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Calcul de la contrainte de cisaillement

Calcul de la Contrainte de Cisaillement

Calcul de la Contrainte de Cisaillement

Contexte : Le rôle crucial des sommiers.

Si les longues poutres sont souvent dimensionnées par la flexion, les éléments courts et fortement chargés, comme les sommiers reprenant la charge d'un poteau, sont particulièrement sensibles à l'effort tranchant. Le cisaillement est une sollicitation qui tend à faire "glisser" les sections transversales d'une poutre les unes par rapport aux autres. Une vérification inadéquate peut mener à une rupture brutale de l'âme du profilé. Cet exercice se concentre sur cette vérification essentielle de la résistance au cisaillement d'un sommier en acier, conformément à l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions..

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière un aspect différent du dimensionnement. À partir d'une charge concentrée d'exploitation (descente de charge d'un poteau), nous allons calculer l'effort tranchant de calcul, puis déterminer la résistance au cisaillement d'un profilé HEA standard. Nous verrons que pour ce type d'élément, la flexion et le cisaillement doivent être vérifiés conjointement pour garantir un dimensionnement sûr et optimisé.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\) pour une charge concentrée à l'ELU.
  • Comprendre la notion d'aire de cisaillementPartie de la section d'un profilé (principalement l'âme pour un profilé en I ou H) qui est considérée comme efficace pour résister à l'effort tranchant. (\(A_{\text{v}}\)).
  • Calculer la résistance plastique au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) d'un profilé.
  • Sélectionner un profilé HEAPoutrelle en H à larges ailes (Profil Européen A). C'est un type de poutre en acier robuste, souvent utilisé pour les poteaux ou les poutres fortement chargées. et vérifier sa résistance au cisaillement.
  • Mettre en perspective la vérification au cisaillement par rapport à celle de la flexion.

Données de l'étude

On étudie un sommier en acier sur deux appuis simples. Il supporte en son centre une charge concentrée provenant d'un poteau. Cette charge est une charge d'exploitation (par exemple, liée à une machine ou à un plancher supérieur).

Schéma du sommier étudié
Q Portée, L = 4 m
Vue 3D interactive du sommier dans son environnement
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée du sommier \(L\) 4 \(\text{m}\)
Charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) 150 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_{\text{y}}\) 235 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort tranchant de calcul à l'ELU, \(V_{\text{Ed}}\).
  2. Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU, \(M_{\text{Ed}}\).
  3. Déterminer le profilé HEA minimal requis vis-à-vis de la flexion.
  4. Vérifier la résistance au cisaillement du profilé choisi.

Les bases du calcul de structure métallique

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux des Eurocodes pour ce cas de figure.

1. Les États Limites (ELU) :
Pour cet exercice de résistance pure, nous nous concentrons sur l'État Limite Ultime (ELU). On majore les charges d'exploitation avec un coefficient de sécurité \(\gamma_Q=1.5\) pour s'assurer que la structure ne rompt pas. La charge de calcul sera \(F_{\text{Ed}} = 1.5 \cdot Q_{\text{k}}\).

2. Formules pour poutre sur 2 appuis avec charge concentrée \(F_{\text{Ed}}\) au centre :
Les efforts maximaux sont : \[ V_{\text{Ed,max}} = \frac{F_{\text{Ed}}}{2} \quad \text{(constant entre l'appui et la charge)} \] \[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{F_{\text{Ed}} \cdot L}{4} \quad \text{(au centre, sous la charge)} \]

3. Vérification de la résistance au cisaillement :
On doit vérifier que la résistance au cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\)) est supérieure à l'effort sollicitant (\(V_{\text{Ed}}\)). La formule est : \[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \cdot f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \ge V_{\text{Ed}} \] Où \(A_{\text{v}}\) est l'aire de cisaillement (donnée dans les catalogues), \(f_{\text{y}}\) la limite élastique et \(\gamma_{\text{M0}}=1.0\).

Correction : Calcul de la Contrainte de Cisaillement

Question 1 : Calculer l'effort tranchant de calcul à l'ELU, VEd

Principe (le concept physique)

La première étape est de transformer la charge d'exploitation donnée en une charge de calcul sécuritaire (charge ultime) en lui appliquant le coefficient de sécurité de l'Eurocode. L'effort tranchant maximal dans la poutre correspond simplement à la réaction d'appui, qui, pour une charge centrée, est la moitié de la charge totale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effort tranchant \(V\) en un point d'une poutre représente la somme de toutes les forces verticales agissant à gauche (ou à droite) de ce point. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge \(F_{\text{Ed}}\) au centre, les réactions aux appuis sont \(R_A = R_B = F_{\text{Ed}}/2\). Ainsi, pour toute section entre l'appui A et le centre, l'effort tranchant est constant et vaut \(V(x) = R_A = F_{\text{Ed}}/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la poutre comme étant "cisaillée" par la charge. La moitié de l'effort "descend" vers l'appui de gauche, et l'autre moitié vers l'appui de droite. C'est cet effort constant qui sollicite l'âme de la poutre sur chaque moitié de la travée.

Normes (la référence réglementaire)

Le coefficient de pondération \(\gamma_Q = 1.5\) pour les charges d'exploitation est défini dans la norme NF EN 1990 (Eurocode 0), Tableau A1.2(B). C'est la valeur standard pour les bâtiments.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge de calcul :

\[ F_{\text{Ed}} = 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]

2. Effort tranchant maximal :

\[ V_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{Ed}}}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige le poids propre de la poutre, qui est généralement faible par rapport à la charge concentrée pour un sommier. On suppose des appuis parfaits et une charge parfaitement centrée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge d'exploitation, \(Q_{\text{k}} = 150 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. Assurez-vous simplement de bien identifier la charge comme étant une charge d'exploitation (\(Q_{\text{k}}\)) et non une charge permanente (\(G_{\text{k}}\)), car le coefficient de sécurité serait différent (1.35).

Schéma (Avant les calculs)
De la charge d'exploitation à l'effort tranchant
Qk = 150 kNx 1.5F_Ed = 225 kN/ 2V_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique les formules :

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= 1.5 \cdot 150 \, \text{kN} \\ &= 225 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{225 \, \text{kN}}{2} \\ &= 112.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant
+112.5 kN-112.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons déterminé la valeur de l'effort de cisaillement que la poutre doit être capable de supporter sur toute sa moitié gauche et sa moitié droite. C'est cette valeur qui sera utilisée pour la vérification de la résistance de l'âme du profilé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus simple est d'oublier de pondérer la charge d'exploitation. Calculer avec \(Q_{\text{k}}\) au lieu de \(F_{\text{Ed}}\) mènerait à une sous-estimation de 50% de l'effort et à un dimensionnement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On applique un coefficient de 1.5 aux charges d'exploitation pour l'ELU.
  • Pour une charge centrée, l'effort tranchant est constant et vaut la moitié de la charge de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts-roulants, les poutres de roulement sont soumises à des charges mobiles. L'effort tranchant maximal est obtenu lorsque la roue la plus chargée se trouve juste au-dessus de l'appui. L'ingénieur doit donc étudier plusieurs positions de la charge pour trouver le cas le plus défavorable.

FAQ (pour lever les doutes)
Et s'il y avait aussi une charge permanente (poids propre) ?

On calculerait la charge de calcul totale en incluant le poids propre pondéré : \(F_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{k}} + 1.5 \cdot Q_{\text{k}}\). L'effort tranchant serait alors la moitié de cette nouvelle charge totale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant de calcul à l'ELU est de 112.5 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) était de 200 kN, quel serait le nouvel effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU, MEd

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour l'effort tranchant, nous utilisons la charge de calcul \(F_{\text{Ed}}\) pour déterminer la sollicitation de flexion maximale dans la poutre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge concentrée au milieu, le moment est nul aux appuis et maximal sous la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment fléchissant \(M(x)\) est l'intégrale de l'effort tranchant \(V(x)\). Comme \(V(x)\) est constant sur la première moitié de la poutre (\(V(x) = F_{\text{Ed}}/2\)), le moment est linéaire et croît de 0 à l'appui jusqu'à sa valeur maximale au centre. La pente de ce diagramme de moment est égale à la valeur de l'effort tranchant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la deuxième formule fondamentale à connaître pour ce cas de charge. Elle montre que le moment dépend autant de l'intensité de la charge que de la distance sur laquelle elle s'applique (la portée). C'est pourquoi la flexion devient rapidement critique sur les longues portées.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de la Résistance des Matériaux pour les efforts internes sont des principes de base de la mécanique statique et ne sont pas explicitement détaillées dans les Eurocodes, qui supposent ces connaissances acquises.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ M_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{Ed}} \cdot L}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : poids propre négligé, appuis parfaits, charge centrée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(F_{\text{Ed}} = 225 \, \text{kN}\) (de Q1)
  • Portée du sommier, \(L = 4 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités. Si \(F_{\text{Ed}}\) est en kN et \(L\) en m, le résultat sera en kN·m. C'est l'unité standard pour la flexion dans les calculs de structure.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme attendue)
M_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{225 \, \text{kN} \cdot 4 \, \text{m}}{4} \\ &= 225 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)
M_max = 225 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les deux sollicitations de calcul : \(V_{\text{Ed}} = 112.5 \, \text{kN}\) et \(M_{\text{Ed}} = 225 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). Ces deux valeurs vont nous permettre de choisir un profilé adéquat.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre avec la formule pour une charge répartie (\(pL^2/8\)). L'utilisation de la mauvaise formule est une erreur fréquente qui fausse complètement le dimensionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal pour une charge concentrée au centre est \(M_{\text{Ed}} = F_{\text{Ed}}L/4\).
  • Le diagramme du moment est de forme triangulaire.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la charge n'est pas centrée (à une distance 'a' d'un appui et 'b' de l'autre), le moment maximal sous la charge vaut \(M_{\text{max}} = F_{\text{Ed}} \cdot a \cdot b / L\). La formule \(FL/4\) n'est que le cas particulier où a = b = L/2.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment est-il maximal au centre ?

C'est le point le plus éloigné des appuis, là où l'effet de "levier" de la force est le plus important. C'est aussi le point où l'effort tranchant change de signe (de +V à -V), et mathématiquement, le maximum d'une fonction (le moment) se trouve là où sa dérivée (l'effort tranchant) s'annule.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul à l'ELU est de 225 kN·m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 6 m (au lieu de 4 m), quel serait le nouveau moment \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m ?

Question 3 : Déterminer le profilé HEA minimal requis vis-à-vis de la flexion

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant est souvent le critère qui dimensionne en premier lieu une poutre. Nous allons donc calculer le module de section plastique requis pour résister au moment \(M_{\text{Ed}}\), puis chercher dans un catalogue le premier profilé HEA qui possède un module supérieur ou égal à cette valeur requise.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance en flexion d'un profilé est directement proportionnelle à son module de section plastique \(W_{\text{pl}}\). Cette grandeur géométrique caractérise l'efficacité de la forme de la section à résister à la flexion. Plus la matière est éloignée de l'axe neutre (comme dans les semelles d'un HEA), plus le \(W_{\text{pl}}\) est grand et plus la poutre est résistante pour un même poids.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une étape de pré-dimensionnement. On utilise la sollicitation principale (ici, la flexion) pour faire un premier choix de profilé. Ce choix devra ensuite être validé en vérifiant les autres sollicitations (ici, le cisaillement) et les critères de service (flèche).

Normes (la référence réglementaire)

La formule de résistance en flexion est issue du chapitre 6.2.5 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1). On suppose que le profilé est de classe 1 ou 2, ce qui est le cas des HEA standards, permettant l'utilisation du calcul plastique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Module de section plastique requis :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché, ce qui est une hypothèse raisonnable pour un sommier souvent intégré dans un plancher ou contreventé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 225 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

N'oubliez pas la conversion d'unités ! Le moment doit être en N·mm pour être cohérent avec la limite d'élasticité en MPa (N/mm²). \(225 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 225 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\). Le résultat sera en mm³, à convertir en cm³ pour la comparaison avec les catalogues.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Profilé Adéquat
M_Ed = 225 kN·mCalcul de W_pl,reqQuel HEA ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{225 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 957447 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 957.5 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue de profilés HEA :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)Choix
HEA 280899.6❌
HEA 3001104✔️
HEA 3201276✔️ (surdimensionné)
Schéma (Après les calculs)
Profilé Sélectionné
W_pl,req = 957.5 cm³HEA 300
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le profilé HEA 300 est le plus léger qui satisfait la condition de résistance à la flexion. C'est donc notre candidat. La prochaine étape est de vérifier si ce profilé, choisi pour la flexion, est également capable de résister à l'effort tranchant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Choisir un profilé trop juste (par exemple, un dont le \(W_{\text{pl}}\) serait de 960 cm³) peut être risqué. Il est souvent judicieux de garder une petite marge de sécurité (5-10%) pour tenir compte des incertitudes non modélisées.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion est la première vérification à faire pour une poutre.
  • On calcule le \(W_{\text{pl,req}}\) pour trouver le profilé adéquat dans les catalogues.
  • Le choix se porte sur le profilé le plus économique (le plus léger) qui satisfait la condition.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés HEA sont une version "allégée" des profilés HEB. Pour une même hauteur, un HEA est plus léger qu'un HEB, mais aussi un peu moins résistant. Le choix entre les deux dépend d'un arbitrage entre le coût, le poids et la résistance requise.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas choisir un HEA 320 pour plus de sécurité ?

C'est possible, mais ce serait un surdimensionnement. Un HEA 320 est environ 15% plus lourd qu'un HEA 300. Sur un grand projet avec des centaines de poutres, ce surcoût en matière (et donc en argent et en impact carbone) devient très significatif. L'objectif de l'ingénieur est de dimensionner au plus juste, tout en respectant les marges de sécurité réglementaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé minimal requis pour la flexion est un HEA 300.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le moment \(M_{\text{Ed}}\) était de 300 kN·m, quel serait le \(W_{\text{pl,y,req}}\) en cm³ ?

Question 4 : Vérifier la résistance au cisaillement du profilé choisi

Principe (le concept physique)

Nous avons choisi un HEA 300 pour sa résistance à la flexion. Il faut maintenant s'assurer que son âme est suffisamment robuste pour ne pas se "déchirer" sous l'effet de l'effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\). Pour cela, on calcule la résistance plastique au cisaillement du profilé, \(V_{\text{pl,Rd}}\), et on la compare à l'effort appliqué.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement d'un matériau ductile comme l'acier est liée à sa limite d'élasticité en traction \(f_{\text{y}}\). Le critère de von Mises, fondamental en résistance des matériaux, établit que la limite d'élasticité en cisaillement pur est \(f_{\text{y,cisaillement}} = f_{\text{y}} / \sqrt{3}\). C'est l'origine du facteur \(\sqrt{3}\) dans la formule de calcul de la résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de validation finale de notre choix. Si cette vérification ne passe pas, cela signifie que le cisaillement est plus critique que la flexion, et il faudrait choisir un profilé plus grand, non pas pour son module de flexion, mais pour son aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance au cisaillement plastique est détaillée au chapitre 6.2.6 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1). La norme précise comment calculer l'aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\) pour différents types de profilés.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Résistance au cisaillement :

\[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \cdot f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \]

2. Vérification :

\[ \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'âme du profilé n'est pas sujette au voilement par cisaillement, ce qui est vérifié par des critères sur l'élancement de l'âme (rapport hauteur/épaisseur) donnés dans l'Eurocode 3. Pour un HEA 300, cette condition est respectée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé choisi : HEA 300
  • Aire de cisaillement (catalogue) : \(A_{\text{v}} = 53.76 \, \text{cm}^2\)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 112.5 \, \text{kN}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les unités : convertissez \(A_{\text{v}}\) en mm² (\(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\)) et \(f_{\text{y}}\) en N/mm². Le résultat de la résistance sera en Newtons (N). Divisez par 1000 pour l'obtenir en kiloNewtons (kN), afin de le comparer directement à \(V_{\text{Ed}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Effort vs Résistance
V_Ed = 112.5 kNV_pl,Rd (HEA 300) = ?≤ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance \(V_{\text{pl,Rd}}\) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{(53.76 \times 100 \, \text{mm}^2) \cdot (235 \, \text{N/mm}^2)}{\sqrt{3} \cdot 1.0} \\ &= \frac{1263360 \, \text{N}}{\sqrt{3}} \\ &= 729396 \, \text{N} \\ &\approx 729.4 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Vérification du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \\ &= \frac{112.5 \, \text{kN}}{729.4 \, \text{kN}} \\ &= 0.15 \le 1.0 \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance au Cisaillement
Sollicitation V_Ed=112.5 kNRésistance V_Rd (HEA 300)=729.4 kNOK ✔️ (Ratio = 15%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification est largement satisfaite. Le profilé HEA 300 ne travaille qu'à 15% de sa capacité au cisaillement. Cela confirme que pour cette configuration (portée de 4m), c'est bien la flexion qui a dimensionné le profilé, et non le cisaillement. L'effort tranchant devient plus critique pour des poutres très courtes et très chargées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur commune est d'oublier le facteur \(\sqrt{3}\) au dénominateur, qui provient du critère de von Mises pour la plastification en cisaillement. Une autre erreur est de mal lire l'aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\) dans les catalogues, qui est différente de l'aire totale de la section.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement dépend de l'aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\) et de la limite élastique.
  • La formule inclut un facteur \(\sqrt{3}\) issu des critères de plasticité.
  • Pour les poutres de bâtiment courantes, la flexion est souvent plus dimensionnante que le cisaillement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poutres en béton armé, le mécanisme de résistance au cisaillement est très différent. Il ne dépend pas seulement du béton, mais aussi et surtout des armatures transversales (cadres et étriers) qui "cousent" les fissures de cisaillement potentielles.

FAQ (pour lever les doutes)
Quand le cisaillement devient-il vraiment critique ?

Le cisaillement devient dimensionnant dans trois cas principaux : 1) Poutres très courtes avec de lourdes charges (faible portée \(L\), donc faible moment mais fort effort tranchant). 2) Zones proches des appuis où l'effort tranchant est maximal. 3) Poutres avec de grandes ouvertures dans l'âme, qui réduisent localement l'aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé HEA 300, choisi pour la flexion, est également très résistant au cisaillement. Le dimensionnement est validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) (en kN) d'un HEA 240 (\(A_{\text{v}} = 34.01 \, \text{cm}^2\)) ?

Outil Interactif : Paramètres du Sommier

Modifiez les paramètres du sommier pour voir leur influence sur les ratios de résistance.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
150 kN
Résultats Clés
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Résistance Cisaillement -

Le Saviez-Vous ?

Dans les zones de fort effort tranchant et de fort moment fléchissant (comme les appuis d'une poutre continue), il peut y avoir une interaction entre les deux. L'Eurocode 3 prévoit des formules de vérification spécifiques pour ces cas, où la présence d'un fort cisaillement peut réduire la résistance en flexion du profilé.

Foire Aux Questions (FAQ)

L'âme d'une poutre reprend-elle uniquement le cisaillement ?

Principalement, oui. Dans la théorie simplifiée, on considère que l'âme reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant, tandis que les semelles (les parties horizontales) reprennent la quasi-totalité du moment fléchissant (par un couple de traction/compression). C'est cette spécialisation qui rend les profilés en I et H si efficaces.

Qu'est-ce que le "voilement par cisaillement" ?

C'est un phénomène d'instabilité qui peut affecter les âmes de poutres très hautes et minces. Sous l'effet du cisaillement, l'âme, au lieu de se "déchirer", peut se "gondoler" ou "flamber" comme une feuille de papier. Pour éviter cela, on ajoute des raidisseurs verticaux qui la maintiennent en place.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans notre sommier sur deux appuis avec une charge au centre, où l'effort tranchant est-il maximal ?

2. Si on remplace un profilé par un autre avec une âme deux fois plus épaisse (mais même hauteur), sa résistance au cisaillement va approximativement...

Effort Tranchant (Cisaillement)
Sollicitation interne à un matériau qui tend à provoquer le glissement d'une section par rapport à une autre. Dans une poutre, il est principalement repris par l'âme.
Aire de Cisaillement (Av)
Partie de la section d'un profilé considérée comme efficace pour résister à l'effort tranchant. Pour un profilé en I ou H, elle correspond approximativement à la surface de l'âme.
Profilé HEA
Poutrelle en H à larges ailes (Profil Européen A). Profilé standardisé robuste, avec un bon rapport résistance/poids, souvent utilisé pour les poteaux ou les poutres soumises à de fortes charges.
Calcul de la Contrainte de Cisaillement

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