EGC

Cercle de Mohr : Exercice – Corrigé

Calcul et Tracé du Cercle de Mohr en RDM

Calcul et Tracé du Cercle de Mohr en RDM

Comprendre le Cercle de Mohr

Le cercle de Mohr est une représentation graphique bidimensionnelle de l'état de contrainte en un point. Il permet de visualiser comment les contraintes normales (\(\sigma\)) et de cisaillement (\(\tau\)) se transforment lorsqu'on change l'orientation du plan sur lequel elles agissent. Cet outil est fondamental en Résistance des Matériaux (RDM) car il permet de déterminer facilement les contraintes principales (les contraintes normales maximales et minimales), la contrainte de cisaillement maximale, ainsi que l'orientation des plans sur lesquels ces contraintes extrêmes s'appliquent. Maîtriser le cercle de Mohr est donc essentiel pour analyser la sécurité d'une pièce mécanique ou d'un élément de structure.

Données de l'étude

Soit un point M d'un solide soumis à un état de contraintes planes défini dans le repère (x, y) par :

  • Contrainte normale selon x : \(\sigma_x = 80 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte normale selon y : \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte de cisaillement : \(\tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}\)
Schéma : État de Contraintes Planes sur un Élément
σx σy τxy

Visualisation des contraintes normales et de cisaillement sur un élément infinitésimal.

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées du centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr.
  2. Déterminer les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\).
  3. Déterminer l'angle \(\theta_p\) qui définit l'orientation des plans principaux par rapport à l'axe x.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et la contrainte normale correspondante.
  5. Tracer le cercle de Mohr et y représenter tous les éléments calculés.

Correction : Calcul et Tracé du Cercle de Mohr en RDM

Question 1 : Centre (C) et Rayon (R) du Cercle

Principe :

Le centre du cercle de Mohr se situe sur l'axe des contraintes normales (\(\sigma\)) et correspond à la contrainte normale moyenne. Le rayon est calculé à partir de la demi-différence des contraintes normales et de la contrainte de cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \sigma_{\text{moy}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \] \[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= \frac{80 + (-40)}{2} \, \text{MPa} \\ &= \frac{40}{2} \, \text{MPa} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{\left(\frac{80 - (-40)}{2}\right)^2 + (30)^2} \, \text{MPa} \\ &= \sqrt{\left(\frac{120}{2}\right)^2 + 900} \, \text{MPa} \\ &= \sqrt{(60)^2 + 900} \, \text{MPa} \\ &= \sqrt{3600 + 900} \, \text{MPa} \\ &= \sqrt{4500} \, \text{MPa} \\ &\approx 67.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le centre du cercle est à \(C = 20 \, \text{MPa}\) et son rayon est \(R \approx 67.1 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Contraintes Principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\))

Principe :

Les contraintes principales sont les contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_2\)) en un point. Sur le cercle de Mohr, elles correspondent aux intersections du cercle avec l'axe des abscisses (\(\sigma\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_1 = C + R \quad ; \quad \sigma_2 = C - R \]
Calcul :
\[ \sigma_1 = 20 + 67.08 \approx 87.08 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_2 = 20 - 67.08 \approx -47.08 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 2 : Les contraintes principales sont \(\sigma_1 \approx 87.1 \, \text{MPa}\) (traction) et \(\sigma_2 \approx -47.1 \, \text{MPa}\) (compression).

Question 3 : Orientation des Plans Principaux (\(\theta_p\))

Principe :

L'orientation \(\theta_p\) du plan où s'applique \(\sigma_1\) est donnée par l'angle de rotation depuis le point de référence X sur le cercle. L'angle sur le cercle (\(2\theta_p\)) est le double de l'angle physique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(2\theta_p) &= \frac{2 \times 30}{80 - (-40)} \\ &= \frac{60}{120} = 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\theta_p &= \arctan(0.5) \approx 26.57^\circ \\ \theta_p &\approx 13.28^\circ \end{aligned} \]

Le plan de la contrainte principale \(\sigma_1\) est orienté de \(13.28^\circ\) dans le sens anti-horaire par rapport à la face où s'applique \(\sigma_x\). Le plan de \(\sigma_2\) est à \(90^\circ\) de celui de \(\sigma_1\).

Résultat Question 3 : L'orientation du plan principal est \(\theta_p \approx 13.3^\circ\).

Question 4 : Cisaillement Maximal (\(\tau_{\text{max}}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement maximale correspond au point le plus haut (et le plus bas) du cercle de Mohr. Sa valeur est égale au rayon du cercle. La contrainte normale sur les plans de cisaillement maximal est égale à l'abscisse du centre du cercle.

Calcul :
\[ \tau_{\text{max}} = R \approx 67.1 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma'_{\text{sur plan de } \tau_{\text{max}}} = C = 20 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 4 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{\text{max}} \approx 67.1 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Tracé du Cercle de Mohr

Principe :

On représente graphiquement les résultats dans le plan (\(\sigma, \tau\)). On place le centre C, on trace le cercle de rayon R, et on identifie les points correspondant à l'état de contrainte initial (X, Y) et aux états principaux (\(\sigma_1, \sigma_2\)).

Graphique : Cercle de Mohr
σ (MPa) τ (MPa) C(20,0) X(80, 30) Y(-40,-30) σ₁=87.1 σ₂=-47.1 τₘₐₓ=R
Résultat Question 5 : Le cercle est tracé, montrant le centre C, le rayon R, les points de l'état initial (X, Y) et les contraintes principales.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Que représente physiquement le centre du cercle de Mohr ?

2. Sur les plans où agissent les contraintes principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\)), la contrainte de cisaillement est :

3. Si un état de contraintes est une traction pure (\(\sigma_x > 0, \sigma_y = 0, \tau_{xy} = 0\)), alors le cercle de Mohr...

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Composante de la force agissant perpendiculairement à une surface, par unité de surface. Elle est positive en traction et négative en compression.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Composante de la force agissant tangentiellement à une surface, par unité de surface.
État de Contraintes Planes
Condition dans laquelle les contraintes agissant sur l'une des faces d'un élément cubique sont nulles (par exemple, \(\sigma_z = \tau_{zx} = \tau_{zy} = 0\)).
Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2\))
Valeurs extrêmes (maximale et minimale) des contraintes normales en un point. Sur les plans où elles agissent (plans principaux), la contrainte de cisaillement est nulle.
Cisaillement Maximal (\(\tau_{\text{max}}\))
Valeur maximale de la contrainte de cisaillement en un point. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr.
Calcul et Tracé du Cercle de Mohr - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *