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Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Exercice : Mélange de Gaz Parfaits

Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Contexte : L'analyse des mélanges de gaz parfaitsUn mélange de gaz où chaque composant se comporte comme un gaz parfait, sans interaction chimique entre eux. est un pilier de la thermodynamique.

Cette compétence est essentielle dans de nombreux domaines de l'ingénierie, tels que la conception de moteurs à combustion, le conditionnement d'air (HVAC), et les procédés chimiques. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des propriétés clés d'un mélange gazeux confiné dans un réservoir, en utilisant les lois fondamentales comme la loi de Dalton et l'équation des gaz parfaits.

Remarque Pédagogique : Cet exercice a pour but de vous familiariser avec les concepts de fractions molaires, de pressions partielles et l'application de la loi des gaz parfaits à des systèmes multi-composants. La maîtrise de ces calculs est cruciale pour comprendre le comportement des fluides réels.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les fractions molaires et massiques des constituants d'un mélange.
  • Appliquer la loi de Dalton pour déterminer les pressions partielles.
  • Déterminer la pression totale et la constante spécifique d'un mélange gazeux.

Données de l'étude

Un réservoir rigide de 1.5 m³ contient un mélange de deux gaz, de l'azote (N₂) et de l'oxygène (O₂), à une température uniforme de 25 °C. Les masses de chaque gaz sont connues.

Constantes et Données Initiales
Caractéristique Symbole / Valeur
Volume du réservoir \(V = 1.5 \text{ m}^3\)
Température du mélange \(T = 25 \text{ °C}\)
Constante universelle des gaz parfaits \(R_u = 8.314 \text{ J/(mol·K)}\)
Schéma du Système Étudié
Réservoir Rigide V = 1.5 m³ T = 25 °C N₂ N₂ N₂ O₂ O₂ O₂
Constituant Masse (m) Masse Molaire (M)
Azote (N₂) 2.0 kg 28.013 g/mol
Oxygène (O₂) 1.2 kg 31.999 g/mol

Questions à traiter

  1. Déterminer le nombre de moles de chaque gaz.
  2. Calculer la fraction molaire de chaque constituant.
  3. Calculer la pression partielle de chaque gaz dans le mélange.
  4. En déduire la pression totale du mélange dans le réservoir.
  5. Calculer la constante spécifique du mélange (\(R_m\)).

Les bases sur les Mélanges de Gaz Parfaits

1. Loi des Gaz Parfaits
L'état d'un gaz parfait est décrit par la relation entre sa pression (P), son volume (V), son nombre de moles (n) et sa température (T). \[ PV = n R_u T \] Où \(R_u\) est la constante universelle des gaz parfaits.

2. Loi de Dalton des Pressions Partielles
La pression totale d'un mélange de gaz parfaits est égale à la somme des pressions partielles de ses constituants. La pression partielle d'un gaz (\(P_i\)) est la pression qu'il exercerait s'il occupait seul le volume total du mélange à la même température. \[ P_{\text{totale}} = \sum_{i=1}^{k} P_i \quad \text{et} \quad P_i = y_i P_{\text{totale}} \] Où \(y_i\) est la fraction molaire du constituant \(i\).

Correction : Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Question 1 : Déterminer le nombre de moles de chaque gaz.

Principe

Pour trouver le nombre de moles (\(n\)) de chaque gaz, nous utilisons la relation fondamentale qui lie la masse (\(m\)) d'une substance à sa masse molaire (\(M\)). Cette étape est la base pour déterminer la composition molaire du mélange, qui est essentielle pour les calculs de pression et de fraction.

Mini-Cours

La mole est l'unité de "quantité de matière" du Système International. Une mole contient un nombre fixe de particules (atomes, molécules), connu sous le nom de constante d'Avogadro (\(N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\)). La masse molaire (M) est la masse d'une mole de cette substance. C'est le pont entre le monde macroscopique (la masse en kg) et le monde microscopique (le nombre de particules).

Remarque Pédagogique

Abordez toujours ce type de problème en convertissant d'abord toutes les masses en moles. La mole est l'unité centrale en chimie et en thermodynamique des mélanges car elle est directement proportionnelle au nombre de molécules, ce qui simplifie les relations de pression et de volume.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie spécifique (comme un Eurocode), mais repose sur les définitions fondamentales de la mole et de la masse molaire établies par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA).

Formule(s)

Relation Masse-Moles

\[ n = \frac{m}{M} \]
Hypothèses

Nous supposons que les gaz sont purs et que les masses molaires fournies sont exactes. Aucune réaction chimique ne se produit entre les constituants.

Donnée(s)
ConstituantMasse (m)Masse Molaire (M)
Azote (N₂)2.0 kg28.013 g/mol
Oxygène (O₂)1.2 kg31.999 g/mol
Astuces

Pour éviter les erreurs, effectuez systématiquement une analyse dimensionnelle. Vous devez diviser des kg par des kg/mol pour obtenir des mol. Si vos unités ne s'annulent pas correctement, c'est le signe d'une erreur de conversion.

Schéma (Avant les calculs)
Conversion Masse → Moles
Masse (m)Division parMasse Molaire (M) Moles (n)
Calcul(s)

Conversion de la masse molaire de l'Azote (N₂)

\[ \begin{aligned} M_{\text{N}_2} &= 28.013 \text{ g/mol} \\ & = 0.028013 \text{ kg/mol} \end{aligned} \]

Conversion de la masse molaire de l'Oxygène (O₂)

\[ \begin{aligned} M_{\text{O}_2} &= 31.999 \text{ g/mol} \\ & = 0.031999 \text{ kg/mol} \end{aligned} \]

Calcul du nombre de moles d'Azote (N₂)

\[ \begin{aligned} n_{\text{N}_2} &= \frac{m_{\text{N}_2}}{M_{\text{N}_2}} \\ & = \frac{2.0 \text{ kg}}{0.028013 \text{ kg/mol}} \\ & \approx 71.395 \text{ mol} \end{aligned} \]

Calcul du nombre de moles d'Oxygène (O₂)

\[ \begin{aligned} n_{\text{O}_2} &= \frac{m_{\text{O}_2}}{M_{\text{O}_2}} \\ & = \frac{1.2 \text{ kg}}{0.031999 \text{ kg/mol}} \\ & \approx 37.501 \text{ mol} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Quantités de Matière
N₂71.4 molO₂37.5 mol
Réflexions

Bien que la masse d'azote (2.0 kg) ne soit pas le double de celle de l'oxygène (1.2 kg), le nombre de moles d'azote est presque deux fois plus élevé. Cela est dû à la masse molaire de N₂ qui est plus faible que celle de O₂. Ce résultat aura un impact direct sur la pression partielle de chaque gaz.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est l'incohérence des unités. La masse est en kilogrammes (kg) et la masse molaire est en grammes par mole (g/mol). Il est impératif de convertir l'une des deux pour que les unités soient cohérentes (kg et kg/mol, ou g et g/mol) avant le calcul.

Points à retenir

  • La mole est le lien entre la masse et le nombre de particules.
  • La formule \(n = m / M\) est fondamentale.
  • La cohérence des unités (masse et masse molaire) est non négociable.

Le saviez-vous ?

Le concept de mole a été introduit par le chimiste Wilhelm Ostwald en 1894. Le terme vient du mot allemand "Molekül" (molécule). Il a fallu attendre 1971 pour que la mole devienne la septième unité de base du Système International d'unités !

FAQ
Pourquoi ne pas travailler directement avec les masses ?

Les lois des gaz (comme la loi des gaz parfaits) relient la pression et le volume au *nombre de particules*, pas directement à leur masse. Deux gaz de masses différentes peuvent avoir le même nombre de particules. La mole est la meilleure unité pour compter ces particules.

Résultat Final
Le mélange contient environ 71.40 moles d'azote (N₂) et 37.50 moles d'oxygène (O₂).
A vous de jouer

Si on avait 3 kg d'Hélium (M = 4 g/mol), combien de moles cela représenterait-il ?

Question 2 : Calculer la fraction molaire de chaque constituant.

Principe

La fraction molaireLe rapport entre le nombre de moles d'un constituant et le nombre total de moles dans le mélange. C'est une mesure de la concentration. (\(y_i\)) représente la proportion de chaque gaz dans le mélange en termes de quantité de matière. C'est une mesure de concentration qui indique "quelle fraction du nombre total de molécules appartient à chaque espèce".

Mini-Cours

La fraction molaire est une grandeur intensive et sans dimension, allant de 0 à 1. Dans un mélange, la somme de toutes les fractions molaires est toujours égale à 1 (\(\sum y_i = 1\)). C'est un concept clé car la loi de Dalton stipule que la pression partielle d'un gaz est directement proportionnelle à sa fraction molaire (\(P_i = y_i P_{\text{totale}}\)).

Remarque Pédagogique

Conceptualisez le mélange comme un "gâteau" où chaque part représente un constituant. La fraction molaire est la taille de la part de chaque constituant par rapport à la taille totale du gâteau. Calculer le total des moles en premier est une étape intermédiaire logique et nécessaire.

Normes

La définition et la notation (\(y_i\)) de la fraction molaire sont standardisées par l'UICPA. Il n'y a pas de norme de calcul à proprement parler, mais l'application de sa définition mathématique est universelle.

Formule(s)

Définition de la Fraction Molaire

\[ y_i = \frac{n_i}{n_{\text{total}}} \quad \text{avec} \quad n_{\text{total}} = \sum n_i \]
Hypothèses

Nous supposons que les gaz forment un mélange homogène, c'est-à-dire que la composition est la même en tout point du réservoir. Cette hypothèse est valide pour les gaz qui ne réagissent pas entre eux.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la question 1 :

ConstituantNombre de moles (n)
Azote (N₂)\( \approx 71.395 \text{ mol}\)
Oxygène (O₂)\( \approx 37.501 \text{ mol}\)
Astuces

Pour vérifier vos calculs, la somme des fractions molaires de tous les constituants d'un mélange doit toujours être égale à 1. Si la somme est légèrement différente (ex: 0.9999 ou 1.0001), c'est dû aux arrondis, ce qui est acceptable. Si elle est très différente, il y a une erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de la Fraction Molaire
n (N₂)n (O₂)+n (Total)=
Calcul(s)

Calcul du nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\))

\[ \begin{aligned} n_{\text{total}} &= n_{\text{N}_2} + n_{\text{O}_2} \\ & = 71.395 + 37.501 \\ & = 108.896 \text{ mol} \end{aligned} \]

Calcul de la fraction molaire de l'Azote (\(y_{\text{N}_2}\))

\[ \begin{aligned} y_{\text{N}_2} &= \frac{n_{\text{N}_2}}{n_{\text{total}}} \\ & = \frac{71.395}{108.896} \\ & \approx 0.6556 \end{aligned} \]

Calcul de la fraction molaire de l'Oxygène (\(y_{\text{O}_2}\))

\[ \begin{aligned} y_{\text{O}_2} &= \frac{n_{\text{O}_2}}{n_{\text{total}}} \\ & = \frac{37.501}{108.896} \\ & \approx 0.3444 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composition Molaire du Mélange
Réflexions

Le résultat montre que le mélange est composé d'environ deux tiers d'azote et un tiers d'oxygène en termes de nombre de molécules. Cette composition est différente de la composition massique (2 kg de N₂ pour 1.2 kg de O₂, soit 62.5% / 37.5% en masse). C'est la composition molaire, et non massique, qui dictera les pressions relatives.

Points de vigilance

Ne confondez pas la fraction molaire (\(y_i = n_i / n_{\text{total}}\)) et la fraction massique (\(w_i = m_i / m_{\text{total}}\)). Elles sont différentes sauf si tous les constituants ont la même masse molaire, ce qui est très rare. Pour les lois des gaz, utilisez toujours la fraction molaire.

Points à retenir

  • La fraction molaire est le rapport des moles d'un composant sur les moles totales.
  • C'est une mesure de concentration essentielle en thermodynamique.
  • La somme de toutes les fractions molaires dans un mélange est égale à 1.

Le saviez-vous ?

John Dalton, en plus de sa théorie atomique, a formulé la loi des pressions partielles en 1801. Il a étudié des mélanges d'air et de vapeur d'eau, réalisant que chaque gaz contribuait à la pression totale indépendamment des autres, comme s'ils n'étaient pas conscients de la présence des autres molécules.

FAQ
Quelle est la différence entre fraction molaire et concentration molaire (molarité) ?

La fraction molaire est un rapport sans dimension (mol/mol). La concentration molaire, ou molarité, est une quantité de matière par unité de volume (mol/L). La molarité dépend de la température et de la pression (car le volume change), tandis que la fraction molaire n'en dépend pas.

Résultat Final
Les fractions molaires sont d'environ \(y_{\text{N}_2} = 0.6556\) (65.56 %) pour l'azote et \(y_{\text{O}_2} = 0.3444\) (34.44 %) pour l'oxygène.
A vous de jouer

Un mélange contient 2 moles de A et 8 moles de B. Quelle est la fraction molaire de A ?

Question 3 : Calculer la pression partielle de chaque gaz.

Principe

La pression partielle d'un gaz dans le mélange est la pression qu'il exercerait s'il était seul dans le volume total à la même température. On la calcule directement avec la loi des gaz parfaits pour chaque constituant, en ignorant les autres gaz présents.

Mini-Cours

La loi des gaz parfaits, \(PV = nR_uT\), est l'outil central ici. En l'appliquant à un seul constituant (i) du mélange, elle devient \(P_iV = n_iR_uT\). Le volume V et la température T sont les mêmes pour tous les constituants du mélange. Ainsi, la pression partielle \(P_i\) est directement proportionnelle au nombre de moles \(n_i\) de ce constituant.

Remarque Pédagogique

Visualisez que chaque gaz se "déploie" pour occuper tout l'espace disponible dans le réservoir. La pression qu'il génère seul est sa contribution individuelle à la pression totale. C'est une étape de "diviser pour régner" avant de tout réassembler dans la question suivante.

Normes

L'utilisation de la loi des gaz parfaits et de la constante \(R_u\) est une convention universelle en physique et en chimie, standardisée par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Formule(s)

Loi des Gaz Parfaits pour un Constituant

\[ P_i = \frac{n_i R_u T}{V} \]
Hypothèses

L'hypothèse principale est que chaque gaz se comporte comme un gaz parfait. De plus, nous considérons que la température de 25°C est uniforme dans tout le volume de 1.5 m³.

Donnée(s)
ParamètreValeur
Nombre de moles N₂ (\(n_{\text{N}_2}\))\( \approx 71.395 \text{ mol}\)
Nombre de moles O₂ (\(n_{\text{O}_2}\))\( \approx 37.501 \text{ mol}\)
Volume (V)\(1.5 \text{ m}^3\)
Température (T)\(25 \text{ °C}\)
Constante Univ. (\(R_u\))\(8.314 \text{ J/(mol·K)}\)
Astuces

Le groupe de termes \((R_u T / V)\) est constant pour tous les calculs de pression partielle dans ce problème. Calculez-le une seule fois, puis multipliez-le par \(n_i\) pour chaque gaz. Cela minimise les erreurs de calcul et accélère le processus.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de Pression Partielle
Pression (N₂)Azote seulPression (O₂)Oxygène seulPression TotaleMélange
Calcul(s)

Conversion de la température en Kelvin

\[ \begin{aligned} T &= 25 \text{ °C} + 273.15 \\ & = 298.15 \text{ K} \end{aligned} \]

Calcul de la pression partielle de l'Azote (\(P_{\text{N}_2}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{N}_2} &= \frac{n_{\text{N}_2} R_u T}{V} \\ & = \frac{71.395 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 298.15 \text{ K}}{1.5 \text{ m}^3} \\ & \approx 117865 \text{ Pa} \\ & \approx 117.9 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Calcul de la pression partielle de l'Oxygène (\(P_{\text{O}_2}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{O}_2} &= \frac{n_{\text{O}_2} R_u T}{V} \\ & = \frac{37.501 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 298.15 \text{ K}}{1.5 \text{ m}^3} \\ & \approx 61917 \text{ Pa} \\ & \approx 61.9 \text{ kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Pressions Partielles
P (N₂)117.9 kPaP (O₂)61.9 kPa
Réflexions

Comme prévu, la pression partielle de l'azote est significativement plus élevée que celle de l'oxygène, car il y a plus de moles d'azote dans le réservoir. Le rapport des pressions (\(117.9 / 61.9 \approx 1.9\)) est égal au rapport des moles (\(71.4 / 37.5 \approx 1.9\)), ce qui confirme la proportionnalité directe.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la conversion de la température. Utiliser 25°C au lieu de 298.15 K dans la formule des gaz parfaits donnerait un résultat complètement faux. De plus, assurez-vous que toutes les autres unités sont dans le Système International (m³, J, mol, K) pour obtenir une pression en Pascals (Pa).

Points à retenir

  • La pression partielle est la contribution d'un seul gaz à la pression totale.
  • Elle se calcule avec la loi des gaz parfaits appliquée à ce seul gaz.
  • La température doit impérativement être exprimée en Kelvin.

Le saviez-vous ?

La pression atmosphérique que nous ressentons (environ 101.3 kPa au niveau de la mer) est une pression totale. L'air étant composé d'environ 78% de N₂ et 21% de O₂, la pression partielle de l'azote est d'environ 79 kPa et celle de l'oxygène d'environ 21 kPa. C'est cette pression partielle d'oxygène qui est vitale pour notre respiration.

FAQ
Si le volume était plus petit, la pression partielle changerait-elle ?

Oui. D'après la formule \(P_i = (n_i R_u T) / V\), la pression partielle est inversement proportionnelle au volume. Si le volume diminue, les molécules sont plus confinées, les collisions avec les parois sont plus fréquentes, et donc la pression augmente.

Résultat Final
La pression partielle de l'azote est d'environ 117.9 kPa et celle de l'oxygène est d'environ 61.9 kPa.
A vous de jouer

Quelle serait la pression partielle de l'oxygène si sa masse était doublée (2.4 kg) ?

Question 4 : En déduire la pression totale du mélange.

Principe

Selon la loi de Dalton, dans un mélange de gaz qui n'interagissent pas chimiquement, la pression totale est simplement la somme des pressions partielles de chaque gaz. Le concept est que chaque gaz contribue à la pression totale comme si les autres n'étaient pas là.

Mini-Cours

La loi de Dalton (\(P_{\text{totale}} = \sum P_i\)) est une conséquence directe de la loi des gaz parfaits. En additionnant les équations des pressions partielles pour chaque gaz (\(P_iV = n_iR_uT\)), on obtient \((\sum P_i)V = (\sum n_i)R_uT\). Comme \(P_{\text{totale}}V = n_{\text{total}}R_uT\) et \(n_{\text{total}} = \sum n_i\), on en déduit que \(P_{\text{totale}} = \sum P_i\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est souvent la plus simple, mais elle est conceptuellement importante. Elle montre comment les contributions individuelles (pressions partielles) s'assemblent pour former la propriété globale du système (pression totale). C'est un excellent point de vérification pour la cohérence de vos calculs.

Normes

La loi de Dalton est une loi physique fondamentale et ne dépend pas des normes d'ingénierie. C'est un pilier de la thermodynamique des mélanges.

Formule(s)

Loi de Dalton

\[ P_{\text{totale}} = P_{\text{N}_2} + P_{\text{O}_2} \]

Loi des Gaz Parfaits pour le Mélange

\[ P_{\text{totale}} = \frac{n_{\text{total}} R_u T}{V} \]
Hypothèses

L'hypothèse principale est celle du gaz parfait, qui implique que les molécules de gaz n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles. C'est pourquoi leurs pressions peuvent être simplement additionnées.

Donnée(s)
ParamètreValeur
Pression partielle N₂ (\(P_{\text{N}_2}\))\( \approx 117.9 \text{ kPa}\)
Pression partielle O₂ (\(P_{\text{O}_2}\))\( \approx 61.9 \text{ kPa}\)
Nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\))\( \approx 108.896 \text{ mol}\)
Température (T)\(298.15 \text{ K}\)
Volume (V)\(1.5 \text{ m}^3\)
Astuces

La méthode la plus rapide est d'additionner les pressions partielles que vous venez de calculer. Utiliser la deuxième formule (\(P_{\text{totale}} = n_{\text{total}} R_u T / V\)) est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de votre travail depuis la question 1.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des Pressions
P (N₂)P (O₂)+=P (Total)
Calcul(s)

Calcul par somme des pressions partielles

\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= P_{\text{N}_2} + P_{\text{O}_2} \\ & = 117.9 \text{ kPa} + 61.9 \text{ kPa} \\ & = 179.8 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Calcul avec le nombre total de moles (vérification)

\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= \frac{n_{\text{total}} R_u T}{V} \\ & = \frac{108.896 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 298.15 \text{ K}}{1.5 \text{ m}^3} \\ & \approx 179782 \text{ Pa} \\ & \approx 179.8 \text{ kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Lecture de la Pression Totale
179.8 kPakPa
Réflexions

Les deux méthodes donnent un résultat identique, ce qui valide la cohérence de l'ensemble des calculs effectués. La pression dans le réservoir est d'environ 1.77 fois la pression atmosphérique standard (101.3 kPa), ce qui est une pression modérée pour un réservoir industriel.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les mêmes unités pour toutes les pressions partielles avant de les additionner (par exemple, tout en kPa ou tout en Pa). Une erreur fréquente est de mélanger des unités, ce qui fausse le résultat final.

Points à retenir

  • La loi de Dalton est un principe d'additivité simple : \(P_{\text{totale}} = \sum P_i\).
  • Elle est une conséquence directe du modèle du gaz parfait où les molécules n'interagissent pas.
  • Calculer la pression totale par deux méthodes est une excellente technique d'auto-vérification.

Le saviez-vous ?

La loi de Dalton est cruciale en plongée sous-marine. La pression totale augmente avec la profondeur, ce qui augmente la pression partielle de chaque gaz respiré. Une pression partielle d'azote trop élevée peut provoquer la "narcose à l'azote", et une pression partielle d'oxygène trop élevée peut devenir toxique pour le système nerveux central.

FAQ
Cette loi fonctionne-t-elle pour les liquides ?

Non, pas de la même manière. Dans les liquides, les interactions entre molécules sont très fortes. On utilise d'autres lois (comme la loi de Raoult pour les solutions idéales) qui sont plus complexes et tiennent compte de ces interactions.

Résultat Final
La pression totale du mélange dans le réservoir est d'environ 179.8 kPa.
A vous de jouer

Si la pression totale est de 300 kPa et que la fraction molaire de N₂ est de 0.6, quelle est la pression partielle de N₂ ?

Question 5 : Calculer la constante spécifique du mélange (\(R_m\)).

Principe

La constante universelle des gaz (\(R_u\)) est la même pour tous les gaz. Cependant, la constante *spécifique* (\(R\)) dépend de la nature du gaz. Elle est "spécifique" à chaque substance et se calcule en divisant la constante universelle par la masse molaire. Pour un mélange, on utilise la masse molaire *moyenne* du mélange.

Mini-Cours

La constante spécifique \(R\) apparaît dans une forme alternative de la loi des gaz parfaits : \(PV = mRT\). Elle est exprimée en J/(kg·K). La masse molaire moyenne (\(M_m\)) d'un mélange se calcule comme un barycentre des masses molaires des constituants, pondéré par leurs fractions molaires : \(M_m = \sum y_i M_i\). Une autre façon, plus directe, est de diviser la masse totale du mélange par le nombre total de moles : \(M_m = m_{\text{total}} / n_{\text{total}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à la constante spécifique comme une mesure de "l'efficacité" d'un gaz à générer de la pression par unité de masse et de température. Les gaz légers (comme l'Hélium) ont une constante spécifique très élevée car pour une même masse, ils ont beaucoup plus de moles (de particules).

Normes

Les définitions de la constante spécifique et de la masse molaire moyenne sont des concepts fondamentaux de la thermodynamique et ne sont pas régis par des normes de construction.

Formule(s)

Constante Spécifique du Mélange

\[ R_{\text{m}} = \frac{R_u}{M_{\text{m}}} \]

Masse Molaire Moyenne

\[ M_{\text{m}} = \frac{m_{\text{total}}}{n_{\text{total}}} = \sum_{i} y_i M_i \]
Hypothèses

Le mélange est considéré comme une substance homogène unique possédant des propriétés moyennes, calculées à partir des propriétés de ses constituants.

Donnée(s)
ParamètreValeur
Masse totale (\(m_{\text{total}}\))\(3.2 \text{ kg}\)
Nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\))\( \approx 108.896 \text{ mol}\)
Constante Univ. (\(R_u\))\(8.314 \text{ J/(mol·K)}\)
Astuces

Calculer la masse molaire moyenne avec les deux méthodes (\(m_{\text{total}}/n_{\text{total}}\) et \(\sum y_i M_i\)) est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs de composition. Les résultats doivent être identiques.

Schéma (Avant les calculs)
De l'Universel au Spécifique
R (Universelle)R_uDivision parM (moyenne)R (Spécifique)R_m
Calcul(s)

Calcul de la masse totale

\[ \begin{aligned} m_{\text{total}} &= m_{\text{N}_2} + m_{\text{O}_2} \\ & = 2.0 + 1.2 \\ & = 3.2 \text{ kg} \end{aligned} \]

Calcul de la masse molaire moyenne (\(M_m\))

\[ \begin{aligned} M_{\text{m}} &= \frac{m_{\text{total}}}{n_{\text{total}}} \\ & = \frac{3.2 \text{ kg}}{108.896 \text{ mol}} \\ & \approx 0.029386 \text{ kg/mol} \end{aligned} \]

Calcul de la constante spécifique du mélange (\(R_m\))

\[ \begin{aligned} R_{\text{m}} &= \frac{R_u}{M_{\text{m}}} \\ & = \frac{8.314 \text{ J/(mol·K)}}{0.029386 \text{ kg/mol}} \\ & \approx 282.93 \text{ J/(kg·K)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Constantes Spécifiques
R (N₂)297R (O₂)260R (Mélange)283
Réflexions

La constante spécifique du mélange (282.9 J/kg·K) se situe entre celle de l'azote pur (296.8 J/kg·K) et celle de l'oxygène pur (259.8 J/kg·K). Comme le mélange est majoritairement composé d'azote (en moles), la valeur moyenne est plus proche de celle de l'azote, ce qui est logique. Le résultat est également très proche de la constante de l'air (287 J/kg·K), car notre mélange a une composition similaire à celle de l'air.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier de convertir la masse molaire en kg/mol. Si vous la laissez en g/mol, votre constante spécifique sera 1000 fois trop petite. L'unité finale doit être J/(kg·K), pas J/(g·K).

Points à retenir

  • La constante spécifique (\(R\)) est propre à chaque gaz : \(R = R_u / M\).
  • Pour un mélange, on utilise la masse molaire moyenne \(M_m\).
  • \(M_m\) peut être calculée comme \(m_{\text{total}} / n_{\text{total}}\) ou comme une moyenne pondérée par les fractions molaires.

Le saviez-vous ?

En aéronautique, la constante spécifique de l'air, \(R_{\text{air}}\), est une des valeurs les plus importantes. Elle est utilisée dans d'innombrables calculs, de la portance d'une aile à la poussée d'un réacteur, et elle est une donnée clé dans le modèle de l'Atmosphère Standard Internationale (ISA).

FAQ
Puis-je utiliser \(PV = mRT\) directement avec la masse totale ?

Oui, absolument ! Si vous utilisez la masse totale (\(m_{\text{total}} = 3.2\) kg), vous devez utiliser la constante spécifique du mélange que nous venons de calculer (\(R_{\text{m}} \approx 282.93\)). Vérification : \(P = (3.2 \times 282.93 \times 298.15) / 1.5 \approx 179780\) Pa, ce qui correspond bien à notre résultat précédent.

Résultat Final
La constante spécifique du mélange est d'environ 282.93 J/(kg·K).
A vous de jouer

Quelle serait la masse molaire moyenne (en g/mol) d'un mélange équimolaire (50% moles N₂, 50% moles O₂) ?

Outil Interactif : Simulateur de Mélange Gazeux

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse de chaque gaz dans le réservoir (à T=25°C et V=1.5 m³) et observez l'impact en temps réel sur la pression totale et la composition du mélange.

Paramètres d'Entrée
2.0 kg
1.2 kg
Résultats Clés
Pression Totale (kPa) -
Fraction Molaire N₂ (%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon la loi de Dalton, la pression totale d'un mélange de gaz parfaits est...

2. Si on ajoute un troisième gaz (Argon) dans le réservoir sans changer la température, la pression partielle de l'azote (N₂)...

3. Que se passe-t-il si on double la température du mélange (en Kelvin) ?

4. La fraction molaire d'un constituant dépend de...

5. La somme des fractions molaires dans un mélange est toujours égale à :

Glossaire

Gaz Parfait
Un modèle théorique de gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Ce modèle est une bonne approximation des gaz réels à basse pression et haute température.
Pression Partielle
Dans un mélange de gaz, la pression partielle d'un constituant est la pression qu'il exercerait s'il occupait seul tout le volume du mélange, à la même température.
Fraction Molaire
Le rapport entre le nombre de moles d'un constituant spécifique et le nombre total de moles de tous les constituants dans le mélange. C'est une grandeur sans dimension.
Loi de Dalton
Un principe énonçant que la pression totale exercée par un mélange de gaz est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz constituant le mélange.
Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

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