Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Données initiales et données complémentaires

• \(P_1\) = \(1\,\mathrm{atm}\)
  \(1\,\mathrm{atm} = 1.01325\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\) (conversion nécessaire pour le travail)
• \(V_1\) = \(0.50\,\mathrm{m}^3\)
• \(T_1\) = \(300\,\mathrm{K}\)
• \(C_v\) = \(\frac{5}{2}R = \frac{5}{2}\times8.314\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} = 20\,785\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\) (f = 5 degrés de liberté)
• \(R\) = \(8.314\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\) (constante des gaz parfaits)
• Processus : isobare (\(P\) = constante) jusqu’à \(V_2 = 2V_1\)

Donnée à déterminer en première étape

Le nombre de moles n, via la loi des gaz parfaits :

Formule

\[ n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} \]

Calcul

\[ n = \frac{(1.01325\times10^5\,\mathrm{Pa})\times(0.50\,\mathrm{m}^3)}{(8.314\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}})\times(300\,\mathrm{K})} \] \[ n \approx 20.31\,\mathrm{mol} \]

1. Calcul de la température finale \(T_2\)

À pression constante, le volume est proportionnel à la température (loi de Charles).

Formule

\[ T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1} \]

Données

• \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\)
• \(V_2 = 2\times V_1 = 1.00\,\mathrm{m}^3\)
• \(V_1 = 0.50\,\mathrm{m}^3\)

Calcul

\[ T_2 = 300\,\mathrm{K} \times \frac{1.00\,\mathrm{m}^3}{0.50\,\mathrm{m}^3} \] \[ T_2 = 600\,\mathrm{K} \]

Résultat : \(T_2 = 600\,\mathrm{K}\)

2. Travail effectué par le gaz, \(W\)

Pour un processus isobare, le travail est \(W = P\,(V_2 - V_1)\).

Formule

\[ W = P_1 \times (V_2 - V_1) \]

Données

• \(P_1 = 1.01325\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• \(V_1 = 0.50\,\mathrm{m}^3\)
• \(V_2 = 1.00\,\mathrm{m}^3\)

Calcul

\[ \Delta V = V_2 - V_1 = 1.00 - 0.50 \] \[ \Delta V = 0.50\,\mathrm{m}^3,\] \[ W = (1.01325\times10^5\,\mathrm{Pa})\times0.50\,\mathrm{m}^3 \] \[ W \approx 5.07\times10^4\,\mathrm{J} \]

Résultat : \(W \approx 5.07\times10^4\,\mathrm{J}\)

3. Variation d'énergie interne \(\Delta U\)

Pour un gaz parfait, \(\Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1)\).

Formule

\[ \Delta U = n \times C_v \times (T_2 - T_1) \]

Données

• \(n = 20.31\,\mathrm{mol}\)
• \(C_v = 20\,785\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\)
• \(T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300\,\mathrm{K}\)

Calcul

\[ \Delta U \approx 20.31 \times 20\,785 \times 300 \] \[ \Delta U \approx 1.27\times10^6\,\mathrm{J} \]

Résultat : \(\Delta U \approx 1.27\times10^6\,\mathrm{J}\)

4. Quantité de chaleur échangée \(Q\)

Par le 1^er principe : \(Q = \Delta U + W\).

Formule

\[ Q = \Delta U + W \]

Données

• \(\Delta U = 1.27\times10^6\,\mathrm{J}\)
• \(W = 5.07\times10^4\,\mathrm{J}\)

Calcul

\[ Q = 1.27\times10^6 + 5.07\times10^4 \] \[ Q \approx 1.32\times10^6\,\mathrm{J} \]

Résultat : \(Q \approx 1.32\times10^6\,\mathrm{J}\)

Bilan final

Grandeur	Valeur
Température finale	\(T_2 = 600\,\mathrm{K}\)
Travail	\(W \approx 5.07\times10^4\,\mathrm{J}\)
\(\Delta U\)	\(\approx 1.27\times10^6\,\mathrm{J}\)
Chaleur échangée \(Q\)	\(\approx 1.32\times10^6\,\mathrm{J}\)