Analyse d’un Système Fermé

Correction : analyse d’un Système Fermé

1. Calcul de la masse d’air dans le cylindre à l’état initial

Nous voulons savoir combien de kilogrammes d’air se trouvent dans le cylindre avant chauffage. Pour cela, on utilise la loi des gaz parfaits qui relie pression, volume, masse et température. Imaginons que l’air soit constitué de petites billes en mouvement : plus il fait chaud, plus elles bougent vite (température), et si on les enferme dans un volume fixe, elles exercent une pression sur les parois.

Formule :

\[ m = \frac{P_1\,V_1}{R\,T_1} \]

Données :

• \(P_1 = 1\ \mathrm{atm} = 101.325\ \mathrm{kPa}\)
• \(V_1 = 0.05\ \mathrm{m^3}\)
• \(T_1 = 20\,^{\circ}\mathrm{C} = 20 + 273.15 = 293.15\ \mathrm{K}\)
• \(R = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\)

Calculs :

1. Calculer le numérateur :
\[ P_1 \times V_1 = 101.325\ \mathrm{kPa} \times 0.05\ \mathrm{m^3} \] \[ = 5.06625\ \mathrm{kPa\cdot m^3} \]
2. Calculer le dénominateur :
\[ R \times T_1 = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 293.15\ \mathrm{K} \] \[ = 84.183\ \mathrm{kJ/kg} \]
3. Diviser :
\[ m = \frac{5.06625}{84.183} = 0.06022\ \mathrm{kg} \]

Résultat :

\[ m \approx 0.0602\ \mathrm{kg} \] (Environ 60 g d’air)

2. Détermination de la pression finale dans le cylindre

Quand on chauffe l’air dans un volume fixe, les molécules bougent plus vite et exercent plus de chocs sur les parois, ce qui augmente la pression. La relation entre pression et température est linéaire si le volume ne change pas.

Formule :

\[ P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1} \]

Données :

• \(P_1 = 1\ \mathrm{atm}\)
• \(T_1 = 293.15\ \mathrm{K}\)
• \(T_2 = 150\,^{\circ}\mathrm{C} = 150 + 273.15 = 423.15\ \mathrm{K}\)

Calculs :

1. Calculer le rapport des températures :
\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{423.15}{293.15} = 1.4435 \]
2. Appliquer à la pression initiale :
\[ P_2 = 1\ \mathrm{atm} \times 1.4435 \] \[ P_2 = 1.4435\ \mathrm{atm} \]
3. Convertir en kPa :
\[ 1.4435\ \mathrm{atm} \times 101.325\ \mathrm{kPa/atm} = 146.26\ \mathrm{kPa} \]

Résultat :

\[ P_2 \approx 1.444\ \mathrm{atm}\quad(146.3\ \mathrm{kPa}) \]

3. Calcul de la quantité de chaleur transférée au système

À volume fixe, la chaleur reçue sert uniquement à augmenter l’énergie interne de l’air (pas de travail mécanique). L’énergie interne dépend de la capacité calorifique à volume constant, qui indique combien d’énergie faut-il apporter pour élever la température de 1 kg de gaz de 1 K.

Formule :

\[ Q = m \times C_v \times (T_2 - T_1) \]

Données :

• \(m = 0.06022\ \mathrm{kg}\)
• \(C_v = 0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\)
• \(\Delta T = T_2 - T_1 = 423.15\ \mathrm{K} - 293.15\ \mathrm{K} = 130\ \mathrm{K}\)

Calculs :

1. Calculer \(\Delta T\) :
\[ \Delta T = 423.15\ \mathrm{K} - 293.15\ \mathrm{K} \] \[ \Delta T = 130\ \mathrm{K} \]
2. Multiplier par la masse et Cv :
\[ m \times C_v = 0.06022\ \mathrm{kg} \times 0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \] \[ = 0.04327\ \mathrm{kJ/K} \]
3. Multiplier par \(\Delta T\) :
\[ Q = 0.04327\ \mathrm{kJ/K} \times 130\ \mathrm{K} \] \[ Q = 5.6206\ \mathrm{kJ} \]

Résultat :

\[ Q \approx 5.62\ \mathrm{kJ} \] (Énergie nécessaire pour chauffer l’air)

Conclusion :

• Masse d’air initiale : \(0.0602\ \mathrm{kg}\) (≈ 60 g)
• Pression finale : \(1.444\ \mathrm{atm}\) (146.3 kPa)
• Chaleur transférée : \(5.62\ \mathrm{kJ}\)

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