Machine Thermique à Cycle de Carnot
Comprendre la Machine Thermique à Cycle de Carnot
Vous travaillez en tant qu’ingénieur en thermodynamique dans une entreprise de développement de systèmes énergétiques. Votre tâche est de concevoir une machine thermique opérant selon un cycle de Carnot, utilisée pour générer de l’électricité. L’objectif est d’analyser l’efficacité et la puissance de sortie de cette machine.
Données:
- La source chaude de la machine thermique est à une température \( T_{\text{chaud}} = 600 \, \text{K} \).
- La source froide, à laquelle la chaleur est rejetée, est à \( T_{\text{froid}} = 300 \, \text{K} \).
- La machine absorbe \( Q_{\text{chaud}} = 1500 \, \text{J} \) de chaleur de la source chaude à chaque cycle.
Partie A – Calcul de l’Efficiacité du Cycle de Carnot
1. Calculez l’efficacité théorique du cycle de Carnot.
2. Déterminez la quantité de chaleur \( Q_{\text{froid}} \) rejetée à la source froide par cycle.
Partie B – Analyse de la Puissance de Sortie
1. Si la machine effectue 50 cycles par seconde, calculez la puissance de sortie de la machine.
2. Discutez comment des variations de \( T_{\text{chaud}} \) et \( T_{\text{froid}} \) pourraient affecter la puissance et l’efficacité de la machine.
Correction : Machine Thermique à Cycle de Carnot
Partie A – Calcul de l’Efficacité du Cycle de Carnot
1. Calcul de l’Efficacité Théorique
L’efficacité d’un cycle de Carnot est donnée par la formule suivante :
\[ \eta = 1 – \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \]
où :
- \( T_{\text{chaud}} \) est la température de la source chaude,
- \( T_{\text{froid}} \) est la température de la source froide.
Cette formule exprime le fait que l’efficacité d’un cycle de Carnot dépend uniquement des températures absolues des deux sources.
Données:
- \( T_{\text{chaud}} = 600\,\text{K} \)
- \( T_{\text{froid}} = 300\,\text{K} \)
Calcul:
Substituons les valeurs :
\[ \eta = 1 – \frac{300}{600} = 1 – 0.5 = 0.5 \]
Résultat :
L’efficacité théorique du cycle de Carnot est 50 % ou 0.5.
2. Détermination de la Quantité de Chaleur Rejetée (\( Q_{\text{froid}} \))
Dans un cycle de Carnot, le rapport des chaleurs échangées est proportionnel aux températures des sources. On a :
\[ \frac{Q_{\text{froid}}}{Q_{\text{chaud}}} = \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \]
On connaît \( Q_{\text{chaud}} \) et il est possible de calculer \( Q_{\text{froid}} \) en utilisant cette relation.
Formule:
\[ Q_{\text{froid}} = Q_{\text{chaud}} \times \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \]
Données:
- \( Q_{\text{chaud}} = 1500\,\text{J} \)
- \( T_{\text{froid}} = 300\,\text{K} \)
- \( T_{\text{chaud}} = 600\,\text{K} \)
Calcul:
Substituons les valeurs :
\[ Q_{\text{froid}} = 1500\,\text{J} \times \frac{300}{600} \] \[ Q_{\text{froid}} = 1500\,\text{J} \times 0.5 \] \[ Q_{\text{froid}} = 750\,\text{J} \]
Résultat :
La quantité de chaleur rejetée à la source froide par cycle est 750 J.
Partie B – Analyse de la Puissance de Sortie
1. Calcul de la Puissance de Sortie
La puissance fournie par la machine est l’énergie de travail produite par cycle multipliée par le nombre de cycles par seconde (la fréquence d’opération).
Le travail effectué par cycle (\( W \)) est la différence entre la chaleur absorbée et la chaleur rejetée :
\[ W = Q_{\text{chaud}} – Q_{\text{froid}} \]
La puissance \( P \) est alors :
\[ P = W \times \text{(nombre de cycles par seconde)} \]
Formule:
\[ P = \left( Q_{\text{chaud}} – Q_{\text{froid}} \right) \times \text{(nombre de cycles/s)} \]
Données:
- \( Q_{\text{chaud}} = 1500\,\text{J} \)
- \( Q_{\text{froid}} = 750\,\text{J} \)
- Nombre de cycles par seconde \( = 50\,\text{cycles/s} \)
Calcul:
Calcul du travail par cycle :
\[ W = 1500\,\text{J} – 750\,\text{J} \] \[ W = 750\,\text{J} \]
Calcul de la puissance :
\[ P = 750\,\text{J} \times 50\,\text{cycles/s} \] \[ P = 37500\,\text{J/s} = 37.5\,\text{kW} \]
Résultat :
La puissance de sortie de la machine est 37.5 kW.
2. Discussion sur l’Influence des Variations de \( T_{\text{chaud}} \) et \( T_{\text{froid}} \)
Impact sur l’efficacité :
- Augmentation de \( T_{\text{chaud}} \) :
Une augmentation de la température de la source chaude augmente l’écart de température entre les deux sources.
Effet : L’efficacité théorique \( \eta = 1 – \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \) augmente, car le terme \( \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \) diminue.
Diminution de \( T_{\text{froid}} \) :
Une diminution de la température de la source froide, tout en gardant \( T_{\text{chaud}} \) constant, diminue également le rapport \( \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \).
Effet : L’efficacité du cycle augmente.
Impact sur la puissance de sortie :
- Si \( T_{\text{chaud}} \) augmente :
Énergie par cycle : Avec une plus grande différence de température, la machine peut produire plus de travail par cycle (si l’absorption de chaleur \( Q_{\text{chaud}} \) est maintenue ou optimisée).
Puissance : Puisque \( P = W \times \text{(nombre de cycles/s)} \), une augmentation du travail \( W \) par cycle se traduit par une puissance de sortie plus élevée.
- Si \( T_{\text{froid}} \) diminue :
Énergie par cycle : La quantité de chaleur rejetée diminue pour un même \( Q_{\text{chaud}} \), augmentant ainsi \( W \) par cycle.
Puissance : La puissance de sortie augmente de manière similaire.
Remarque :
Ces variations améliorent théoriquement l’efficacité et la puissance, mais en pratique, d’autres facteurs (limites matérielles, pertes thermiques, contraintes de conception) doivent être pris en compte.
Machine Thermique à Cycle de Carnot
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