Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Comprendre le calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une passerelle piétonne. Cette passerelle doit être construite en acier et être capable de supporter un certain nombre de piétons à la fois. Votre tâche est de déterminer si le matériau choisi pour la passerelle est suffisamment élastique et résistant pour répondre aux exigences de sécurité.

Données :

Matériau de la passerelle : Acier
Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 GPa (GigaPascals)
Longueur de la passerelle (L) : 50 mètres
Largeur de la passerelle (b) : 3 mètres
Épaisseur de la passerelle (h) : 0,25 mètres
Charge maximale attendue (P) : 5000 N (Newtons) par mètre carré
Contrainte admissible de l’acier : 250 MPa (MegaPascals)

module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Questions :

1. Calculez la contrainte (σ) dans l’acier de la passerelle sous la charge maximale attendue.

2. En utilisant le module d’élasticité (E), calculez le taux de déformation (ε) de l’acier sous cette contrainte.

3. Évaluez si la contrainte calculée est inférieure à la contrainte admissible de l’acier. Si elle est inférieure, la passerelle est considérée comme sûre sous la charge maximale attendue.

4. Enfin, discutez de l’impact d’une augmentation de 10% de la charge maximale sur la sécurité de la passerelle, en recalculant la contrainte et en l’évaluant par rapport à la contrainte admissible.

Correction : module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

1. Calcul de la contrainte (\(\sigma\)) dans l’acier sous la charge maximale attendue

1.1. Conversion de la charge surfacique en charge linéique

La charge surfacique \( P \) (N/m\(^2\)) est appliquée sur toute la largeur \( b \) de la passerelle.

Formule :

\[ q = P \times b \]

Substitution des données :

\[ q = 5000 \, \text{N/m}^2 \times 3 \, \text{m} \] \[ q = 15000 \, \text{N/m} \]

1.2. Calcul du moment fléchissant maximal

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal \( M \) se situe en milieu de portée et est donné par :

Formule :

\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]

Substitution des données :

\[ M = \frac{15000 \, \text{N/m} \times (50 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = \frac{15000 \times 2500}{8} \] \[ M = \frac{37\,500\,000}{8} \, \text{N·m} \] \[ M = 4\,687\,500 \, \text{N·m} \]

1.3. Calcul du moment d’inertie (\(I\)) de la section

Pour une section rectangulaire :

Formule :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Substitution des données :

\[ I = \frac{3 \, \text{m} \times (0,25 \, \text{m})^3}{12} \] \[ I = \frac{3 \times 0,015625}{12} \] \[ I = \frac{0,046875}{12} \] \[ I = 0,00390625 \, \text{m}^4 \]

1.4. Calcul de la contrainte de flexion maximale (\(\sigma\))

La contrainte en flexion est calculée par :

Formule :

\[ \sigma = \frac{M \times c}{I} \]

où

\[ c = \frac{h}{2} = \frac{0,25 \, \text{m}}{2} = 0,125 \, \text{m} \]

Substitution des valeurs :

\[ \sigma = \frac{4\,687\,500 \, \text{N·m} \times 0,125 \, \text{m}}{0,00390625 \, \text{m}^4} \] \[ \sigma = \frac{585\,937,5}{0,00390625} \, \text{Pa} \] \[ \sigma = 150\,000\,000 \, \text{Pa} \] \[ \sigma = 150 \, \text{MPa} \]

2. Calcul du taux de déformation (\(\epsilon\)) de l’acier sous cette contrainte

Le taux de déformation (ou allongement unitaire) se calcule à partir du module d’élasticité :

Formule :

\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} \]

Substitution des valeurs :

\[ \epsilon = \frac{150 \, \text{MPa}}{210 \, \text{GPa}} \] \[ \epsilon = \frac{150 \times 10^6 \, \text{Pa}}{210 \times 10^9 \, \text{Pa}} \] \[ \epsilon = 0,0007143 \quad \text{(sans unité)} \]

3. Vérification de la sécurité de la passerelle

Nous comparons la contrainte calculée à la contrainte admissible :

Contrainte calculée : 150 MPa
Contrainte admissible : 250 MPa

Évaluation :

\[ 150 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]

La contrainte dans l’acier est inférieure à la contrainte admissible, ce qui indique que la passerelle est considérée comme sûre sous la charge maximale attendue.

4. Impact d’une augmentation de 10% de la charge maximale

4.1. Nouvelle charge maximale

Augmentation de 10% de la charge :

\[ P’ = 1,10 \times 5000 \, \text{N/m}^2 \] \[ P’ = 5500 \, \text{N/m}^2 \]

4.2. Nouvelle charge linéique

\[ q’ = P’ \times b \] \[ q’ = 5500 \, \text{N/m}^2 \times 3 \, \text{m} \] \[ q’ = 16500 \, \text{N/m} \]

4.3. Nouveau moment fléchissant maximal

\[ M’ = \frac{q’ \times L^2}{8} = \frac{16500 \, \text{N/m} \times (50 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M’ = \frac{16500 \times 2500}{8} \] \[ M’ = \frac{41\,250\,000}{8} \, \text{N·m} \] \[ M’ = 5\,156\,250 \, \text{N·m} \]

4.4. Nouvelle contrainte de flexion

En utilisant la même formule que précédemment :

\[ \sigma’ = \frac{M’ \times c}{I} \]

avec \( c = 0,125 \, \text{m} \) et \( I = 0,00390625 \, \text{m}^4 \).

Substitution :

\[ \sigma’ = \frac{5\,156\,250 \, \text{N·m} \times 0,125 \, \text{m}}{0,00390625 \, \text{m}^4} \] \[ \sigma’ = \frac{644\,531,25}{0,00390625} \, \text{Pa} \] \[ \sigma’ = 165\,000\,000 \, \text{Pa} \] \[ \sigma’ = 165 \, \text{MPa} \]

4.5. Évaluation de la sécurité avec la charge augmentée

On compare la nouvelle contrainte à la contrainte admissible :

Nouvelle contrainte calculée : 165 MPa
Contrainte admissible : 250 MPa

Conclusion :
Même avec une augmentation de 10 % de la charge, la contrainte reste inférieure à la contrainte admissible (165 MPa < 250 MPa).
Cependant, il faut noter que la marge de sécurité se réduit, et dans une démarche de conception, il conviendrait de vérifier d’autres critères (facteurs de sécurité, fatigue, etc.) pour s’assurer que la structure reste fiable sur le long terme.

Calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

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