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Évaluer les propriétés mécaniques sols

Évaluer les propriétés mécaniques sols

Évaluer les propriétés mécaniques sols

Contexte : La Stabilité des Sols, Fondation de tout ouvrage.

En géotechnique, la résistance au cisaillement d'un sol est sa propriété mécanique la plus importante. Elle détermine sa capacité à supporter des charges sans rompre, que ce soit sous une fondation, dans un talus ou derrière un mur de soutènement. L'essai de cisaillement direct à la boîte de Casagrande est une méthode de laboratoire standard pour déterminer les deux paramètres clés qui régissent cette résistance : la cohésion (c)Part de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules, particulièrement importantes dans les argiles. et l'angle de frottement interne (φ)Caractérise la résistance au cisaillement due au frottement et à l'imbrication des grains du sol. C'est le principal paramètre de résistance pour les sables et les graviers.. Cet exercice vous guidera dans l'interprétation des résultats bruts d'un tel essai pour caractériser un sol.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche fondamentale de l'ingénieur géotechnicien. À partir de mesures de laboratoire (forces, déplacements), nous allons déduire des paramètres de comportement du sol (c et φ) en utilisant un modèle théorique (le critère de Mohr-Coulomb). Ces paramètres seront ensuite utilisés dans les calculs de dimensionnement des ouvrages de génie civil.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe de l'essai de cisaillement direct.
  • Convertir des forces en contraintes normales et tangentielles.
  • Représenter graphiquement des résultats d'essai et tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb.
  • Déterminer graphiquement et analytiquement la cohésion (c) et l'angle de frottement (φ).
  • Appliquer le critère de Mohr-Coulomb pour évaluer la résistance d'un sol sous une charge donnée.

Données de l'étude

Un essai de cisaillement direct est réalisé sur des échantillons d'un sable argileux. La boîte de cisaillement a une section carrée de 60 mm de côté. Trois essais sont menés sous différentes forces normales (N), et la force de cisaillement à la rupture (T) est mesurée pour chaque essai.

Schéma de l'Appareil de Cisaillement Direct
Échantillon de sol N T Plan de rupture Demi-boîte inférieure fixe Demi-boîte supérieure mobile
Essai N° Force Normale (N) Force de Cisaillement à la rupture (T)
1 180 122
2 360 205
3 540 288

Questions à traiter

  1. Calculer la surface de l'échantillon et déterminer les contraintes normales (\(\sigma\)) et de cisaillement (\(\tau\)) pour chaque essai.
  2. Représenter les points de rupture (\(\sigma, \tau\)) dans un graphique (plan de Mohr) et tracer la droite de rupture.
  3. Déterminer graphiquement la cohésion (\(c\)) et l'angle de frottement interne (\(\phi\)) du sol.
  4. Vérifier les valeurs de \(c\) et \(\phi\) par un calcul de régression linéaire.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant la correction, rappelons le principe fondamental de la résistance au cisaillement des sols.

Le Critère de Rupture de Mohr-Coulomb :
Ce critère est le modèle le plus utilisé pour décrire la résistance au cisaillement des sols et des roches. Il stipule que la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau\)) qu'un sol peut supporter sur un plan donné dépend de la contrainte normale (\(\sigma\)) s'exerçant sur ce même plan, ainsi que de deux propriétés intrinsèques du sol : sa cohésion \(c\) et son angle de frottement interne \(\phi\). La relation est linéaire : \[ \tau = c + \sigma \cdot \tan(\phi) \] Cette équation définit une droite dans le plan (\(\sigma, \tau\)), appelée "droite de rupture" ou "enveloppe de Mohr-Coulomb". Tout état de contrainte en dessous de cette droite est stable, tandis qu'un état de contrainte qui atteint la droite provoque la rupture du sol par cisaillement.

Correction : Évaluer les propriétés mécaniques sols

Question 1 : Calcul des contraintes

Principe (le concept physique)

Une contrainte est une force répartie sur une surface. En géotechnique, on ne travaille jamais directement avec les forces, car elles dépendent de la taille de l'échantillon ou de la fondation. On les normalise en les divisant par la surface d'application pour obtenir des contraintes (en Pascals, Pa, ou plus souvent en kPa ou MPa). Cela permet de comparer des essais entre eux et d'appliquer les résultats de laboratoire à des ouvrages réels de taille différente.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de contrainte est central en mécanique. On distingue la contrainte normale (\(\sigma\)), qui agit perpendiculairement à une surface (compression ou traction), de la contrainte de cisaillement (\(\tau\)), qui agit parallèlement à la surface. Dans cet essai, la force N génère la contrainte normale \(\sigma\) et la force T génère la contrainte de cisaillement \(\tau\) sur le plan de rupture horizontal imposé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez la différence entre appuyer sur une table avec la paume de votre main et avec la pointe d'un stylo. La force peut être la même, mais la contrainte (et donc l'effet sur la table) est radicalement différente. C'est pourquoi les ingénieurs se fient aux contraintes, pas aux forces, pour concevoir des structures sûres.

Normes (la référence réglementaire)

La procédure de l'essai de cisaillement direct est rigoureusement définie par des normes internationales, telles que l'ASTM D3080 ou la norme ISO/TS 17892-10. Ces documents spécifient les dimensions de l'appareil, la vitesse de cisaillement, et la manière de calculer et de rapporter les résultats pour garantir leur fiabilité et leur comparabilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les contraintes sont calculées comme suit :

\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
\[ \tau = \frac{T}{A} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les contraintes sont uniformément réparties sur le plan de cisaillement et que la rupture se produit exactement le long de ce plan. On néglige également la correction de surface qui devrait être appliquée pour de grands déplacements horizontaux.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Côté de la boîte de cisaillement = 60 mm
  • Forces N et T pour les trois essais (voir tableau de l'énoncé).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour obtenir directement des contraintes en kilopascals (kPa), qui est une unité très courante en géotechnique, utilisez les forces en Newtons (N) et la surface en millimètres carrés (mm²). Comme 1 N/mm² = 1000 kPa, il suffit de calculer le rapport N/mm² et de multiplier par 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Conversion Force → Contrainte
Surface A = ?F (N ou T)σ ou τ = F/A
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surface de cisaillement :

\[ \begin{aligned} A &= 60 \, \text{mm} \times 60 \, \text{mm} \\ &= 3600 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul des contraintes pour chaque essai :

EssaiCalcul de \(\sigma\) (\(\text{kPa}\))Calcul de \(\tau\) (\(\text{kPa}\))
1\(\frac{180 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.05 \, \text{MPa} = 50 \, \text{kPa}\)\(\frac{122 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.0339 \, \text{MPa} \approx 34 \, \text{kPa}\)
2\(\frac{360 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.10 \, \text{MPa} = 100 \, \text{kPa}\)\(\frac{205 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.0569 \, \text{MPa} \approx 57 \, \text{kPa}\)
3\(\frac{540 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.15 \, \text{MPa} = 150 \, \text{kPa}\)\(\frac{288 \, \text{N}}{3600 \, \text{mm}^2} = 0.0800 \, \text{MPa} = 80 \, \text{kPa}\)
Schéma (Après les calculs)
Tableau des Contraintes Calculées
Essai\(\sigma\) (\(\text{kPa}\))\(\tau\) (\(\text{kPa}\))
15034
210057
315080
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé des mesures brutes de laboratoire (forces) en données fondamentales de la mécanique des sols (contraintes). On observe logiquement que lorsque la contrainte normale \(\sigma\) (qui "serre" le sol) augmente, la contrainte de cisaillement \(\tau\) nécessaire pour le rompre augmente également. La prochaine étape est de quantifier cette relation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Convertir des mm² en m² est une source fréquente de fautes d'un facteur 1 000 000. Travailler en N et mm pour obtenir des MPa, puis convertir en kPa (1 MPa = 1000 kPa) est une méthode plus sûre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est une force par unité de surface (\(\sigma = F/A\)).
  • On distingue la contrainte normale (\(\sigma\)) de la contrainte de cisaillement (\(\tau\)).
  • La cohérence des unités est cruciale pour le calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Karl von Terzaghi, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne, a introduit le concept fondamental de "contrainte effective" (\(\sigma'\)). C'est la contrainte réellement supportée par le squelette solide du sol, égale à la contrainte totale \(\sigma\) moins la pression de l'eau interstitielle \(u\). C'est \(\sigma'\) qui gouverne la résistance au cisaillement, pas \(\sigma\).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on des kPa en géotechnique ?

Le Pascal (Pa) est une unité très petite (la pression d'une feuille de papier sur une table). Le Mégapascal (MPa), courant en résistance des matériaux, est souvent trop grand pour les sols, qui sont généralement peu résistants. Le kilopascal (kPa) représente un ordre de grandeur bien adapté aux contraintes rencontrées dans les fondations et les ouvrages de soutènement courants.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les points de contrainte à la rupture sont : (50 kPa, 34 kPa), (100 kPa, 57 kPa), et (150 kPa, 80 kPa).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la boîte de cisaillement était circulaire avec un diamètre de 50 mm, quelle serait la contrainte normale \(\sigma\) (en kPa) pour l'essai 1 (N=180 N) ?

Question 2 : Représentation graphique

Principe (le concept physique)

Le plan de Mohr (\(\sigma, \tau\)) est une représentation graphique qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point. En traçant les points correspondants à la rupture du sol pour différentes contraintes normales, on matérialise l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb. Pour la plupart des sols, cette enveloppe peut être approximée par une droite sur la plage de contraintes étudiée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le critère de Mohr-Coulomb est une simplification. En réalité, l'enveloppe de rupture de nombreux sols est légèrement courbe. Cependant, pour la gamme de contraintes rencontrées dans la plupart des projets de génie civil, l'approximation par une droite est suffisamment précise et beaucoup plus simple à utiliser dans les calculs de stabilité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez ce graphique comme la "carte d'identité" de la résistance de votre sol. Chaque sol aura sa propre droite, plus ou moins pentue, et coupant l'axe vertical plus ou moins haut. D'un simple coup d'œil, un géotechnicien peut dire s'il a affaire à un sable résistant ou à une argile molle.

Normes (la référence réglementaire)

La présentation des résultats sous forme d'un graphique (\(\sigma, \tau\)) avec la droite de rupture est une exigence standard de tout rapport d'essai géotechnique. Cela permet une interprétation visuelle immédiate des paramètres de résistance du sol.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'objectif est de tracer les points (\(\sigma_i, \tau_i\)) calculés à la question 1 et de trouver la droite d'équation \(\tau = c + \sigma \tan(\phi)\) qui passe au plus près de ces points.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait l'hypothèse que le comportement du sol peut être modélisé par le critère linéaire de Mohr-Coulomb, ce que l'alignement des points sur le graphique permettra de valider ou d'invalider.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Point 1 : (50 kPa, 34 kPa)
  • Point 2 : (100 kPa, 57 kPa)
  • Point 3 : (150 kPa, 80 kPa)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lorsque vous dessinez le graphique à la main, choisissez une échelle simple et adaptée pour que vos points occupent la majorité de l'espace. Par exemple, 1 cm pour 20 kPa sur les deux axes. Cela améliore la précision de la lecture graphique des paramètres à la question suivante.

Schéma (Avant les calculs)
Plan de Mohr à compléter
σ (kPa)τ (kPa)5010015050100
Calcul(s) (l'application numérique)

Cette étape consiste à placer les points sur le graphique. Le calcul à proprement parler est mental : pour le point 1, on se déplace à 50 sur l'axe des \(\sigma\) et on monte jusqu'à 34 sur l'axe des \(\tau\).

Schéma (Après les calculs)
Points de rupture dans le plan de Mohr
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le graphique montre que les trois points sont quasiment alignés, ce qui valide l'hypothèse d'un comportement de Mohr-Coulomb linéaire pour ce sol dans cette gamme de contraintes. La droite qui passe au plus près de ces points représente la "loi" de résistance du sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser les axes \(\sigma\) et \(\tau\). La contrainte normale \(\sigma\) est toujours en abscisse (axe des x) et la contrainte de cisaillement \(\tau\) en ordonnée (axe des y). Une inversion rendrait l'interprétation physique totalement fausse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le plan de Mohr a pour abscisse \(\sigma\) et pour ordonnée \(\tau\).
  • Chaque essai de rupture fournit un point sur ce plan.
  • L'ensemble des points de rupture définit l'enveloppe de rupture du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'analyse de la stabilité des pentes (glissements de terrain) se base sur ce même principe. Les ingénieurs calculent les contraintes \(\sigma\) et \(\tau\) le long d'une surface de rupture potentielle et les comparent à la droite de Mohr-Coulomb du sol. Si les contraintes calculées sont en dessous de la droite, le talus est stable.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si les points ne sont pas du tout alignés ?

Cela peut signifier plusieurs choses : une erreur de manipulation lors d'un des essais, un sol très hétérogène, ou un sol dont le comportement n'est pas bien décrit par le modèle linéaire de Mohr-Coulomb (par exemple, un sol très sensible à la pression qui se brise). Il faut alors analyser critiquement les résultats et potentiellement refaire les essais.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les points de rupture ont été placés dans le plan de Mohr et une droite de tendance a été tracée, validant l'approche linéaire.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En regardant le graphique, estimez à quelle contrainte de cisaillement \(\tau\) (en kPa) le sol romprait pour une contrainte normale \(\sigma\) de 75 kPa.

Question 3 : Détermination graphique de c et φ

Principe (le concept physique)

La droite de rupture a une signification physique directe. Son ordonnée à l'origine (l'intersection avec l'axe des \(\tau\)) correspond à la cohésion \(c\), qui est la résistance du sol lorsque la contrainte normale est nulle. La pente de cette droite est liée à l'angle de frottement \(\phi\). Plus précisément, la pente est égale à \(\tan(\phi)\). Un sol purement frottant (sable sec) aura une droite passant par l'origine (\(c=0\)), tandis qu'un sol purement cohérent (argile saturée non drainée) aura une droite horizontale (\(\phi=0\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La cohésion \(c\) dans les sols fins est principalement due aux forces électrostatiques et électromagnétiques (forces de Van der Waals) entre les particules d'argile. L'angle de frottement \(\phi\) est lié à la rugosité des grains, à leur forme et à leur imbrication (dilatance). C'est pourquoi un sable anguleux a un angle de frottement plus élevé qu'un sable aux grains ronds.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un tas de sucre : il n'a aucune cohésion (si vous le touchez, il s'effrite), mais il forme un cône avec un angle stable (son angle de frottement). Pensez maintenant à de la pâte à modeler : elle a une cohésion (vous pouvez en faire une boule qui tient toute seule), mais aussi un certain frottement. La plupart des sols sont un mélange des deux, comme notre sable argileux.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes d'essai exigent que les valeurs de \(c\) et \(\phi\) soient rapportées, car ce sont les paramètres d'entrée de la quasi-totalité des logiciels de calcul géotechnique. La méthode de détermination (graphique ou par régression) doit également être mentionnée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les paramètres sont tirés de l'équation de la droite \(\tau = \sigma \cdot \tan(\phi) + c\) :

\[ c = \text{Ordonnée à l'origine} \]
\[ \phi = \arctan(\text{pente de la droite}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la droite tracée manuellement est une bonne représentation de la tendance des points de mesure. La précision du résultat dépend directement de la qualité du tracé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Le graphique avec la droite de rupture tracé à la question 2.
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour lire la cohésion \(c\), prolongez votre droite jusqu'à ce qu'elle coupe l'axe vertical (\(\sigma=0\)). Pour calculer la pente, ne prenez pas deux points de mesure, mais deux points éloignés directement sur la droite que vous avez tracée. Cela moyenne les erreurs et donne un résultat plus précis.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres à extraire du graphique
στc = ?φ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. L'ordonnée à l'origine (pour \(\sigma=0\)) est lue sur le graphique : \(c \approx 11 \, \text{kPa}\).
2. Pour déterminer l'angle, on calcule la pente en utilisant deux points sur la droite, par exemple (\(\sigma_1=50, \tau_1=34\)) et (\(\sigma_2=150, \tau_2=80\)).

\[ \begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{\Delta\tau}{\Delta\sigma} \\ &= \frac{80 - 34}{150 - 50} \\ &= \frac{46}{100} \\ &= 0.46 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan(0.46) \\ &\approx 24.7^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Interprétation de la droite de Mohr-Coulomb
σ (kPa)τ (kPa)c ≈ 11 kPaφ ≈ 25°τ = 11 + σ tan(25°)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs obtenues (\(c \approx 11 \, \text{kPa}\), \(\phi \approx 25^\circ\)) sont typiques d'un sable silteux ou d'un sable argileux. Le sol possède à la fois une résistance de frottement (due au sable) et une résistance de cohésion (due à la fraction fine argileuse). Ces deux paramètres sont indispensables pour tout calcul de fondation ou de stabilité de talus impliquant ce matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de prendre l'arctangente de la pente pour trouver \(\phi\). Une erreur fréquente est de considérer que la pente est directement l'angle. De plus, assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians" pour le calcul de l'arctangente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La cohésion \(c\) est l'ordonnée à l'origine de la droite de rupture.
  • L'angle de frottement \(\phi\) est l'arctangente de la pente de cette droite.
  • Ces deux valeurs définissent entièrement la résistance du sol selon le modèle de Mohr-Coulomb.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lors d'un tremblement de terre, certains sables saturés en eau peuvent subir le phénomène de liquéfaction. La pression de l'eau augmente brutalement, annulant la contrainte effective. L'angle de frottement \(\phi\) tombe alors virtuellement à zéro et le sol se comporte comme un liquide, provoquant l'effondrement des bâtiments.

FAQ (pour lever les doutes)
La cohésion peut-elle être négative ?

Théoriquement non, car cela impliquerait que le sol a une résistance nulle avant même d'être en traction, ce qui est physiquement impossible. Si une régression linéaire donne une cohésion légèrement négative, c'est généralement dû à la dispersion des mesures. Par prudence, les ingénieurs la considèrent alors comme nulle (\(c=0\)) pour les calculs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Par lecture graphique, on estime une cohésion \(c \approx 11 \, \text{kPa}\) et un angle de frottement \(\phi \approx 25^\circ\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un autre sol avait une cohésion de 20 kPa mais la même pente, quelle serait sa résistance \(\tau\) pour \(\sigma=100\) kPa ?

Question 4 : Vérification par régression linéaire

Principe (le concept physique)

La détermination graphique est rapide mais subjective et imprécise. Une méthode plus rigoureuse consiste à trouver la "meilleure" droite passant par les points expérimentaux à l'aide d'une méthode statistique, la régression linéaire (ou méthode des moindres carrés). Cela donne les paramètres de la droite (\(y = ax+b\)) qui minimise la somme des carrés des écarts entre les points de mesure et la droite. Dans notre cas, \(y=\tau\), \(x=\sigma\), la pente \(a=\tan(\phi)\) et l'ordonnée à l'origine \(b=c\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des moindres carrés cherche à minimiser la fonction d'erreur \(S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i+b))^2\), où (\(x_i, y_i\)) sont les points de mesure. En annulant les dérivées partielles de S par rapport à \(a\) et \(b\), on obtient un système de deux équations à deux inconnues qui donne les formules analytiques pour la pente \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La régression linéaire est l'outil de base de tout scientifique ou ingénieur pour modéliser une relation supposée linéaire entre deux variables. C'est une méthode objective, reproductible et qui fournit un résultat non-biaisé, contrairement au tracé "à l'œil" qui peut varier d'une personne à l'autre.

Normes (la référence réglementaire)

De plus en plus, les normes et les bonnes pratiques d'ingénierie recommandent l'utilisation de méthodes statistiques comme la régression linéaire pour l'interprétation des données d'essais, afin d'assurer l'objectivité et la traçabilité des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les calculs sont généralement effectués par un logiciel ou une calculatrice. Les formules sous-jacentes pour \(n\) points sont :

\[ a = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2} \]
\[ b = \frac{\sum y - a(\sum x)}{n} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la relation entre \(\sigma\) et \(\tau\) est bien linéaire et que les erreurs de mesure sont aléatoires et suivent une distribution normale. Le résultat de la régression est d'autant plus fiable que le nombre de points est élevé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Point 1 : (50, 34)
  • Point 2 : (100, 57)
  • Point 3 : (150, 80)
Astuces(Pour aller plus vite)

Toutes les calculatrices scientifiques de niveau lycée ou supérieur ont un mode statistique (souvent noté STAT ou REG) qui permet d'entrer les couples de points (X,Y) et d'obtenir directement la pente (a ou B) et l'ordonnée à l'origine (b ou A). C'est beaucoup plus rapide et moins sujet aux erreurs que le calcul manuel.

Schéma (Avant les calculs)
Données pour la Régression
Point ix (\(\sigma_i\))y (\(\tau_i\))
15034
210057
315080
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant une calculatrice scientifique ou un tableur avec les couples de points (\(\sigma, \tau\)), on obtient les paramètres de la droite de régression \(\tau = a\sigma + b\).

\[ \text{Pente, } a = 0.46 \]
\[ \text{Ordonnée à l'origine, } b = 11 \, \text{kPa} \]

On en déduit les paramètres du sol :

\[ c = b = 11 \, \text{kPa} \]
\[ \begin{aligned} \tan(\phi) &= a = 0.46 \\ \Rightarrow \phi &= \arctan(0.46) \\ &\approx 24.7^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Régression Linéaire
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs obtenues par le calcul (c=11 kPa, φ=24.7°) sont très proches de l'estimation graphique. Cela confirme la validité de la lecture graphique et donne une valeur plus précise et objective des paramètres de résistance du sol. Ce sol est un "sol cohérent et frottant", car ses deux paramètres de résistance sont non nuls.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une régression linéaire donnera toujours une "meilleure" droite, même si les points sont très dispersés. Il est essentiel de regarder également le coefficient de corrélation (R²) qui indique la qualité de l'ajustement. Un R² proche de 1 indique un bon alignement, tandis qu'un R² faible signifie que le modèle linéaire n'est pas adapté.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La régression linéaire est la méthode la plus objective pour déterminer c et φ.
  • Elle minimise l'erreur entre le modèle (la droite) et les mesures.
  • Le paramètre \(b\) de la régression donne \(c\), et l'arctangente de \(a\) donne \(\phi\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les principes de la régression s'étendent à des modèles non-linéaires beaucoup plus complexes, utilisés pour modéliser des comportements de sols plus élaborés (tassement, écrouissage, etc.) dans les logiciels de calcul par éléments finis en géotechnique.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce qu'un bon coefficient de corrélation R² ?

En géotechnique, où les matériaux naturels sont variables, un R² supérieur à 0.95 est généralement considéré comme un très bon ajustement. Un R² entre 0.90 et 0.95 est souvent acceptable. En dessous de 0.90, il faut s'interroger sur la validité du modèle linéaire ou la qualité des mesures.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le calcul par régression linéaire confirme les paramètres de résistance du sol : cohésion \(c = 11 \, \text{kPa}\) et angle de frottement \(\phi = 24.7^\circ\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec ces paramètres, quelle serait la résistance au cisaillement \(\tau\) (en kPa) pour une contrainte normale \(\sigma\) de 200 kPa ?

Outil Interactif : Critère de Mohr-Coulomb

Modifiez les paramètres du sol pour voir leur influence sur la droite de rupture.

Paramètres du Sol
11 kPa
25 °
Résistance au Cisaillement
Pour σ = 50 kPa - kPa
Pour σ = 100 kPa - kPa
Pour σ = 150 kPa - kPa

Le Saviez-Vous ?

Le critère de rupture porte le nom de Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) et Christian Otto Mohr (1835-1918). Coulomb, un ingénieur militaire français, a été le premier à proposer que la résistance au cisaillement était composée d'une partie cohérente et d'une partie frottante. Plus d'un siècle plus tard, l'ingénieur allemand Mohr a généralisé le concept en utilisant sa fameuse représentation graphique par des cercles, qui permet d'analyser l'état de contrainte en 2D ou 3D.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi fait-on au moins trois essais ?

Un seul essai ne donnerait qu'un seul point de rupture, ce qui est insuffisant pour définir une droite. Deux essais suffiraient mathématiquement, mais ne permettraient pas de vérifier l'alignement des points ni de moyenner les inévitables imprécisions de mesure. Trois essais est le minimum requis par les normes pour obtenir une droite de rupture fiable.

La cohésion et l'angle de frottement sont-ils constants pour un sol ?

Pas toujours. Ce sont des paramètres qui peuvent dépendre de la teneur en eau du sol, de sa densité, et de la vitesse de cisaillement. On distingue les paramètres "drainés" (quand l'eau a le temps de s'évacuer pendant le cisaillement, typique des chargements lents sur du sable) des paramètres "non drainés" (chargements rapides sur de l'argile). Les valeurs peuvent être très différentes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un sable propre et sec est testé à la boîte de cisaillement. Quelle sera la valeur approximative de sa cohésion (c) ?

2. Si l'angle de frottement d'un sol augmente, sa résistance au cisaillement...

Cohésion (c)
Part de la résistance au cisaillement d'un sol qui ne dépend pas de la contrainte normale. Elle est due aux forces électrochimiques entre les particules fines (argiles). Unité : Pa ou kPa.
Angle de Frottement Interne (φ)
Paramètre caractérisant la résistance due au frottement et à l'engrènement des grains du sol. Sa contribution à la résistance totale est proportionnelle à la contrainte normale. Unité : degrés (°).
Critère de Mohr-Coulomb
Modèle mathématique qui définit la condition de rupture d'un sol par cisaillement en reliant la contrainte de cisaillement à la contrainte normale et aux propriétés du sol (c et φ).
Analyse d'un Essai de Cisaillement Direct

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