EGC

Calcul de la pression interstitielle dans le sol

Calcul de la Pression Interstitielle dans le Sol en Géotechnique

Calcul de la Pression Interstitielle et de la Contrainte Effective

Contexte : Le principe de Terzaghi, fondement de la mécanique des sols.

En 1923, Karl von Terzaghi a révolutionné le génie civil en introduisant le concept de contrainte effectiveC'est la contrainte supportée par le squelette solide du sol. Elle est égale à la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle et gouverne le comportement mécanique du sol (résistance, déformation).. Il a démontré que le comportement mécanique d'un sol (sa résistance au cisaillement, sa compressibilité) n'est pas gouverné par la contrainte totale (due au poids des terres), mais par la contrainte effective, c'est-à-dire la contrainte qui est réellement supportée par le "squelette" des grains de sol. Cette contrainte effective est la contrainte totale diminuée de la pression interstitielleAussi appelée pression de pore, c'est la pression de l'eau contenue dans les vides (pores) du sol. Elle agit sur toutes les faces des particules sans augmenter la friction entre elles., la pression de l'eau dans les vides du sol. Savoir calculer ces différentes contraintes en fonction de la profondeur est une compétence de base indispensable pour tout ingénieur géotechnicien.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un calcul fondamental qui précède toute étude de stabilité ou de tassement. Il vous apprendra à décomposer les contraintes dans un massif de sol en ses différentes composantes. La maîtrise de ce calcul est essentielle pour comprendre pourquoi un sol se comporte différemment s'il est sec, humide ou complètement saturé d'eau.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le poids volumique d'un sol saturé.
  • Déterminer les profils de contrainte totale verticale (\(\sigma_{\text{v}}\)), de pression interstitielle (\(u\)) et de contrainte effective verticale (\(\sigma'_{\text{v}}\)) en fonction de la profondeur.
  • Comprendre l'influence de la position de la nappe phréatique sur les contraintes.
  • Visualiser et interpréter les diagrammes de contraintes.

Données de l'étude

On considère un site dont le profil de sol est constitué de deux couches horizontales reposant sur un substratum rocheux imperméable. La nappe phréatique est localisée à 2 mètres sous la surface du terrain naturel. Les caractéristiques des sols sont les suivantes :

Profil de sol étudié
Surface (z = 0 m) Sable Nappe (z = -2.0 m) (z = -3.0 m) Argile Saturée Substratum Rocheux (z = -7.0 m)
Paramètre Couche 1 (Sable) Couche 2 (Argile)
Épaisseur de la couche (\(h\)) 3.0 \(\text{m}\) 4.0 \(\text{m}\)
Poids volumique humide (\(\gamma_{\text{h}}\)) 18.0 \(\text{kN/m}^3\) -
Poids volumique saturé (\(\gamma_{\text{sat}}\)) 19.5 \(\text{kN/m}^3\) 20.0 \(\text{kN/m}^3\)

On prendra le poids volumique de l'eau \(\gamma_{\text{w}} = 10 \, \text{kN/m}^3\).

Questions à traiter

  1. Calculer les contraintes totales verticales (\(\sigma_{\text{v}}\)), les pressions interstitielles (\(u\)) et les contraintes effectives verticales (\(\sigma'_{\text{v}}\)) à la surface, à la position de la nappe phréatique, à l'interface entre les deux couches, et à la base de la couche d'argile.
  2. Tracer les diagrammes des contraintes \(\sigma_{\text{v}}\), \(u\), et \(\sigma'_{\text{v}}\) en fonction de la profondeur \(z\).

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant la correction, rappelons le principe fondamental de la contrainte effective.

Le Principe de la Contrainte Effective de Terzaghi :
Ce principe est la relation la plus importante en mécanique des sols. Il stipule que la contrainte totale en un point d'un sol saturé se décompose en deux parties :

  1. Une partie supportée par le squelette solide (les grains en contact), appelée contrainte effective (\(\sigma'\)).
  2. Une partie supportée par l'eau présente dans les pores, appelée pression interstitielle (\(u\)).

L'équation fondamentale est :

\[ \sigma = \sigma' + u \quad \Rightarrow \quad \sigma' = \sigma - u \]
  • La contrainte totale (\(\sigma\)) à une profondeur \(z\) est simplement le poids de toute la colonne de sol (et d'eau) au-dessus de ce point.
  • La pression interstitielle (\(u\)) à une profondeur \(h_{\text{w}}\) sous la nappe phréatique est la pression hydrostatique : \(u = h_{\text{w}} \cdot \gamma_{\text{w}}\).

C'est la contrainte effective \(\sigma'\) qui contrôle la résistance et la déformation du sol.

Correction : Calcul de la Pression Interstitielle et de la Contrainte Effective

Question 1 : Calcul des contraintes aux points clés

Principe (le concept physique)

L'objectif est de calculer, couche par couche, le poids cumulé des terres pour obtenir la contrainte totale. Parallèlement, on calcule la pression hydrostatique de l'eau sous la nappe phréatique. La différence entre ces deux valeurs nous donnera la contrainte effective, qui représente la pression de contact entre les grains du sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des contraintes verticales est une intégration du poids volumique en fonction de la profondeur : \(\sigma_{\text{v}}(z) = \int_0^z \gamma(h) dh\). Pour des couches homogènes, cette intégrale se simplifie en une somme : \(\sigma_{\text{v}} = \sum \gamma_i \cdot h_i\), où \(\gamma_i\) et \(h_i\) sont le poids volumique et l'épaisseur de chaque couche traversée. La pression interstitielle, elle, ne dépend que de la hauteur d'eau au-dessus du point considéré.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La meilleure approche est de procéder méthodiquement de la surface vers le bas, en calculant les trois valeurs (\(\sigma_{\text{v}}, u, \sigma'_{\text{v}}\)) à chaque interface importante. Cela évite les erreurs et permet de construire les diagrammes de contraintes de manière logique et progressive.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes géostatiques (liées au poids propre du sol) est l'étape initiale de tout calcul géotechnique selon les normes, notamment l'Eurocode 7. Ces contraintes initiales sont la base sur laquelle on viendra superposer les contraintes apportées par les ouvrages (fondations, remblais).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules clés à appliquer sont :

\[ \sigma_{\text{v}} = \sum (\gamma_i \cdot h_i) \]
\[ u = h_{\text{w}} \cdot \gamma_{\text{w}} \]
\[ \sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le terrain est horizontal, que les couches de sol sont d'épaisseur constante, et que la nappe phréatique est hydrostatique (pas d'écoulement d'eau vertical). Les contraintes sont calculées sur un plan horizontal.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Sable : \(h_1 = 3 \, \text{m}\), \(\gamma_{\text{h}} = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(\gamma_{\text{sat}} = 19.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Argile : \(h_2 = 4 \, \text{m}\), \(\gamma_{\text{sat}} = 20 \, \text{kN/m}^3\)
  • Nappe à \(z = -2 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{\text{w}} = 10 \, \text{kN/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer la contrainte effective sous la nappe, on peut aussi utiliser le poids volumique déjaugé \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\). La contrainte effective due à une couche de sol saturée d'épaisseur \(h\) est alors simplement \(\sigma' = \gamma' \cdot h\). C'est souvent plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Points de calcul sur le profil de sol
A (z=0m)B (z=-2m)C (z=-3m)D (z=-7m)
Calcul(s) (l'application numérique)

Point A (z = 0 m) : Surface

Contrainte totale :

\[ \sigma_{\text{v,A}} = 0 \, \text{kPa} \]

Pression interstitielle :

\[ u_{\text{A}} = 0 \, \text{kPa} \]

Contrainte effective :

\[ \sigma'_{\text{v,A}} = 0 \, \text{kPa} \]

Point B (z = -2 m) : Niveau de la nappe

Contrainte totale :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v,B}} &= \gamma_{\text{h,sable}} \cdot h_{\text{A-B}} \\ &= 18 \cdot 2 \\ &= 36 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle :

\[ u_{\text{B}} = 0 \, \text{kPa} \quad (\text{par définition}) \]

Contrainte effective :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v,B}} &= \sigma_{\text{v,B}} - u_{\text{B}} \\ &= 36 - 0 \\ &= 36 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Point C (z = -3 m) : Interface Sable/Argile

Contrainte totale :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v,C}} &= \sigma_{\text{v,B}} + \gamma_{\text{sat,sable}} \cdot h_{\text{B-C}} \\ &= 36 + 19.5 \cdot (3-2) \\ &= 36 + 19.5 \\ &= 55.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle :

\[ \begin{aligned} u_{\text{C}} &= \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w,B-C}} \\ &= 10 \cdot (3-2) \\ &= 10 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Contrainte effective :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v,C}} &= \sigma_{\text{v,C}} - u_{\text{C}} \\ &= 55.5 - 10 \\ &= 45.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Point D (z = -7 m) : Base de l'argile

Contrainte totale :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v,D}} &= \sigma_{\text{v,C}} + \gamma_{\text{sat,argile}} \cdot h_{\text{C-D}} \\ &= 55.5 + 20.0 \cdot (7-3) \\ &= 55.5 + 80 \\ &= 135.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression interstitielle :

\[ \begin{aligned} u_{\text{D}} &= \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w,B-D}} \\ &= 10 \cdot (7-2) \\ &= 50 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Contrainte effective :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v,D}} &= \sigma_{\text{v,D}} - u_{\text{D}} \\ &= 135.5 - 50 \\ &= 85.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tableau récapitulatif des contraintes
Pointz (\(\text{m}\))\(\sigma_{\text{v}}\) (\(\text{kPa}\))\(u\) (\(\text{kPa}\))\(\sigma'_{\text{v}}\) (\(\text{kPa}\))
A0000
B-236.0036.0
C-355.510.045.5
D-7135.550.085.5
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe que la contrainte totale et la pression interstitielle augmentent toujours avec la profondeur. La contrainte effective augmente également, mais sa pente change au passage de la nappe phréatique. La "cassure" dans la pente du diagramme de contrainte effective au niveau de la nappe est un point clé à comprendre : l'eau allège le poids apparent du sol, ce qui réduit l'augmentation de la contrainte effective.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de mal utiliser les poids volumiques. Il faut utiliser \(\gamma_{\text{h}}\) au-dessus de la nappe et \(\gamma_{\text{sat}}\) en dessous de la nappe pour le calcul de la contrainte totale. Une autre erreur est de calculer la pression de l'eau à partir de la surface du sol au lieu de la surface de la nappe phréatique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte totale \(\sigma_{\text{v}}\) est la somme des poids des couches (\(\sum \gamma h\)).
  • La pression interstitielle \(u\) est la pression hydrostatique à partir de la surface de la nappe (\(\gamma_{\text{w}} h_{\text{w}}\)).
  • La contrainte effective est toujours la différence des deux : \(\sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de "sables boulants" ou liquéfaction se produit lorsque la pression interstitielle devient égale à la contrainte totale (\(u = \sigma_{\text{v}}\)). Dans ce cas, la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) devient nulle. Le sol perd alors toute résistance au cisaillement (car il n'y a plus de contact entre les grains) et se comporte comme un liquide lourd. C'est un phénomène redouté lors des séismes ou des travaux d'excavation rapides sous la nappe.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il s'il y a un écoulement d'eau ?

Si l'eau s'écoule (par exemple, lors d'un pompage), la pression interstitielle n'est plus hydrostatique. Un écoulement descendant augmente la contrainte effective (l'eau "tire" les grains vers le bas), tandis qu'un écoulement ascendant la diminue, ce qui peut être dangereux et réduire la stabilité du sol.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes aux points clés ont été calculées et sont résumées dans le tableau ci-dessus. À la base de la couche d'argile, la contrainte totale est de 135.5 kPa, la pression interstitielle de 50.0 kPa et la contrainte effective de 85.5 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la nappe phréatique était à la surface (z=0m), quelle serait la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) à la base de la couche d'argile (z=-7m) ?

Question 2 : Tracer les diagrammes de contraintes

Principe (le concept physique)

Le tracé des diagrammes de contraintes en fonction de la profondeur est une représentation visuelle des calculs effectués. Il permet de comprendre d'un seul coup d'œil comment les contraintes évoluent dans le massif de sol, d'identifier les zones les plus sollicitées et de repérer les changements de pente qui correspondent aux interfaces des couches ou au niveau de la nappe phréatique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes de contraintes sont des graphiques où la profondeur est en ordonnée (axe vertical, dirigé vers le bas) et la valeur de la contrainte est en abscisse (axe horizontal). Pour des couches de sol homogènes, les diagrammes de \(\sigma_{\text{v}}\), \(u\), et \(\sigma'_{\text{v}}\) sont constitués de segments de droites. La pente de chaque segment du diagramme de contrainte totale est égale au poids volumique \(\gamma\) de la couche correspondante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un diagramme bien dessiné est un outil de communication puissant pour un ingénieur. Il doit être clair, avec des axes bien identifiés, des unités précisées et les valeurs aux points clés clairement indiquées. C'est souvent la première chose que l'on regarde dans une note de calcul géotechnique pour comprendre la situation.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de norme stricte sur la présentation de ces diagrammes, les conventions (profondeur en ordonnée, contraintes en abscisse) sont universellement adoptées dans la profession et dans les logiciels de calcul géotechnique. Ils constituent une partie essentielle de la justification des calculs de fondations ou de stabilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il ne s'agit pas de nouvelles formules, mais de la représentation graphique des calculs de la question 1. Les points calculés serviront de coordonnées pour tracer les segments de droite.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent. La linéarité des diagrammes entre les points calculés découle directement de l'hypothèse de couches de sol homogènes avec un poids volumique constant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les valeurs des contraintes \(\sigma_{\text{v}}\), \(u\), et \(\sigma'_{\text{v}}\) calculées à z = 0, -2, -3, et -7 m.

Astuces(Pour aller plus vite)

Tracez d'abord le diagramme de la contrainte totale \(\sigma_{\text{v}}\) et celui de la pression interstitielle \(u\). Le diagramme de la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) s'obtient ensuite simplement en mesurant la "distance" horizontale entre les deux premiers diagrammes à chaque profondeur.

Schéma (Avant les calculs)
Structure attendue des diagrammes de contraintes
z (m)0-2-3-7σvuσ'v
Calcul(s) (l'application numérique)

Cette étape consiste à utiliser les valeurs du tableau récapitulatif de la question 1 pour construire le graphique. Par exemple, pour la contrainte totale \(\sigma_{\text{v}}\), on placera les points (0, 0), (36, -2), (55.5, -3), et (135.5, -7) et on les reliera par des segments.

Schéma (Après les calculs)
Diagrammes de contraintes en fonction de la profondeur
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme confirme visuellement nos calculs. On voit clairement que la pente de \(\sigma_{\text{v}}\) est plus forte dans l'argile (\(\gamma=20\)) que dans le sable sec (\(\gamma=18\)). On voit aussi la pente de la pression interstitielle \(u\) qui est nulle au-dessus de la nappe puis constante (\(\gamma_{\text{w}}=10\)) en dessous. La contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) est la différence géométrique entre les deux autres courbes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que les axes sont correctement orientés et étiquetés. L'axe des profondeurs est traditionnellement orienté vers le bas. Les contraintes, étant des pressions, sont positives. Une erreur de signe ou d'échelle peut rendre le diagramme illisible ou trompeur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les diagrammes de contraintes sont des segments de droite dans des couches homogènes.
  • La pente du diagramme de \(\sigma_{\text{v}}\) est égale au poids volumique \(\gamma\).
  • La pente du diagramme de \(u\) (sous la nappe) est égale au poids volumique de l'eau \(\gamma_{\text{w}}\).
  • Le diagramme de \(\sigma'_{\text{v}}\) est la différence horizontale entre les deux premiers.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans le cas d'une nappe en charge (ou "artésienne"), la pression de l'eau peut être supérieure à la pression hydrostatique calculée depuis la surface de la nappe. Le diagramme de pression interstitielle ne partirait alors pas de zéro au niveau de la nappe, mais d'une valeur positive, ce qui réduit d'autant les contraintes effectives et peut poser des problèmes de stabilité importants lors de forages ou d'excavations.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte effective est-elle si importante ?

Parce que c'est elle qui serre les grains les uns contre les autres. C'est ce "serrage" qui génère le frottement entre les particules, qui est la principale source de résistance pour de nombreux sols. C'est aussi ce serrage qui, lorsqu'il augmente, provoque le tassement du sol par réarrangement des grains. La contrainte totale, elle, ne fait que comprimer à la fois les grains et l'eau, sans forcément les faire interagir plus fortement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les diagrammes des contraintes totales, interstitielles et effectives ont été tracés, montrant leur évolution linéaire par morceaux en fonction de la profondeur et l'influence de la nappe phréatique.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sur le diagramme, la pente de la courbe de contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) est-elle plus forte dans le sable saturé ou dans l'argile saturée ?

Outil Interactif : Profils de Contraintes

Modifiez la position de la nappe phréatique et les poids volumiques pour observer leur impact direct sur les profils de contraintes.

Paramètres d'Entrée
2.0 m
19.5 kN/m³
20.0 kN/m³
Contraintes à la base de l'argile (z=-7m)
Contrainte Totale \(\sigma_{\text{v}}\) (\(\text{kPa}\)) -
Pression Interstitielle \(u\) (\(\text{kPa}\)) -
Contrainte Effective \(\sigma'_{\text{v}}\) (\(\text{kPa}\)) -

Le Saviez-Vous ?

Le principe de la contrainte effective est ce qui explique pourquoi les châteaux de sable doivent être faits avec du sable humide, et non sec ou complètement immergé. Dans le sable humide, de petites pressions interstitielles négatives (succion) se développent dans les ménisques d'eau entre les grains. Ces pressions négatives augmentent la contrainte effective (\(\sigma' = \sigma - (-u) = \sigma + u\)), ce qui "serre" les grains et donne au sable une cohésion apparente lui permettant de tenir debout.

Foire Aux Questions (FAQ)

La contrainte effective peut-elle être négative ?

Non, la contrainte effective représente la pression de contact entre les grains et ne peut donc pas être négative (les grains ne peuvent pas se "tirer" les uns les autres, sauf dans des cas très spécifiques de sols cimentés). Cependant, la pression interstitielle \(u\) peut être négative (succion) dans les sols non saturés au-dessus de la nappe phréatique, ce qui augmente la contrainte effective.

Comment mesure-t-on la pression interstitielle sur un vrai chantier ?

On utilise des instruments appelés piézomètres. Un piézomètre est essentiellement un tube ou une sonde que l'on insère dans le sol jusqu'à la profondeur souhaitée. Il est équipé d'un capteur de pression ou permet de mesurer le niveau d'eau qui s'équilibre à l'intérieur, donnant ainsi une mesure directe de la pression interstitielle à cet endroit.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la nappe phréatique monte, la contrainte effective à une profondeur donnée sous la nappe...

2. Laquelle de ces contraintes contrôle principalement la résistance au cisaillement d'un sable ?

Contrainte Totale (\(\sigma\))
Pression exercée en un point par le poids total de tout ce qui se trouve au-dessus (grains de sol, eau, air). Elle est calculée en utilisant les poids volumiques totaux ou humides.
Pression Interstitielle (\(u\))
Pression de l'eau dans les pores (vides) du sol. En condition hydrostatique, elle est égale au poids de la colonne d'eau au-dessus du point considéré.
Contrainte Effective (\(\sigma'\))
Contrainte supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui génère le frottement entre les grains et qui contrôle le comportement mécanique du sol. \(\sigma' = \sigma - u\).
Calcul de la Pression Interstitielle dans le Sol

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