Études de cas pratique

EGC

Cycle Brayton Simple

Cycle Brayton Simple

Cycle Brayton Simple

Comprendre le Cycle des Turbines à Gaz

Le cycle de Brayton est le cycle thermodynamique idéal qui modélise le fonctionnement des turbines à gaz. Dans sa forme la plus simple, il comprend quatre processus : une compression isentropique, un apport de chaleur à pression constante, une détente isentropique et un rejet de chaleur à pression constante. Ce cycle est fondamental pour la production d'électricité et la propulsion aéronautique. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un cycle de Brayton simple fonctionnant à l'air, considéré comme un gaz parfait.

Données de l'étude

On considère un cycle de Brayton simple idéal fonctionnant à l'air.

Caractéristiques du cycle et du fluide :

Paramètre Valeur Symbole
Fluide de travail Air (gaz parfait) -
Température à l'entrée du compresseur 300 \(\text{K}\) (27 °C) \(T_1\)
Pression à l'entrée du compresseur 100 \(\text{kPa}\) (1 bar) \(P_1\)
Rapport de pression du compresseur 8 \(r_p = P_2/P_1\)
Température maximale du cycle (entrée turbine) 1200 \(\text{K}\) (927 °C) \(T_3\)
Chaleur massique à pression constante de l'air 1.005 \(\text{kJ/(kg} \cdot \text{K)}\) \(c_p\)
Rapport des chaleurs massiques de l'air (\(c_p/c_v\)) 1.4 \(\gamma\)

Hypothèses : Les processus de compression et de détente sont isentropiques (rendement de 100%). Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables.

Schéma : Cycle de Brayton simple
Compresseur 1 2 W_c Chambre de Combustion Q_in 3 Turbine 4 W_t Rejet Chaleur Q_out

Schéma d'un cycle de Brayton simple idéal.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression à la sortie du compresseur (\(P_2\)).
  2. Calculer la température à la sortie du compresseur (\(T_2\)) en supposant une compression isentropique.
  3. Calculer la température à la sortie de la turbine (\(T_4\)) en supposant une détente isentropique.
  4. Calculer le travail spécifique fourni par le compresseur (\(w_c\)) en \(\text{kJ/kg}\).
  5. Calculer le travail spécifique produit par la turbine (\(w_t\)) en \(\text{kJ/kg}\).
  6. Calculer le travail spécifique net du cycle (\(w_{\text{net}}\)) en \(\text{kJ/kg}\).
  7. Calculer la chaleur spécifique fournie dans la chambre de combustion (\(q_{\text{in}}\)) en \(\text{kJ/kg}\).
  8. Calculer le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) du cycle.

Correction : Cycle Brayton Simple

Question 1 : Pression à la sortie du compresseur (\(P_2\))

Principe :

La pression à la sortie du compresseur est déterminée par le rapport de pression \(r_p = P_2/P_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = r_p \times P_1\]
Données spécifiques :
  • Rapport de pression (\(r_p\)) : 8
  • Pression à l'entrée du compresseur (\(P_1\)) : \(100 \, \text{kPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 8 \times 100 \, \text{kPa} \\ &= 800 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression à la sortie du compresseur est \(P_2 = 800 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Température à la sortie du compresseur (\(T_2\))

Principe :

Pour une compression isentropique d'un gaz parfait, la relation entre les températures et les pressions est donnée par \(T_2/T_1 = (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_1 (r_p)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\]
Données spécifiques :
  • Température à l'entrée du compresseur (\(T_1\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Rapport de pression (\(r_p\)) : 8
  • Rapport des chaleurs massiques (\(\gamma\)) : \(1.4\)
Calcul :

Calcul de l'exposant :

\[ \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.4-1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} \approx 0.2857 \]

Calcul de \(T_2\) :

\[ \begin{aligned} T_2 &= 300 \, \text{K} \times (8)^{0.2857} \\ &\approx 300 \, \text{K} \times 1.811 \\ &\approx 543.3 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La température à la sortie du compresseur est \(T_2 \approx 543.3 \, \text{K}\).

Question 3 : Température à la sortie de la turbine (\(T_4\))

Principe :

Pour une détente isentropique d'un gaz parfait dans la turbine, la relation entre les températures et les pressions est \(T_3/T_4 = (P_3/P_4)^{(\gamma-1)/\gamma}\). Dans un cycle Brayton simple idéal, \(P_3 = P_2\) et \(P_4 = P_1\), donc \(P_3/P_4 = P_2/P_1 = r_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_4 = T_3 \left( \frac{P_4}{P_3} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_3 \left( \frac{1}{r_p} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\]
Données spécifiques :
  • Température à l'entrée de la turbine (\(T_3\)) : \(1200 \, \text{K}\)
  • Rapport de pression (\(r_p\)) : 8
  • Exposant \((\gamma-1)/\gamma \approx 0.2857\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_4 &= 1200 \, \text{K} \times \left( \frac{1}{8} \right)^{0.2857} \\ &= 1200 \, \text{K} \times (0.125)^{0.2857} \\ &\approx 1200 \, \text{K} \times 0.5522 \\ &\approx 662.6 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La température à la sortie de la turbine est \(T_4 \approx 662.6 \, \text{K}\).

Question 4 : Travail spécifique fourni par le compresseur (\(w_c\))

Principe :

Le travail spécifique fourni par le compresseur (travail consommé) pour un gaz parfait est \(w_c = c_p (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_c = c_p (T_2 - T_1)\]
Données spécifiques :
  • Chaleur massique (\(c_p\)) : \(1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Température \(T_1\) : \(300 \, \text{K}\)
  • Température \(T_2\) : \(\approx 543.3 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_c &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times (543.3 \, \text{K} - 300 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times 243.3 \, \text{K} \\ &\approx 244.5165 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le travail spécifique fourni par le compresseur est \(w_c \approx 244.5 \, \text{kJ/kg}\).

Question 5 : Travail spécifique produit par la turbine (\(w_t\))

Principe :

Le travail spécifique produit par la turbine pour un gaz parfait est \(w_t = c_p (T_3 - T_4)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_t = c_p (T_3 - T_4)\]
Données spécifiques :
  • Chaleur massique (\(c_p\)) : \(1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Température \(T_3\) : \(1200 \, \text{K}\)
  • Température \(T_4\) : \(\approx 662.6 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_t &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times (1200 \, \text{K} - 662.6 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times 537.4 \, \text{K} \\ &\approx 540.087 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le travail spécifique produit par la turbine est \(w_t \approx 540.1 \, \text{kJ/kg}\).

Question 6 : Travail spécifique net du cycle (\(w_{\text{net}}\))

Principe :

Le travail spécifique net du cycle est la différence entre le travail produit par la turbine et le travail consommé par le compresseur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{\text{net}} = w_t - w_c\]
Données spécifiques :
  • Travail de la turbine (\(w_t\)) : \(\approx 540.087 \, \text{kJ/kg}\)
  • Travail du compresseur (\(w_c\)) : \(\approx 244.5165 \, \text{kJ/kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_{\text{net}} &= 540.087 \, \text{kJ/kg} - 244.5165 \, \text{kJ/kg} \\ &\approx 295.5705 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le travail spécifique net du cycle est \(w_{\text{net}} \approx 295.6 \, \text{kJ/kg}\).

Question 7 : Chaleur spécifique fournie (\(q_{\text{in}}\))

Principe :

La chaleur spécifique est fournie dans la chambre de combustion à pression constante. Pour un gaz parfait, \(q_{\text{in}} = c_p (T_3 - T_2)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{\text{in}} = c_p (T_3 - T_2)\]
Données spécifiques :
  • Chaleur massique (\(c_p\)) : \(1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Température \(T_3\) : \(1200 \, \text{K}\)
  • Température \(T_2\) : \(\approx 543.3 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{\text{in}} &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times (1200 \, \text{K} - 543.3 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \, \text{kJ/(kg} \cdot \text{K)} \times 656.7 \, \text{K} \\ &\approx 659.9835 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La chaleur spécifique fournie est \(q_{\text{in}} \approx 660.0 \, \text{kJ/kg}\).

Question 8 : Rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) du cycle

Principe :

Le rendement thermique d'un cycle moteur est le rapport entre le travail net produit et la chaleur fournie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}\]

Pour un cycle de Brayton idéal, on peut aussi montrer que \(\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{(r_p)^{(\gamma-1)/\gamma}}\).

Données spécifiques :
  • Travail net (\(w_{\text{net}}\)) : \(\approx 295.5705 \, \text{kJ/kg}\)
  • Chaleur fournie (\(q_{\text{in}}\)) : \(\approx 659.9835 \, \text{kJ/kg}\)
  • Rapport de pression (\(r_p\)) : 8
  • Exposant \((\gamma-1)/\gamma \approx 0.2857\)
Calcul (avec \(w_{\text{net}}\) et \(q_{\text{in}}\)) :
\[ \begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= \frac{295.5705 \, \text{kJ/kg}}{659.9835 \, \text{kJ/kg}} \\ &\approx 0.4478 \end{aligned} \]

Calcul avec la formule théorique :

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= 1 - \frac{1}{(8)^{0.2857}} \\ &\approx 1 - \frac{1}{1.811} \\ &\approx 1 - 0.5522 \\ &\approx 0.4478 \end{aligned} \]

Les résultats concordent (aux arrondis près).

Résultat Question 8 : Le rendement thermique du cycle est \(\eta_{\text{th}} \approx 0.448\), soit \(44.8 \, \text{\%}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rapport de pression \(r_p\) augmente (et \(T_1, T_3\) restent constantes), le rendement thermique d'un cycle de Brayton idéal :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le cycle de Brayton idéal est composé de :

2. Dans un cycle de Brayton, la chaleur est fournie au fluide de travail :

3. Le travail net d'un cycle de Brayton est :

Glossaire

Cycle de Brayton
Cycle thermodynamique décrivant le fonctionnement des turbines à gaz. Le cycle idéal simple comprend une compression isentropique, un apport de chaleur isobare, une détente isentropique et un rejet de chaleur isobare.
Processus Isentropique
Transformation thermodynamique réversible et adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur et sans irréversibilités).
Processus Isobare
Transformation thermodynamique qui se produit à pression constante.
Compresseur
Dispositif mécanique qui augmente la pression d'un fluide (généralement un gaz).
Turbine
Machine rotative qui extrait de l'énergie d'un fluide en mouvement (gaz ou liquide) et la convertit en travail utile.
Chambre de Combustion
Composant d'une turbine à gaz où le combustible est brûlé avec l'air comprimé pour augmenter la température du fluide de travail avant son entrée dans la turbine.
Rapport de Pression (\(r_p\))
Rapport entre la pression à la sortie du compresseur et la pression à son entrée (\(P_2/P_1\)).
Rendement Thermique (\(\eta_{\text{th}}\))
Rapport entre le travail net produit par un cycle moteur et la quantité de chaleur fournie au cycle. C'est une mesure de l'efficacité de conversion de la chaleur en travail.
Cycle Brayton Simple - Application

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