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Calcul de la longueur de flambement critique

Calcul de la Longueur de Flambement Critique

Calcul de la Longueur de Flambement Critique

Contexte : La stabilité des éléments comprimés.

Lorsqu'un élément élancé, comme un poteau, est soumis à un effort de compression, il ne se rompt pas nécessairement par écrasement de la matière. Au-delà d'une certaine charge, dite "charge critique", il peut perdre brutalement sa stabilité et se déformer latéralement de manière importante : c'est le phénomène de flambementPhénomène d'instabilité d'une structure soumise à un effort de compression, qui se traduit par une déformation transversale importante et soudaine.. Cette instabilité est l'un des modes de ruine les plus critiques pour les structures métalliques. La capacité d'un poteau à résister au flambement dépend de sa section, de sa longueur, mais surtout de la manière dont il est maintenu à ses extrémités.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la méthode de l'Eurocode 3 pour vérifier la stabilité au flambement d'un poteau. Nous allons déterminer sa "longueur de flambement" en fonction de ses appuis, calculer son "élancement" pour évaluer sa sensibilité au phénomène, et enfin déterminer la charge maximale qu'il peut supporter avant de flamber.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la longueur de flambementLongueur théorique d'un poteau articulé-articulé qui aurait la même charge critique que le poteau réel avec ses conditions d'appuis spécifiques. d'un poteau en fonction de ses conditions d'appuis.
  • Calculer l'élancement et l'élancement réduit d'un élément comprimé.
  • Utiliser les courbes de flambement de l'Eurocode 3 pour déterminer le coefficient de réduction \(\chi\).
  • Vérifier la résistance au flambement d'un poteau en acier.

Données de l'étude

On étudie un poteau d'un bâtiment industriel, constitué d'un profilé HEA 240 en acier S235. Le poteau a une hauteur de 5,0 mètres. Il est considéré comme parfaitement encastré à sa base et articulé en tête. Il est soumis à un effort normal de compression de calcul \(N_{Ed} = 450 \, \text{kN}\).

Schéma du poteau et de ses liaisons
N_Ed = 450 kN H = 5.0 m
Vue 3D interactive du poteau
Paramètre Symbole Valeur Unité
Profilé - HEA 240 -
Hauteur du poteau \(L\) 5.0 \(\text{m}\)
Effort de compression ELU \(N_{\text{Ed}}\) 450 \(\text{kN}\)
Nuance d'acier - S235 -
Aire de la section \(A\) 76.8 \(\text{cm}^2\)
Inertie (axe faible) \(I_{\text{z}}\) 2770 \(\text{cm}^4\)

Questions à traiter

  1. Déterminer la longueur de flambement critique \(L_{cr}\) du poteau.
  2. Calculer l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) du poteau.
  3. Déterminer le coefficient de réduction pour le flambement \(\chi\).
  4. Vérifier la résistance du poteau au flambement.

Les bases du calcul au flambement

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de l'Eurocode 3.

1. La Longueur de Flambement (\(L_{cr}\)) :
Un poteau ne flambe pas sur sa longueur réelle, mais sur une "longueur de flambement" qui dépend de ses appuis. Cette longueur est la distance entre deux points de moment nul sur la déformée. On la calcule par : \[ L_{cr} = K \cdot L \] Où \(L\) est la longueur réelle et \(K\) est un coefficient dépendant des liaisons (ex: \(K=1.0\) pour articulé-articulé, \(K=0.7\) pour encastré-articulé, \(K=0.5\) pour encastré-encastré).

2. L'Élancement (\(\lambda\)) :
L'élancement est un nombre sans dimension qui mesure la "sveltesse" du poteau. Il compare sa longueur de flambement à sa capacité à résister à la flexion (via son rayon de giration \(i\)). Un grand élancement signifie un risque de flambement élevé. \[ \lambda = \frac{L_{cr}}{i} \quad \text{avec} \quad i = \sqrt{\frac{I}{A}} \]

3. Le Coefficient de Réduction (\(\chi\)) :
Les poteaux réels ne sont jamais parfaits. Pour tenir compte des imperfections (géométriques, de matéria), l'Eurocode 3 réduit la résistance en compression simple par un coefficient \(\chi\) (chi), toujours inférieur à 1. Ce coefficient dépend de l'élancement et du type de profilé (via les "courbes de flambement"). La résistance finale est : \[ N_{b,Rd} = \chi \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M1}} \]

Correction : Calcul de la Longueur de Flambement Critique

Question 1 : Déterminer la longueur de flambement critique \(L_{cr}\)

Principe (le concept physique)

La longueur de flambement représente la longueur d'un poteau équivalent, articulé à ses deux extrémités, qui aurait la même charge critique de flambement que notre poteau réel avec ses conditions d'appuis spécifiques. Les liaisons (encastrement, articulation) contraignent la manière dont le poteau peut se déformer et influencent directement sa stabilité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients de flambement \(K\) sont issus de la résolution de l'équation différentielle de la déformée d'une poutre sous compression. Pour le cas "théorique" d'un poteau encastré en base et articulé en tête, la théorie d'Euler montre que la première forme de flambement correspond à une sinusoïde de longueur \(0.7 \cdot L\). C'est pourquoi le coefficient théorique est de 0.7.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La détermination de la longueur de flambement est l'étape la plus importante et souvent la plus délicate du calcul. Une mauvaise estimation des conditions d'appuis peut conduire à une erreur significative sur la résistance finale. Il faut toujours se demander : "Est-ce que cette liaison empêche la rotation ? Empêche-t-elle la translation ?".

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1, Annexe BB) fournit des valeurs recommandées pour le coefficient \(K\) pour des cas courants de portiques. Pour un poteau encastré en pied et articulé en tête dans un portique à nœuds déplaçables, les valeurs peuvent être plus complexes, mais pour un élément isolé, la valeur théorique est un bon point de départ.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La longueur de flambement est donnée par :

\[ L_{cr} = K \cdot L \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère le cas théorique idéal d'un encastrement parfait en pied et d'une articulation parfaite en tête, sans déplacement latéral de l'appui supérieur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur du poteau, \(L = 5.0 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appuis : Encastré - Articulé, ce qui donne un coefficient théorique \(K = 0.7\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Mémorisez les 4 cas de base : Articulé-Articulé (K=1.0, le cas de référence), Encastré-Encastré (K=0.5, le plus stable), Encastré-Articulé (K=0.7), Encastré-Libre (K=2.0, le plus instable). La plupart des situations réelles peuvent être ramenées à l'un de ces cas ou à une interpolation entre eux.

Schéma (Avant les calculs)
Déformée de flambement et longueur critique
L_cr = 0.7 * L
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule :

\[ \begin{aligned} L_{cr} &= K \cdot L \\ &= 0.7 \cdot 5.0 \, \text{m} \\ &= 3.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la longueur de flambement
L_cr = 3.5 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'encastrement en pied rigidifie le poteau et réduit sa longueur de flambement effective de 5.0 m à 3.5 m. Cela signifie que le poteau est plus stable que s'il avait été simplement articulé à sa base. Cette réduction aura un impact direct et favorable sur sa résistance au flambement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais supposer qu'un appui est un encastrement parfait. En pratique, les fondations peuvent tourner légèrement. L'Eurocode fournit des méthodes plus fines (parfois en utilisant des valeurs de K supérieures à 0.7) pour tenir compte de cette flexibilité, ce qui est plus sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La longueur de flambement \(L_{cr}\) est la longueur effective de l'élément vis-à-vis de l'instabilité.
  • Elle se calcule via \(L_{cr} = K \cdot L\).
  • Le coefficient \(K\) dépend uniquement des conditions de liaisons aux extrémités.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de la charge critique de flambement a été établie par le mathématicien Leonhard Euler en 1744. C'est l'une des plus anciennes et des plus importantes formules de la résistance des matériaux, et elle reste le fondement théorique des méthodes de calcul modernes utilisées dans les Eurocodes.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on vérifier le flambement dans les deux directions du profilé ?

Oui, absolument. Il faut calculer une longueur de flambement pour l'axe fort (\(L_{cr,y}\)) et une pour l'axe faible (\(L_{cr,z}\)), car les maintiens peuvent être différents dans les deux plans. On effectue ensuite la vérification pour l'élancement le plus défavorable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La longueur de flambement critique du poteau est \(L_{cr} = 3.5 \, \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était encastré à ses deux extrémités, quelle serait sa longueur de flambement \(L_{cr}\) ?

Question 2 : Calculer l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\)

Principe (le concept physique)

L'élancement réduit est un paramètre central du calcul au flambement selon l'Eurocode. Il compare la résistance maximale en compression simple du poteau (sa résistance plastique) à sa résistance au flambement élastique (la charge critique d'Euler). Un \(\bar{\lambda}\) élevé indique que le poteau est très sensible au flambement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) est défini par \(\sqrt{N_{cr,pl}/N_{cr,el}}\). \(N_{cr,pl} = A \cdot f_y\) est la charge d'écrasement plastique. \(N_{cr,el} = \pi^2 E I / L_{cr}^2\) est la charge critique d'Euler. La formule \(\bar{\lambda} = \frac{L_{cr}}{i} \frac{1}{\lambda_1}\) est une simplification de ce rapport, où \(\lambda_1 = \pi \sqrt{E/f_y}\) est un coefficient qui ne dépend que de l'acier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas l'élancement classique \(\lambda\) et l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\). Le premier est purement géométrique (\(L_{cr}/i\)). Le second, \(\bar{\lambda}\), inclut les propriétés du matériau (\(E\) et \(f_y\)) et est celui qui est utilisé directement dans les formules de l'Eurocode pour trouver le coefficient de réduction \(\chi\).

Normes (la référence réglementaire)

La définition de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) et du coefficient \(\lambda_1\) est donnée au paragraphe 6.3.1.2 de la norme NF EN 1993-1-1.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Élancement réduit :

\[ \bar{\lambda} = \frac{L_{cr}}{i_z} \cdot \frac{1}{\lambda_1} \]

Avec le paramètre de l'acier :

\[ \lambda_1 = \pi \sqrt{\frac{E}{f_y}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On vérifie le flambement par rapport à l'axe de faible inertie du profilé (axe z-z), car c'est le plus défavorable. On utilise les valeurs standards pour le module d'Young (\(E\)) et la limite élastique (\(f_y\)) de l'acier S235.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur de flambement, \(L_{cr} = 3.5 \, \text{m} = 3500 \, \text{mm}\)
  • Profilé HEA 240 : \(A = 76.8 \, \text{cm}^2\), \(I_z = 2770 \, \text{cm}^4\)
  • Acier S235 : \(f_y = 235 \, \text{MPa}\), \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour l'acier S235, la valeur de \(\lambda_1\) est toujours la même : \(\lambda_1 = \pi \sqrt{210000/235} \approx 93.9\). Apprendre cette valeur par cœur peut faire gagner du temps dans les calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres pour le calcul de l'élancement
L_cri_zλ₁λ̄ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du rayon de giration \(i_z\) :

\[ \begin{aligned} i_z &= \sqrt{\frac{I_z}{A}} \\ &= \sqrt{\frac{2770 \, \text{cm}^4}{76.8 \, \text{cm}^2}} \\ &= \sqrt{36.07 \, \text{cm}^2} \\ &= 6.0 \, \text{cm} = 60 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul du coefficient \(\lambda_1\) :

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \pi \sqrt{\frac{E}{f_y}} \\ &= \pi \sqrt{\frac{210000 \, \text{N/mm}^2}{235 \, \text{N/mm}^2}} \\ &= 93.9 \end{aligned} \]

3. Calcul de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_z\) :

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_z &= \frac{L_{cr}}{i_z} \cdot \frac{1}{\lambda_1} \\ &= \frac{3500 \, \text{mm}}{60 \, \text{mm}} \cdot \frac{1}{93.9} \\ &= 58.33 \cdot \frac{1}{93.9} \\ &= 0.621 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement sur l'échelle de l'élancement
0Trapu2.0Élancéλ̄ = 0.621
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un élancement réduit de 0.621 indique que le poteau se situe dans une zone intermédiaire. Il n'est pas assez "trapu" pour que le risque de flambement soit négligeable (\(\bar{\lambda} \le 0.2\)), mais il n'est pas non plus extrêmement élancé. On s'attend donc à une réduction modérée de sa résistance due au flambement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est une mauvaise gestion des unités. Le rayon de giration et la longueur de flambement doivent être dans la même unité (mm ou cm) avant de faire le rapport. Une erreur d'un facteur 10 sur \(i\) ou \(L_{cr}\) entraînera une erreur énorme sur l'élancement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) est le paramètre clé pour entrer dans les formules de l'Eurocode.
  • Il combine la géométrie (\(L_{cr}, i\)) et le matériau (\(E, f_y\)).
  • Un \(\bar{\lambda}\) faible signifie un faible risque de flambement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les matériaux composites utilisés dans l'aéronautique ou la Formule 1, le calcul au flambement est encore plus complexe. La rigidité du matériau n'est pas la même dans toutes les directions (anisotropie), ce qui oblige à utiliser des modèles de calcul beaucoup plus avancés.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne vérifie-t-on pas l'axe fort (y-y) ?

Pour un profilé en H, l'inertie selon l'axe fort est bien plus grande que celle de l'axe faible. Si les longueurs de flambement sont identiques dans les deux plans, l'élancement de l'axe faible sera toujours plus grand, et donc plus défavorable. On ne vérifie l'axe fort que si des maintiens intermédiaires bloquent le flambement dans le plan faible mais pas dans le plan fort.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement réduit du poteau par rapport à son axe faible est \(\bar{\lambda}_z = 0.621\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau avait une hauteur de 7m (et toujours encastré-articulé), quel serait son nouvel élancement réduit \(\bar{\lambda}_z\) ?

Question 3 : Déterminer le coefficient de réduction \(\chi\)

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(\chi\) (chi) est un facteur de réduction, compris entre 0 et 1, qui quantifie la perte de résistance d'un poteau due à l'effet combiné du flambement et des imperfections inévitables de fabrication et de montage. Plus le poteau est élancé, plus \(\chi\) est petit, et plus la réduction de résistance est importante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'Eurocode 3 définit cinq "courbes de flambement" (a0, a, b, c, d) qui représentent différents niveaux d'imperfections. Chaque type de profilé est associé à une courbe. Pour trouver \(\chi\), on calcule d'abord un paramètre \(\Phi\) qui dépend de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) et d'un "facteur d'imperfection" \(\alpha\) lié à la courbe de flambement choisie. La formule de \(\chi\) est ensuite déduite de \(\Phi\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix de la bonne courbe de flambement est une étape clé. Heureusement, l'Eurocode 3 fournit des tableaux (Tableau 6.2) qui simplifient grandement ce choix en fonction du type de profilé, de la nuance d'acier et de l'axe de flambement considéré. Une erreur sur la courbe peut mener à un calcul de résistance incorrect.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules pour \(\Phi\) et \(\chi\), ainsi que les valeurs du facteur d'imperfection \(\alpha\) pour chaque courbe, sont données au paragraphe 6.3.1.2 de la norme NF EN 1993-1-1. Le choix de la courbe de flambement est régi par le Tableau 6.2.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient de réduction :

\[ \chi = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}} \le 1.0 \]

Avec le paramètre intermédiaire :

\[ \Phi = 0.5 \left[1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2\right] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour un profilé HEA en S235, avec \(h/b > 1.2\) et une épaisseur de semelle \(t_f \le 40 \, \text{mm}\), le flambement autour de l'axe faible (z-z) est régi par la courbe de flambement c.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Élancement réduit, \(\bar{\lambda}_z = 0.621\) (de Q2)
  • Courbe de flambement 'c' \(\Rightarrow\) Facteur d'imperfection \(\alpha = 0.49\) (Tableau 6.1 de l'EC3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs manuels, il est facile de faire des erreurs dans la formule de \(\Phi\). Décomposez le calcul : calculez d'abord le terme \(\alpha(\bar{\lambda} - 0.2)\), puis ajoutez 1 et \(\bar{\lambda}^2\), et enfin divisez par 2. Cela minimise les risques d'erreur de saisie sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Utilisation des courbes de flambement
Élancement réduit (λ̄)Coeff. de réduction (χ)Courbe 'c'0.621χ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du paramètre \(\Phi\) :

\[ \begin{aligned} \Phi &= 0.5 \left[1 + \alpha(\bar{\lambda}_z - 0.2) + \bar{\lambda}_z^2\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.49(0.621 - 0.2) + 0.621^2\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.49(0.421) + 0.386\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.206 + 0.386\right] \\ &= 0.5 \left[1.592\right] \\ &= 0.796 \end{aligned} \]

2. Calcul du coefficient de réduction \(\chi\) :

\[ \begin{aligned} \chi &= \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}_z^2}} \\ &= \frac{1}{0.796 + \sqrt{0.796^2 - 0.621^2}} \\ &= \frac{1}{0.796 + \sqrt{0.634 - 0.386}} \\ &= \frac{1}{0.796 + \sqrt{0.248}} \\ &= \frac{1}{0.796 + 0.498} \\ &= \frac{1}{1.294} \\ &= 0.773 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat du coefficient de réduction
Résistance plastique (100%)Résistance au flambement (77.3%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coefficient \(\chi = 0.773\) signifie que le poteau a perdu environ 23% de sa résistance en compression simple à cause du risque de flambement. C'est une réduction significative qui montre bien l'importance de ce phénomène dans le dimensionnement des éléments comprimés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le terme \(\bar{\lambda} - 0.2\) dans la formule de \(\Phi\) est nul si \(\bar{\lambda} \le 0.2\). Ne pas oublier cette condition peut mener à des erreurs pour les poteaux très trapus. De plus, assurez-vous que la valeur finale de \(\chi\) est bien inférieure ou égale à 1.0. Si vous trouvez plus, il y a une erreur de calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le choix de la courbe de flambement est la première étape.
  • On calcule ensuite le paramètre intermédiaire \(\Phi\).
  • On en déduit le coefficient de réduction \(\chi\), qui représente la perte de résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ponts en arc, comme le célèbre Harbour Bridge de Sydney, sont des structures où la compression est l'effort dominant. La vérification au flambement de l'arc supérieur, qui est un immense élément comprimé, est l'un des points les plus critiques de la conception de tels ouvrages.

FAQ (pour lever les doutes)
Existe-t-il des tables pour trouver \(\chi\) directement ?

Oui, l'Eurocode 3 fournit des tables qui donnent la valeur de \(\chi\) en fonction de la courbe de flambement et de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\). C'est beaucoup plus rapide que le calcul manuel et limite les risques d'erreur. Les logiciels de calcul de structure utilisent ces tables ou les formules directement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de réduction pour le flambement est \(\chi = 0.773\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour la courbe 'b' (\(\alpha = 0.34\)) et avec \(\bar{\lambda}_z = 0.621\), quel serait le nouveau coefficient \(\chi\) ?

Question 4 : Vérifier la résistance du poteau au flambement

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de la vérification. On compare la charge que le poteau doit supporter (\(N_{Ed}\)) à la charge maximale qu'il est capable de supporter avant de flamber (\(N_{b,Rd}\)). La résistance au flambement est simplement la résistance en compression simple du profilé, affectée du coefficient de réduction \(\chi\) que nous venons de calculer.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Toutes les étapes précédentes convergent vers ce calcul final. C'est ici que l'on conclut si le profilé choisi est adéquat ou non. La vérification se résume à une simple comparaison : "ce que ça doit tenir" \(\le\) "ce que ça peut tenir".

Normes (la référence réglementaire)

La condition de vérification pour les éléments uniformes soumis à la compression est donnée par la formule (6.46) au paragraphe 6.3.1.1 de la norme NF EN 1993-1-1.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de vérification :

\[ \frac{N_{Ed}}{N_{b,Rd}} \le 1.0 \]

Avec la résistance au flambement :

\[ N_{b,Rd} = \chi \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M1}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le coefficient partiel de sécurité pour la résistance des membres à l'instabilité, \(\gamma_{M1} = 1.0\), comme recommandé par l'Eurocode 3.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de compression, \(N_{Ed} = 450 \, \text{kN}\)
  • Coefficient de réduction, \(\chi = 0.773\) (de Q3)
  • Profilé HEA 240 : \(A = 76.8 \, \text{cm}^2 = 7680 \, \text{mm}^2\)
  • Acier S235 : \(f_y = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • Coefficient \(\gamma_{M1} = 1.0\)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance au flambement \(N_{b,Rd}\) :

\[ \begin{aligned} N_{b,Rd} &= \chi \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M1}} \\ &= 0.773 \cdot \frac{7680 \, \text{mm}^2 \cdot 235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 0.773 \cdot 1804800 \, \text{N} \\ &= 1395100 \, \text{N} \\ &= 1395.1 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Vérification finale :

\[ \begin{aligned} \frac{N_{Ed}}{N_{b,Rd}} &= \frac{450 \, \text{kN}}{1395.1 \, \text{kN}} \\ &= 0.32 \le 1.0 \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification Finale de la Résistance
Effort N_Ed = 450 kNRésistance N_b,Rd = 1395.1 kNOK ✔️ (Ratio = 32%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poteau est très largement surdimensionné pour la charge appliquée. Il ne travaille qu'à 32% de sa capacité au flambement. Cela signifie qu'on pourrait soit lui appliquer une charge beaucoup plus importante, soit, dans une optique d'optimisation, choisir un profilé plus petit et plus léger (par exemple un HEA 180 ou HEA 200) et refaire la vérification.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'appliquer le coefficient \(\chi\) ! Une vérification en compression simple (\(N_{Ed} \le A \cdot f_y / \gamma_{M0}\)) serait correcte pour un poteau très court, mais est dangereuse et non réglementaire pour un poteau élancé, car elle ignore complètement le risque de flambement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au flambement est la résistance en compression simple réduite par le coefficient \(\chi\).
  • La vérification finale est une simple comparaison entre l'effort appliqué et la résistance calculée.
  • Un ratio très faible (\(<< 1.0\)) indique un surdimensionnement potentiel.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance au flambement du poteau HEA 240 (\(N_{b,Rd} = 1395.1 \, \text{kN}\)) est supérieure à l'effort de compression de calcul (\(N_{Ed} = 450 \, \text{kN}\)). Le poteau est donc stable au flambement.

Outil Interactif : Paramètres du Poteau

Modifiez les paramètres du poteau pour voir leur influence sur sa résistance au flambement.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
Résultats Clés
Élancement réduit (\(\bar{\lambda}\)) -
Résistance au flambement (kN) -
Ratio de travail (pour 450 kN) -

Le Saviez-Vous ?

Le flambement n'est pas limité aux poteaux. Les grandes poutres peuvent aussi flamber, mais d'une manière différente appelée "déversement". C'est un phénomène de flambement latéral de la semelle comprimée de la poutre, qui se tord et se déplace latéralement. La vérification au déversement est l'un des calculs les plus complexes en charpente métallique.

Que se passe-t-il si la vérification au flambement n'est pas satisfaite ?

L'ingénieur a plusieurs options : choisir un profilé plus gros (qui aura une plus grande inertie et donc une meilleure résistance), changer la nuance d'acier pour une plus résistante (S355 au lieu de S235), ou, si possible, ajouter des maintiens intermédiaires (par exemple avec des lisses) pour réduire la longueur de flambement.

Cet exercice ne considère que la compression. Comment fait-on si le poteau est aussi fléchi ?

C'est le cas le plus courant, appelé "flexion composée". L'Eurocode 3 propose des formules d'interaction qui combinent les ratios de travail en flexion et en compression. La vérification est plus complexe et s'assure que la combinaison des deux sollicitations ne dépasse pas la capacité de l'élément.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un poteau de même longueur et même section, quelle condition d'appui offre la meilleure résistance au flambement ?

2. Si l'on double la hauteur d'un poteau articulé-articulé, sa charge critique de flambement (selon Euler) est...

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité élastique par lequel un élément élancé soumis à un effort normal de compression se déforme de manière importante dans une direction transversale à l'effort appliqué.
Longueur de Flambement
Longueur théorique d'un poteau équivalent, qui serait articulé à ses deux extrémités et qui aurait la même charge critique de flambement que le poteau réel avec ses conditions d'appuis spécifiques.
Élancement
Rapport sans dimension entre la longueur de flambement d'un poteau et son rayon de giration. Il caractérise la propension d'un élément à flamber.
Calcul de la Longueur de Flambement Critique

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