Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Perméabilité (k)

Calcul de la Perméabilité (k) en Géotechnique

Comprendre le Calcul de la Perméabilité (k) en Géotechnique

La perméabilité d'un sol, représentée par le coefficient de perméabilité \(k\), est une mesure de sa capacité à laisser s'écouler l'eau à travers ses vides. C'est une propriété essentielle en géotechnique, influençant le comportement des sols sous charge, le drainage, la stabilité des talus, et le dimensionnement des ouvrages de retenue d'eau. L'essai au perméamètre à charge constante est une méthode courante pour déterminer \(k\) en laboratoire pour les sols à grains grossiers (sables, graviers).

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Calculer la section transversale de l'échantillon de sol.
  • Déterminer le gradient hydraulique appliqué à l'échantillon.
  • Calculer le débit d'eau à travers l'échantillon.
  • Appliquer la loi de Darcy pour calculer le coefficient de perméabilité \(k\).

Données de l'Exercice

Un essai de perméabilité à charge constante est réalisé sur un échantillon de sable.

Caractéristiques de l'échantillon et de l'essai :

  • Diamètre intérieur du perméamètre (et de l'échantillon, \(D\)) : \(7.5 \, \text{cm}\)
  • Longueur de l'échantillon de sol (\(L\)) : \(15.0 \, \text{cm}\)
  • Différence de charge hydraulique constante maintenue entre l'entrée et la sortie (\(\Delta h\)) : \(20.0 \, \text{cm}\)
  • Volume d'eau recueilli à la sortie (\(Q_v\)) : \(250 \, \text{cm}^3\)
  • Durée de l'écoulement pour recueillir ce volume (\(t\)) : \(120 \, \text{secondes}\)
Schéma d'un Perméamètre à Charge Constante
Perméamètre Sol (L) Recueil Qv Δh L Perméamètre à Charge Constante

Schéma de principe d'un essai de perméabilité à charge constante.

Questions à Traiter

  1. Calculer la section transversale (\(A\)) de l'échantillon de sol en \(\text{cm}^2\).
  2. Calculer le gradient hydraulique (\(i\)) à travers l'échantillon.
  3. Calculer le débit d'eau (\(q\)) à travers l'échantillon en \(\text{cm}^3\text{/s}\).
  4. Calculer le coefficient de perméabilité (\(k\)) du sable en \(\text{cm/s}\) en utilisant la loi de Darcy.
  5. Convertir le coefficient de perméabilité (\(k\)) en \(\text{m/s}\).

Correction : Calcul de la Perméabilité (k) en Géotechnique

Question 1 : Section transversale (\(A\)) de l'échantillon

Principe :

La section transversale d'un échantillon cylindrique est l'aire d'un cercle : \(A = \pi \times (D/2)^2 = \pi \times R^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \pi \frac{D^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) = \(7.5 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \times \frac{(7.5 \, \text{cm})^2}{4} \\ &= \pi \times \frac{56.25 \, \text{cm}^2}{4} \\ &\approx \pi \times 14.0625 \, \text{cm}^2 \\ &\approx 44.1786 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La section transversale de l'échantillon est \(A \approx 44.18 \, \text{cm}^2\).

Quiz Intermédiaire (Q1) : Si le diamètre de l'échantillon double, sa section transversale :

Question 2 : Gradient hydraulique (\(i\))

Principe :

Le gradient hydraulique est la perte de charge hydraulique par unité de longueur d'écoulement à travers le sol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i = \frac{\Delta h}{L} \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta h = 20.0 \, \text{cm}\)
  • \(L = 15.0 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} i &= \frac{20.0 \, \text{cm}}{15.0 \, \text{cm}} \\ &\approx 1.333 \end{aligned} \]

Le gradient hydraulique est un nombre sans dimension.

Résultat Question 2 : Le gradient hydraulique est \(i \approx 1.333\).

Quiz Intermédiaire (Q2) : Si la différence de charge \(\Delta h\) diminue, le gradient hydraulique \(i\) (pour une même longueur \(L\)) :

Question 3 : Débit d'eau (\(q\)) en \(\text{cm}^3\text{/s}\)

Principe :

Le débit est le volume d'eau recueilli par unité de temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q = \frac{Q_v}{t} \]
Données spécifiques :
  • \(Q_v = 250 \, \text{cm}^3\)
  • \(t = 120 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q &= \frac{250 \, \text{cm}^3}{120 \, \text{s}} \\ &\approx 2.083 \, \text{cm}^3\text{/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le débit d'eau est \(q \approx 2.083 \, \text{cm}^3\text{/s}\).

Question 4 : Coefficient de perméabilité (\(k\)) en \(\text{cm/s}\)

Principe :

La loi de Darcy relie le débit, le coefficient de perméabilité, le gradient hydraulique et la section transversale de l'échantillon : \(q = k \cdot i \cdot A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ k = \frac{q}{i \cdot A} \]
Données spécifiques :
  • \(q \approx 2.083 \, \text{cm}^3\text{/s}\) (résultat Q3)
  • \(i \approx 1.333\) (résultat Q2)
  • \(A \approx 44.18 \, \text{cm}^2\) (résultat Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k &= \frac{2.083 \, \text{cm}^3\text{/s}}{1.333 \times 44.18 \, \text{cm}^2} \\ &= \frac{2.083 \, \text{cm}^3\text{/s}}{58.89094 \, \text{cm}^2} \\ &\approx 0.03537 \, \text{cm/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient de perméabilité est \(k \approx 0.0354 \, \text{cm/s}\).

Quiz Intermédiaire (Q4) : Si le gradient hydraulique (\(i\)) augmente, pour un même débit (\(q\)) et une même section (\(A\)), le coefficient de perméabilité (\(k\)) calculé :

Question 5 : Conversion du coefficient de perméabilité (\(k\)) en \(\text{m/s}\)

Principe :

Pour convertir cm/s en m/s, on divise par 100 (puisqu'il y a 100 cm dans 1 m).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ k \, (\text{m/s}) = \frac{k \, (\text{cm/s})}{100} \]
Données spécifiques :
  • \(k \approx 0.0354 \, \text{cm/s}\) (résultat Q4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k \, (\text{m/s}) &= \frac{0.0354 \, \text{cm/s}}{100} \\ &= 0.000354 \, \text{m/s} \\ &= 3.54 \times 10^{-4} \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Ce type de valeur de perméabilité (\( \sim 10^{-4} \, \text{m/s} \)) est caractéristique d'un sable propre, moyennement perméable.

Résultat Question 5 : Le coefficient de perméabilité est \(k \approx 3.54 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\).

Quiz Récapitulatif

1. La loi de Darcy stipule que le débit d'eau à travers un sol est :

2. Un sol ayant un coefficient de perméabilité \(k = 10^{-7} \, \text{m/s}\) est typiquement considéré comme :

3. Le gradient hydraulique (\(i\)) est :

Glossaire

Perméabilité (Coefficient de, \(k\))
Propriété d'un sol caractérisant sa capacité à laisser s'écouler un fluide (généralement l'eau) à travers ses vides interconnectés. Unité typique : m/s ou cm/s.
Loi de Darcy
Loi empirique décrivant l'écoulement de l'eau dans un milieu poreux saturé. Elle stipule que le débit (\(q\)) est proportionnel au gradient hydraulique (\(i\)) et à la section d'écoulement (\(A\)) : \(q = k \cdot i \cdot A\).
Gradient Hydraulique (\(i\))
Rapport de la perte de charge hydraulique (\(\Delta h\)) à la distance d'écoulement (\(L\)) : \(i = \Delta h / L\). C'est un nombre sans dimension.
Charge Hydraulique (\(h\))
Énergie totale de l'eau par unité de poids, comprenant l'énergie de position (cote), l'énergie de pression et l'énergie cinétique (souvent négligeable dans les sols).
Perméamètre à Charge Constante
Appareil de laboratoire utilisé pour mesurer le coefficient de perméabilité des sols à grains grossiers (sables, graviers) en maintenant une différence de charge hydraulique constante à travers l'échantillon.
Débit (\(q\))
Volume de fluide qui s'écoule par unité de temps (ex: \(\text{m}^3\text{/s}\), \(\text{cm}^3\text{/s}\)).
Exercice : Calcul de la Perméabilité (k) en Géotechnique - Application Pratique

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