Calcul de Tassement d’un Dallage en Remblai

Contexte : La stabilité des fondations, un enjeu majeur en Génie Civil.

En géotechnique, l'un des défis majeurs est de prédire comment le sol se déformera sous le poids des constructions. Un tassement excessif ou inégal (différentiel) peut entraîner des fissures, des inclinaisons et même la ruine de l'ouvrage. Le calcul du tassementLe tassement est l'affaissement vertical du sol sous l'effet d'une charge. On distingue le tassement immédiat (élastique), le tassement de consolidation (évacuation de l'eau) et le tassement secondaire (fluage). de consolidation, qui résulte de l'expulsion de l'eau contenue dans les pores d'un sol fin comme l'argile, est donc une étape cruciale dans la conception de fondations superficielles comme les dallages ou les semelles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous plonge au cœur d'un problème géotechnique classique. À partir des caractéristiques d'un sol mesurées en laboratoire (indice des vides, indice de compression) et des charges de l'ouvrage, nous allons calculer une déformation finale. C'est une démarche fondamentale pour tout ingénieur en structure ou en géotechnique pour s'assurer que le sol peut supporter l'ouvrage en toute sécurité et avec des déformations acceptables.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la contrainte effective initiale dans une couche de sol.
Estimer l'augmentation de contrainte en profondeur due à une charge de surface.
Déterminer l'état de consolidation d'un sol (normalement consolidé ou surconsolidé).
Appliquer la formule du tassement oedométrique pour calculer le tassement final.
Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en géotechnique (kPa, m, kN/m³).

Données de l'étude

Un dallage carré de 10 m de côté doit être construit sur un terrain préalablement préparé. Le profil du sol se compose d'une couche de remblai compacté reposant sur une couche d'argile compressible, elle-même sur un substratum rocheux imperméable. La nappe phréatique est située à la base de la couche de remblai.

Schéma du profil de sol

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du dallage	\(B\)	10	\(\text{m}\)
Surcharge appliquée	\(q\)	150	\(\text{kPa}\)
Épaisseur du remblai	\(H_1\)	4	\(\text{m}\)
Poids volumique du remblai	\(\gamma_{\text{remblai}}\)	20	\(\text{kN/m}^3\)
Épaisseur de l'argile	\(H_2\)	6	\(\text{m}\)
Poids volumique saturé de l'argile	\(\gamma_{\text{sat, argile}}\)	18	\(\text{kN/m}^3\)
Indice des vides initial	\(e_0\)	0.9	-
Indice de compression	\(C_{\text{c}}\)	0.3	-
Contrainte de préconsolidation	\(\sigma'_{\text{p}}\)	100	\(\text{kPa}\)

Questions à traiter

Calculer la contrainte verticale effective initiale \(\sigma'_{\text{v0}}\) au milieu de la couche d'argile (point A).
Calculer l'augmentation de contrainte verticale \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) au point A due à la surcharge du dallage, en utilisant la méthode de diffusion de Boussinesq simplifiée (méthode 2V:1H).
Déterminer si la couche d'argile est surconsolidée ou normalement consolidée sous la charge finale.
Calculer le tassement de consolidation primaire final \(S_{\text{c}}\) de la couche d'argile.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts géotechniques fondamentaux.

1. La Contrainte Effective (Principe de Terzaghi) :
La contrainte totale (\(\sigma_{\text{v}}\)) dans un sol est la somme du poids des terrains sus-jacents. Cette contrainte est portée à la fois par le squelette solide du sol (contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\)) et par l'eau dans les pores (pression interstitielle \(u\)). Seule la contrainte effective génère des déformations. \[ \sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u \]

2. La Consolidation et l'Indice de Compression (\(C_{\text{c}}\)) :
Lorsqu'on charge un sol saturé, l'eau est d'abord mise en surpression. Avec le temps, elle s'évacue, la surpression diminue et la charge est transférée au squelette solide, qui se comprime : c'est la consolidation. La relation entre la déformation (variation de l'indice des vides \(e\)) et la contrainte effective (en échelle log) est une droite dont la pente est l'indice de compression \(C_{\text{c}}\).

3. La Formule du Tassement :
Le tassement de consolidation \(S_{\text{c}}\) d'une couche d'épaisseur H dépend de ses caractéristiques (\(e_0, C_{\text{c}}\)) et de la variation de contrainte effective. Pour un sol normalement consolidé (qui n'a jamais supporté plus que sa charge actuelle), la formule est : \[ S_{\text{c}} = \frac{C_{\text{c}} \cdot H}{1 + e_0} \log\left(\frac{\sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \]

Correction : Calcul de Tassement d’un Dallage sur Remblai

Question 1 : Calculer la contrainte effective initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte effective initiale au point A est la contrainte supportée par le squelette du sol avant la construction du dallage. Elle est calculée en soustrayant l'effet de la pression de l'eau (pression hydrostatique) du poids total des terres situées au-dessus du point A. C'est la contrainte "de départ" du sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le principe de Terzaghi est la pierre angulaire de la mécanique des sols. Il stipule que tous les effets mesurables liés à un changement de contrainte, tels que la compression, la distorsion et la résistance au cisaillement, sont exclusivement dus aux changements de la contrainte effective. La pression interstitielle \(u\) n'a aucune influence sur ces phénomènes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une éponge saturée d'eau. Si vous la pressez, c'est la structure de l'éponge elle-même qui supporte votre main (contrainte effective), tandis que l'eau sous pression cherche à s'échapper (pression interstitielle). Le tassement de l'éponge ne se produit que lorsque l'eau est évacuée et que le "squelette" de l'éponge se resserre.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes dans le sol est une étape de base définie dans les normes de conception géotechnique, comme l'Eurocode 7 (NF EN 1997). Ces normes spécifient les méthodes de calcul et les poids volumiques à utiliser pour les différents types de sols.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule d'abord la contrainte totale \(\sigma_{\text{v0}}\) et la pression interstitielle \(u_0\).

\sigma_{\text{v0}} = \sum (\gamma_i \cdot h_i)

u_0 = \gamma_w \cdot h_w

\sigma'_{\text{v0}} = \sigma_{\text{v0}} - u_0

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène dans chaque couche, que la nappe phréatique est stable et que l'écoulement de l'eau est purement vertical.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Épaisseur remblai, \(H_1 = 4 \, \text{m}\)
Poids volumique remblai, \(\gamma_{\text{remblai}} = 20 \, \text{kN/m}^3\)
Profondeur du point A dans l'argile, \(z_A = H_2/2 = 3 \, \text{m}\)
Poids volumique saturé argile, \(\gamma_{\text{sat, argile}} = 18 \, \text{kN/m}^3\)
Poids volumique de l'eau, \(\gamma_w \approx 10 \, \text{kN/m}^3\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les couches situées sous la nappe, on peut utiliser directement le poids volumique déjaugé \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w\). Le calcul de \(\sigma'_{\text{v0}}\) devient alors la somme des contraintes effectives de chaque couche : \(\sigma'_{\text{v0}} = (\gamma_{\text{remblai}} \cdot H_1) + (\gamma'_{\text{argile}} \cdot z_A)\). Ici, \(\gamma'_{\text{argile}} = 18 - 10 = 8 \, \text{kN/m}^3\). Donc \(\sigma'_{\text{v0}} = (20 \cdot 4) + (8 \cdot 3) = 80 + 24 = 104 \, \text{kPa}\). On retrouve le même résultat plus rapidement.

Schéma (Avant les calculs)

Profil de sol et point de calcul A

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte totale au point A :

\begin{aligned} \sigma_{\text{v0}} &= (\gamma_{\text{remblai}} \cdot H_1) + (\gamma_{\text{sat, argile}} \cdot z_A) \\ &= (20 \cdot 4) + (18 \cdot 3) \\ &= 80 + 54 \\ &= 134 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Calcul de la pression interstitielle au point A (la nappe est à la base du remblai, donc l'eau est présente sur 3m) :

\begin{aligned} u_0 &= \gamma_w \cdot z_A \\ &= 10 \cdot 3 \\ &= 30 \, \text{kPa} \end{aligned}

3. Calcul de la contrainte effective initiale :

\begin{aligned} \sigma'_{\text{v0}} &= \sigma_{\text{v0}} - u_0 \\ &= 134 - 30 \\ &= 104 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de contrainte initiale au point A

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 104 kPa représente la pression que les grains d'argile subissent les uns sur les autres au point A avant tout nouveau chargement. C'est cette contrainte qui a "consolidé" le sol jusqu'à son état actuel. Toute nouvelle charge devra d'abord dépasser cette valeur historique pour provoquer un tassement important.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal positionner la nappe phréatique. Si la nappe était à la surface, le remblai serait aussi saturé et on utiliserait son poids volumique saturé pour la contrainte totale, et la pression de l'eau serait calculée depuis la surface. Une autre erreur est d'oublier de soustraire la pression de l'eau pour obtenir la contrainte effective.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte effective est la clé : \(\sigma' = \sigma - u\).
La contrainte totale \(\sigma\) est le poids de tout ce qui est au-dessus (sol + eau).
La pression interstitielle \(u\) est le poids de la colonne d'eau au-dessus du point.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certains cas, la pression de l'eau peut être supérieure à la pression hydrostatique. C'est le cas des nappes en charge ou "artésiennes", où l'eau est confinée sous une couche imperméable. Cette surpression peut réduire considérablement la contrainte effective et la stabilité du sol, et même provoquer des jaillissements (puits artésiens) lors de forages.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La contrainte effective initiale au milieu de la couche d'argile est de 104 kPa.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) en kPa si la nappe phréatique était à la surface du sol (en supposant \(\gamma_{\text{sat, remblai}} = 21\) kN/m³)?

Question 2 : Calculer l'augmentation de contrainte (\(\Delta\sigma'_{\text{v}}\))

Principe (le concept physique)

La charge du dallage en surface se propage et se dissipe en profondeur. L'augmentation de contrainte est donc maximale juste sous le dallage et diminue avec la profondeur. La méthode 2V:1H est une approximation simple qui suppose que la charge se répartit sur une surface qui s'élargit avec une pente de 2 vertical pour 1 horizontal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La solution exacte pour la distribution des contraintes sous une charge en surface dans un milieu élastique, homogène et semi-infini a été développée par Boussinesq en 1885. Ses équations complexes sont souvent présentées sous forme de graphiques (abaques) pour une utilisation pratique. La méthode 2V:1H est une simplification très utilisée qui donne des résultats raisonnables pour des estimations rapides, surtout sous le centre de la fondation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la charge du dallage est comme la lumière d'une lampe de poche. Juste devant la lampe, la lumière est intense et concentrée. En s'éloignant, le faisceau s'élargit et l'intensité lumineuse diminue. La diffusion des contraintes dans le sol suit un principe similaire : la "pression" s'étale sur une plus grande surface en profondeur, donc son intensité (le \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\)) diminue.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 ne prescrit pas une méthode unique pour le calcul de la diffusion des contraintes, mais il exige que la méthode utilisée soit validée. Les abaques de Boussinesq, de Fadum ou de Newmark sont des méthodes de référence. La méthode approchée 2V:1H est généralement acceptée pour les calculs préliminaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une fondation rectangulaire de dimensions B x L, l'augmentation de contrainte à une profondeur z est :

\Delta\sigma'_{\text{v}} = q \cdot \frac{B \cdot L}{(B+z)(L+z)}

Pour notre dallage carré (L=B) :

\Delta\sigma'_{\text{v}} = q \cdot \frac{B^2}{(B+z)^2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le dallage est flexible et applique une charge uniforme. Le sol est considéré comme un milieu homogène pour la diffusion de la contrainte.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Surcharge, \(q = 150 \, \text{kPa}\)
Largeur du dallage, \(B = 10 \, \text{m}\)
Profondeur du point A sous la fondation, \(z = H_1 + H_2/2 = 4 + 3 = 7 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que l'augmentation de contrainte ne dépend pas des caractéristiques du sol, mais uniquement de la géométrie du problème (forme de la charge et profondeur). On peut calculer rapidement le rapport des surfaces : \(A_{\text{fond}} = 10 \times 10 = 100 \, \text{m}^2\). À 7m de profondeur, \(A_{z} = (10+7) \times (10+7) = 289 \, \text{m}^2\). L'augmentation de contrainte est la charge totale (\(q \cdot A_{\text{fond}}\)) divisée par la surface à la profondeur z, ce qui donne \(\Delta\sigma'_{\text{v}} = (150 \cdot 100) / 289 \approx 51.9 \, \text{kPa}\).

Schéma (Avant les calculs)

Principe de diffusion de la charge (2V:1H)

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec la profondeur z = 7 m.

\begin{aligned} \Delta\sigma'_{\text{v}} &= 150 \cdot \frac{10^2}{(10+7)^2} \\ &= 150 \cdot \frac{100}{17^2} \\ &= 150 \cdot \frac{100}{289} \\ &\approx 51.9 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Contraintes avant et après chargement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de 150 kPa en surface ne se traduit que par une augmentation de 51.9 kPa au milieu de la couche d'argile. Cela montre bien l'effet de diffusion. La contrainte effective au point A va donc augmenter d'environ 50%, passant de 104 à 155.9 kPa. C'est cette augmentation qui va provoquer le tassement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la valeur de \(z\). Il faut bien prendre la profondeur depuis la base de la fondation (le niveau où la charge est appliquée) jusqu'au point de calcul. Ici, c'est la somme de l'épaisseur du remblai et de la moitié de l'épaisseur de l'argile (\(z = 4 + 3 = 7\) m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte apportée par une fondation diminue avec la profondeur.
La méthode 2V:1H est une approximation simple pour estimer cette diffusion.
La valeur de \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) est cruciale pour le calcul du tassement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La solution de Boussinesq suppose un sol homogène. Pour des sols stratifiés (avec des couches dures et molles), la diffusion est différente. Une couche très rigide en profondeur aura tendance à "étaler" davantage les contraintes, réduisant leur impact sur les couches plus profondes. Des solutions plus complexes, comme celle de Westergaard, ou des modélisations numériques sont alors utilisées.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'augmentation de contrainte verticale au milieu de la couche d'argile est d'environ 51.9 kPa.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) en kPa au sommet de la couche d'argile (z=4m) ?

Question 3 : Déterminer l'état de consolidation

Principe (le concept physique)

La contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) est la contrainte effective maximale que le sol a subie dans son histoire. Si la contrainte finale (\(\sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}}\)) est supérieure à \(\sigma'_{\text{p}}\), le sol est "normalement consolidé" et se tassera beaucoup. Sinon, il est "surconsolidé", reste sur une pente de recompression plus faible et se tassera moins.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La courbe de compressibilité d'un sol (indice des vides \(e\) en fonction de \(\log(\sigma'_{\text{v}})\)) présente une rupture de pente au niveau de \(\sigma'_{\text{p}}\). Pour \(\sigma' < \sigma'_{\text{p}}\), le sol suit la pente de recompression \(C_r\), beaucoup plus faible. Pour \(\sigma' > \sigma'_{\text{p}}\), il suit la pente de compression vierge \(C_{\text{c}}\). Le rapport OCR = \(\sigma'_{\text{p}} / \sigma'_{\text{v0}}\) (Overconsolidation Ratio) quantifie cet état. OCR=1 : sol normalement consolidé. OCR>1 : sol surconsolidé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un carton que vous pliez pour la première fois : il faut forcer (courbe de compression vierge). Si vous le dépliez et le repliez, c'est beaucoup plus facile (courbe de recompression). Le sol se comporte de la même manière : s'il a déjà été "plié" par une charge passée plus forte (un glacier, une colline érodée), il sera beaucoup plus rigide tant qu'on ne dépasse pas cette charge historique.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de la contrainte de préconsolidation est une étape clé de l'essai oedométrique, dont la procédure est standardisée (par ex. ASTM D2435 ou ISO 17892-5). La méthode graphique de Casagrande est la plus utilisée pour déterminer \(\sigma'_{\text{p}}\) à partir des données de laboratoire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule la contrainte effective finale \(\sigma'_{\text{vf}}\) et on la compare à \(\sigma'_{\text{p}}\).

\sigma'_{\text{vf}} = \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la valeur de \(\sigma'_{\text{p}}\) déterminée en laboratoire est représentative de l'ensemble de la couche d'argile.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\sigma'_{\text{v0}} = 104 \, \text{kPa}\) (de Q1)
\(\Delta\sigma'_{\text{v}} = 51.9 \, \text{kPa}\) (de Q2)
\(\sigma'_{\text{p}} = 100 \, \text{kPa}\) (donnée de l'énoncé)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est une simple comparaison. Il suffit de placer les trois valeurs sur un axe : \(\sigma'_{\text{p}}\), \(\sigma'_{\text{v0}}\), et \(\sigma'_{\text{vf}}\). Le type de tassement dépend de la position relative de ces trois contraintes. Ici, on a \(\sigma'_{\text{p}} < \sigma'_{\text{v0}} < \sigma'_{\text{vf}}\), ce qui signifie que le sol est déjà sur sa courbe de compression vierge et y restera. Le calcul de tassement sera donc simple.

Schéma (Avant les calculs)

Courbe e-log(p) et contraintes à placer

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte finale :

\begin{aligned} \sigma'_{\text{vf}} &= \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}} \\ &= 104 + 51.9 \\ &= 155.9 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Comparaison :

\sigma'_{\text{v0}} = 104 \, \text{kPa} > \sigma'_{\text{p}} = 100 \, \text{kPa}

La contrainte initiale est déjà légèrement supérieure à la contrainte de préconsolidation. Le sol est donc déjà normalement consolidé. L'ajout de la charge le maintiendra dans cet état.

Schéma (Après les calculs)

Position des contraintes sur la courbe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Puisque le sol est normalement consolidé, il va suivre la "courbe vierge" de compression, qui correspond à la pente \(C_{\text{c}}\). On s'attend donc à un tassement significatif. Si le sol avait été fortement surconsolidé (ex: \(\sigma'_{\text{p}} = 200\) kPa), le tassement aurait été beaucoup plus faible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il est crucial de bien comparer les contraintes. Un cas plus complexe est celui où \(\sigma'_{\text{v0}} < \sigma'_{\text{p}} < \sigma'_{\text{vf}}\). Dans ce cas, le tassement se calcule en deux parties : une première partie sur la courbe de recompression (avec l'indice \(C_r\)) jusqu'à \(\sigma'_{\text{p}}\), et une seconde partie sur la courbe de compression vierge (avec \(C_{\text{c}}\)) de \(\sigma'_{\text{p}}\) à \(\sigma'_{\text{vf}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) est la "mémoire" du sol.
On compare \(\sigma'_{\text{v0}}\) et \(\sigma'_{\text{vf}}\) à \(\sigma'_{\text{p}}\) pour déterminer le comportement du sol.
Normalement consolidé (NC) : \(\sigma'_{\text{v0}} \ge \sigma'_{\text{p}}\). Surconsolidé (OC) : \(\sigma'_{\text{v0}} < \sigma'_{\text{p}}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

De vastes régions d'Amérique du Nord et d'Europe du Nord sont recouvertes de sols fortement surconsolidés. Ces sols ont été comprimés par des kilomètres de glace lors de la dernière ère glaciaire. Après la fonte des glaciers, la charge a disparu, mais le sol a gardé en mémoire cette compression extrême, le rendant très dense et résistant.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le sol est normalement consolidé, car la contrainte initiale (104 kPa) est déjà supérieure à la contrainte de préconsolidation (100 kPa).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) avait été de 120 kPa, quel aurait été le Rapport de Surconsolidation (OCR) initial ?

Question 4 : Calculer le tassement de consolidation (\(S_{\text{c}}\))

Principe (le concept physique)

Le tassement est la conséquence directe de l'augmentation de la contrainte effective sur une couche de sol compressible. La formule intègre l'épaisseur de la couche, sa compressibilité (via \(C_{\text{c}}\)) et l'ampleur du chargement (via le logarithme du rapport des contraintes finale et initiale).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule du tassement dérive directement de la définition de l'indice de compression \(C_{\text{c}} = -\Delta e / \Delta(\log \sigma'_{\text{v}})\). En considérant la variation de hauteur d'une couche de sol \(\Delta H / H = \Delta e / (1+e_0)\) et en intégrant sur le changement de contrainte, on obtient la formule logarithmique. C'est une application directe de la relation contrainte-déformation mesurée en laboratoire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est essentiel de comprendre que le tassement n'est pas linéaire avec la charge. Doubler la charge ne double pas le tassement, à cause du logarithme. L'essentiel du tassement se produit lors des premiers incréments de charge qui amènent le sol sur sa courbe vierge. Ensuite, il faut une augmentation de charge beaucoup plus grande pour obtenir le même tassement supplémentaire.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (comme l'Eurocode 7) ne fixent pas une valeur de tassement unique, mais définissent des "états limites de service" (ELS). Le concepteur doit vérifier que les tassements calculés (total et différentiel) restent inférieurs aux limites admissibles pour le type de structure concerné, afin d'éviter des dommages fonctionnels ou esthétiques (fissures, problèmes d'ouverture de portes, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puisque le sol est normalement consolidé (\(\sigma'_{\text{v0}} > \sigma'_{\text{p}}\)), on utilise la formule de tassement standard :

S_{\text{c}} = \frac{C_{\text{c}} \cdot H_2}{1 + e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le tassement est unidimensionnel (vertical), ce qui est modélisé par l'essai oedométrique. On ne calcule que le tassement de consolidation primaire, en négligeant le tassement immédiat (élastique) et le tassement secondaire (fluage).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Indice de compression, \(C_{\text{c}} = 0.3\)
Épaisseur de l'argile, \(H_2 = 6 \, \text{m}\)
Indice des vides initial, \(e_0 = 0.9\)
\(\sigma'_{\text{v0}} = 104 \, \text{kPa}\) (de Q1)
\(\sigma'_{\text{vf}} = 155.9 \, \text{kPa}\) (de Q3)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(C_{\text{c}} / (1+e_0)\) est parfois appelé "indice de compression modifié" \(C'_{\text{c}}\). On peut le calculer une fois pour toutes. Ici, \(C'_{\text{c}} = 0.3 / 1.9 \approx 0.158\). Le calcul devient alors \(S_{\text{c}} = C'_{\text{c}} \cdot H_2 \cdot \log(\text{rapport des contraintes})\). Cela simplifie les calculs si on doit tester plusieurs scénarios.

Schéma (Avant les calculs)

Couche d'argile avant tassement

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule. Il est important de convertir le tassement final en cm pour une meilleure représentation.

\begin{aligned} S_{\text{c}} &= \frac{0.3 \cdot 6}{1 + 0.9} \log_{10}\left(\frac{155.9}{104}\right) \\ &= \frac{1.8}{1.9} \log_{10}(1.499) \\ &\approx 0.947 \cdot (0.1758) \\ &\approx 0.1665 \, \text{m} \end{aligned}

S_{\text{c}} \approx 16.7 \, \text{cm}

Schéma (Après les calculs)

Couche d'argile après tassement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un tassement de près de 17 cm est très important. Pour un dallage de 10 m, cela pourrait être acceptable s'il est uniforme. Cependant, si une autre partie de la structure repose sur des fondations différentes, ce tassement différentiel pourrait causer des désordres importants. En pratique, une telle valeur nécessiterait probablement des solutions de fondation plus robustes (radier, pieux) ou des techniques d'amélioration des sols.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser un logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)), et non un logarithme népérien (\(\ln\)), car la formule est définie ainsi. Vérifiez également que toutes les unités sont cohérentes. Si H est en mètres, le tassement sera en mètres. Il est courant de le convertir en cm ou mm pour une meilleure lisibilité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le tassement dépend de l'épaisseur de la couche compressible (\(H\)).
Il dépend de la compressibilité du sol (\(C_{\text{c}}\)).
Il dépend du rapport des contraintes (finale/initiale), pas de leur valeur absolue.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Mexico est célèbre pour ses tassements spectaculaires, dépassant parfois 10 mètres ! La ville est construite sur d'anciennes couches de lac très compressibles. Le pompage de l'eau dans les aquifères a considérablement augmenté la contrainte effective dans ces couches, provoquant un tassement régional massif et continu qui endommage de nombreux bâtiments historiques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le tassement de consolidation primaire final de la couche d'argile est d'environ 16.7 cm.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'indice de compression \(C_{\text{c}}\) était en réalité de 0.4, quel serait le nouveau tassement en cm ?

Outil Interactif : Paramètres de Tassement

Modifiez les paramètres du projet pour voir leur influence sur le tassement final.

Paramètres d'Entrée

Surcharge (q) (kPa) 150 kPa

Largeur du dallage (B) (m) 10 m

Épaisseur Argile (H₂) (m) 6 m

Résultats Clés

Augmentation de contrainte (kPa) -

Tassement Final (cm) -

Tassement Admissible 5 cm

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". C'est lui qui a développé le concept fondamental de contrainte effective en 1925, qui a transformé la géotechnique d'un art empirique en une véritable science de l'ingénieur. La plupart des calculs de tassement et de stabilité utilisés aujourd'hui reposent sur ses travaux pionniers.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la nappe phréatique monte ?

Si la nappe monte, la pression interstitielle \(u\) augmente. Comme \(\sigma' = \sigma - u\), la contrainte effective diminue. Le sol a alors une moins bonne résistance et peut tasser davantage si une nouvelle charge est appliquée. C'est un paramètre crucial à surveiller.

Le tassement est-il instantané ?

Non. Le tassement de consolidation est un processus lent, car il dépend de la vitesse à laquelle l'eau peut s'échapper du sol. Dans une argile peu perméable, 90% du tassement peut prendre plusieurs mois, voire plusieurs années. La théorie de la consolidation de Terzaghi permet également de calculer le tassement en fonction du temps.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'indice de compression \(C_{\text{c}}\) d'une argile est plus élevé, le tassement final sera...

Plus faible
Plus élevé
Inchangé

2. Pour une même charge totale, une fondation plus large (B plus grand) causera à grande profondeur...

Une augmentation de contrainte plus faible
Une augmentation de contrainte plus forte
La même augmentation de contrainte

Contrainte Effective (\(\sigma'\)): Partie de la contrainte totale dans un sol qui est supportée par le squelette solide. C'est la contrainte qui gouverne les changements de volume et la résistance du sol.
Indice des Vides (\(e\)): Rapport du volume des vides (air et/ou eau) au volume des grains solides dans un échantillon de sol. C'est une mesure de la compacité du sol.
Tassement de Consolidation: Réduction de volume d'un sol fin saturé due à l'expulsion progressive de l'eau interstitielle sous l'effet d'une augmentation de charge.