Processus Isobare pour l’Air
Comprendre le processus Isobare pour l’Air
Un cylindre fermé contient 0,5 kg d’air à une pression initiale de 1 MPa et une température initiale de \( 25^\circ C \). L’air est ensuite chauffé de façon isobare jusqu’à ce que son volume triple.
Données :
- Masse de l’air, \( m = 0.5 \) kg
- Pression initiale, \( P = 1 \) MPa (ou \( 10^6 \) Pa)
- Température initiale, \( T_{\text{init}} = 25^\circ C \) (ou \( 298 \) K)
- \( R \) (constante spécifique pour l’air) = \( 287 \, \text{J/kg}\cdot K \)
- \( Cp = 1.005 \, \text{kJ/kg}\cdot K \)
On vous demande de :
1. Calculer le volume initial de l’air dans le cylindre.
2. Déterminer le volume final de l’air.
3. Calculer la quantité de chaleur transférée à l’air, en supposant que l’air se comporte comme un gaz parfait et en utilisant \( Cp \) (chaleur spécifique à pression constante) pour l’air de \( 1.005 \, \text{kJ/kg}\cdot K \).
4. Calculer le travail effectué par l’air pendant ce processus.
Correction : processus Isobare pour l’Air
1. Calcul du volume initial
Pourquoi utiliser le modèle du gaz parfait ?
- Le modèle du gaz parfait est une simplification qui permet de relier facilement pression, volume et température.
- On considère que les molécules n’interagissent pas entre elles et qu’elles subissent des collisions élastiques avec les parois.
- Cette hypothèse est valable pour l’air dans des conditions modérées de pression et température. La formule \( P V = m R T_1 \) relie ces grandeurs via la masse du gaz et la constante spécifique de l’air.
La formule \( P V = m R T_1 \) traduit que la pression multipliée par le volume est proportionnelle à l’énergie thermique contenue dans le gaz.
Formule
\[ V_1 = \frac{m R T_1}{P} \]
Données
- \( m = 0,5\;\mathrm{kg} \) : quantité d’air analysée.
- \( R = 287\;\mathrm{J/(kg\cdot K)} \) : constante spécifique de l’air.
- \( T_1 = 25\;^\circ\mathrm{C} = 298\;\mathrm{K} \) : température de départ (conversion : +\,273,15).
- \( P = 1\;\mathrm{MPa} = 1{,}0\times10^6\;\mathrm{Pa} \) : pression à laquelle se trouve l’air.
Calcul
1. On calcule le numérateur :
\[ m R T_1 = 0{,}5 \times 287 \times 298 = 42\,763 \]
2. On divise par la pression :
\[ V_1 = \frac{42\,763}{1{,}0\times10^6} \] \[ V_1 \approx 0{,}04276\;\mathrm{m^3} \]
Cela signifie que l’air occupait initialement un volume d’environ \(0,043\) litre-mètre cube.
Résultat
\[ V_1 \approx 0{,}04276\;\mathrm{m^3} \]
2. Détermination du volume final
Qu’est-ce qu’un processus isobare ?
- Isobare veut dire « à pression constante ».
- Imaginez chauffer l’air dans un cylindre avec un piston libre : le piston monte, mais la pression reste la même.
- D’après la loi de Charles, à pression constante, le volume varie en même proportion que la température (en kelvins).
- Si on triple le volume, la température en kelvins triple aussi.
- Isobare veut dire « à pression constante ».
- Imaginez chauffer l’air dans un cylindre avec un piston libre : le piston monte, mais la pression reste la même.
- D’après la loi de Charles, à pression constante, le volume varie en même proportion que la température (en kelvins).
- Si on triple le volume, la température en kelvins triple aussi.
Formule
\[ V_2 = 3 \times V_1 \]
Données
- \( V_1 = 0{,}04276\;\mathrm{m^3} \).
Calcul
Multiplier par 3 pour obtenir le nouveau volume :
\[ V_2 = 3 \times 0{,}04276 \] \[ V_2 = 0{,}12828\;\mathrm{m^3} \]
Résultat
\[ V_2 \approx 0{,}12828\;\mathrm{m^3} \]
3. Calcul de la quantité de chaleur \(Q\)
Comment déterminer la chaleur nécessaire ?
- Chauffer l’air fait augmenter son énergie interne et sa température.
- À pression constante, l’énergie apportée se calcule avec \(C_p\), la capacité calorifique à pression constante.
Formule : \[ Q = m C_p (T_2 - T_1) \].
Étapes détaillées :
1. Calculer la nouvelle température \(T_2\) grâce au rapport volumes/températures.
2. Déterminer l’augmentation de température \(\Delta T\).
3. Multiplier par la masse et par \(C_p\).
Formules
\[ T_2 = 3 \times 298 = 894\;\mathrm{K} \]\[ Q = m C_p (T_2 - T_1) \]
Données
- \( m = 0{,}5\;\mathrm{kg} \)
- \( C_p = 1{,}005\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1005\;\mathrm{J/(kg\cdot K)} \)
- \( T_1 = 298\;\mathrm{K} \)
- \( T_2 = 894\;\mathrm{K} \)
Calcul
Difference de Temperature: \[ \Delta T = T_2 - T_1 \] \[ \Delta T = 894 - 298 \] \[ \Delta T = 596\;\mathrm{K} \]
Quantité de chaleur: \[ Q = 0{,}5 \times 1005 \times 596 \] \[ Q = 299\,490\;\mathrm{J} \] \[ Q \approx 299{,}49\;\mathrm{kJ} \]
Cette valeur correspond à l’énergie thermique nécessaire pour élever la température de l’air de 25 °C à 621 °C.
Résultat
\[ Q \approx 299{,}5\;\mathrm{kJ} \]
4. Calcul du travail \(W\)
Que représente le travail dans ce contexte ?
- Le travail est l’énergie que le gaz dépense pour repousser le piston.
- À pression constante, c’est la force (pression) multipliée par le déplacement (variation de volume).
Formule
\[ W = P (V_2 - V_1) \]
Données
- \( P = 1,0\times10^6\;\mathrm{Pa} \)
- \( V_2 - V_1 = 0{,}12828 - 0{,}04276 = 0{,}08552\;\mathrm{m^3} \)
Calcul
\[ W = 1,0\times10^6 \times 0{,}08552 \] \[ W = 85\,520\;\mathrm{J} \] \[ W \approx 85{,}52\;\mathrm{kJ} \]
Cela équivaut à l’énergie mécanique fournie par l’air pour pousser le piston.
Résultat
\[ W \approx 85{,}52\;\mathrm{kJ} \]
Synthèse des résultats
| Grandeur | Valeur |
|---|---|
| Volume initial \(V_1\) | \(0{,}04276\;\mathrm{m^3}\) |
| Volume final \(V_2\) | \(0{,}12828\;\mathrm{m^3}\) |
| Chaleur transférée \(Q\) | \(299{,}5\;\mathrm{kJ}\) |
| Travail \(W\) | \(85{,}52\;\mathrm{kJ}\) |
Processus Isobare pour l’Air
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