Études de cas pratique

EGC

Sélection et Calcul de Fondations

Sélection et Calcul de Fondations

Comprendre la Capacité Portante des Fondations Superficielles

La capacité portante d'un sol est la pression maximale que le sol peut supporter à la base d'une fondation sans subir de rupture par cisaillement (poinçonnement) ni entraîner des tassements excessifs qui compromettraient la structure. Pour les fondations superficielles, comme les semelles isolées, cette capacité dépend des caractéristiques du sol (cohésion, angle de frottement, poids volumique), de la géométrie de la fondation (largeur, forme, profondeur d'encastrement) et de la position de la nappe phréatique. L'équation de Terzaghi, et ses extensions par Meyerhof, Hansen ou Vesic, sont couramment utilisées pour estimer la capacité portante ultime. Un facteur de sécurité est ensuite appliqué pour obtenir la capacité portante admissible.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une semelle isolée carrée pour supporter une charge verticale centrée provenant d'un poteau.

Caractéristiques de la fondation et du sol :

  • Charge verticale de service transmise par le poteau (\(P_{service}\)) : \(750 \, \text{kN}\)
  • Profondeur d'encastrement de la semelle (\(D_f\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
  • Cohésion effective du sol (\(c'\)) : \(12 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement interne effectif du sol (\(\phi'\)) : \(28^\circ\)
  • Facteur de sécurité global requis (\(FS\)) : \(3.0\)
  • La nappe phréatique est supposée très profonde et n'influence pas la capacité portante.

Facteurs de capacité portante (pour \(\phi' = 28^\circ\), donnés) :

  • \(N_c = 25.80\)
  • \(N_q = 14.72\)
  • \(N_\gamma = 16.72\)

Facteurs de forme pour une semelle carrée (donnés) :

  • \(s_c = 1.3\)
  • \(s_q = 1.0\)
  • \(s_\gamma = 0.8\)

On négligera les facteurs de profondeur et d'inclinaison de la charge pour cet exercice (\(d_i=1, i_i=1\)).

Schéma : Semelle Isolée Carrée
Niveau du Terrain Naturel Semelle (B x B) Sol de fondation γ, c', φ' P_service Df=1.2m B = ?

Semelle carrée encastrée dans le sol, dont la dimension B est à déterminer.

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte effective de surcharge au niveau de la base de la fondation (\(q = \sigma'_{v0}\)).
  2. Écrire l'équation de la capacité portante ultime (\(q_{ult}\)) en fonction de la largeur \(B\) de la semelle.
  3. Écrire l'équation de la capacité portante admissible nette (\(q_{adm,net}\)) en fonction de \(B\).
  4. La contrainte appliquée par la fondation sur le sol est \(\sigma_{appliquée} = P_{service} / B^2\). Pour assurer la sécurité, on doit avoir \(\sigma_{appliquée} \leq q_{adm,net}\). Poser l'équation et la résoudre (ou la tester par itérations simples) pour trouver la largeur minimale \(B\) requise. Arrondir \(B\) à une valeur pratique (par exemple, au \(0.05 \, \text{m}\) supérieur).
  5. Avec la valeur de \(B\) choisie, vérifier la capacité portante brute admissible (\(q_{adm,brute} = q_{ult} / FS\)) par rapport à la contrainte totale appliquée par la fondation (\(\sigma_{totale} = P_{service}/A + \gamma_{beton} \cdot h_{semelle}\), en supposant une épaisseur de semelle \(h_{semelle}\) et un poids volumique du béton \(\gamma_{beton}\) si ces données étaient fournies, ou en se limitant à la vérification nette pour cet exercice). Pour cet exercice, nous nous limiterons à la vérification nette.

Correction : Sélection et Calcul de Fondations

Question 1 : Contrainte Effective de Surcharge à la Base (\(q\))

Principe :

La contrainte effective de surcharge (\(q\)) au niveau de la base de la fondation est due au poids des terres situées au-dessus de ce niveau. Puisque la nappe phréatique est profonde, \(q = \gamma \cdot D_f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q = \gamma \cdot D_f \]
Données spécifiques :
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Profondeur d'encastrement (\(D_f\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q &= (18.5 \, \text{kN/m}^3) \cdot (1.2 \, \text{m}) \\ &= 22.2 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 22.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La contrainte effective de surcharge à la base de la fondation est \(q = 22.2 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Équation de la Capacité Portante Ultime (\(q_{ult}\)) en fonction de \(B\)

Principe :

L'équation générale de capacité portante pour une semelle carrée est :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{ult} = c' N_c s_c + q N_q s_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma \]
Substitution des valeurs connues :
  • \(c' = 15 \, \text{kPa}\)
  • \(q = 22.2 \, \text{kPa}\)
  • \(\gamma = 18.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(N_c = 25.80\), \(N_q = 14.72\), \(N_\gamma = 16.72\)
  • \(s_c = 1.3\), \(s_q = 1.0\), \(s_\gamma = 0.8\)
\[ \begin{aligned} q_{ult} &= (15 \cdot 25.80 \cdot 1.3) + (22.2 \cdot 14.72 \cdot 1.0) + (0.5 \cdot 18.5 \cdot B \cdot 16.72 \cdot 0.8) \\ &= (503.1) + (326.784) + (123.728 B) \\ &= 829.884 + 123.728 B \quad (\text{en kPa, avec B en mètres}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'équation de la capacité portante ultime est \(q_{ult} \approx 829.88 + 123.73 B \, \text{kPa}\).

Question 3 : Équation de la Capacité Portante Ultime Nette (\(q_{ult,net}\)) en fonction de \(B\)

Principe :

La capacité portante ultime nette est \(q_{ult,net} = q_{ult} - q\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{ult,net} = (829.884 + 123.728 B) - 22.2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{ult,net} &= 807.684 + 123.728 B \quad (\text{en kPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'équation de la capacité portante ultime nette est \(q_{ult,net} \approx 807.68 + 123.73 B \, \text{kPa}\).

Question 4 : Détermination de la Largeur Minimale \(B\)

Principe :

La contrainte appliquée par la fondation (\(\sigma_{appliquée} = P_{service} / B^2\)) ne doit pas dépasser la capacité portante admissible nette (\(q_{adm,net} = q_{ult,net} / FS\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{P_{service}}{B^2} \leq \frac{q_{ult,net}}{FS} \]
\[ \frac{P_{service}}{B^2} \leq \frac{807.684 + 123.728 B}{FS} \]
Données spécifiques :
  • \(P_{service} = 750 \, \text{kN}\)
  • \(FS = 3.0\)
Calcul :
\[ \frac{750}{B^2} \leq \frac{807.684 + 123.728 B}{3} \]
\[ 2250 \leq B^2 (807.684 + 123.728 B) \]
\[ 123.728 B^3 + 807.684 B^2 - 2250 \geq 0 \]

Cette équation cubique peut être résolue par itérations ou à l'aide d'un solveur. Essayons quelques valeurs pour B :

  • Si \(B = 1.0 \, \text{m}\) : \(123.73(1)^3 + 807.68(1)^2 - 2250 = 123.73 + 807.68 - 2250 = 931.41 - 2250 = -1318.59 < 0\) (Trop petit)
  • Si \(B = 1.5 \, \text{m}\) : \(123.73(1.5)^3 + 807.68(1.5)^2 - 2250 = 123.73(3.375) + 807.68(2.25) - 2250 \approx 417.59 + 1817.28 - 2250 = 2234.87 - 2250 = -15.13 < 0\) (Proche)
  • Si \(B = 1.6 \, \text{m}\) : \(123.73(1.6)^3 + 807.68(1.6)^2 - 2250 = 123.73(4.096) + 807.68(2.56) - 2250 \approx 506.89 + 2067.66 - 2250 = 2574.55 - 2250 = 324.55 > 0\) (OK)

Donc, une largeur \(B\) légèrement supérieure à \(1.5 \, \text{m}\) est nécessaire. Par interpolation ou solveur, on trouverait \(B \approx 1.51 \, \text{m}\).

Arrondissons à une valeur pratique supérieure, par exemple \(B = 1.55 \, \text{m}\) ou \(B = 1.60 \, \text{m}\). Prenons \(B = 1.60 \, \text{m}\).

Résultat Question 4 : La largeur minimale requise est d'environ \(1.51 \, \text{m}\). En arrondissant à une valeur pratique, on choisit \(B = 1.60 \, \text{m}\).

Question 5 : Vérification de la Capacité Portante (Nette) avec \(B = 1.60 \, \text{m}\)

Principe :

Avec la dimension \(B\) choisie, on recalcule \(q_{adm,net}\) et on vérifie que la contrainte appliquée \(\sigma_{appliquée} = P_{service} / B^2\) est inférieure ou égale à \(q_{adm,net}\).

Données spécifiques :
  • \(B = 1.60 \, \text{m}\)
  • \(P_{service} = 750 \, \text{kN}\)
  • \(FS = 3.0\)
Calcul :

Aire de la fondation : \(A = (1.60 \, \text{m})^2 = 2.56 \, \text{m}^2\)

Contrainte appliquée :

\[ \sigma_{appliquée} = \frac{750 \, \text{kN}}{2.56 \, \text{m}^2} \approx 292.97 \, \text{kPa} \]

Capacité portante ultime nette pour \(B=1.60 \, \text{m}\) :

\[ q_{ult,net} \approx 807.684 + 123.728 \cdot (1.60) \approx 807.684 + 197.965 \approx 1005.649 \, \text{kPa} \]

Capacité portante admissible nette :

\[ q_{adm,net} = \frac{1005.649 \, \text{kPa}}{3.0} \approx 335.216 \, \text{kPa} \]

Vérification :

\[ 292.97 \, \text{kPa} \leq 335.22 \, \text{kPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 5 : Avec une largeur de semelle \(B = 1.60 \, \text{m}\), la contrainte appliquée (\(\approx 292.97 \, \text{kPa}\)) est inférieure à la capacité portante admissible nette (\(\approx 335.22 \, \text{kPa}\)). La fondation est donc adéquatement dimensionnée du point de vue de la capacité portante nette.

Quiz Intermédiaire 1 : Si le facteur de sécurité requis \(FS\) était augmenté, la dimension \(B\) requise pour la semelle (pour la même charge) devrait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La capacité portante ultime d'une fondation représente :

2. Lequel de ces facteurs n'entre PAS directement dans l'équation de Terzaghi pour la capacité portante (termes principaux) ?

Glossaire

Capacité Portante Ultime (\(q_{ult}\))
Pression maximale que le sol peut supporter à la base d'une fondation avant que ne se produise une rupture par cisaillement généralisé du sol.
Capacité Portante Admissible (\(q_{adm}\))
Pression maximale que la fondation est autorisée à transmettre au sol en conditions de service. Elle est obtenue en divisant la capacité portante ultime (ou ultime nette) par un facteur de sécurité approprié.
Fondation Superficielle
Type de fondation dont la profondeur d'encastrement (\(D_f\)) est généralement faible par rapport à sa plus petite dimension en plan (largeur \(B\)). Exemples : semelles isolées, semelles filantes, radiers.
Semelle Isolée
Type de fondation superficielle, généralement carrée ou rectangulaire, qui supporte la charge d'un seul poteau ou d'un élément structural ponctuel.
Cohésion (\(c'\))
Composante de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est significative pour les sols argileux.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Paramètre caractérisant la résistance au cisaillement d'un sol due au frottement entre les particules de sol. Prédominant dans les sols granulaires (sables, graviers).
Poids Volumique du Sol (\(\gamma\))
Poids du sol par unité de volume. Peut être total (humide), sec, ou saturé.
Facteurs de Capacité Portante (\(N_c, N_q, N_\gamma\))
Coefficients adimensionnels dans les équations de capacité portante (ex: Terzaghi, Meyerhof) qui dépendent de l'angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)).
Facteurs de Forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\))
Coefficients correcteurs qui tiennent compte de la forme de la fondation (carrée, rectangulaire, circulaire, filante) dans le calcul de la capacité portante.
Contrainte de Surcharge (\(q\))
Contrainte verticale effective au niveau de la base de la fondation due au poids des terres situées au-dessus de ce niveau (\(q = \gamma D_f\)).
Sélection et Calcul de Fondations - Exercice d'Application

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