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Cycle Brayton Simple

Le Cycle de Brayton Simple Idéal

Le Cycle de Brayton Simple Idéal

Contexte : Le Cycle de BraytonLe cycle thermodynamique qui modélise le fonctionnement des turbines à gaz, utilisé notamment dans les moteurs d'avion et les centrales électriques., moteur de la propulsion et de l'énergie.

Le cycle de Brayton est le principe fondamental derrière les turbines à gaz, des moteurs thermiques omniprésents dans l'aéronautique (moteurs à réaction) et la production d'électricité. Cet exercice se concentre sur un cycle de Brayton idéal, ce qui nous permet d'établir une base de performance théorique maximale pour ces systèmes. Nous analyserons les transformations subies par l'air, considéré comme un gaz parfait, pour déterminer les grandeurs énergétiques clés du cycle : travail, chaleur et rendement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour appliquer les premiers et seconds principes de la thermodynamique à un cycle moteur réel. Il vous permettra de maîtriser l'utilisation des relations isentropiques pour un gaz parfait et de comprendre comment les performances d'une turbine à gaz sont intrinsèquement liées à ses températures et à son rapport de pression.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les quatre transformations thermodynamiques d'un cycle de Brayton idéal.
  • Appliquer les relations de Laplace (lois isentropiques) pour un gaz parfait.
  • Calculer le travail spécifique du compresseur, de la turbine et le travail net du cycle.
  • Déterminer la chaleur spécifique fournie et le rendement thermique du cycle.

Données de l'étude

Une turbine à gaz stationnaire fonctionne selon un cycle de Brayton idéal. L'air, assimilé à un gaz parfait, entre dans le compresseur aux conditions ambiantes. On négligera les variations d'énergies cinétique et potentielle.

Schéma de l'installation
Composants du Cycle de Brayton Simple
Compresseur Chambre de Combustion Turbine 1 2 3 4 wc qin wt wnet
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Pression à l'entrée du compresseur \(P_1\) 100 \(\text{kPa}\)
Température à l'entrée du compresseur \(T_1\) 300 \(\text{K}\)
Rapport de pression du compresseur \(\tau = P_2/P_1\) 8 -
Température à l'entrée de la turbine \(T_3\) 1300 \(\text{K}\)
Indice isentropique de l'air \(\gamma\) 1.4 -
Chaleur massique à pression constante \(c_p\) 1.005 \(\text{kJ/kg·K}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer la température \(T_2\) et la pression \(P_2\) à la sortie du compresseur.
  2. Calculer le travail spécifique (par unité de masse) absorbé par le compresseur, \(w_c\).
  3. Calculer la chaleur spécifique fournie par la chambre de combustion, \(q_{in}\).
  4. Déterminer la température \(T_4\) à la sortie de la turbine.
  5. Calculer le travail spécifique produit par la turbine, \(w_t\).
  6. En déduire le travail spécifique net du cycle, \(w_{net}\), et le rendement thermique, \(\eta_{th}\).

Les bases du Cycle de Brayton Idéal

Le cycle de Brayton idéal est un modèle de référence composé de quatre processus réversibles :

1. Compression isentropique (1 → 2) : L'air est comprimé de la basse pression \(P_1\) à la haute pression \(P_2\). L'entropie reste constante.

2. Apport de chaleur isobare (2 → 3) : L'air traverse la chambre de combustion où du carburant est brûlé, augmentant sa température à pression constante (\(P_2 = P_3\)).

3. Détente isentropique (3 → 4) : L'air chaud et à haute pression se détend dans la turbine, produisant du travail. L'entropie reste constante.

4. Rejet de chaleur isobare (4 → 1) : Les gaz chauds sont rejetés dans l'atmosphère (ou refroidis dans un cycle fermé), cédant de la chaleur à pression constante (\(P_4 = P_1\)) pour revenir à l'état initial.

Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique, les états sont liés par les relations de Laplace :

\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \quad \text{et} \quad \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \]

Correction : Le Cycle de Brayton Simple Idéal

Question 1 : Température et pression en sortie de compresseur (\(T_2, P_2\))

Principe

Nous déterminons l'état du fluide après la compression. La pression \(P_2\) est directement issue du rapport de pression imposé. La température \(T_2\) est ensuite calculée en utilisant la relation isentropique (loi de Laplace) entre les points 1 et 2, car la compression est idéale (adiabatique et réversible).

Mini-Cours

Une transformation est dite isentropique lorsqu'elle est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur) et réversible (sans aucune friction interne ou autre source d'irréversibilité). Pour un gaz parfait, cela se traduit par les lois de Laplace qui lient la pression, le volume et la température.

Remarque Pédagogique

C'est la première étape de quasi tous les problèmes de cycle. Il faut toujours commencer par déterminer l'état thermodynamique (P, T) à chaque point du cycle. La maîtrise des lois de Laplace est donc essentielle.

Normes

Cet exercice est un cas d'école (cycle idéal). Dans la réalité, les performances des turbines à gaz sont régies par des normes internationales comme l'ISO 2314 ("Gas turbines — Acceptance tests") qui définissent les conditions et méthodes de mesure des performances réelles, incluant les irréversibilités.

Formule(s)

Formule de la pression de sortie

\[ P_2 = P_1 \times \tau \]

Formule de la température de sortie (Loi de Laplace)

\[ T_2 = T_1 \cdot \tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \]
Hypothèses
  • L'air est un gaz parfait.
  • Les chaleurs massiques (\(c_p\), \(c_v\)) et leur rapport (\(\gamma\)) sont constants.
  • La compression est isentropique (adiabatique et réversible).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression initiale\(P_1\)100\(\text{kPa}\)
Température initiale\(T_1\)300\(\text{K}\)
Rapport de pression\(\tau\)8-
Indice isentropique\(\gamma\)1.4-
Astuces

Une compression augmente toujours la température. Si vous trouvez \(T_2 < T_1\), il y a certainement une erreur de calcul. L'exposant \((\gamma-1)/\gamma\) est toujours inférieur à 1.

Schéma (Avant les calculs)
Compression Isentropique 1 → 2
sTP1 = csteP2 = cste12
Calcul(s)

Pression de sortie du compresseur (\(P_2\))

\[ \begin{aligned} P_2 &= P_1 \times \tau \\ &= 100 \text{ kPa} \times 8 \\ &= 800 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Calcul de l'exposant isentropique

\[ \begin{aligned} \frac{\gamma-1}{\gamma} &= \frac{1.4-1}{1.4} \\ &\approx 0.2857 \end{aligned} \]

Température de sortie du compresseur (\(T_2\))

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \cdot \tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \\ &= 300 \text{ K} \times (8)^{0.2857} \\ &\approx 300 \text{ K} \times 1.811 \\ &\approx 543.4 \text{ K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Compression 1 → 2
sT100 kPa800 kPaT1=300KT2=543.4K
Réflexions

L'air sort du compresseur à 8 fois sa pression initiale et à une température de 543.4 K (soit 270.4 °C). Cette température élevée est une conséquence directe de la compression et est un facteur limitant pour les matériaux du compresseur.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser les températures en Kelvin dans les relations de Laplace. L'utilisation de degrés Celsius est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir
  • La pression en sortie est définie par le rapport de pression \(\tau\).
  • La température en sortie dépend de \(T_1\), \(\tau\) et \(\gamma\) via la loi de Laplace.
Le saviez-vous ?

Les premiers compresseurs pour turbines à gaz, développés dans les années 1930, avaient des rendements si faibles qu'ils consommaient presque tout le travail produit par la turbine, ne laissant que très peu de puissance nette utilisable !

FAQ
Pourquoi la compression n'est-elle pas réellement isentropique ?

Dans un vrai compresseur, les frottements du fluide sur les parois et les turbulences internes génèrent de l'entropie. Ce sont des irréversibilités qui font que la température de sortie réelle est plus élevée que la température isentropique (\(T_{2,réel} > T_{2,idéal}\)) pour une même pression.

Résultat Final
La pression en sortie de compresseur est de 800 kPa et la température est de 543.4 K.
A vous de jouer

Calculez la température \(T_2\) si le rapport de pression était de 12.

Question 2 : Travail spécifique du compresseur (\(w_c\))

Principe

Le travail absorbé par le compresseur correspond à l'énergie nécessaire pour augmenter la pression du fluide. Pour un processus isentropique en système ouvert, le Premier Principe de la Thermodynamique nous dit que ce travail est égal à la variation d'enthalpie spécifique entre l'entrée et la sortie. Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie se simplifie en \(\Delta h = c_p \Delta T\).

Mini-Cours

Le Premier Principe pour les systèmes ouverts (machines thermiques) s'écrit : \(\Delta h = q + w\). Ici, \(h\) est l'enthalpie spécifique, \(q\) la chaleur échangée et \(w\) le travail échangé. Pour une compression adiabatique (\(q=0\)), on a \(w = \Delta h\). Par convention, le travail reçu par le système est compté positivement.

Remarque Pédagogique

Le travail du compresseur est souvent appelé "back work" car il est "rendu" par la turbine. Dans une turbine à gaz, une part importante (souvent 40% à 60%) du travail de la turbine est consommée par le compresseur. Minimiser ce travail est un enjeu majeur.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule, elle découle directement des principes fondamentaux de la thermodynamique.

Formule(s)
\[ w_c = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1) \]
Hypothèses
  • Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables.
  • L'air est un gaz parfait à chaleur massique constante.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Température d'entrée\(T_1\)300\(\text{K}\)
Chaleur massique\(c_p\)1.005\(\text{kJ/kg·K}\)
Donnée intermédiaire : Température de sortie\(T_2\)543.4\(\text{K}\)
Astuces

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si \(c_p\) est en kJ/kg·K, le travail sera directement obtenu en kJ/kg. C'est le cas ici.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan énergétique du compresseur
CompresseurAir à T1Air à T2wc ?
Calcul(s)

Calcul du travail spécifique du compresseur (\(w_c\))

\[ \begin{aligned} w_c &= c_p (T_2 - T_1) \\ &= 1.005 \frac{\text{kJ}}{\text{kg·K}} \times (543.4 \text{ K} - 300 \text{ K}) \\ &= 1.005 \times 243.4 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \\ &\approx 244.6 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique du compresseur (Résultat)
CompresseurAir à 300KAir à 543.4Kwc=244.6 kJ/kg
Réflexions

Ce travail est une "dépense" énergétique significative. Il représente l'énergie mécanique qui doit être fournie au fluide pour chaque kilogramme d'air qui traverse le compresseur. Cette énergie est prélevée sur l'arbre de la turbine.

Points de vigilance

Ne pas inverser les températures (\(T_1 - T_2\)), ce qui donnerait un travail négatif. Le travail reçu par le fluide pour le comprimer est bien positif.

Points à retenir
  • Le travail d'un compresseur idéal est égal à la variation d'enthalpie \(h_2 - h_1\).
  • Pour un gaz parfait, cela se simplifie en \(c_p(T_2 - T_1)\).
Le saviez-vous ?

Le ratio entre le travail du compresseur et le travail de la turbine (le "back work ratio") est très élevé pour les cycles à gaz (autour de 0.5) mais très faible pour les cycles à vapeur comme le cycle de Rankine (moins de 0.01), car comprimer un liquide demande beaucoup moins d'énergie que de comprimer un gaz.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on l'enthalpie et non l'énergie interne ?

L'enthalpie (\(h = u + Pv\)) est utilisée pour les systèmes ouverts car elle inclut non seulement l'énergie interne du fluide (\(u\)) mais aussi le travail de transvasement (\(Pv\)) nécessaire pour pousser le fluide à travers le volume de contrôle (la machine).

Résultat Final
Le travail spécifique absorbé par le compresseur est de 244.6 kJ/kg.
A vous de jouer

Si le rendement isentropique du compresseur n'était que de 85%, le travail réel serait \(w_{c,réel} = w_c / 0.85\). Quel serait ce travail réel ?

Question 3 : Chaleur spécifique fournie (\(q_{in}\))

Principe

La chaleur est fournie au cycle dans la chambre de combustion, à pression constante (processus isobare). Cet apport d'énergie thermique, venant de la combustion du carburant, est égal à la variation d'enthalpie spécifique du fluide entre l'entrée (point 2) et la sortie (point 3) de la chambre.

Mini-Cours

Pour une transformation isobare (\(P=cste\)) dans un système ouvert, le Premier Principe (\(\Delta h = q + w\)) se simplifie. Comme il n'y a pas de travail d'arbre dans une chambre de combustion (\(w=0\)), la chaleur échangée est directement égale à la variation d'enthalpie : \(q = \Delta h\).

Remarque Pédagogique

La température \(T_3\) est la température maximale du cycle. C'est le paramètre le plus critique, car il est limité par la résistance des matériaux des aubes de la turbine. Chaque gain de quelques degrés sur \(T_3\) grâce à de nouveaux alliages ou techniques de refroidissement se traduit par une amélioration significative des performances.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule, elle découle directement des principes fondamentaux de la thermodynamique.

Formule(s)
\[ q_{in} = h_3 - h_2 = c_p (T_3 - T_2) \]
Hypothèses
  • La combustion est modélisée comme un simple apport de chaleur à l'air.
  • La transformation est isobare (\(P_2=P_3\)).
  • L'air est un gaz parfait à chaleur massique constante.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Température maximale\(T_3\)1300\(\text{K}\)
Chaleur massique\(c_p\)1.005\(\text{kJ/kg·K}\)
Donnée intermédiaire : Température d'entrée\(T_2\)543.4\(\text{K}\)
Astuces

La chaleur fournie \(q_{in}\) est toujours le plus grand flux d'énergie dans le cycle. Le travail net et la chaleur rejetée seront toujours plus petits en magnitude. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan énergétique de la Chambre de Combustion
Chambre deCombustionAir à T2Gaz à T3qin ?
Calcul(s)

Calcul de la chaleur fournie (\(q_{in}\))

\[ \begin{aligned} q_{in} &= c_p (T_3 - T_2) \\ &= 1.005 \frac{\text{kJ}}{\text{kg·K}} \times (1300 \text{ K} - 543.4 \text{ K}) \\ &= 1.005 \times 756.6 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \\ &\approx 760.4 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique de la Chambre de Combustion (Résultat)
Chambre deCombustionAir à 543.4KGaz à 1300Kqin=760.4 kJ/kg
Réflexions

C'est l'énergie apportée par la combustion du carburant. Elle représente le "coût" thermique du cycle, contre lequel on comparera le travail net produit pour calculer le rendement. Chaque kilogramme d'air reçoit 760.4 kJ d'énergie pour être chauffé de 543 K à 1300 K.

Points de vigilance

Ne pas oublier que \(T_3\) est une donnée de l'énoncé. Ne tentez pas de la calculer. C'est un paramètre de conception de la machine.

Points à retenir
  • La chaleur est apportée à pression constante.
  • Pour un gaz parfait, \(q_{in} = c_p(T_3-T_2)\).
Le saviez-vous ?

Dans les turbines à gaz modernes, une grande partie de l'air comprimé n'est pas utilisée pour la combustion elle-même, mais pour refroidir les aubes de turbine, leur permettant de supporter des températures de gaz bien supérieures à leur propre point de fusion !

FAQ
Pourquoi ne tient-on pas compte de la masse du carburant ?

Dans l'analyse thermodynamique simplifiée (cycle à air standard), on considère que la masse de carburant injectée est négligeable devant la masse d'air (le rapport air/carburant est typiquement de 50:1 ou plus). On modélise donc la combustion comme un simple apport de chaleur à un débit d'air constant.

Résultat Final
La chaleur spécifique fournie au cycle est de 760.4 kJ/kg.
A vous de jouer

Si la température maximale \(T_3\) était augmentée à 1500 K, quel serait le nouvel apport de chaleur \(q_{in}\) ?

Question 4 : Température en sortie de turbine (\(T_4\))

Principe

La détente dans la turbine est isentropique (idéale). On utilise la même logique que pour le compresseur, mais entre les points 3 et 4. La température \(T_4\) est calculée à partir de \(T_3\) et du rapport de détente en utilisant la loi de Laplace. Le rapport de détente \(P_3/P_4\) est égal au rapport de compression \(\tau\) car \(P_3=P_2\) et \(P_4=P_1\).

Mini-Cours

La détente isentropique est le processus miroir de la compression isentropique. Le gaz se refroidit en se détendant et en produisant du travail. Les mêmes relations de Laplace s'appliquent, liant les états initial (3) et final (4) de la transformation.

Remarque Pédagogique

La température des gaz d'échappement \(T_4\) est une perte d'énergie pour un cycle simple. Plus elle est élevée, plus on "jette" d'énergie thermique dans l'atmosphère. C'est pourquoi les cycles plus complexes (cycles combinés) cherchent à récupérer cette chaleur pour produire de la vapeur et entraîner une seconde turbine.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule, elle découle directement des principes fondamentaux de la thermodynamique.

Formule(s)
\[ T_4 = \frac{T_3}{\tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} \]
Hypothèses
  • L'air est un gaz parfait à chaleur massique constante.
  • La détente est isentropique (adiabatique et réversible).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Température d'entrée\(T_3\)1300\(\text{K}\)
Rapport de pression\(\tau\)8-
Indice isentropique\(\gamma\)1.4-
Astuces

Dans un cycle de Brayton idéal, on a la relation \(T_2/T_1 = T_3/T_4\). Vous pouvez l'utiliser pour vérifier votre calcul de \(T_4\) : \(T_4 = T_3 \times (T_1/T_2) = 1300 \times (300/543.4) \approx 717.8\) K. Ça marche !

Schéma (Avant les calculs)
Détente Isentropique 3 → 4
sTP4 = csteP3 = cste34
Calcul(s)

Rappel du facteur de compression

\[ \tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 1.811 \]

Calcul de la température de sortie de la turbine (\(T_4\))

\[ \begin{aligned} T_4 &= \frac{T_3}{\tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} \\ &= \frac{1300 \text{ K}}{1.811} \\ &\approx 717.8 \text{ K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Détente 3 → 4
sT100 kPa800 kPaT3=1300KT4=717.8K
Réflexions

La température chute de près de 600 K en traversant la turbine. Cette énorme chute d'énergie thermique est convertie en énergie mécanique sur l'arbre de la turbine.

Points de vigilance

L'erreur classique est de multiplier \(T_3\) par le facteur au lieu de diviser. Rappelez-vous qu'une détente refroidit le gaz, donc on doit avoir \(T_4 < T_3\).

Points à retenir
  • La détente isentropique est l'inverse de la compression.
  • La température de sortie \(T_4\) se calcule avec la même loi de Laplace.
Le saviez-vous ?

Les gaz d'échappement d'un turboréacteur d'avion, correspondant au point 4 du cycle, sortent à plus de 600°C. C'est cette énergie thermique résiduelle qui, en étant accélérée dans une tuyère, produit la majorité de la poussée du moteur.

FAQ
Pourquoi \(P_4\) est-elle égale à \(P_1\) ?

Le cycle est ouvert sur l'atmosphère. L'air est aspiré à la pression atmosphérique (\(P_1\)) et les gaz sont rejetés à la même pression atmosphérique (\(P_4\)). La transformation 4 -> 1 correspond donc au refroidissement des gaz d'échappement dans l'environnement.

Résultat Final
La température en sortie de turbine est de 717.8 K.
A vous de jouer

Si le rapport de pression était seulement de 5, quelle serait la température de sortie \(T_4\) ?

Question 5 : Travail spécifique de la turbine (\(w_t\))

Principe

Le travail produit par la turbine est extrait de l'énergie du fluide chaud qui se détend. Comme pour le compresseur, ce travail est égal à la variation d'enthalpie spécifique entre l'entrée (point 3) et la sortie (point 4) de la turbine.

Mini-Cours

Le travail d'une détente isentropique (\(q=0\)) dans une turbine (système ouvert) est \(w_t = \Delta h = h_4 - h_3\). Cependant, on s'intéresse généralement au travail produit *par* le système, qui est l'opposé : \(w_t = -(h_4 - h_3) = h_3 - h_4\). Cette valeur est positive.

Remarque Pédagogique

Comparer le travail de la turbine \(w_t\) au travail du compresseur \(w_c\). On voit que \(w_t > w_c\). La différence est le travail net, c'est-à-dire la puissance utile du moteur. Si \(w_t\) était inférieur à \(w_c\), le moteur ne pourrait même pas tourner sur lui-même !

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule, elle découle directement des principes fondamentaux de la thermodynamique.

Formule(s)
\[ w_t = h_3 - h_4 = c_p (T_3 - T_4) \]
Hypothèses
  • Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables.
  • L'air est un gaz parfait à chaleur massique constante.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Température maximale\(T_3\)1300\(\text{K}\)
Chaleur massique\(c_p\)1.005\(\text{kJ/kg·K}\)
Donnée intermédiaire : Température de sortie\(T_4\)717.8\(\text{K}\)
Astuces

Le travail de la turbine doit être une valeur positive et significative. Elle est généralement plus élevée que le travail du compresseur. C'est une vérification rapide de la cohérence de vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan énergétique de la Turbine
TurbineGaz à T3Gaz à T4wt ?
Calcul(s)

Calcul du travail spécifique de la turbine (\(w_t\))

\[ \begin{aligned} w_t &= c_p (T_3 - T_4) \\ &= 1.005 \frac{\text{kJ}}{\text{kg·K}} \times (1300 \text{ K} - 717.8 \text{ K}) \\ &= 1.005 \times 582.2 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \\ &\approx 585.1 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique de la Turbine (Résultat)
TurbineGaz à 1300KGaz à 717.8Kwt=585.1 kJ/kg
Réflexions

Chaque kilogramme d'air qui se détend dans la turbine produit 585.1 kJ de travail mécanique. C'est cette énergie qui va servir à entraîner le compresseur et l'alternateur (ou l'hélice de l'avion).

Points de vigilance

Veillez à bien prendre la différence \(T_3 - T_4\) pour obtenir un travail positif. Un travail négatif signifierait que la turbine consomme de l'énergie, ce qui est physiquement incorrect.

Points à retenir
  • Le travail d'une turbine idéale est égal à la variation d'enthalpie \(h_3 - h_4\).
  • Pour un gaz parfait, cela se simplifie en \(c_p(T_3 - T_4)\).
Le saviez-vous ?

Les aubes d'une turbine haute pression d'un moteur d'avion peuvent tourner à plus de 10 000 tours par minute. À cette vitesse, la force centrifuge exercée sur une seule aube peut être équivalente au poids d'un camion !

FAQ
Qu'est-ce que le rendement isentropique d'une turbine ?

C'est le rapport entre le travail réel produit par la turbine et le travail qu'elle produirait si la détente était parfaitement isentropique. \(\eta_{t} = w_{t,réel} / w_{t,idéal}\). Il est toujours inférieur à 100% à cause des irréversibilités.

Résultat Final
Le travail spécifique produit par la turbine est de 585.1 kJ/kg.
A vous de jouer

Si la température \(T_3\) était abaissée à 1100 K, quel serait le nouveau travail de la turbine \(w_t\) (en gardant \(\tau=8\)) ?

Question 6 : Travail net (\(w_{net}\)) et Rendement (\(\eta_{th}\))

Principe

Le travail net est la part du travail de la turbine qui reste une fois qu'on a prélevé le nécessaire pour faire fonctionner le compresseur. C'est le "bénéfice" mécanique du cycle. Le rendement thermique est le rapport entre ce "bénéfice" (le travail net) et le "coût" énergétique (la chaleur fournie par le carburant). C'est la mesure ultime de l'efficacité du cycle.

Mini-Cours

Le Rendement de Carnot établit la limite théorique maximale pour un moteur thermique fonctionnant entre une source chaude (\(T_{max}\)) et une source froide (\(T_{min}\)). Il est donné par \(\eta_{Carnot} = 1 - T_{min}/T_{max}\). Le rendement d'un cycle de Brayton idéal est toujours inférieur au rendement de Carnot opérant entre les mêmes températures extrêmes (\(T_1\) et \(T_3\)).

Remarque Pédagogique

Observez la formule du rendement : \(\eta_{th} = 1 - 1/\tau^{(\gamma-1)/\gamma}\). Pour un cycle idéal, le rendement ne dépend QUE du rapport de pression \(\tau\) et de la nature du gaz (\(\gamma\)). Il ne dépend pas de la température maximale \(T_3\). Cependant, \(T_3\) est cruciale pour le *travail net*. Une \(T_3\) plus élevée donne un travail net beaucoup plus grand pour un même rendement.

Normes

Le calcul du rendement est une procédure standardisée dans l'industrie pour comparer l'efficacité des différentes machines thermiques.

Formule(s)

Formule du travail net

\[ w_{net} = w_t - w_c \]

Formule du rendement thermique

\[ \eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = 1 - \frac{1}{\tau^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} \]
Hypothèses

Les hypothèses de l'ensemble du cycle idéal sont reprises ici.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Donnée intermédiaire : Travail de la turbine\(w_t\)585.1\(\text{kJ/kg}\)
Donnée intermédiaire : Travail du compresseur\(w_c\)244.6\(\text{kJ/kg}\)
Donnée intermédiaire : Chaleur fournie\(q_{in}\)760.4\(\text{kJ/kg}\)
Astuces

Il y a deux façons de calculer le rendement. Soit par le rapport \(w_{net}/q_{in}\), soit par la formule \(1 - 1/\tau^{(\gamma-1)/\gamma}\). Utiliser les deux est une excellente méthode pour vérifier l'ensemble de vos calculs. Si les deux résultats ne correspondent pas, vous avez fait une erreur quelque part !

Schéma (Avant les calculs)
Flux de Travail dans le Cycle
CompresseurTurbineArbrewcwtwnet?
Calcul(s)

Calcul du travail net (\(w_{net}\))

\[ \begin{aligned} w_{net} &= w_t - w_c \\ &= 585.1 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} - 244.6 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \\ &= 340.5 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned} \]

Calcul du rendement thermique (\(\eta_{th}\))

\[ \begin{aligned} \eta_{th} &= \frac{w_{net}}{q_{in}} \\ &= \frac{340.5 \text{ kJ/kg}}{760.4 \text{ kJ/kg}} \\ &\approx 0.4478 \\ &\Rightarrow 44.8\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flux de Travail (Résultats)
CompresseurTurbineArbre244.6585.1340.5(valeurs en kJ/kg)
Réflexions

Avec un rendement de 44.8%, cela signifie que pour 100 kJ d'énergie libérée par le carburant, 44.8 kJ sont convertis en travail utile, et les 55.2 kJ restants sont perdus sous forme de chaleur dans les gaz d'échappement. C'est un rendement typique pour un cycle de Brayton idéal avec ce rapport de pression.

Points de vigilance

Le rendement d'un cycle réel sera toujours inférieur au rendement idéal à cause des irréversibilités dans le compresseur et la turbine. Le rendement idéal est une limite supérieure, une référence de performance.

Points à retenir
  • Le travail net est la différence entre le travail de la turbine et celui du compresseur.
  • Le rendement thermique compare le travail net à la chaleur fournie.
  • Pour un cycle idéal, le rendement ne dépend que de \(\tau\) et \(\gamma\).
Le saviez-vous ?

Les centrales à cycle combiné les plus modernes, qui utilisent la chaleur des gaz d'échappement de la turbine à gaz pour faire fonctionner une turbine à vapeur, peuvent atteindre des rendements thermiques réels supérieurs à 64%, ce qui en fait les centrales thermiques les plus efficaces au monde.

FAQ
Si le rendement ne dépend pas de \(T_3\), pourquoi cherche-t-on à l'augmenter ?

Même si le *rendement idéal* n'en dépend pas, le *travail net* en dépend fortement. Pour un même rendement, une \(T_3\) plus élevée augmente la différence de température dans la turbine (\(T_3 - T_4\)), ce qui augmente le travail de la turbine et donc le travail net. Plus de travail net pour le même débit d'air signifie plus de puissance pour une machine de même taille.

Résultat Final
Le travail net produit par le cycle est de 340.5 kJ/kg, avec un rendement thermique de 44.8%.
A vous de jouer

Quel serait le rendement thermique idéal si le rapport de pression était de 15 ?

Outil Interactif : Simulateur du Cycle de Brayton

Utilisez les curseurs pour faire varier le rapport de pression et la température maximale du cycle. Observez en temps réel leur influence sur le travail net et le rendement thermique, deux indicateurs clés de la performance d'une turbine à gaz.

Paramètres d'Entrée
8
1300 K
Résultats Clés
Travail Net (\(w_{net}\)) - kJ/kg
Rendement Thermique (\(\eta_{th}\)) - %

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelles sont les quatre transformations d'un cycle de Brayton idéal ?

2. Comment l'augmentation du rapport de pression (\(\tau\)) affecte-t-elle le rendement thermique (\(\eta_{th}\)) d'un cycle de Brayton idéal ?

3. Dans quel composant la chaleur est-elle fournie au fluide de travail ?

4. Le travail produit par la turbine sert à :

5. Que signifie l'hypothèse d'un cycle "idéal" ?

Glossaire

Cycle de Brayton
Cycle thermodynamique modélisant les turbines à gaz, composé de deux transformations isentropiques et deux transformations isobares.
Processus isentropique
Une transformation thermodynamique qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur) et réversible (sans pertes par friction). L'entropie du système reste constante.
Processus isobare
Une transformation thermodynamique durant laquelle la pression du système reste constante.
Rapport de pression (\(\tau\))
Le rapport de la pression la plus haute (\(P_2\)) sur la pression la plus basse (\(P_1\)) du cycle. C'est un paramètre clé qui influence fortement le rendement.
Rendement thermique (\(\eta_{th}\))
Le rapport entre le travail net utile produit par le cycle et la quantité de chaleur qui lui a été fournie. Il mesure l'efficacité de la conversion de chaleur en travail.
Le Cycle de Brayton Simple Idéal

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