Calcul de la Variation d’Énergie
Comprendre le Calcul de la Variation d’Énergie
Un réservoir d’air comprimé est utilisé dans un processus industriel. Initialement, l’air dans le réservoir est à une température de \(25^\circ C\) et une pression de \(10\) bars.
L’air subit ensuite une détente adiabatique (sans échange de chaleur avec l’environnement) jusqu’à ce que la pression atteigne \(1\) bar.
Vous êtes chargé de calculer la variation de l’énergie interne de l’air dans le réservoir durant ce processus.
Données:
- Pression initiale, \(P_1\): \(10\) bars
- Température initiale, \(T_1\): \(25^\circ C\) (\(298\) K)
- Pression finale, \(P_2\): \(1\) bar
- Capacité thermique à volume constant pour l’air, \(C_v\): \(718\) J/kg\(\cdot\)K
- Masse molaire de l’air, \(M\): \(28.97\) g/mol
- Constante des gaz parfaits, \(R\): \(8.314\) J/mol\(\cdot\)K
- Rapport des capacités calorifiques, \(\gamma\): \(1.4\)
Questions:
1. Convertissez la température initiale en Kelvin.
2. Utilisez l’équation de Poisson pour déterminer la température finale \(T_2\) après la détente adiabatique.
3. Calculez la variation de l’énergie interne \(\Delta U\) de l’air.
4. Déterminez la masse de l’air dans le réservoir à l’aide de l’équation des gaz parfaits.
Correction : Calcul de la Variation d’Énergie
1. Conversion de Température
Données:
- Température initiale, \(T_1\): 25°C
Calcul:
\[ T_1 = 25^\circ\text{C} + 273.15 \] \[ T_1 = 298.15 \text{K} \]
La température initiale en Kelvin est de 298.15 K.
2. Application de l’Équation de Poisson
Données:
- Température initiale, \(T_1\): 298.15 K
- Pression initiale, \(P_1\): 10 bars
- Pression finale, \(P_2\): 1 bar
- Rapport des capacités calorifiques, \(\gamma\): 1.4
Calcul:
\[ \frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 10^{0.2857} \approx 2.1544 \] \[ T_2 = \frac{T_1}{2.1544} \] \[ T_2 = \frac{298.15}{2.1544} \] \[ T_2 \approx 138.37 \text{K} \]
La température finale après la détente adiabatique est de 138.37 K.
Il convient de rappeler que la température finale \(T_2\) est inférieure à la température initiale \(T_1\), ce qui est attendu dans une détente adiabatique.
Dans ce processus, l’absence d’échange de chaleur avec l’environnement conduit à une diminution de la température interne lors de l’expansion du gaz.
3. Calcul de la Masse de l’Air
Données:
- Volume du réservoir, \(V_1\): 0.5 m³
- Température initiale, \(T_1\): 298.15 K
- Pression initiale, \(P_1\): 10 bars (1 bar = 100000 Pa, donc \(P_1 = 1000000\) Pa)
- Constante des gaz parfaits, \(R\): 8.314 J/mol·K
- Masse molaire de l’air, \(M\): 28.97 g/mol
Calcul:
\[ m = \frac{P_1 V_1}{R T_1} \times \frac{M}{1000} \] \[ m = \frac{1000000 \times 0.5}{8.314 \times 298.15} \times \frac{28.97}{1000} \] \[ m \approx 5.54 \text{kg} \]
La masse de l’air dans le réservoir est de 5.54 kg.
4: Calcul de la Variation d’Énergie Interne
Données:
- \(\Delta T = T_2 – T_1 = 138.37 \text{K} – 298.15 \text{K} = -159.78 \text{K}\)
- Masse de l’air, \(m\): 5.54 kg
- Capacité thermique à volume constant, \(C_v\): 718 J/kg·K
Calcul:
\[ \Delta U = m C_v \Delta T \] \[ \Delta U = 5.54 \times 718 \times (-159.78) \] \[ \Delta U \approx -627,416 \text{J} \]
La variation de l’énergie interne de l’air dans le réservoir est d’environ -627,416 Joules, ce qui indique une perte d’énergie interne du système.
Calcul de la Variation d’Énergie
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