. Calcul de \(\cos(20^\circ)\) :
\[ \cos(20^\circ) \approx 0.93969 \]
2. Élever au carré :
\[ \cos^2(20^\circ) \approx (0.93969)^2 \approx 0.88300 \]
- Coefficient de poussée active modifié :
\[ K_{a} = 0.88300 \times 0.33333 \approx 0.29433 \]
Pour la suite des calculs, nous utiliserons :
\[ K_a \approx 0.2944 \]
1.2. Calcul de la poussée active \( E_a \)
La poussée de terre active résultante s’exprime par la formule :
\[ E_a = \frac{1}{2} \, \gamma \, K_a \, h^2 \]
Calcul étape par étape :
1. Calcul de \( h^2 \) :
\[ h^2 = (5\ \mathrm{m})^2 = 25\ \mathrm{m^2} \]
2. Multiplication par \(\gamma\) et \(K_a\) :
Calcul intermédiaire :
\[ \gamma \times K_a = 18\ \mathrm{kN/m^3} \times 0.2944 \approx 5.2992\ \mathrm{kN/m^3} \]
Ensuite :
\[ \gamma \, K_a \, h^2 \approx 5.2992\ \mathrm{kN/m^3} \times 25\ \mathrm{m^2} \approx 132.48\ \mathrm{kN/m} \]
3. Multiplication par \(\frac{1}{2}\) :
\[ E_a = \frac{1}{2} \times 132.48\ \mathrm{kN/m} \approx 66.24\ \mathrm{kN/m} \]
Conclusion pour la question 1 :
La poussée de terre active maximale au bas du mur est de :
\[ E_a \approx 66.2\ \mathrm{kN/m} \]
\emph{(par mètre de longueur du mur)}
2. Position de la ligne d’action de la poussée active
Pour une distribution de pression qui varie linéairement de 0 (en haut) à \( p_{\text{max}} \) (en bas) – c’est-à-dire une répartition triangulaire – la résultante \( E_a \) s’exerce à une distance mesurée depuis le bas égale à :
\[ z = \frac{h}{3} \]
Calcul détaillé :
1. Remplacer \( h \) par 5 m :
\[ z = \frac{5\ \mathrm{m}}{3} \approx 1.6667\ \mathrm{m} \]
Conclusion pour la question 2 :
La ligne d’action de la poussée active se situe à environ :
\[ z \approx 1.67\ \mathrm{m}\ \text{du bas du mur} \]
3. Calcul du moment agissant au bas du mur
Le moment \( M \) induit par la poussée active se calcule en multipliant la force résultante \( E_a \) par la distance verticale entre la ligne d’application de cette force et le point de rotation (ici, le bas du mur). Ainsi :
\[ M = E_a \times \left(\frac{h}{3}\right) \]
Calcul détaillé :
1. Nous avons déjà \( E_a \approx 66.24\ \mathrm{kN/m} \) et \( \frac{h}{3} \approx 1.6667\ \mathrm{m} \).
2. Multiplication :
\[ M \approx 66.24\ \mathrm{kN/m} \times 1.6667\ \mathrm{m} \] \[ M \approx 110.40\ \mathrm{kN\cdot m/m} \]
Conclusion pour la question 3 :
Le moment exercé au bas du mur est de :
\[ M \approx 110.4\ \mathrm{kN\cdot m\ par\ mètre\ de\ longueur\ du\ mur} \]
Forces de poussée et moment agissant
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