Charge Thermique d’un Mur Exposé au Sud

Comprendre la Charge Thermique d’un Mur Exposé au Sud

Vous êtes un ingénieur thermique chargé d’évaluer l’efficacité énergétique des matériaux utilisés dans la construction d’un nouveau bâtiment scolaire situé dans une région au climat tempéré. Le bâtiment utilise des murs en béton avec un revêtement extérieur en brique et une isolation en laine de roche. Vous devez déterminer la quantité totale de chaleur absorbée par un mur exposé au sud pendant une journée d’été typique.

Données Fournies:

– Dimensions du mur : 10 m de largeur x 3 m de hauteur.
– Composition du mur :

Brique (épaisseur 0.1 m, conductivité thermique \(k = 0.7 \, \text{W/m}\cdot\text{K}\))
Laine de roche (épaisseur 0.2 m, conductivité thermique \(k = 0.04 \, \text{W/m}\cdot\text{K}\))
Béton (épaisseur 0.2 m, conductivité thermique \(k = 1.7 \, \text{W/m}\cdot\text{K}\))

– Température extérieure moyenne : 35°C
– Température intérieure moyenne : 22°C
– Coefficient de transfert thermique par convection :

Extérieur: \(h_{\text{ext}} = 25 \, \text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
Intérieur: \(h_{\text{int}} = 8 \, \text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

– Irradiance solaire moyenne sur la surface exposée au sud : \(800 \, \text{W/m}^2\)

Question :

1. Calculez la résistance thermique totale du mur.

2. Déterminez le flux de chaleur à travers le mur dû à la différence de température.

3. Évaluez la quantité totale de chaleur absorbée par le mur sur une période de 12 heures, en tenant compte de l’irradiance solaire.

Correction : Charge Thermique d’un Mur Exposé au Sud

1. Calcul de la résistance thermique totale du mur

Pour un mur multicouche soumis à la convection des deux côtés, les résistances thermiques s’additionnent parce qu’elles sont en série : convection extérieure → conduction dans chaque couche → convection intérieure.

Formule

\[ R_\text{tot}= \underbrace{\frac{1}{h_\text{ext}}}_{R_{\text{conv, ext}}} + \sum_{i} \frac{e_i}{k_i} + \underbrace{\frac{1}{h_\text{int}}}_{R_{\text{conv, int}}} \]

Données

\(h_\text{ext}=25\;\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}\) \(h_\text{int}=8\;\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}\)
Brique : \(e=0{,}10\;\text{m};\;k=0{,}7\;\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\)
Laine de roche : \(e=0{,}20\;\text{m};\;k=0{,}04\;\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\)
Béton : \(e=0{,}20\;\text{m};\;k=1{,}7\;\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\)

Calcul

Convection exterieure : \[ R_{\text{conv, ext}} = \frac{1}{25}=0{,}04\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

Pour la brique :\[ R_{\text{brique}} = \frac{0{,}10}{0{,}7}=0{,}142857\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

Pour la laine : \[ R_{\text{laine}} = \frac{0{,}20}{0{,}04}=5{,}00\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

Pour le béton : \[ R_{\text{béton}} = \frac{0{,}20}{1{,}7}=0{,}117647\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

Convection interieure : \[ R_{\text{conv, int}} = \frac{1}{8}=0{,}125\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

Resistance totale : \[ R_\text{tot} = 0{,}04+0{,}142857+5{,}00+0{,}117647+0{,}125 \] \[ R_\text{tot} = 5{,}4255\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1} \]

2. Flux de chaleur à travers le mur dû à la différence de température

Le flux surfacique \(\varphi\) (ou \(q\)) dû à l’écart de température se déduit de la loi de Fourier appliquée à la résistance globale : plus \(R_\text{tot}\) est grand, plus le flux est faible.

Formule

\[ \varphi_\text{cond}=\frac{\Delta T}{R_\text{tot}},\qquad \Delta T = T_\text{ext}-T_\text{int} \]

Données

\(T_\text{ext}=35^{\circ}\text{C}\)
\(T_\text{int}=22^{\circ}\text{C}\)
\(R_\text{tot}=5{,}4255\;\text{m}^{2}\text{·K·W}^{-1}\)

Calcul

\[\Delta T = 35-22 = 13\;\text{K}\] \[ \varphi_\text{cond} = \frac{13}{5{,}4255}=2{,}396\;\text{W·m}^{-2} \]

Flux total (Surface \(30\, \text{m}^2\)) : \[ \dot Q_\text{cond} = 2{,}396\times30=71{,}88\;\text{W} \]

3. Quantité totale de chaleur absorbée sur 12 h (irradiance + conduction)

Pendant 12 h d’ensoleillement constant, le mur :

Absorbe le rayonnement solaire incident (irradiance moyenne \(G\)).
Transfère simultanément, par conduction, une partie de cette chaleur (et celle de l’air chaud) vers l’intérieur.

Sans coefficient d’absorption fourni, on prend \(\alpha=1\) (cas le plus défavorable ; préciser et ajuster si valeur connue).

Formules

\[\begin{aligned} Q_\text{solaire} &= GA t \\ Q_\text{cond} &= \varphi_\text{cond} A t \\ Q_\text{total} &= Q_\text{solaire}+Q_\text{cond} \end{aligned}\]

Données

\(G = 800\;\text{W·m}^{-2}\)
\(A = 10 \times 3 = 30\;\text{m}^{2}\)
\(t = 12\;\text{h} = 12 \times 3600 = 43\,200\;\text{s}\)
\(\varphi_\text{cond}=2{,}396\;\text{W·m}^{-2}\)

Calcul

Chaleur solaire : \[ Q_\text{solaire} = 800 \times 30 \times 43\,200 \] \[ Q_\text{solaire} = 1\,036\,800\,000\;\text{J} \] \[ Q_\text{solaire} = 1\,036{,}8\;\text{MJ} \]

Chaleur par conduction : \[ Q_\text{cond} = 2{,}396 \times 30 \times 43\,200 \] \[ Q_\text{cond} = 3\,105\,333\;\text{J} \] \[ Q_\text{cond} = 3{,}105\;\text{MJ} \]

Chaleur totale : \[ Q_\text{total} = 1\,036{,}8 + 3{,}105 \] \[ Q_\text{total} = 1\,039{,}9\;\text{MJ} \]

Points à retenir pour les étudiants

Résistances en série : additionnez convection + chaque couche.
Unités cohérentes : toujours W·m⁻²·K⁻¹ pour \(h\), W·m⁻¹·K⁻¹ pour \(k\), mètres pour \(e\).
Flux par conduction : loi de Fourier simplifiée \(q = \Delta T / R_\text{tot}\).
Énergie : multipliez le flux (W ou W·m⁻²) par le temps (s) pour obtenir des joules (J), puis convertissez en mégajoules (MJ) pour des valeurs élevées.
Absorptivité : si l’enveloppe n’absorbe que 70 % du rayonnement (\(\alpha = 0{,}7\)), multipliez \(Q_\text{solaire}\) par 0,7 ; le même raisonnement s’applique à tout autre coefficient fourni.