Contrainte induite dans le sol

Comprendre le calcul de la Contrainte induite dans le sol

Une entreprise de construction envisage de construire un immeuble de bureaux. Pour évaluer la capacité portante du sol, elle doit calculer la contrainte induite à une certaine profondeur due au poids de l’immeuble.

Données

Poids de l’immeuble (\(P\)) : 5000 \(\text{kN}\)
Dimensions de la fondation (L x B) : \(20 \, \text{m} \times 15 \, \text{m}\)
Profondeur de calcul (\(Z\)) : 10 \(\text{m}\)
Densité du sol (\(\rho\)) : 1800 \(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la gravité (\(g\)) : 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Schéma de la Situation

Objectif

Calculer la contrainte verticale induite (\(\sigma_z\)) à une profondeur \(Z = 10 \, \text{m}\) en dessous du centre de la fondation, ainsi que la contrainte totale à cette profondeur.

Questions

Calculer la pression appliquée par l’immeuble (\(q\)).
Calculer la contrainte verticale induite (\(\sigma_z\)) à la profondeur \(Z\) sous le centre de la fondation (en utilisant la méthode de Boussinesq pour une aire rectangulaire).
Calculer la contrainte verticale initiale due au poids propre du sol (\(\sigma_{v0}\)) à la profondeur \(Z\).
Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_{v,total}\)) à la profondeur \(Z\).

Note : La question 2 initiale ("Calcul du Rayon de la Zone d’Influence") n'est pas directement applicable aux méthodes standards (Boussinesq, Westergaard) pour les fondations rectangulaires et a été remplacée par le calcul direct de \(\sigma_z\).

Correction : Contrainte induite dans le sol

Étape 1 : Calcul de la Pression Appliquée par l’Immeuble (\(q\))

Objectif :

Calculer la pression moyenne exercée par le poids total de l'immeuble sur la surface de la fondation.

Formule :

q = \frac{P}{A} = \frac{P}{L \times B}

Données :

Poids de l’immeuble \(P = 5000 \, \text{kN}\)
Longueur de la fondation \(L = 20 \, \text{m}\)
Largeur de la fondation \(B = 15 \, \text{m}\)

Calcul de la Pression Appliquée :

A = 20 \, \text{m} \times 15 \, \text{m} = 300 \, \text{m}^2 \] \[ q = \frac{5000 \, \text{kN}}{300 \, \text{m}^2} \] \[ q \approx 16.67 \, \text{kN/m}^2 = 16.67 \, \text{kPa}

Résultat Étape 1 :

La pression appliquée par la fondation sur le sol est \(q \approx 16.67 \, \text{kPa}\).

Étape 2 : Calcul de la Contrainte Verticale Induite (\(\sigma_z\))

Objectif :

Calculer l'augmentation de contrainte verticale dans le sol à la profondeur \(Z\) sous le centre de la fondation, due à la pression \(q\) appliquée en surface. Nous utiliserons la solution de Boussinesq pour une aire rectangulaire chargée uniformément.

Méthode de Boussinesq (Centre d'une aire rectangulaire) :

La contrainte sous le centre est égale à 4 fois la contrainte sous le coin d'un rectangle de dimensions (L/2) x (B/2).

\sigma_z = q \times I

Où \(I\) est le facteur d'influence pour le centre, qui peut être obtenu à partir de \(I = 4 \times I_{corner}\). \(I_{corner}\) dépend des rapports \(m' = (B/2)/Z\) et \(n' = (L/2)/Z\).

La formule exacte pour \(I_{corner}\) est complexe. On utilise souvent des abaques ou des calculateurs. La formule est :

I_{corner}(m', n') = \frac{1}{4\pi} \left[ \frac{2m'n'\sqrt{m'^2+n'^2+1}}{m'^2+n'^2+m'^2n'^2+1} \left( \frac{m'^2+n'^2+2}{m'^2+n'^2+1} \right) + \arctan\left( \frac{2m'n'\sqrt{m'^2+n'^2+1}}{m'^2+n'^2-m'^2n'^2+1} \right) \right]

Note : Si le dénominateur de l'arctan est négatif, ajouter \(\pi\) à l'arctan.

Calcul des paramètres \(m'\) et \(n'\) :

\(L = 20 \, \text{m} \implies L/2 = 10 \, \text{m}\)
\(B = 15 \, \text{m} \implies B/2 = 7.5 \, \text{m}\)
\(Z = 10 \, \text{m}\)

m' = \frac{B/2}{Z} = \frac{7.5 \, \text{m}}{10 \, \text{m}} = 0.75 \] \[ n' = \frac{L/2}{Z} = \frac{10 \, \text{m}}{10 \, \text{m}} = 1.0

Calcul du Facteur d'Influence (\(I\)) :

Calculons les termes nécessaires pour \(I_{corner}\) avec \(m'=0.75\) et \(n'=1.0\).

m'^2 = 0.75^2 = 0.5625 \] \[ n'^2 = 1.0^2 = 1.0 \] \[ m'^2+n'^2+1 = 0.5625 + 1.0 + 1 = 2.5625 \] \[ \sqrt{m'^2+n'^2+1} = \sqrt{2.5625} \approx 1.6008 \] \[ m'^2+n'^2+m'^2n'^2+1 = 0.5625 + 1.0 + (0.5625 \times 1.0) + 1 = 3.125 \] \[ m'^2+n'^2+2 = 0.5625 + 1.0 + 2 = 3.5625 \] \[ m'^2+n'^2-m'^2n'^2+1 = 0.5625 + 1.0 - (0.5625 \times 1.0) + 1 = 2.0 \] \[ 2m'n' = 2 \times 0.75 \times 1.0 = 1.5

\text{Terme 1} = \frac{2m'n'\sqrt{m'^2+n'^2+1}}{m'^2+n'^2+m'^2n'^2+1} = \frac{1.5 \times 1.6008}{3.125} \approx 0.7684 \] \[ \text{Terme 2} = \frac{m'^2+n'^2+2}{m'^2+n'^2+1} = \frac{3.5625}{2.5625} \approx 1.3901 \] \[ \text{Terme 3 (arg de arctan)} = \frac{2m'n'\sqrt{m'^2+n'^2+1}}{m'^2+n'^2-m'^2n'^2+1} = \frac{1.5 \times 1.6008}{2.0} \approx 1.2006

\arctan(1.2006) \approx 0.8764 \, \text{radians}

I_{corner} = \frac{1}{4\pi} [ (\text{Terme 1} \times \text{Terme 2}) + \arctan(\text{Terme 3}) ] \] \[ I_{corner} = \frac{1}{4\pi} [ (0.7684 \times 1.3901) + 0.8764 ] \] \[ I_{corner} \approx \frac{1}{12.566} [ 1.0682 + 0.8764 ] = \frac{1.9446}{12.566} \approx 0.1547

I = 4 \times I_{corner} = 4 \times 0.1547 \] \[ I \approx 0.6188

Calcul de la Contrainte Induite (\(\sigma_z\)) :

\(q \approx 16.67 \, \text{kPa}\)
\(I \approx 0.6188\)

\sigma_z = q \times I \] \[ \sigma_z = 16.67 \, \text{kPa} \times 0.6188 \] \[ \sigma_z \approx 10.32 \, \text{kPa}

Résultat Étape 2 :

La contrainte verticale induite par la fondation à 10m de profondeur sous son centre est \(\sigma_z \approx 10.32 \, \text{kPa}\).

Étape 3 : Calcul de la Contrainte Verticale Initiale (\(\sigma_{v0}\))

Objectif :

Calculer la contrainte verticale existant dans le sol à la profondeur \(Z\) avant la construction de l'immeuble, due uniquement au poids des terres sus-jacentes.

Calcul du Poids Volumique du Sol (\(\gamma\)) :

Densité du sol \(\rho = 1800 \, \text{kg/m}^3\)
Gravité \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

\gamma = \rho \times g \] \[ \gamma = 1800 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \] \[ \gamma = 17658 \, \text{N/m}^3 = 17.66 \, \text{kN/m}^3

Formule :

\sigma_{v0} = \gamma \times Z

Données :

\(\gamma \approx 17.66 \, \text{kN/m}^3\)
\(Z = 10 \, \text{m}\)

Calcul de la Contrainte Initiale :

\sigma_{v0} = 17.66 \, \text{kN/m}^3 \times 10 \, \text{m} \] \[ \sigma_{v0} = 176.6 \, \text{kN/m}^2 = 176.6 \, \text{kPa}

Résultat Étape 3 :

La contrainte verticale initiale due au poids propre du sol à 10m de profondeur est \(\sigma_{v0} \approx 176.6 \, \text{kPa}\).

Étape 4 : Calcul de la Contrainte Verticale Totale (\(\sigma_{v,total}\))

Objectif :

Calculer la contrainte verticale totale dans le sol à la profondeur \(Z\) après la construction de l'immeuble. C'est la somme de la contrainte initiale et de la contrainte induite par la charge de la fondation.

Formule :

\sigma_{v,total} = \sigma_{v0} + \sigma_z

Données :

\(\sigma_{v0} \approx 176.6 \, \text{kPa}\)
\(\sigma_z \approx 10.3 \, \text{kPa}\) (valeur arrondie pour le calcul final)

Calcul de la Contrainte Totale :

\sigma_{v,total} = 176.6 \, \text{kPa} + 10.3 \, \text{kPa} \] \[ \sigma_{v,total} = 186.9 \, \text{kPa}

Résultat Final :

La contrainte verticale totale estimée à 10 mètres de profondeur sous le centre de la fondation est \(\sigma_{v,total} \approx 186.9 \, \text{kPa}\).

Contrainte induite dans le sol