Calcul de Contrainte Induite dans le Sol
Contexte : L'invisible sous nos pieds, la clé des fondations.
En géotechnique, comprendre comment les charges d'une structure (bâtiment, pont, etc.) se diffusent dans le sol est fondamental. Toute charge appliquée en surface par une fondation crée un "bulbe de contraintes" en profondeur. Ce surplus de contrainte, appelé contrainte induiteAugmentation de la contrainte verticale en un point du sol due à l'application d'une charge en surface. Elle s'ajoute à la contrainte naturelle du sol (géostatique)., est la cause principale des tassements. Le calculer avec précision est donc essentiel pour prédire le comportement d'un ouvrage et garantir sa stabilité. Cet exercice vous guidera dans le calcul de cette contrainte sous une fondation rectangulaire, en utilisant la méthode de Boussinesq.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un passage crucial de la conception à la réalité en génie civil. On part d'une charge de structure (en kPa) pour déterminer son effet invisible mais critique sous terre. Nous utiliserons des abaques (ou des formules équivalentes) et le principe de superposition, des outils quotidiens de l'ingénieur géotechnicien pour s'assurer que le sol peut supporter la construction sans tassements excessifs.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la contrainte effective initiale (géostatique) dans le sol.
- Déterminer les coefficients d'influence géométrique (m et n).
- Utiliser un abaque de Fadum (ou sa formule) pour trouver le facteur d'influence I.
- Appliquer le principe de superposition pour calculer la contrainte en un point quelconque.
- Calculer la contrainte verticale totale après construction.
- Comprendre la notion de diffusion des contraintes en profondeur.
Données de l'étude
Schéma du problème géotechnique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la fondation | \(L\) | 6 | \(\text{m}\) |
| Largeur de la fondation | \(B\) | 4 | \(\text{m}\) |
| Profondeur du point d'étude | \(z\) | 5 | \(\text{m}\) |
| Surcharge appliquée | \(q\) | 150 | \(\text{kPa}\) |
| Poids volumique du sol | \(\gamma\) | 18 | \(\text{kN/m³}\) |
Questions à traiter
- Calculer la contrainte effective verticale initiale \(\sigma'_{\text{v0}}\) au point P avant la construction.
- Calculer la contrainte induite \(\Delta\sigma_{\text{z}}\) au point P sous le centre de la fondation en utilisant le principe de superposition.
- Calculer la contrainte effective verticale finale \(\sigma'_{\text{vf}}\) au point P après application de la charge.
- Quel serait le pourcentage d'augmentation de la contrainte au point P ?
Les bases de la Mécanique des Sols
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. Contrainte Effective (Concept de Terzaghi) :
La contrainte effective (\(\sigma'\)) est la force qui se transmet "de grain à grain" dans le squelette du sol. C'est elle qui gouverne la résistance et la déformation du sol. Elle se calcule en soustrayant la pression de l'eau interstitielle (\(u\)) de la contrainte totale (\(\sigma\)) : \(\sigma' = \sigma - u\). Dans un sol sec, la contrainte effective est égale à la contrainte totale, qui est simplement le poids des terres : \(\sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} = \gamma \cdot z\).
2. Diffusion de Boussinesq :
La théorie de Boussinesq (1885) modélise la diffusion d'une charge ponctuelle appliquée à la surface d'un massif de sol supposé semi-infini, homogène, isotrope et élastique. La contrainte induite \(\Delta\sigma_{\text{z}}\) diminue avec la profondeur et l'éloignement de la charge. Pour des charges étendues, on intègre la solution de Boussinesq sur toute la surface chargée.
3. Principe de Superposition :
Puisque la théorie est élastique (linéaire), on peut additionner les effets de plusieurs charges. Pour calculer la contrainte sous le centre d'une fondation rectangulaire, on la divise en quatre rectangles identiques se rejoignant au centre. On calcule la contrainte induite par UN de ces rectangles sous son propre coin, puis on multiplie le résultat par quatre pour obtenir l'effet total.
Correction : Calcul de Contrainte Induite dans le Sol
Question 1 : Calculer la contrainte effective initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\))
Principe (le concept physique)
Avant toute construction, chaque point dans le sol est déjà soumis à une contrainte due au poids des terres situées au-dessus. C'est la contrainte géostatique. Elle augmente linéairement avec la profondeur. C'est notre "état de référence" avant d'ajouter la charge de la fondation. Comme le sol est supposé sec (pas de nappe phréatique mentionnée), la contrainte effective est égale à la contrainte totale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le concept de contrainte effective de Terzaghi (\(\sigma' = \sigma - u\)) est la pierre angulaire de la mécanique des sols. \(\sigma\) est la contrainte totale (poids total du sol et de l'eau), et \(u\) est la pression de l'eau dans les pores. La différence, \(\sigma'\), représente la pression de contact entre les grains du sol. C'est cette pression qui contrôle la résistance au cisaillement et la compressibilité du sol. Dans notre cas, sans eau, \(u=0\) et donc \(\sigma' = \sigma\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez une colonne de briques. La brique du bas subit le poids de toutes les autres. C'est exactement la même chose pour le sol. La contrainte à une certaine profondeur est simplement le poids de la colonne de sol qui se trouve au-dessus. C'est une force divisée par une surface, d'où l'unité en kPa (kN/m²).
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 (norme NF EN 1997-1), qui régit le calcul géotechnique en Europe, stipule que l'état des contraintes initiales dans le sol doit être déterminé comme point de départ pour toute analyse de tassement ou de stabilité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte effective verticale initiale à une profondeur z dans un sol sec est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le massif de sol est homogène, que son poids volumique est constant avec la profondeur, que la surface du sol est horizontale et qu'il n'y a pas de nappe phréatique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Poids volumique du sol, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m³}\)
- Profondeur, \(z = 5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Attention aux unités ! Si \(\gamma\) est en kN/m³ et \(z\) en m, le résultat sera en kN/m², ce qui est exactement un kilopascal (kPa). C'est le système d'unités le plus pratique en géotechnique.
Schéma (Avant les calculs)
État de contrainte initial
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Schéma (Après les calculs)
Contrainte initiale calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Au point P, à 5m de profondeur, le sol subit une contrainte naturelle de 90 kPa. Toute contrainte que nous ajouterons avec notre fondation viendra en plus de cette valeur existante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de confondre contrainte totale et contrainte effective en présence d'une nappe d'eau. Si la nappe était à la surface, il faudrait utiliser le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) et le calcul serait le même. Si la nappe est à mi-profondeur, il faut décomposer le calcul en deux parties.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte initiale \(\sigma'_{\text{v0}}\) est la contrainte "naturelle" dans le sol avant travaux.
- Elle augmente linéairement avec la profondeur (\(z\)) et le poids volumique du sol (\(\gamma\)).
- C'est la valeur de référence pour évaluer l'impact d'un nouvel ouvrage.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Karl von Terzaghi, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne, a développé le principe de la contrainte effective en 1925 en observant le comportement des argiles. Cette seule équation a révolutionné notre capacité à concevoir des fondations sûres.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte effective initiale \(\sigma'_{\text{v0}}\) à une profondeur de 10 m (en kPa) ?
Question 2 : Calculer la contrainte induite (\(\Delta\sigma_{\text{z}}\)) au centre
Principe (le concept physique)
On ne peut pas calculer directement la contrainte sous le centre avec la formule de base, qui ne fonctionne que pour le coin d'une surface chargée. On utilise donc le principe de superposition : on imagine quatre petits rectangles fictifs qui pavent la grande fondation et dont les coins se rejoignent au centre. La contrainte totale au centre est la somme des contraintes créées par chacun de ces quatre rectangles à leur coin commun.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La solution de Boussinesq pour une charge ponctuelle \(Q\) est \(\Delta\sigma_{\text{z}} = \frac{3Q}{2\pi z^2} \cos^5\theta\). Pour une charge rectangulaire uniforme \(q\), on intègre cette formule sur la surface. Le résultat est \(\Delta\sigma_{\text{z}} = q \cdot I\), où \(I\) est le facteur d'influence. L'abaque de Fadum est une représentation graphique de la valeur de \(I\) en fonction des rapports adimensionnels \(m=B/z\) et \(n=L/z\), ce qui évite de devoir résoudre l'intégrale à chaque fois.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous appuyez sur un matelas en mousse. La pression est maximale juste sous votre main, mais elle se diffuse sur les côtés et en profondeur. Le sol se comporte de manière similaire. La contrainte de 150 kPa en surface n'est plus que de 54 kPa à 5m de profondeur. Cette diffusion est la raison pour laquelle les tassements sont un phénomène de volume et non de surface.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 permet l'utilisation de solutions basées sur la théorie de l'élasticité, comme la méthode de Boussinesq/Fadum, pour l'évaluation des contraintes et des tassements à l'état limite de service (ELS). Pour des projets complexes, des modèles numériques (éléments finis) sont souvent préférés.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un rectangle de dimensions \(B' \times L'\), la contrainte sous un coin est : \(\Delta\sigma_{\text{z,coin}} = q \cdot I\). Le facteur d'influence \(I\) dépend des rapports \(m = B'/z\) et \(n = L'/z\). Pour le centre de la fondation, on a :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les hypothèses de Boussinesq : le sol est un massif semi-infini, homogène, isotrope et parfaitement élastique. La charge appliquée par la fondation est supposée parfaitement uniforme et flexible.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour chaque petit rectangle, les dimensions sont :
- Largeur, \(B' = B/2 = 4/2 = 2 \, \text{m}\)
- Longueur, \(L' = L/2 = 6/2 = 3 \, \text{m}\)
- Profondeur, \(z = 5 \, \text{m}\)
- Surcharge, \(q = 150 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour l'abaque de Fadum, il est parfois nécessaire d'interpoler entre les courbes. Soyez méthodique. Si vous utilisez la formule, assurez-vous que votre calculatrice est en mode radians pour la fonction arctangente. Le principe de superposition est un outil puissant : il permet de calculer la contrainte en n'importe quel point en additionnant et soustrayant des rectangles fictifs.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de Superposition
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer les coefficients géométriques m et n :
2. Trouver le facteur d'influence I. On utilise un abaque de Fadum ou la formule. Pour m=0.4 et n=0.6, on trouve :
3. Calculer la contrainte induite par un seul petit rectangle :
4. Appliquer la superposition :
Schéma (Après les calculs)
Bulbe de Contraintes
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La fondation ajoute une contrainte de 54 kPa à 5m de profondeur sous son centre. Cette valeur est significative (plus de la moitié de la contrainte initiale) et sera la principale cause du tassement sous le centre de l'ouvrage.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier par 4 après avoir calculé la contrainte pour un quart de la fondation. Une autre erreur est d'utiliser les dimensions complètes B et L pour calculer m et n, alors que la méthode exige d'utiliser les dimensions du rectangle dont on cherche la contrainte au coin (B' et L').
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte induite diminue avec la profondeur.
- Le principe de superposition est essentiel pour les points qui ne sont pas sous un coin.
- Pour le centre d'un rectangle, on le divise en 4 et on multiplie le résultat du coin par 4.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Il existe d'autres théories que celle de Boussinesq. Westergaard, par exemple, a proposé une solution pour un sol stratifié (renforcé par des couches horizontales rigides), qui donne une diffusion des contraintes plus lente. Le choix du modèle dépend de la nature du sol rencontré.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le point P était sous le coin de la fondation (pas au centre), quelle serait la contrainte induite (en kPa) ?
Question 3 : Calculer la contrainte effective finale (\(\sigma'_{\text{vf}}\))
Principe (le concept physique)
La contrainte finale dans le sol est simplement la somme de ce qui existait avant (l'état initial géostatique) et de ce qui a été ajouté par la construction (la contrainte induite). C'est cette contrainte finale qui détermine l'état d'équilibre du sol à long terme, une fois les tassements stabilisés.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le passage de \(\sigma'_{\text{v0}}\) à \(\sigma'_{\text{vf}}\) est ce qui provoque le tassement de consolidation dans les sols fins (argiles, limons). Selon la théorie de Terzaghi, l'augmentation de contrainte est d'abord entièrement reprise par l'eau interstitielle (surpression interstitielle), puis, avec le temps, l'eau s'draine et la charge est transférée au squelette solide, provoquant une diminution de l'indice des vides et donc un tassement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'étape finale du calcul de charge. On a l'état "AVANT" (\(\sigma'_{\text{v0}}\)) et l'état "APRÈS" (\(\sigma'_{\text{vf}}\)). La différence entre les deux est la cause de tous les changements (tassements). C'est un concept simple d'addition, mais il est au cœur de l'ingénierie des fondations.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la contrainte finale est une étape intermédiaire obligatoire dans les calculs de tassement selon l'Eurocode 7. La prédiction du tassement final \(S_{\text{c}}\) utilise directement cette valeur dans des formules comme \(S_{\text{c}} = H \frac{C_{\text{c}}}{1+e_0} \log(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}})\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le principe de superposition est valide, ce qui découle de l'hypothèse d'élasticité du sol. On considère l'état à long terme, après dissipation de toute surpression interstitielle éventuelle.
Donnée(s) (des calculs précédents)
- Contrainte initiale, \(\sigma'_{\text{v0}} = 90 \, \text{kPa}\) (de Q1)
- Contrainte induite, \(\Delta\sigma_{\text{z}} = 54 \, \text{kPa}\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il n'y a pas vraiment d'astuce ici, c'est une simple addition. L'important est de s'assurer que les deux termes que l'on somme sont bien à la même profondeur et au même point horizontal.
Schéma (Avant les calculs)
Addition des Contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
État de Contrainte Final
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte effective au point P passe de 90 kPa à 144 kPa. C'est cette augmentation qui va "compresser" le squelette du sol. Si le sol à cette profondeur est une argile compressible, cette augmentation de contrainte entraînera un tassement qui pourrait prendre des mois, voire des années, pour se développer complètement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais soustraire les contraintes. La charge d'un bâtiment ajoute toujours de la contrainte au sol (sauf dans le cas d'une excavation où l'on retire du poids de terre, ce qui diminue la contrainte).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte finale est la somme de l'état initial et de l'augmentation due à la charge.
- \(\sigma'_{\text{vf}} = \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma_{\text{z}}\).
- Cette valeur est le point de départ pour le calcul des tassements.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les fondations très profondes comme les pieux, le calcul est plus complexe. La charge est transmise non seulement par la pointe du pieu (ce qui crée un bulbe de contrainte en profondeur) mais aussi par le frottement le long du fût du pieu, ce qui distribue la charge sur une plus grande hauteur de sol.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la surcharge \(q\) était de 200 kPa au lieu de 150, quelle serait la contrainte finale \(\sigma'_{\text{vf}}\) (en kPa) ? (Indice: recalculez d'abord \(\Delta\sigma_{\text{z}}\)).
Question 4 : Calculer le pourcentage d'augmentation
Principe (le concept physique)
Ce ratio permet d'évaluer l'influence relative de l'ouvrage par rapport à l'état initial du sol. Une augmentation de plus de 10-20% est généralement considérée comme significative et nécessite une analyse de tassement approfondie. Ce pourcentage diminue rapidement avec la profondeur, montrant que l'influence d'une fondation est surtout sensible dans les couches de sol proches de la surface.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La "zone d'influence" d'une fondation est souvent définie comme le volume de sol où l'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma_{\text{z}}\) est supérieure à un certain pourcentage (par exemple 10%) de la contrainte effective initiale \(\sigma'_{\text{v0}}\). C'est dans ce volume que la majorité (plus de 90%) du tassement se produira. Calculer ce pourcentage à différentes profondeurs permet de délimiter ce bulbe d'influence.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ce pourcentage est un excellent indicateur. Si à une certaine profondeur, l'augmentation n'est que de 1%, l'impact de votre bâtiment y est négligeable. Si elle est de 100% (vous doublez la contrainte), l'impact est majeur. Cela aide l'ingénieur à décider jusqu'à quelle profondeur les investigations de sol et les calculs de tassement sont nécessaires.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de valeur de pourcentage fixe dans les normes, mais les guides de bonne pratique en géotechnique suggèrent de poursuivre les calculs de tassement jusqu'à ce que \(\Delta\sigma_{\text{z}} < 0.1 \cdot \sigma'_{\text{v0}}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que pour les calculs précédents, car cette étape n'est qu'une manipulation des résultats déjà obtenus.
Donnée(s) (des calculs précédents)
- Contrainte initiale, \(\sigma'_{\text{v0}} = 90 \, \text{kPa}\) (de Q1)
- Contrainte induite, \(\Delta\sigma_{\text{z}} = 54 \, \text{kPa}\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une estimation rapide, on peut utiliser la méthode de diffusion 2V:1H. Elle approxime que la charge se répartit sur une surface qui s'élargit avec la profondeur. À une profondeur z, la contrainte induite est \(\Delta\sigma_{\text{z}} \approx \frac{Q}{(B+z)(L+z)}\). C'est moins précis mais beaucoup plus rapide pour une première idée.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Ratio d'Augmentation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une augmentation de 60% est très importante. Elle confirme que le point P, à 5m de profondeur (ce qui correspond à environ 1.25 fois la largeur de la fondation), est situé en plein dans le "bulbe d'influence" de la fondation. Les tassements dans cette zone seront donc significatifs.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas diviser par la contrainte finale ou par la surcharge q. Le pourcentage d'augmentation se calcule toujours par rapport à l'état de contrainte initial du sol. C'est la seule comparaison qui ait un sens physique pour évaluer l'impact de l'ouvrage.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le ratio \(\Delta\sigma_{\text{z}} / \sigma'_{\text{v0}}\) mesure l'influence relative de la nouvelle construction.
- Un ratio > 0.1 (ou 10%) est généralement considéré comme la limite de la zone d'influence pour les tassements.
- Ce ratio diminue très vite avec la profondeur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La forme du bulbe de contrainte dépend de la forme de la fondation. Sous une fondation filante (très longue), la contrainte se dissipe moins vite avec la profondeur que sous une fondation carrée de même largeur, car la charge est répartie sur une plus grande longueur.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
À 10m de profondeur, \(\Delta\sigma_{\text{z}} \approx 22.5\) kPa. Quel est le pourcentage d'augmentation à cette profondeur ?
Outil Interactif : Diffusion des Contraintes
Modifiez les paramètres de la fondation pour voir leur influence sur la contrainte en profondeur.
Paramètres d'Entrée
Résultats à 5m de profondeur (centre)
Le Saviez-Vous ?
La théorie de Boussinesq a été développée pour un milieu élastique, mais le sol est en réalité un matériau complexe (plastique, hétérogène). Pourtant, ses résultats donnent des estimations étonnamment bonnes pour les tassements et restent la base de nombreuses méthodes de calcul modernes. Cela montre la puissance d'un modèle physique bien posé, même avec des hypothèses simplificatrices.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si le point n'est pas sous le centre ?
Le principe de superposition est encore plus puissant ! On peut utiliser une combinaison de rectangles (en additionnant ou soustrayant leurs effets) pour recomposer n'importe quelle géométrie et calculer la contrainte en n'importe quel point, même à l'extérieur de l'emprise de la fondation.
Et si la charge n'est pas uniforme ?
Pour des charges non uniformes (triangulaires, par exemple), il existe d'autres abaques et d'autres formules d'intégration. En pratique, pour des cas complexes, les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul par éléments finis qui découpent la charge en une multitude de petites charges ponctuelles et somment leurs effets.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la largeur (B) et la longueur (L) de la fondation, la contrainte induite \(\Delta\sigma_{\text{z}}\) à une même profondeur z sous le centre va...
2. À une très grande profondeur (ex: z = 10 fois la largeur B), la contrainte induite par la fondation devient...
- Contrainte Effective (\(\sigma'\))
- La contrainte supportée par le squelette solide du sol, responsable de sa résistance et de ses déformations. C'est la contrainte totale moins la pression de l'eau.
- Superposition
- Principe permettant d'additionner les effets de plusieurs charges dans un milieu élastique. En géotechnique, on l'utilise pour calculer les contraintes induites par des fondations de formes complexes.
- Abaque de Fadum
- Graphique donnant le facteur d'influence \(I\) pour le calcul de la contrainte sous le coin d'une surface rectangulaire chargée, en fonction des rapports m=B/z et n=L/z.
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