Études de cas pratique

EGC

Comportement d’un Matériau sous Charge

Comportement d’un Matériau sous Charge (Essai de Traction)

Comportement d’un Matériau sous Charge (Essai de Traction)

Comprendre le Comportement des Matériaux sous Charge

L'essai de traction est un test fondamental en ingénierie des matériaux qui permet de caractériser le comportement mécanique d'un matériau lorsqu'il est soumis à un effort d'étirement progressif. Les résultats de cet essai sont généralement présentés sous la forme d'une courbe contrainte-déformation (\(\sigma-\epsilon\)), qui révèle des propriétés clés telles que le module d'élasticité, la limite d'élasticité, la résistance à la traction maximale et la ductilité. Ces informations sont cruciales pour le choix des matériaux et le dimensionnement des structures.

Données de l'étude

Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette d'un acier doux. L'éprouvette avait une section transversale initiale \(A_0 = 100 \, \text{mm}^2\) et une longueur entre repères initiale \(L_0 = 50 \, \text{mm}\). Les données de force (\(N\)) et d'allongement (\(\Delta L\)) suivantes ont été enregistrées dans la phase initiale de l'essai :

Force N (kN) Allongement \(\Delta L\) (mm)
00
50.012
100.024
150.036
200.048
220.053
240.070

Par la suite, l'essai a montré les points caractéristiques suivants :

  • Charge à la limite d'élasticité apparente (palier) : \(N_e = 23.5 \, \text{kN}\)
  • Charge maximale atteinte : \(N_{max} = 38 \, \text{kN}\)
  • Allongement à la rupture : \(\Delta L_{rupture} = 12.5 \, \text{mm}\)

Objectif : À partir des données de l'essai, déterminer plusieurs caractéristiques mécaniques du matériau.

Schéma : Courbe Contrainte-Déformation Typique (Illustrative)
\(\epsilon\) \(\sigma\) 0 \(\sigma_e\) \(\sigma_{UTS}\) Rupture \(\epsilon_f\) Dom. Élastique Dom. Plastique

Courbe contrainte-déformation schématique montrant les domaines élastique et plastique.

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\epsilon\)) pour les points de la phase initiale de l'essai.
  2. À partir des données calculées, estimer le module d'élasticité (Module d'Young, \(E\)) de l'acier.
  3. Déterminer la limite d'élasticité apparente (\(\sigma_e\)) du matériau.
  4. Calculer la résistance à la traction maximale (\(\sigma_{UTS}\)).
  5. Calculer l'allongement à la rupture en pourcentage (\(A\%\)).

Correction : Analyse du Comportement du Matériau

Question 1 : Calcul de la Contrainte (\(\sigma\)) et de la Déformation (\(\epsilon\))

Principe :

La contrainte normale est \(\sigma = N/A_0\) et la déformation axiale est \(\epsilon = \Delta L / L_0\).

Données spécifiques :
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(100 \, \text{mm}^2\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calculs :

Tableau des contraintes et déformations :

Force N (kN) N (N) \(\Delta L\) (mm) Contrainte \(\sigma = N/A_0\) (MPa) Déformation \(\epsilon = \Delta L/L_0\)
00000
550000.012\(5000/100 = 50\)\(0.012/50 = 0.00024\)
10100000.024\(10000/100 = 100\)\(0.024/50 = 0.00048\)
15150000.036\(15000/100 = 150\)\(0.036/50 = 0.00072\)
20200000.048\(20000/100 = 200\)\(0.048/50 = 0.00096\)
22220000.053\(22000/100 = 220\)\(0.053/50 = 0.00106\)
24240000.070\(24000/100 = 240\)\(0.070/50 = 0.00140\)
Résultat Question 1 : Les valeurs de contrainte et de déformation sont calculées dans le tableau ci-dessus.

Question 2 : Module d'Élasticité (\(E\))

Principe :

Le module d'élasticité \(E\) est la pente de la partie linéaire de la courbe contrainte-déformation (\(E = \sigma / \epsilon\)). On utilise les points de la zone élastique (par exemple, les 4 ou 5 premiers points non nuls).

Calcul :

Utilisons le point (N=20kN, \(\sigma=200\) MPa, \(\epsilon=0.00096\)) qui semble bien dans la zone linéaire :

\[ \begin{aligned} E &= \frac{\sigma}{\epsilon} \\ &= \frac{200 \, \text{MPa}}{0.00096} \\ &\approx 208333.33 \, \text{MPa} \\ &\approx 208.3 \, \text{GPa} \end{aligned} \]

On peut aussi prendre la moyenne des pentes ou faire une régression linéaire pour plus de précision. Par exemple, avec le point (100 MPa, 0.00048) : \(E = 100 / 0.00048 \approx 208333.33 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 2 : Le module d'élasticité estimé est \(E \approx 208 \, \text{GPa}\).

Question 3 : Limite d'Élasticité Apparente (\(\sigma_e\))

Principe :

La limite d'élasticité apparente (\(\sigma_e\)) est la contrainte correspondant à la charge \(N_e\) où le matériau commence à se déformer plastiquement de manière significative (souvent marquée par un palier ou un changement net de pente).

Données spécifiques :
  • Charge à la limite d'élasticité (\(N_e\)) : \(23.5 \, \text{kN} = 23500 \, \text{N}\)
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(100 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_e &= \frac{N_e}{A_0} \\ &= \frac{23500 \, \text{N}}{100 \, \text{mm}^2} \\ &= 235 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Le point à N=24kN (\(\sigma=240\) MPa) montre déjà une déformation plastique plus importante, confirmant que la limite d'élasticité est autour de cette valeur.

Résultat Question 3 : La limite d'élasticité apparente est \(\sigma_e = 235 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Résistance à la Traction Maximale (\(\sigma_{UTS}\))

Principe :

La résistance à la traction maximale (Ultimate Tensile Strength, UTS) est la contrainte maximale que le matériau peut supporter avant le début de la striction. Elle est calculée avec la charge maximale \(N_{max}\) et l'aire initiale \(A_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{UTS} = \frac{N_{max}}{A_0}\]
Données spécifiques :
  • Charge maximale (\(N_{max}\)) : \(38 \, \text{kN} = 38000 \, \text{N}\)
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(100 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{UTS} &= \frac{38000 \, \text{N}}{100 \, \text{mm}^2} \\ &= 380 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance à la traction maximale est \(\sigma_{UTS} = 380 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Allongement à la Rupture en Pourcentage (\(A\%\))

Principe :

L'allongement à la rupture (\(A\%\)) est une mesure de la ductilité du matériau. Il est calculé comme le rapport de l'allongement total à la rupture (\(\Delta L_{rupture}\)) à la longueur initiale (\(L_0\)), exprimé en pourcentage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A\% = \frac{\Delta L_{rupture}}{L_0} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Allongement à la rupture (\(\Delta L_{rupture}\)) : \(12.5 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A\% &= \frac{12.5 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} \times 100\% \\ &= 0.25 \times 100\% \\ &= 25\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'allongement à la rupture est \(A\% = 25\%\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un matériau avec un grand allongement à la rupture est considéré comme :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La pente de la partie linéaire initiale d'une courbe contrainte-déformation représente :

7. La limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) est la contrainte :

8. La ductilité d'un matériau est souvent caractérisée par :

Glossaire

Essai de Traction
Test mécanique normalisé consistant à appliquer un effort d'étirement progressif à une éprouvette d'un matériau pour déterminer ses propriétés mécaniques.
Courbe Contrainte-Déformation (\(\sigma-\epsilon\))
Graphique représentant la relation entre la contrainte appliquée à un matériau et la déformation résultante.
Module d'Élasticité (Module d'Young, \(E\))
Pente de la partie linéaire initiale de la courbe \(\sigma-\epsilon\), représentant la rigidité du matériau.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_e\) ou \(f_y\))
Contrainte à partir de laquelle le matériau commence à subir des déformations plastiques (permanentes).
Résistance à la Traction Maximale (\(\sigma_{UTS}\))
Contrainte maximale que le matériau peut supporter sur sa section initiale avant le début du phénomène de striction (réduction localisée de la section).
Allongement à la Rupture (\(A\%\))
Mesure de la ductilité d'un matériau, représentant l'allongement total de l'éprouvette au moment de la rupture, exprimé en pourcentage de sa longueur initiale.
Ductilité
Capacité d'un matériau à subir des déformations plastiques importantes avant de se rompre.
Fragilité
Tendance d'un matériau à se rompre avec peu ou pas de déformation plastique.
Comportement d’un Matériau sous Charge - Exercice d'Application

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