Études de cas pratique

EGC

Compression rapide et adiabatique de l’argon

Compression Rapide et Adiabatique de l’Argon

Compression Rapide et Adiabatique de l’Argon

Comprendre la Compression Adiabatique des Gaz Parfaits

Une compression adiabatique est un processus thermodynamique au cours duquel un gaz est comprimé sans échange de chaleur avec son environnement (\(Q=0\)). Si cette compression est également réversible (isentropique), elle suit des lois spécifiques reliant la pression, le volume et la température du gaz. Ce type de transformation est important dans de nombreux dispositifs, comme les compresseurs ou les moteurs à combustion interne. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'une telle compression pour l'argon, considéré comme un gaz parfait monoatomique.

Données de l'étude

Une mole d'argon (gaz parfait monoatomique) est contenue dans un cylindre muni d'un piston. Le gaz subit une compression rapide, considérée comme adiabatique et réversible.

Conditions initiales et paramètres du gaz :

Paramètre Valeur Symbole
Quantité de matière 1 \(\text{mol}\) \(n\)
Température initiale 25 °C \(T_1\)
Pression initiale 1 \(\text{bar}\) \(P_1\)
Rapport de compression volumique (\(V_1/V_2\)) 5 \(r_v\)
Indice adiabatique pour l'argon (monoatomique) \(5/3 \approx 1.667\) \(\gamma\)
Constante des gaz parfaits 8.314 \(\text{J/(mol} \cdot \text{K)}\) \(R\)

Hypothèses : L'argon se comporte comme un gaz parfait. La compression est adiabatique et réversible. 1 bar = \(10^5\) Pa.

Schéma : Compression adiabatique d'un gaz
État Initial (P1, V1, T1) V1 État Final (P2, V2, T2) Force V2

Schéma d'une compression adiabatique d'un gaz dans un cylindre-piston isolé.

Questions à traiter

  1. Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvin (K) et la pression initiale \(P_1\) en Pascals (Pa).
  2. Calculer le volume initial (\(V_1\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  3. Calculer le volume final (\(V_2\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  4. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz après la compression.
  5. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz après la compression.
  6. Calculer le travail (\(W\)) effectué sur le gaz pendant cette compression adiabatique.
  7. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.

Correction : Compression Rapide et Adiabatique de l’Argon

Question 1 : Conversion des unités initiales

Principe :

La température doit être en Kelvin (\(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\)) et la pression en Pascals (\(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)).

Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(25 \, °\text{C}\)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(1 \, \text{bar}\)
Calculs :

Température initiale en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_1 (\text{K}) &= 25 + 273.15 \\ &= 298.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Pression initiale en Pascals :

\[ \begin{aligned} P_1 (\text{Pa}) &= 1 \, \text{bar} \times 10^5 \, \text{Pa/bar} \\ &= 100000 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(T_1 = 298.15 \, \text{K}\) et \(P_1 = 100000 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Calcul du volume initial (\(V_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(P V = n R T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = \frac{n R T_1}{P_1}\]
Données spécifiques :
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(1 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(298.15 \, \text{K}\)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(100000 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 298.15 \, \text{K}}{100000 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{2478.9671 \, \text{J}}{100000 \, \text{N/m}^2} \\ &\approx 0.02479 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume initial est \(V_1 \approx 0.02479 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Calcul du volume final (\(V_2\))

Principe :

Le volume final est \(1/5\) du volume initial, selon le rapport de compression volumique donné.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_2 = \frac{V_1}{r_v} = \frac{V_1}{5}\]
Données spécifiques :
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(\approx 0.02479 \, \text{m}^3\)
  • Rapport de compression volumique (\(r_v\)) : 5
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{0.02479 \, \text{m}^3}{5} \\ &\approx 0.004958 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le volume final est \(V_2 \approx 0.004958 \, \text{m}^3\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\)) après compression adiabatique

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la relation entre température et volume est \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\), donc \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 (r_v)^{\gamma-1}\]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(298.15 \, \text{K}\)
  • Rapport de compression volumique (\(r_v = V_1/V_2\)) : 5
  • Indice adiabatique (\(\gamma\)) : \(5/3 \approx 1.6667\)
Calcul :

Exposant \(\gamma-1 = (5/3) - 1 = 2/3 \approx 0.6667\)

\[ \begin{aligned} T_2 &= 298.15 \, \text{K} \times (5)^{2/3} \\ &\approx 298.15 \, \text{K} \times (5)^{0.666667} \\ &\approx 298.15 \, \text{K} \times 2.9240 \\ &\approx 871.81 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La température finale est \(T_2 \approx 871.8 \, \text{K}\) (soit environ 598.7 °C).

Question 5 : Pression finale (\(P_2\)) après compression

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, \(P V^{\gamma} = \text{constante}\), donc \(P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}\). Alternativement, on peut utiliser l'équation d'état des gaz parfaits avec \(T_2\) et \(V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma} = P_1 (r_v)^{\gamma}\]
Données spécifiques :
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(100000 \, \text{Pa}\)
  • Rapport de compression volumique (\(r_v\)) : 5
  • Indice adiabatique (\(\gamma\)) : \(5/3 \approx 1.6667\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 100000 \, \text{Pa} \times (5)^{5/3} \\ &\approx 100000 \, \text{Pa} \times (5)^{1.666667} \\ &\approx 100000 \, \text{Pa} \times 14.6201 \\ &\approx 1462010 \, \text{Pa} \\ &\approx 1462 \, \text{kPa} \quad (\text{ou } \approx 14.62 \, \text{bar}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La pression finale est \(P_2 \approx 1462 \, \text{kPa}\).

Question 6 : Travail (\(W\)) effectué sur le gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, le travail effectué SUR le gaz est donné par \(W = (P_2 V_2 - P_1 V_1) / (1-\gamma)\) ou \(W = n C_v (T_2 - T_1)\). Puisque \(C_v = R/(\gamma-1)\) pour un gaz parfait.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = \frac{n R (T_2 - T_1)}{1 - \gamma}\]
Données spécifiques :
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 298.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 871.81 \, \text{K}\)
  • \(\gamma = 5/3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \times (871.81 \, \text{K} - 298.15 \, \text{K})}{1 - 5/3} \\ &= \frac{8.314 \times 573.66}{-2/3} \\ &= \frac{4768.95}{-0.666667} \\ &\approx -7153.4 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le travail est reçu par le gaz (travail de compression).

Résultat Question 6 : Le travail effectué sur le gaz est \(W \approx -7153 \, \text{J}\) (ou \(-7.15 \, \text{kJ}\)).

Question 7 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un processus adiabatique, \(Q=0\). D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W = W\). Alternativement, pour un gaz parfait, \(\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)\), avec \(C_v = R/(\gamma-1)\) pour un gaz parfait.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = W \quad (\text{car } Q=0)\]

Ou : \[\Delta U = n \frac{R}{\gamma-1} (T_2 - T_1)\]

Données spécifiques :
  • \(W \approx -7153.4 \, \text{J}\)
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\gamma = 5/3\)
  • \(T_1 = 298.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 871.81 \, \text{K}\)
Calcul (avec \(W\)) :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= W \\ &\approx -(-7153.4 \, \text{J}) \quad \text{si W est le travail fourni au gaz} \\ &= 7153.4 \, \text{J} \end{aligned} \]

Si \(W\) est le travail reçu par le système (comme calculé avec la formule \(W = \frac{n R (T_2 - T_1)}{1 - \gamma}\)), alors \(\Delta U = W\). Si on utilise la convention où \(W\) est le travail fait PAR le système, alors \(W_{\text{par le système}} = -W_{\text{reçu}}\) et \(\Delta U = Q - W_{\text{par le système}} = 0 - (-W_{\text{reçu}}) = W_{\text{reçu}}\). Le travail calculé à la question 6 est le travail reçu par le gaz (car \(1-\gamma\) est négatif et \(T_2 > T_1\)). Donc \(\Delta U\) est positif. \(\Delta U = 7153.4 \, \text{J}\)

Résultat Question 7 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx 7153 \, \text{J}\) (ou \(7.15 \, \text{kJ}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait, l'entropie du gaz :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible, quelle relation est correcte ?

2. L'indice adiabatique \(\gamma\) pour un gaz parfait monoatomique (comme l'argon) est :

3. Lors d'une compression adiabatique d'un gaz parfait, le travail est effectué SUR le gaz. Par conséquent, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz est :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules sont supposées ponctuelles et sans interactions mutuelles à distance (sauf lors des collisions). Son comportement est décrit par l'équation d'état \(PV=nRT\).
Processus Adiabatique
Transformation thermodynamique au cours de laquelle il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q=0\)) entre le système et son environnement.
Processus Réversible
Transformation thermodynamique idéale qui peut être inversée en ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de changement net. Un processus adiabatique réversible est également isentropique (variation d'entropie nulle pour le système).
Indice Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)). \(\gamma = C_p/C_v\). Pour un gaz parfait monoatomique, \(\gamma = 5/3\). Pour un gaz parfait diatomique, \(\gamma = 7/5 = 1.4\).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température (\(\Delta U = n C_v \Delta T\)).
Travail de Compression/Expansion (\(W\))
Travail associé à la variation de volume d'un système sous l'effet d'une pression extérieure. Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, \(W = (P_2V_2 - P_1V_1)/(1-\gamma)\) (travail reçu par le système).
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie : \(\Delta U = Q + W\), où \(W\) est le travail reçu par le système et \(Q\) la chaleur reçue par le système.
Compression Adiabatique de l’Argon - Application

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