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Calcul du Poids Spécifique du Sol

Calcul du Poids Spécifique du Sol

Calcul du Poids Spécifique du Sol

Comprendre le Poids Spécifique du Sol

Le poids spécifique (ou poids volumique) d'un sol est une propriété physique fondamentale en géotechnique. Il représente le poids du sol par unité de volume. On distingue plusieurs types de poids spécifiques : le poids spécifique total (ou humide, \(\gamma_t\)), le poids spécifique sec (\(\gamma_d\)), et le poids spécifique saturé (\(\gamma_{sat}\)). Ces valeurs sont essentielles pour calculer les contraintes dans le sol, la capacité portante des fondations, la stabilité des talus, et pour d'autres analyses géotechniques. Cet exercice se concentrera sur le calcul de \(\gamma_t\) et \(\gamma_d\) à partir de mesures de laboratoire sur un échantillon de sol.

Données de l'étude

Un échantillon de sol intact est prélevé sur site à l'aide d'un carottier cylindrique.

Mesures effectuées en laboratoire :

  • Diamètre intérieur du carottier (diamètre de l'échantillon, \(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'échantillon dans le carottier (\(H\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Poids total de l'échantillon de sol humide (\(W_t\)) : \(27.50 \, \text{N}\)
  • Après séchage complet à l'étuve, le poids de l'échantillon de sol sec (\(W_s\)) : \(23.80 \, \text{N}\)
  • Poids spécifique de l'eau (\(\gamma_w\)) : \(9.81 \, \text{kN/m}^3\) (peut être utilisé pour des calculs additionnels si besoin)
Schéma : Échantillon de Sol Cylindrique
H=150mm D=100mm Échantillon de Sol

Échantillon de sol prélevé pour analyse.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la base (\(A\)) de l'échantillon cylindrique.
  2. Calculer le volume total (\(V_t\)) de l'échantillon de sol.
  3. Calculer le poids spécifique total (ou humide) (\(\gamma_t\)) du sol.
  4. Calculer le poids spécifique sec (\(\gamma_d\)) du sol.
  5. Calculer la teneur en eau (\(w\)) de l'échantillon de sol.
  6. (Optionnel) Si la densité des particules solides (\(G_s\)) est de 2.65, calculer l'indice des vides (\(e\)) et le degré de saturation (\(S_r\)).

Correction : Calcul du Poids Spécifique du Sol

Question 1 : Aire de la Base (\(A\)) de l'Échantillon

Principe :

L'échantillon est cylindrique, donc sa base est un cercle. L'aire d'un cercle est \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre de l'échantillon (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (100 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 10000}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 2500\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 7853.98 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A \approx 7854 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire de la base de l'échantillon est \(A \approx 7854 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Volume Total (\(V_t\)) de l'Échantillon

Principe :

Le volume d'un cylindre est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur (\(V_t = A \cdot H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_t = A \cdot H \]
Données spécifiques :
  • Aire de la base (\(A\)) : \(7854 \, \text{mm}^2\)
  • Hauteur de l'échantillon (\(H\)) : \(150 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_t &= (7854 \, \text{mm}^2) \cdot (150 \, \text{mm}) \\ &= 1178100 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en mètres cubes (m\(^3\)) : \(1 \, \text{m}^3 = (1000 \, \text{mm})^3 = 10^9 \, \text{mm}^3\).

\[ \begin{aligned} V_t &= 1178100 \, \text{mm}^3 \cdot \frac{1 \, \text{m}^3}{10^9 \, \text{mm}^3} \\ &= 1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume total de l'échantillon est \(V_t = 1178100 \, \text{mm}^3 \approx 1.178 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\).

Question 3 : Poids Spécifique Total (\(\gamma_t\))

Principe :

Le poids spécifique total (ou humide) est le rapport du poids total de l'échantillon humide (\(W_t\)) à son volume total (\(V_t\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma_t = \frac{W_t}{V_t} \]
Données spécifiques (unités N et m\(^3\) pour obtenir des kN/m\(^3\)) :
  • Poids total humide (\(W_t\)) : \(27.50 \, \text{N}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma_t &= \frac{27.50 \, \text{N}}{1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3} \\ &\approx 23342.67 \, \text{N/m}^3 \end{aligned} \]

Conversion en kN/m\(^3\) :

\[ \gamma_t \approx \frac{23342.67}{1000} \, \text{kN/m}^3 \approx 23.34 \, \text{kN/m}^3 \]
Résultat Question 3 : Le poids spécifique total du sol est \(\gamma_t \approx 23.34 \, \text{kN/m}^3\).

Question 4 : Poids Spécifique Sec (\(\gamma_d\))

Principe :

Le poids spécifique sec est le rapport du poids des particules solides du sol (\(W_s\)) au volume total de l'échantillon (\(V_t\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma_d = \frac{W_s}{V_t} \]
Données spécifiques (unités N et m\(^3\)) :
  • Poids du sol sec (\(W_s\)) : \(23.80 \, \text{N}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma_d &= \frac{23.80 \, \text{N}}{1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3} \\ &\approx 20202.02 \, \text{N/m}^3 \end{aligned} \]

Conversion en kN/m\(^3\) :

\[ \gamma_d \approx \frac{20202.02}{1000} \, \text{kN/m}^3 \approx 20.20 \, \text{kN/m}^3 \]
Résultat Question 4 : Le poids spécifique sec du sol est \(\gamma_d \approx 20.20 \, \text{kN/m}^3\).

Question 5 : Teneur en Eau (\(w\))

Principe :

La teneur en eau (\(w\)) est le rapport du poids de l'eau (\(W_w\)) dans l'échantillon au poids des particules solides (\(W_s\)), généralement exprimé en pourcentage.

Le poids de l'eau est \(W_w = W_t - W_s\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ w = \frac{W_w}{W_s} \times 100\% = \frac{W_t - W_s}{W_s} \times 100\% \]
Données spécifiques :
  • Poids total humide (\(W_t\)) : \(27.50 \, \text{N}\)
  • Poids du sol sec (\(W_s\)) : \(23.80 \, \text{N}\)
Calcul :

Poids de l'eau :

\[ W_w = 27.50 \, \text{N} - 23.80 \, \text{N} = 3.70 \, \text{N} \]

Teneur en eau :

\[ \begin{aligned} w &= \frac{3.70 \, \text{N}}{23.80 \, \text{N}} \times 100\% \\ &\approx 0.15546 \times 100\% \\ &\approx 15.55\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La teneur en eau du sol est \(w \approx 15.55\%\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le poids spécifique total \(\gamma_t\) est supérieur au poids spécifique sec \(\gamma_d\), cela signifie que le sol :

Question 6 (Optionnel) : Indice des Vides (\(e\)) et Degré de Saturation (\(S_r\))

Principe :

L'indice des vides (\(e\)) est le rapport du volume des vides (\(V_v\)) au volume des solides (\(V_s\)). Le degré de saturation (\(S_r\)) est le rapport du volume de l'eau (\(V_w\)) au volume des vides (\(V_v\)), exprimé en pourcentage.

On utilise les relations : \(V_s = W_s / (G_s \gamma_w)\), \(V_w = W_w / \gamma_w\), \(V_v = V_t - V_s\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ e = \frac{V_v}{V_s} \] \[ S_r = \frac{V_w}{V_v} \times 100\% \] \[ \text{Aussi, } \gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1+e} \Rightarrow e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1 \] \[ \text{Et } w G_s = S_r e \]
Données spécifiques (unités kN, m\(^3\)) :
  • \(G_s = 2.65\) (adimensionnel)
  • \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(\gamma_d \approx 20.20 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(w \approx 0.1555\) (en décimal)
Calcul de l'indice des vides (\(e\)) :
\[ \begin{aligned} e &= \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1 \\ &= \frac{2.65 \cdot 9.81 \, \text{kN/m}^3}{20.20 \, \text{kN/m}^3} - 1 \\ &= \frac{25.9965}{20.20} - 1 \\ &\approx 1.2869 - 1 \\ &\approx 0.2869 \end{aligned} \]
Calcul du degré de saturation (\(S_r\)) :
\[ \begin{aligned} S_r &= \frac{w G_s}{e} \times 100\% \\ &= \frac{0.1555 \cdot 2.65}{0.2869} \times 100\% \\ &= \frac{0.412075}{0.2869} \times 100\% \\ &\approx 1.4363 \times 100\% \\ &\approx 143.63\% \end{aligned} \]

Un degré de saturation supérieur à 100% indique une incohérence dans les données initiales ou les arrondis. Revoyons les calculs ou les hypothèses. L'erreur vient souvent de l'utilisation de valeurs arrondies. Utilisons plus de décimales pour \(e\).

Si \(e \approx 0.28695\), alors \(S_r = (0.15546 \times 2.65) / 0.28695 \times 100\% \approx (0.412069) / 0.28695 \times 100\% \approx 1.4360 \times 100\% \approx 143.6\%\).

Il y a probablement une petite incohérence dans les données de départ si on s'attend à un sol non sursaturé. Cependant, si on calcule \(V_s, V_w, V_v\) :

\(W_s = 23.80 \, \text{N} \Rightarrow V_s = \frac{23.80 \, \text{N}}{2.65 \cdot 9810 \, \text{N/m}^3} \approx \frac{23.80}{25996.5} \approx 9.155 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)

\(W_w = 3.70 \, \text{N} \Rightarrow V_w = \frac{3.70 \, \text{N}}{9810 \, \text{N/m}^3} \approx 3.771 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)

\(V_t \approx 1.1781 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)

\(V_v = V_t - V_s \approx (1.1781 - 0.9155) \times 10^{-3} = 0.2626 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)

\(e = V_v / V_s \approx (0.2626 \times 10^{-3}) / (0.9155 \times 10^{-3}) \approx 0.2868\)

\(S_r = V_w / V_v \times 100\% \approx (3.771 \times 10^{-4}) / (0.2626 \times 10^{-3}) \times 100\% \approx 1.4359 \times 100\% \approx 143.6\%\)

Le résultat reste supérieur à 100%. Cela signifie que les données initiales (poids, volume, Gs) ne sont pas parfaitement cohérentes pour un sol naturel non sursaturé, ou qu'il y a une erreur de mesure. Pour un exercice, on note cette incohérence. Si le sol était réellement sursaturé (par exemple, un sol très organique ou une argile gonflante), cela pourrait être possible, mais c'est inhabituel pour un "sol" standard.

Admettons que les mesures de poids et volume sont correctes et que \(G_s\) est une valeur typique. L'incohérence peut être due à la précision des mesures. Pour l'exercice, nous présentons les calculs basés sur les formules.

Résultat Question 6 (Optionnel) :
  • Indice des vides : \(e \approx 0.287\)
  • Degré de saturation : \(S_r \approx 143.6\%\) (Note : cette valeur est physiquement improbable pour un sol standard et indique une possible incohérence dans les données d'entrée ou des conditions de sol très spécifiques).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le poids spécifique sec (\(\gamma_d\)) est toujours :

2. La teneur en eau (\(w\)) est définie comme le rapport du :

Glossaire

Poids Spécifique Total (\(\gamma_t\))
Poids total d'un échantillon de sol (solides + eau + air) par unité de volume total. Aussi appelé poids volumique humide.
Poids Spécifique Sec (\(\gamma_d\))
Poids des particules solides du sol par unité de volume total de l'échantillon.
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport du poids de l'eau contenue dans les vides du sol au poids des particules solides, exprimé en pourcentage.
Indice des Vides (\(e\))
Rapport du volume des vides (eau + air) au volume des particules solides dans un échantillon de sol.
Porosité (\(n\))
Rapport du volume des vides au volume total de l'échantillon de sol, exprimé en pourcentage. \(n = e / (1+e)\).
Degré de Saturation (\(S_r\))
Rapport du volume de l'eau au volume des vides dans un échantillon de sol, exprimé en pourcentage. Un sol est saturé si \(S_r = 100\%\).
Densité des Particules Solides (\(G_s\))
Rapport du poids spécifique des particules solides du sol (\(\gamma_s\)) au poids spécifique de l'eau (\(\gamma_w\)). C'est une grandeur adimensionnelle.
Calcul du Poids Spécifique du Sol - Exercice d'Application

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