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Calcul de la Pression de l’Eau dans le Sol

Calcul de la Pression de l’Eau dans le Sol

Calcul de la Pression de l’Eau dans le Sol

Comprendre la Pression Interstitielle et la Contrainte Effective

En géotechnique, le sol est généralement considéré comme un matériau triphasique (solides, eau, air). L'eau présente dans les pores du sol (vides) exerce une pression appelée pression interstitielle ou pression de l'eau (\(u\)). Cette pression a un impact significatif sur le comportement mécanique du sol. La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point dans le sol est la somme de la contrainte effective (\(\sigma'\)) supportée par le squelette solide du sol et de la pression interstitielle. Le principe de la contrainte effective, \(\sigma' = \sigma - u\), est fondamental car c'est la contrainte effective qui contrôle la résistance au cisaillement et la compressibilité du sol. Cet exercice se concentre sur le calcul de ces différentes contraintes dans un profil de sol avec une nappe phréatique.

Données de l'étude

On considère un profil de sol constitué de deux couches horizontales. La surface du terrain est horizontale.

Caractéristiques des couches de sol :

  • Couche 1 (Sable) :
    • Épaisseur (\(H_1\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
    • Poids volumique total/humide (\(\gamma_{t1}\)) : \(19.0 \, \text{kN/m}^3\)
    • La nappe phréatique se trouve à \(1.0 \, \text{m}\) sous la surface du terrain (donc dans cette couche de sable).
  • Couche 2 (Argile) :
    • Épaisseur (\(H_2\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
    • Poids volumique saturé (\(\gamma_{sat2}\)) : \(20.0 \, \text{kN/m}^3\) (située entièrement sous la nappe)

On prendra le poids volumique de l'eau \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\).

Schéma : Profil de Sol avec Nappe Phréatique
Surface du Terrain Sable (γt1) Nappe Phréatique 1m A 2m Argile (γsat2) B 2.5m C 2.5m H1=3m H2=5m Profil de Sol

Profil de sol avec deux couches et une nappe phréatique.

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_v\)), la pression interstitielle (\(u\)), et la contrainte verticale effective (\(\sigma'_v\)) à l'interface entre la couche de sable et la couche d'argile (Point A, à \(3 \, \text{m}\) de profondeur).
  2. Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_v\)), la pression interstitielle (\(u\)), et la contrainte verticale effective (\(\sigma'_v\)) au milieu de la couche d'argile (Point B, à \(3 \, \text{m} + 2.5 \, \text{m} = 5.5 \, \text{m}\) de profondeur).
  3. Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_v\)), la pression interstitielle (\(u\)), et la contrainte verticale effective (\(\sigma'_v\)) à la base de la couche d'argile (Point C, à \(3 \, \text{m} + 5 \, \text{m} = 8 \, \text{m}\) de profondeur).
  4. Si la nappe phréatique montait jusqu'à la surface du terrain, comment cela affecterait-il la contrainte effective au point C ? Calculer cette nouvelle contrainte effective.

Correction : Calcul de la Pression de l’Eau dans le Sol

Question 1 : Contraintes au Point A (Interface Sable/Argile, z = 3m)

Principe :

Le point A est à la base de la couche de sable, à \(3 \, \text{m}\) de profondeur. La nappe est à \(1 \, \text{m}\) de profondeur. Donc, les premiers \(1 \, \text{m}\) de sable sont humides (non saturés, mais on utilise \(\gamma_{t1}\)) et les \(2 \, \text{m}\) suivants de sable sont saturés (on utilisera \(\gamma_{t1}\) comme \(\gamma_{sat1}\) pour simplifier, car \(\gamma_{d1}\) ou \(e_1\) ne sont pas donnés pour calculer \(\gamma_{sat1}\) différemment. Si le sol au-dessus de la nappe est sec, on utiliserait \(\gamma_{d1}\). Ici, \(\gamma_{t1}\) est donné pour toute la couche 1, ce qui implique qu'il s'agit du poids volumique humide au-dessus de la nappe et saturé en dessous si non spécifié autrement).

Pour cet exercice, nous supposerons que \(\gamma_{t1}\) est le poids volumique du sable au-dessus de la nappe, et que pour la partie saturée du sable, son poids volumique saturé \(\gamma_{sat1}\) est aussi égal à \(\gamma_{t1}\) (simplification courante si non précisé).

Calculs :

Contrainte verticale totale (\(\sigma_{vA}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{vA} &= (\gamma_{t1} \cdot 1 \, \text{m}) + (\gamma_{t1} \cdot 2 \, \text{m}) \\ &= (19.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1 \, \text{m}) + (19.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2 \, \text{m}) \\ &= 19.0 \, \text{kPa} + 38.0 \, \text{kPa} \\ &= 57.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle (\(u_A\)) :

Le point A est à \(2 \, \text{m}\) sous le niveau de la nappe phréatique.

\[ \begin{aligned} u_A &= \gamma_w \cdot h_{wA} \\ &= (9.81 \, \text{kN/m}^3) \cdot (2.0 \, \text{m}) \\ &= 19.62 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Contrainte verticale effective (\(\sigma'_{vA}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{vA} &= \sigma_{vA} - u_A \\ &= 57.0 \, \text{kPa} - 19.62 \, \text{kPa} \\ &= 37.38 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Au point A (z=3m) :
  • \(\sigma_{vA} = 57.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u_A = 19.62 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_{vA} = 37.38 \, \text{kPa}\)

Question 2 : Contraintes au Point B (Milieu Argile, z = 5.5m)

Principe :

Le point B est à \(5.5 \, \text{m}\) de la surface, soit \(2.5 \, \text{m}\) dans la couche d'argile (\(H_{argile,B} = 2.5 \, \text{m}\)). La couche d'argile est entièrement saturée.

Calculs :

Contrainte verticale totale (\(\sigma_{vB}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{vB} &= \sigma_{vA} + (\gamma_{sat2} \cdot H_{argile,B}) \\ &= 57.0 \, \text{kPa} + (20.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2.5 \, \text{m}) \\ &= 57.0 \, \text{kPa} + 50.0 \, \text{kPa} \\ &= 107.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle (\(u_B\)) :

Le point B est à \(1 \, \text{m (sable)} + 2.5 \, \text{m (argile)} = 4.5 \, \text{m}\) sous le niveau de la nappe phréatique.

\[ \begin{aligned} u_B &= \gamma_w \cdot h_{wB} \\ &= (9.81 \, \text{kN/m}^3) \cdot (4.5 \, \text{m}) \\ &= 44.145 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Contrainte verticale effective (\(\sigma'_{vB}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{vB} &= \sigma_{vB} - u_B \\ &= 107.0 \, \text{kPa} - 44.145 \, \text{kPa} \\ &= 62.855 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Au point B (z=5.5m) :
  • \(\sigma_{vB} = 107.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u_B \approx 44.15 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_{vB} \approx 62.85 \, \text{kPa}\)

Question 3 : Contraintes au Point C (Base Argile, z = 8m)

Principe :

Le point C est à \(8 \, \text{m}\) de la surface, soit à la base de la couche d'argile (\(H_{argile,C} = 5.0 \, \text{m}\)).

Calculs :

Contrainte verticale totale (\(\sigma_{vC}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{vC} &= \sigma_{vA} + (\gamma_{sat2} \cdot H_2) \\ &= 57.0 \, \text{kPa} + (20.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 5.0 \, \text{m}) \\ &= 57.0 \, \text{kPa} + 100.0 \, \text{kPa} \\ &= 157.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle (\(u_C\)) :

Le point C est à \(1 \, \text{m (sable)} + 5.0 \, \text{m (argile)} = 7.0 \, \text{m}\) sous le niveau de la nappe phréatique.

\[ \begin{aligned} u_C &= \gamma_w \cdot h_{wC} \\ &= (9.81 \, \text{kN/m}^3) \cdot (7.0 \, \text{m}) \\ &= 68.67 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Contrainte verticale effective (\(\sigma'_{vC}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{vC} &= \sigma_{vC} - u_C \\ &= 157.0 \, \text{kPa} - 68.67 \, \text{kPa} \\ &= 88.33 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Au point C (z=8m) :
  • \(\sigma_{vC} = 157.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u_C = 68.67 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_{vC} = 88.33 \, \text{kPa}\)

Question 4 : Effet d'une Montée de la Nappe au Point C

Principe :

Si la nappe phréatique monte à la surface du terrain, toute la couche de sable de \(3 \, \text{m}\) devient saturée. On utilisera \(\gamma_{t1}\) comme \(\gamma_{sat1}\) pour le sable (en supposant qu'il était déjà proche de la saturation ou que c'est la valeur à utiliser pour le calcul saturé).

Calculs avec nappe en surface :

Nouvelle contrainte verticale totale (\(\sigma_{vC,nappe\_surface}\)) au point C (z=8m) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{vC,nappe\_surface} &= (\gamma_{t1} \cdot H_1) + (\gamma_{sat2} \cdot H_2) \\ &= (19.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 3.0 \, \text{m}) + (20.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 5.0 \, \text{m}) \\ &= 57.0 \, \text{kPa} + 100.0 \, \text{kPa} \\ &= 157.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

(La contrainte totale à la base de l'argile ne change pas si \(\gamma_{t1}\) est considéré comme \(\gamma_{sat1}\)).

Nouvelle pression interstitielle (\(u_{C,nappe\_surface}\)) au point C (z=8m) :

Le point C est maintenant à \(8 \, \text{m}\) sous le niveau de la nappe.

\[ \begin{aligned} u_{C,nappe\_surface} &= \gamma_w \cdot H_{total} \\ &= (9.81 \, \text{kN/m}^3) \cdot (8.0 \, \text{m}) \\ &= 78.48 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Nouvelle contrainte verticale effective (\(\sigma'_{vC,nappe\_surface}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{vC,nappe\_surface} &= \sigma_{vC,nappe\_surface} - u_{C,nappe\_surface} \\ &= 157.0 \, \text{kPa} - 78.48 \, \text{kPa} \\ &= 78.52 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Comparaison : \(\sigma'_{vC,initial} = 88.33 \, \text{kPa}\) et \(\sigma'_{vC,nappe\_surface} = 78.52 \, \text{kPa}\).

La contrainte effective au point C diminue lorsque la nappe monte à la surface. Cela est dû à l'augmentation de la pression interstitielle qui "soulage" une partie de la contrainte totale supportée par le squelette solide.

Résultat Question 4 : Si la nappe phréatique monte à la surface, la nouvelle contrainte effective au point C est \(\sigma'_{vC,nappe\_surface} \approx 78.52 \, \text{kPa}\). Cela représente une diminution de la contrainte effective par rapport au cas initial.

Quiz Intermédiaire 1 : Une augmentation du niveau de la nappe phréatique dans un sol :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression interstitielle dans un sol saturé en conditions hydrostatiques :

2. La contrainte effective dans un sol est la contrainte :

Glossaire

Contrainte Totale (\(\sigma_v\))
Poids total des matériaux (solides + eau + air) par unité de surface au-dessus d'un plan horizontal donné dans le sol.
Pression Interstitielle (Pression de l'Eau des Pores, \(u\))
Pression exercée par l'eau contenue dans les vides (pores) d'un sol. En conditions hydrostatiques, elle est égale à \(\gamma_w \cdot h_w\), où \(h_w\) est la hauteur d'eau au-dessus du point considéré.
Contrainte Effective (\(\sigma'_v\))
Partie de la contrainte totale qui est supportée par le squelette solide du sol. Elle est calculée par \(\sigma'_v = \sigma_v - u\). C'est la contrainte qui contrôle la résistance au cisaillement et la compressibilité du sol.
Nappe Phréatique (Niveau Piézométrique)
Surface à laquelle la pression de l'eau dans les pores du sol est égale à la pression atmosphérique. En dessous de cette surface, le sol est généralement saturé et la pression interstitielle est positive.
Poids Volumique Total/Humide (\(\gamma_t\))
Poids total d'un volume de sol (incluant solides, eau et air) divisé par ce volume total.
Poids Volumique Saturé (\(\gamma_{sat}\))
Poids volumique total d'un sol lorsque tous ses vides sont remplis d'eau.
Poids Volumique Déjaugé (\(\gamma'\) ou \(\gamma_{sub}\))
Poids volumique effectif d'un sol saturé, égal à \(\gamma_{sat} - \gamma_w\). Il représente le poids du squelette solide "allégé" par la poussée d'Archimède de l'eau.
Calcul de la Pression de l’Eau dans le Sol - Exercice d'Application

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