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L’Entropie dans un Cycle de Carnot

Exercice : L’Entropie dans un Cycle de Carnot

L’Entropie dans un Cycle de Carnot

Contexte : Le Cycle de CarnotUn cycle thermodynamique théorique réversible composé de quatre étapes : une expansion isotherme, une expansion adiabatique, une compression isotherme et une compression adiabatique. et l'EntropieUne fonction d'état thermodynamique qui est une mesure du désordre d'un système. Pour un processus réversible, sa variation est définie comme dS = δQ/T..

Le cycle de Carnot représente le cycle thermodynamique le plus efficace possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures constantes. L'étude de l'entropie, une mesure du désordre d'un système, au sein de ce cycle est fondamentale. Elle permet de démontrer que l'entropie est une fonction d'état et d'illustrer concrètement le Second Principe de la Thermodynamique. Cet exercice vous guidera dans le calcul des variations d'entropie à chaque étape du cycle pour un gaz parfait.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous aider à visualiser pourquoi l'entropie est une fonction d'état. En calculant sa variation sur un cycle complet et en trouvant zéro, vous prouverez que la valeur de l'entropie ne dépend que de l'état du système (P, V, T), et non du chemin parcouru.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le travail et la chaleur échangés lors des transformations isothermes.
  • Déterminer la variation d'entropie pour chaque étape d'un cycle de Carnot.
  • Vérifier que la variation d'entropie totale sur un cycle réversible est nulle.
  • Comprendre la relation entre l'entropie, la chaleur et la température pour un processus réversible.

Données de l'étude

On considère une mole (\(n=1 \text{ mol}\)) de gaz parfait monoatomique (\(\gamma = 5/3\)) décrivant un cycle de Carnot réversible entre une source chaude à \(T_H = 600 \text{ K}\) et une source froide à \(T_C = 300 \text{ K}\).

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Fluide de travail Gaz parfait monoatomique
Quantité de matière (\(n\)) 1 mol
Constante des gaz parfaits (R) 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹
Diagramme de Clapeyron (P-V) du Cycle de Carnot
1 2 3 4 Expansion Isotherme (TH) Compression Isotherme (TC) Expansion Adiabatique Compression Adiabatique V P
État Transformation Volume initial Volume final
1 → 2 Expansion Isotherme à \(T_H\) \(V_1 = 10 \text{ L}\) \(V_2 = 20 \text{ L}\)
3 → 4 Compression Isotherme à \(T_C\) \(V_3\) \(V_4\)

Questions à traiter

  1. Calculer le travail (\(W_{12}\)) et la chaleur (\(Q_{12}\)) échangés lors de l'expansion isotherme.
  2. En déduire la variation d'entropie du gaz (\(\Delta S_{12}\)) lors de cette transformation.
  3. Calculer la chaleur (\(Q_{34}\)) échangée lors de la compression isotherme.
  4. En déduire la variation d'entropie du gaz (\(\Delta S_{34}\)) lors de cette transformation.
  5. Quelle est la variation d'entropie totale du gaz sur le cycle complet ? Conclure.

Les bases sur l'Entropie et le Cycle de Carnot

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés de la thermodynamique : le cycle de Carnot pour un gaz parfait et la définition de l'entropie pour un processus réversible.

1. Le Cycle de Carnot
C'est un cycle théorique réversible composé de quatre transformations successives :

  • 1→2 : Expansion isotherme réversible : Le gaz est en contact avec la source chaude (\(T_H\)) et se détend, produisant du travail. Son énergie interne ne varie pas (\(\Delta U = 0\)).
  • 2→3 : Expansion adiabatique réversible : Le gaz est isolé thermiquement (\(Q=0\)) et continue de se détendre. Sa température chute de \(T_H\) à \(T_C\).
  • 3→4 : Compression isotherme réversible : Le gaz est en contact avec la source froide (\(T_C\)) et est comprimé. Le système reçoit du travail. Son énergie interne ne varie pas (\(\Delta U = 0\)).
  • 4→1 : Compression adiabatique réversible : Le gaz est isolé thermiquement (\(Q=0\)) et continue d'être comprimé. Sa température augmente de \(T_C\) à \(T_H\), revenant à l'état initial.

2. L'Entropie (S)
L'entropie est une fonction d'état qui quantifie le désordre d'un système. Pour une transformation réversible infinitésimale, la variation d'entropie \(dS\) est définie par la quantité de chaleur \(\delta Q_{\text{rev}}\) échangée, divisée par la température absolue \(T\) à laquelle l'échange a lieu. \[ dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} \] Pour une transformation finie de A à B, on intègre cette expression : \[ \Delta S_{A \to B} = \int_{A}^{B} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} \]

Correction : L’Entropie dans un Cycle de Carnot

Question 1 : Calcul de \(W_{12}\) et \(Q_{12}\)

Principe (le concept physique)

Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, l'énergie interne ne change pas car elle ne dépend que de la température. Le Premier Principe de la Thermodynamique (\(\Delta U = W + Q\)) implique donc que la chaleur reçue est égale à l'opposé du travail fourni par les forces de pression (\(Q = -W\)). Le travail se calcule en intégrant la pression \(P=nRT/V\) sur le changement de volume.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Premier Principe de la Thermodynamique stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec le milieu extérieur : \(\Delta U = W + Q\). Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de sa température. Ainsi, lors d'une transformation isotherme (à température constante), \(\Delta U = 0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le réflexe à avoir face à une transformation "isotherme" sur un "gaz parfait" est immédiat : \(\Delta U = 0\). Cela simplifie grandement le Premier Principe qui devient \(Q = -W\). Toute l'énergie thermique que le système reçoit est intégralement convertie en travail fourni au milieu extérieur, et vice-versa.

Normes (la référence réglementaire)

En thermodynamique, les "normes" sont les lois fondamentales de la physique. Ici, nous nous basons sur le Premier Principe de la Thermodynamique (conservation de l'énergie) et la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)), qui sont des piliers de la physique classique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Travail d'une transformation isotherme réversible

\[ \begin{aligned} W_{A \to B} &= - \int_{V_A}^{V_B} P \,dV \\ &= -nRT \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \end{aligned} \]

Premier Principe (Isotherme, Gaz Parfait)

\[ \Delta U = 0 \Rightarrow Q_{A \to B} = -W_{A \to B} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le fluide est un gaz parfait.
  • La transformation de 1 à 2 est quasi-statique (réversible).
  • La température \(T_H\) est constante tout au long de la transformation.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)1mol
Constante des gaz parfaits\(R\)8.314J·mol⁻¹·K⁻¹
Température source chaude\(T_H\)600K
Volume initial\(V_1\)10L
Volume final\(V_2\)20L
Astuces (Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours le signe du travail. Une expansion (le volume augmente, \(V_B > V_A\)) signifie que le gaz "pousse" sur l'extérieur, donc le système fournit du travail : \(W\) doit être négatif. Une compression (\(V_B < V_A\)) signifie que l'extérieur "pousse" sur le gaz : le système reçoit du travail, \(W\) doit être positif.

Schéma (Avant les calculs)
Travail \(W_{12}\) : Aire sous la courbe P-V
12VPV1V2Aire = |W12|
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du travail \(W_{12}\)

\[ \begin{aligned} W_{12} &= -(1 \text{ mol}) \times (8.314 \text{ J·mol⁻¹·K⁻¹}) \times (600 \text{ K}) \times \ln\left(\frac{20 \text{ L}}{10 \text{ L}}\right) \\ &= -4988.4 \times \ln(2) \\ &\approx -3457.6 \text{ J} \end{aligned} \]

Calcul de la chaleur \(Q_{12}\)

\[ Q_{12} = -W_{12} \approx 3457.6 \text{ J} \]
Schéma (Après les calculs)
Flux d'énergie pour l'étape 1→2
Source Chaude THSystèmeQ12 > 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les signes sont physiquement cohérents. Le gaz se détend (\(W_{12} < 0\)), il fournit donc un travail mécanique. Pour que sa température ne baisse pas, il doit absorber une quantité équivalente d'énergie sous forme de chaleur (\(Q_{12} > 0\)) depuis la source chaude. C'est l'étape "motrice" du cycle où la chaleur est convertie en travail.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités ! La constante R (8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹) est en Joules, le résultat sera donc en Joules. Si des pressions en bars ou des volumes en m³ étaient utilisés, des conversions seraient nécessaires. Attention également au signe 'moins' dans la formule du travail, qui est une convention courante en thermodynamique (travail reçu par le système).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour un gaz parfait en transformation isotherme : \(\Delta U = 0\) et \(Q = -W\).
  • La formule du travail pour un processus isotherme réversible est \(W = -nRT \ln(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}})\).
  • Le signe du travail indique le sens du transfert d'énergie : \(W<0\) si le système fournit du travail, \(W>0\) s'il en reçoit.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'énergie interne a été développé en grande partie par Rudolf Clausius et William Rankine au 19ème siècle. Ils ont montré qu'il s'agissait d'une fonction d'état, une propriété intrinsèque d'un système, jetant ainsi les bases du Premier Principe de la Thermodynamique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend-elle que de la température ?

Dans le modèle du gaz parfait, on néglige les interactions entre les molécules. L'énergie interne ne correspond alors qu'à la somme des énergies cinétiques des molécules, qui est directement proportionnelle à la température absolue.

Cette formule pour le travail est-elle toujours valable ?

Non, elle n'est valable que pour une transformation isotherme et réversible (quasi-statique) d'un gaz parfait. Pour d'autres transformations ou d'autres fluides, la formule est différente.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le travail fourni par le gaz est \(W_{12} \approx -3458 \text{ J}\) et la chaleur reçue de la source chaude est \(Q_{12} \approx 3458 \text{ J}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'expansion isotherme se poursuivait jusqu'à un volume final \(V_2 = 30 \text{ L}\), quel serait le travail \(W_{12}\) fourni ?

Question 2 : Variation d'entropie \(\Delta S_{12}\)

Principe (le concept physique)

L'entropie est une mesure du désordre d'un système. Pour une transformation réversible, sa variation est définie comme la chaleur échangée divisée par la température absolue à laquelle cet échange se produit. Puisque la transformation 1→2 est isotherme et réversible, le calcul est direct.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La définition différentielle de l'entropie est \(dS = \delta Q_{\text{rev}}/T\). Pour une transformation se déroulant à température \(T\) constante, on peut sortir \(T\) de l'intégrale : \(\Delta S = \int dS = (1/T) \int \delta Q_{\text{rev}} = Q_{\text{rev}}/T\). Cette relation simple est un cas particulier très utile.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne cherchez pas de complication : si le processus est à la fois réversible et isotherme, la variation d'entropie est tout simplement \(Q/T\). La difficulté est souvent de calculer \(Q\) correctement, ce qui a été fait à la question précédente.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est une application directe du Second Principe de la Thermodynamique, qui introduit la fonction d'état entropie \(S\). C'est ce principe qui régit le sens des évolutions spontanées et la notion d'irréversibilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation d'entropie (processus isotherme réversible)

\[ \Delta S_{A \to B} = \frac{Q_{AB, \text{rev}}}{T} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La transformation est réversible.
  • La température \(T_H\) est constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Chaleur échangée\(Q_{12}\)3457.6J
Température\(T_H\)600K
Astuces (Pour aller plus vite)

Un système qui reçoit de la chaleur de façon réversible voit son entropie augmenter. Un système qui en cède voit son entropie diminuer. Ici, le gaz reçoit de la chaleur (\(Q_{12}>0\)), donc on s'attend à \(\Delta S_{12} > 0\).

Schéma (Avant les calculs)
Étape 1→2 sur un diagramme T-S
12STTHAire = Q12
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la variation d'entropie \(\Delta S_{12}\)

\[ \begin{aligned} \Delta S_{12} &= \frac{Q_{12}}{T_H} \\ &= \frac{3457.6 \text{ J}}{600 \text{ K}} \\ &\approx 5.76 \text{ J·K⁻¹} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Étape 1→2 sur un diagramme T-S
12STTHAire = Q12
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La variation d'entropie est positive, ce qui signifie que le désordre du gaz a augmenté. C'est cohérent avec le fait que le gaz a reçu de l'énergie (chaleur) et que son volume a augmenté, offrant plus d'états microscopiques accessibles aux molécules.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier d'utiliser la température en Kelvin. La définition de l'entropie repose sur la température absolue. Utiliser des degrés Celsius mènerait à un résultat complètement faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La variation d'entropie pour un processus isotherme réversible est \(\Delta S = Q/T\).
  • La température \(T\) doit impérativement être en Kelvin.
  • \(\Delta S > 0\) signifie que le désordre du système a augmenté.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le mot "entropie" a été inventé par Rudolf Clausius en 1865 à partir du mot grec "tropē" (τροπή), qui signifie "transformation" ou "évolution". Il voulait un terme qui sonne comme "énergie" pour marquer l'importance de ce nouveau concept.

FAQ (pour lever les doutes)
L'entropie d'un système peut-elle diminuer ?

Oui, l'entropie d'un système ouvert ou fermé peut diminuer (comme nous le verrons à la question 4). Cependant, le Second Principe stipule que l'entropie de l'univers (système + extérieur) ne peut qu'augmenter ou rester constante pour un processus réel.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation d'entropie du gaz lors de l'expansion isotherme est \(\Delta S_{12} \approx +5.76 \text{ J·K⁻¹}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le gaz avait absorbé \(5000\) J de la source chaude, quelle aurait été la variation d'entropie \(\Delta S_{12}\) ?

Question 3 : Calcul de la chaleur \(Q_{34}\)

Principe (le concept physique)

Pour calculer la chaleur \(Q_{34}\) durant la compression isotherme à la température \(T_C\), nous devons connaître le rapport des volumes \(V_4/V_3\). Ce rapport peut être déterminé en utilisant les relations de Laplace, qui lient les états (T,V) au début et à la fin d'une transformation adiabatique réversible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Loi de Laplace : Pour un processus adiabatique réversible d'un gaz parfait, les états initial (i) et final (f) sont liés par la relation \(T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}\), où \(\gamma = C_P/C_V\) est le rapport des capacités thermiques. Cette loi découle du Premier Principe (\(dU = \delta W\)) et de la loi des gaz parfaits.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'astuce de cet exercice réside dans la reconnaissance que les deux transformations adiabatiques "connectent" les deux isothermes. En écrivant les lois de Laplace pour 2→3 et 4→1, on peut éliminer les températures pour trouver une relation simple entre les quatre volumes du cycle.

Normes (la référence réglementaire)

Les lois de Laplace sont des conséquences directes du Premier Principe de la Thermodynamique et de la loi des gaz parfaits, appliquées au cas spécifique des transformations adiabatiques réversibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi de Laplace

\[ T V^{\gamma-1} = \text{Constante} \]

Chaleur d'une transformation isotherme réversible

\[ Q_{A \to B} = nRT \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les transformations 2→3 et 4→1 sont adiabatiques et réversibles.
  • La transformation 3→4 est isotherme et réversible.
  • Le fluide est un gaz parfait.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)1mol
Constante des gaz parfaits\(R\)8.314J·mol⁻¹·K⁻¹
Température source chaude\(T_H\)600K
Température source froide\(T_C\)300K
Rapport de volume\(V_2/V_1\)2-
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un cycle de Carnot, il est bon de se souvenir du résultat : le taux de compression volumique durant l'isotherme froide (\(V_3/V_4\)) est égal au taux de détente durant l'isotherme chaude (\(V_2/V_1\)).

Schéma (Avant les calculs)
Cycle de Carnot complet (P-V)
1234
Calcul(s) (l'application numérique)

Loi de Laplace pour 2→3

\[ T_H V_2^{\gamma-1} = T_C V_3^{\gamma-1} \quad (A) \]

Loi de Laplace pour 4→1

\[ T_C V_4^{\gamma-1} = T_H V_1^{\gamma-1} \quad (B) \]

Combinaison des équations

\[ (T_H V_2^{\gamma-1}) \times (T_C V_4^{\gamma-1}) = (T_C V_3^{\gamma-1}) \times (T_H V_1^{\gamma-1}) \]

Relation des volumes

\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \]

Calcul de la chaleur \(Q_{34}\)

\[ \begin{aligned} Q_{34} &= nRT_C \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) \\ &= nRT_C \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) \\ &= -nRT_C \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ &= -(1 \text{ mol}) \times (8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (300 \text{ K}) \times \ln(2) \\ &\approx -1728.8 \text{ J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flux d'énergie pour l'étape 3→4
SystèmeSource Froide TCQ34 < 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La chaleur \(Q_{34}\) est négative, ce qui signifie que le système cède de l'énergie thermique à la source froide. C'est une étape nécessaire pour "refermer" le cycle : le fluide doit être refroidi et comprimé pour revenir à son état initial, et cette chaleur "usée" doit être évacuée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de se tromper dans le rapport des volumes. Puisque \(V_2/V_1 = V_3/V_4\), alors \(V_4/V_3 = V_1/V_2\). Un signe d'inversion dans le logarithme changera le signe du résultat final, ce qui est une erreur physique majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible est \(TV^{\gamma-1} = \text{Cte}\).
  • Pour un cycle de Carnot, les rapports de volume des isothermes sont égaux : \(V_2/V_1 = V_3/V_4\).
  • La chaleur cédée à la source froide est \(Q_C = Q_{34} = -nRT_C \ln(V_2/V_1)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sadi Carnot, en 1824, a publié ses "Réflexions sur la puissance motrice du feu" bien avant que les principes de la thermodynamique ne soient formalisés. Il a intuitivement compris qu'un moteur thermique nécessitait une source chaude et une source froide et que l'efficacité dépendait de l'écart de température entre elles, posant ainsi les bases du Second Principe.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette relation entre les volumes est-elle valable pour tous les cycles ?

Non, la relation \(V_2/V_1 = V_3/V_4\) est spécifique à la géométrie du cycle de Carnot, où deux isothermes sont reliées par deux adiabatiques. Pour d'autres cycles (Otto, Diesel), les relations sont différentes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La chaleur cédée à la source froide est \(Q_{34} \approx -1729 \text{ J}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la source froide était à \(T_C = 400 \text{ K}\) (et \(T_H=600 \text{ K}\)), quelle serait la chaleur \(Q_{34}\) cédée ?

Question 4 : Variation d'entropie \(\Delta S_{34}\)

Principe (le concept physique)

Comme pour l'étape 1→2, la transformation 3→4 est isotherme et réversible. La variation d'entropie se calcule donc de la même manière : en divisant la chaleur échangée \(Q_{34}\) par la température absolue et constante \(T_C\) de l'échange.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de l'entropie reste identique pour toute transformation isotherme réversible, qu'il s'agisse d'une expansion ou d'une compression. Le signe de la variation d'entropie sera simplement dicté par le signe de la chaleur échangée. Une cession de chaleur (\(Q<0\)) entraîne une diminution de l'entropie du système.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le parallèle avec la question 2 est la clé. La physique est la même, seuls les chiffres changent. On s'attend à un résultat de même magnitude mais de signe opposé, car le système est "refroidi" et "comprimé", deux opérations qui tendent à réduire le désordre.

Normes (la référence réglementaire)

Encore une fois, c'est une application directe du Second Principe de la Thermodynamique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation d'entropie (processus isotherme réversible)

\[ \Delta S_{3 \to 4} = \frac{Q_{34, \text{rev}}}{T_C} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La transformation est réversible.
  • La température \(T_C\) est constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Chaleur échangée\(Q_{34}\)-1728.8J
Température\(T_C\)300K
Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque \(Q_{34}/T_C = -n R \ln(V_2/V_1)\) et \(Q_{12}/T_H = n R \ln(V_2/V_1)\), on peut voir que \(\Delta S_{34} = -(T_H/T_C) \Delta S_{12}\) est faux. La relation correcte est \(Q_{34}/T_C = -Q_{12}/T_H\), donc \(\Delta S_{34} = - \Delta S_{12}\). On pourrait trouver le résultat sans calcul !

Schéma (Avant les calculs)
Étape 3→4 sur un diagramme T-S
34STTCAire = |Q34|
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la variation d'entropie \(\Delta S_{34}\)

\[ \begin{aligned} \Delta S_{34} &= \frac{Q_{34}}{T_C} \\ &= \frac{-1728.8 \text{ J}}{300 \text{ K}} \\ &\approx -5.76 \text{ J·K⁻¹} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Étape 3→4 sur un diagramme T-S
34STTCAire = |Q34|
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La variation d'entropie est négative, et exactement l'opposée de \(\Delta S_{12}\). Le désordre du gaz a diminué, ce qui est logique car le système a été comprimé (moins de volume disponible) et a cédé de la chaleur à la source froide (moins d'agitation thermique).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas être surpris par une variation d'entropie négative. L'entropie d'un système peut parfaitement diminuer. C'est l'entropie de l'univers (système + extérieur) qui ne peut pas diminuer pour une transformation spontanée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule \(\Delta S = Q/T\) s'applique aussi bien à la compression qu'à l'expansion.
  • Le signe de \(\Delta S\) est le même que le signe de \(Q\).
  • Dans un cycle de Carnot, on a toujours \(\Delta S_{\text{isotherme\_froide}} = - \Delta S_{\text{isotherme\_chaude}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "mort thermique de l'univers" est une extrapolation du Second Principe. Si l'univers est un système isolé, son entropie totale augmente constamment. L'état final serait un équilibre thermique parfait, à une température uniforme, où plus aucune transformation ne serait possible. Heureusement, ce n'est qu'une hypothèse lointaine !

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\Delta S_{34}\) est-il exactement l'opposé de \(\Delta S_{12}\) ?

Cela vient de la relation \(\frac{Q_{12}}{T_H} + \frac{Q_{34}}{T_C} = 0\), connue sous le nom d'égalité de Clausius-Carnot. Elle découle de \(\frac{Q_{12}}{T_H} = nR\ln(V_2/V_1)\) et \(\frac{Q_{34}}{T_C} = -nR\ln(V_2/V_1)\). Cette égalité est au cœur de la définition de l'entropie et de la température thermodynamique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation d'entropie du gaz lors de la compression isotherme est \(\Delta S_{34} \approx -5.76 \text{ J·K⁻¹}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le gaz cédait -2000 J à une source froide de 350 K, quelle serait la variation d'entropie \(\Delta S_{34}\) ?

Question 5 : Variation d'entropie totale sur le cycle

Principe (le concept physique)

Pour trouver la variation d'entropie sur le cycle complet, il faut additionner les variations de chaque étape. L'entropie étant une fonction d'état, si l'on effectue un cycle et que l'on revient à l'état de départ, sa variation globale doit être nulle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Une fonction d'état (comme l'énergie interne U, l'enthalpie H, ou l'entropie S) est une propriété d'un système dont la valeur est uniquement déterminée par l'état thermodynamique actuel du système (P, V, T). Par conséquent, lorsque le système parcourt un cycle fermé et revient à son état initial, la variation nette de toute fonction d'état est, par définition, égale à zéro. On note cela mathématiquement par \(\oint dS = 0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la question de synthèse. Elle permet de vérifier la cohérence de tous les calculs précédents. Si vous ne trouvez pas zéro (aux erreurs d'arrondi près), c'est qu'une erreur a été commise dans les questions précédentes. C'est un excellent moyen de s'auto-corriger.

Normes (la référence réglementaire)

La conclusion que \(\Delta S_{\text{cycle}} = 0\) pour un processus réversible est une conséquence directe et fondamentale du Second Principe de la Thermodynamique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation d'entropie (processus adiabatique réversible)

\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{adiabatique, rev}} &= \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} \\ &= \int \frac{0}{T} \\ &= 0 \end{aligned} \]

Variation d'entropie sur un cycle

\[ \Delta S_{\text{cycle}} = \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le cycle entier est composé de transformations réversibles.
  • Le système revient exactement à son état initial à la fin du cycle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ÉtapeTransformation\(\Delta S\) (J·K⁻¹)
1→2Isotherme chaude+5.76
2→3Adiabatique0
3→4Isotherme froide-5.76
4→1Adiabatique0
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un cycle de Carnot, les seules variations d'entropie ont lieu pendant les étapes isothermes. Il suffit donc d'additionner \(\Delta S_{12}\) et \(\Delta S_{34}\). Comme on a déjà vu qu'elles sont opposées, le résultat est immédiat.

Schéma (Avant les calculs)
Cycle de Carnot sur un diagramme T-S
1234STTHTCAire = Wnet
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la variation d'entropie totale

\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{cycle}} &= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41} \\ &= (+5.76 \text{ J·K⁻¹}) + (0) + (-5.76 \text{ J·K⁻¹}) + (0) \\ &= 0 \text{ J·K⁻¹} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Cycle de Carnot sur un diagramme T-S
1234STTHTCAire = Wnet
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat (\(\Delta S_{\text{cycle}} = 0\)) est la preuve mathématique que l'entropie est une fonction d'état. La quantité d'entropie gagnée par le gaz en contact avec la source chaude est exactement égale à la quantité d'entropie qu'il perd en contact avec la source froide. Le bilan net pour le gaz est nul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, ce résultat n'est vrai que pour le système (le gaz). L'entropie de l'univers (gaz + sources) a, elle, augmenté. En effet, la source chaude a perdu \(\Delta S_{\text{source\_chaude}} = -Q_{12}/T_H = -5.76 \text{ J/K}\) et la source froide a gagné \(\Delta S_{\text{source\_froide}} = -Q_{34}/T_C = +1728.8/300 = +5.76 \text{ J/K}\). L'entropie de l'univers pour ce cycle réversible a une variation nulle. Pour un cycle réel (irréversible), elle augmenterait.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour tout cycle réversible, la variation d'entropie du système est nulle : \(\Delta S_{\text{cycle, rev}} = 0\).
  • Ceci est la définition mathématique d'une fonction d'état.
  • Les processus adiabatiques réversibles sont isentropiques (\(\Delta S = 0\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme T-S est très apprécié des ingénieurs. L'aire à l'intérieur de la courbe d'un cycle représente le travail net produit par le cycle (\(W_{\text{net}} = Q_H + Q_C\)). L'aire sous la courbe supérieure (1→2) est la chaleur absorbée \(Q_H\). L'efficacité \(\eta = W_{\text{net}}/Q_H\) peut donc être visualisée comme le rapport de deux aires sur ce diagramme.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le cycle n'était pas réversible ?

Si le cycle était irréversible, on aurait l'inégalité de Clausius : \(\oint \frac{\delta Q}{T} < 0\). Cependant, comme le système revient à son point de départ, sa variation d'entropie est toujours nulle (\(\Delta S_{\text{cycle}}=0\)). Cela implique que l'entropie générée par les irréversibilités est évacuée sous forme de chaleur, ce qui conduit à un rendement plus faible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation d'entropie totale du gaz sur le cycle de Carnot est \(\Delta S_{\text{cycle}} = 0\), confirmant que l'entropie est une fonction d'état.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un moteur décrit un cycle réversible. Lors de son interaction avec la source chaude, son entropie augmente de 10 J/K. Quelle doit être la variation d'entropie lors de son interaction avec la source froide pour que le bilan entropique du cycle soit nul ?

Outil Interactif : Efficacité du Moteur de Carnot

Utilisez les curseurs pour modifier les températures des sources chaude (\(T_H\)) et froide (\(T_C\)). Observez comment l'efficacité théorique maximale du moteur de Carnot évolue. Le graphique montre l'évolution de l'efficacité en fonction de la température de la source froide, pour une température de source chaude fixe.

Paramètres d'Entrée
600 K
300 K
Résultats Clés
Rapport \(T_C / T_H\) -
Efficacité de Carnot (\(\eta\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lors d'une expansion adiabatique réversible (étape 2→3 du cycle de Carnot), que fait l'entropie du gaz ?

2. De quoi dépend UNIQUEMENT l'efficacité d'un moteur de Carnot idéal ?

3. Pour un cycle réversible complet, la variation totale d'entropie du fluide de travail est...

4. Dans la formule \(\Delta S = Q_{\text{rev}}/T\), que représente \(T\) ?

5. Si l'on augmente la température de la source chaude (\(T_H\)) tout en gardant \(T_C\) constante, comment évolue l'efficacité du moteur de Carnot ?

Cycle de Carnot
Un cycle thermodynamique théorique, réversible, composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques. Il décrit le fonctionnement du moteur thermique ayant le meilleur rendement possible entre deux sources de chaleur.
Entropie (S)
Une fonction d'état thermodynamique qui mesure le degré de désordre ou d'agitation moléculaire d'un système. Sa variation pour un processus réversible est \(\Delta S = \int (dQ_{\text{rev}}/T)\).
Processus Isotherme
Une transformation qui s'effectue à température constante.
Processus Adiabatique
Une transformation qui s'effectue sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
Fonction d'état
Une propriété d'un système qui ne dépend que de son état actuel (défini par P, V, T, etc.) et non de la manière dont il a atteint cet état.
Exercice : L’Entropie dans un Cycle de Carnot

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