Études de cas pratique

EGC

Analyse d’une Poutre en Acier

Analyse d’une Poutre en Acier IPE 270

Analyse d’une Poutre en Acier IPE 270

Comprendre l'Analyse d’une Poutre en Acier IPE 270

Une poutre IPE 270 est un type de profilé en acier couramment utilisé dans la construction métallique. "IPE" signifie "Profilé Européen à ailes parallèles et inclinées intérieurement" (bien que les IPE modernes aient des ailes parallèles). Le nombre "270" désigne la hauteur nominale de la section en millimètres. Ces poutres sont appréciées pour leur rapport résistance/poids optimisé, les rendant efficaces pour reprendre les charges de flexion. Dans cet exercice, nous allons analyser le comportement d'une telle poutre sous des charges données. L'objectif est de comprendre comment vérifier sa résistance aux États Limites Ultimes (ELU) pour l'effort tranchant et le moment fléchissant, ainsi que sa déformation (flèche) aux États Limites de Service (ELS), en suivant les principes de la norme Eurocode 3.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier simplement appuyée à ses deux extrémités, de profilé IPE 270 et de nuance S275. La poutre est soumise à des charges uniformément réparties.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : IPE 270
  • Portée de la poutre (entre appuis) : \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Nuance d'acier : S275
    • Limite d'élasticité : \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)
    • Module d'Young : \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
  • Caractéristiques du profilé IPE 270 (valeurs typiques) :
    • Masse linéique : \(36.1 \, \text{kg/m}\)
    • Aire de la section (\(A\)) : \(45.9 \, \text{cm}^2 = 4590 \, \text{mm}^2\)
    • Moment d'inertie par rapport à l'axe fort y-y (\(I_y\)) : \(5790 \, \text{cm}^4 = 5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
    • Module d'élasticité en flexion (\(W_{el,y}\)) : \(429 \, \text{cm}^3 = 429 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
    • Module de plasticité en flexion (\(W_{pl,y}\)) : \(484 \, \text{cm}^3 = 484 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
    • Aire de cisaillement (\(A_{vz}\)) : \(20.9 \, \text{cm}^2 = 2090 \, \text{mm}^2\) (valeur approchée pour cisaillement selon z)
    • Dimensions pour classification : \(h=270 \text{ mm}, b_f=135 \text{ mm}, t_w=6.6 \text{ mm}, t_f=10.2 \text{ mm}, r=15 \text{ mm}\)

Charges (valeurs caractéristiques) :

  • Charge permanente répartie (hors poids propre) : \(g_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation répartie : \(q_k = 15 \, \text{kN/m}\)

Coefficients partiels de sécurité (Eurocode) :

  • Pour les charges permanentes (ELU) : \(\gamma_G = 1.35\)
  • Pour les charges d'exploitation (ELU) : \(\gamma_Q = 1.50\)
  • Pour la résistance du matériau (ELU) : \(\gamma_{M0} = 1.0\)

Hypothèse : La poutre est protégée contre le déversement latéral.

Schéma de la Poutre et des Charges
A V_A B V_B \(p_{Ed}\) L = 6.0 m

Poutre IPE 270 sur deux appuis simples avec charge uniformément répartie.

Questions à traiter

  1. Calculer le poids propre linéique caractéristique de la poutre (\(p_{p,k}\)).
  2. Déterminer la charge répartie de calcul totale à l'ELU (\(p_{Ed}\)) appliquée à la poutre.
  3. Calculer les réactions d'appui à l'ELU (\(V_{A,Ed}\) et \(V_{B,Ed}\)).
  4. Tracer (qualitativement ET quantitativement avec SVG) les diagrammes de l'effort tranchant (\(V_{Ed}(x)\)) et du moment fléchissant (\(M_{Ed}(x)\)) à l'ELU. Déterminer les valeurs maximales \(V_{Ed,max}\) et \(M_{Ed,max}\).
  5. Classifier la section transversale du profilé IPE 270 en acier S275.
  6. Vérifier la résistance de la section à l'effort tranchant à l'ELU.
  7. Vérifier la résistance de la section au moment fléchissant à l'ELU.
  8. Calculer la flèche maximale de la poutre sous charges caractéristiques de service (ELS) et la vérifier par rapport à une limite de \(L/250\).

Correction Détaillée

Question 1 : Poids propre linéique caractéristique (\(p_{p,k}\))

Principe :

Le poids propre linéique est obtenu en multipliant la masse linéique du profilé par l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{p,k} = \text{masse linéique} \times g\]

Où \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\).

Données spécifiques :
  • Masse linéique de l'IPE 270 : \(36.1 \, \text{kg/m}\)
  • Accélération gravitationnelle (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{p,k} &= 36.1 \, \text{kg/m} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 354.141 \, \text{N/m} \\ &\approx 0.354 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le poids propre linéique caractéristique est \(p_{p,k} \approx 0.354 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge répartie de calcul totale à l'ELU (\(p_{Ed}\))

Principe :

La charge de calcul totale à l'ELU est la somme des charges permanentes (incluant le poids propre) et des charges d'exploitation, chacune multipliée par son coefficient partiel de sécurité respectif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{Ed} = \gamma_G \cdot (g_k + p_{p,k}) + \gamma_Q \cdot q_k\]
Données spécifiques :
  • Charge permanente (hors poids propre) \(g_k\) : \(10 \, \text{kN/m}\)
  • Poids propre \(p_{p,k}\) : \(0.354 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation \(q_k\) : \(15 \, \text{kN/m}\)
  • Coefficient \(\gamma_G\) : \(1.35\)
  • Coefficient \(\gamma_Q\) : \(1.50\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{Ed} &= 1.35 \times (10 \, \text{kN/m} + 0.354 \, \text{kN/m}) + 1.50 \times 15 \, \text{kN/m} \\ &= 1.35 \times 10.354 \, \text{kN/m} + 22.5 \, \text{kN/m} \\ &= 13.9779 \, \text{kN/m} + 22.5 \, \text{kN/m} \\ &= 36.4779 \, \text{kN/m} \\ &\approx 36.48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La charge répartie de calcul totale à l'ELU est \(p_{Ed} \approx 36.48 \, \text{kN/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Quelle est la principale raison d'utiliser des coefficients partiels de sécurité (\(\gamma_G, \gamma_Q\)) ?

Question 3 : Réactions d'appui à l'ELU (\(V_{A,Ed}\) et \(V_{B,Ed}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, les réactions d'appui sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale appliquée sur la poutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{A,Ed} = V_{B,Ed} = \frac{p_{Ed} \cdot L}{2}\]
Données spécifiques :
  • Charge répartie de calcul \(p_{Ed}\) : \(36.48 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L\) : \(6.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{A,Ed} = V_{B,Ed} &= \frac{36.48 \, \text{kN/m} \times 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{218.88 \, \text{kN}}{2} \\ &= 109.44 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les réactions d'appui à l'ELU sont \(V_{A,Ed} = V_{B,Ed} = 109.44 \, \text{kN}\).

Question 4 : Diagrammes \(V_{Ed}(x)\) et \(M_{Ed}(x)\), et valeurs maximales

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie \(p_{Ed}\) : L'effort tranchant \(V_{Ed}(x)\) varie linéairement de \(+V_{A,Ed}\) à l'appui A (\(x=0\)) à \(-V_{B,Ed}\) à l'appui B (\(x=L\)). Il est nul au milieu de la portée (\(x=L/2\)). Le moment fléchissant \(M_{Ed}(x)\) varie paraboliquement, il est nul aux appuis et maximal au milieu de la portée, là où l'effort tranchant est nul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed}(x) = V_{A,Ed} - p_{Ed} \cdot x\] \[M_{Ed}(x) = V_{A,Ed} \cdot x - \frac{p_{Ed} \cdot x^2}{2}\] \[V_{Ed,max} = V_{A,Ed} = V_{B,Ed}\] \[M_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} \cdot L^2}{8} \quad (\text{pour } x=L/2)\]
Données spécifiques :
  • \(V_{A,Ed} = 109.44 \, \text{kN}\)
  • \(p_{Ed} = 36.48 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul des valeurs maximales :

Effort tranchant maximal (aux appuis) :

\[V_{Ed,max} = 109.44 \, \text{kN}\]

Moment fléchissant maximal (à \(x=L/2 = 3.0 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{36.48 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{36.48 \times 36}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{1313.28}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Diagrammes (SVG) :

Diagramme de l'Effort Tranchant \(V_{Ed}(x)\)

x (m) V (kN) +109.44 -109.44 0 (L/2=3m) 0 L=6m

Linéaire de +109.44 kN à -109.44 kN, passant par 0 à mi-portée.

Diagramme du Moment Fléchissant \(M_{Ed}(x)\)

x (m) M (kNm) 164.16 (L/2=3m) 0 L=6m

Parabolique, nul aux appuis, maximal à +164.16 kNm à mi-portée.

Résultat Question 4 :
  • Effort tranchant maximal : \(V_{Ed,max} = 109.44 \, \text{kN}\).
  • Moment fléchissant maximal : \(M_{Ed,max} = 164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
  • Les diagrammes sont tracés ci-dessus.

Question 5 : Classification de la section IPE 270 S275

Principe :

La classification d'une section (Classe 1, 2, 3 ou 4) détermine sa capacité de rotation et si sa résistance plastique peut être atteinte. Elle dépend des rapports largeur/épaisseur de ses parois (semelles et âme) et de la limite d'élasticité de l'acier. Pour l'acier S275, \(f_y = 275 \, \text{MPa}\). Le paramètre \(\epsilon = \sqrt{235/f_y}\) est utilisé.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, Tableau 5.2) :
\[\epsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}\]

Pour une semelle comprimée d'un profilé en I (partie en console) : \(c = (b_f - t_w - 2r)/2\). Limite Classe 1 : \(c/t_f \leq 9\epsilon\).

Pour une âme fléchie : \(d = h - 2t_f - 2r\). Limite Classe 1 : \(d/t_w \leq 72\epsilon\).

Données spécifiques :
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)
  • Profilé IPE 270 : \(h=270 \text{ mm}, b_f=135 \text{ mm}, t_w=6.6 \text{ mm}, t_f=10.2 \text{ mm}, r=15 \text{ mm}\)
Calcul :
\[\epsilon = \sqrt{\frac{235}{275}} \approx \sqrt{0.8545} \approx 0.924\]

Classification de la semelle (outstand flange) :

\[c = \frac{b_f - t_w - 2r}{2} = \frac{135 - 6.6 - 2 \times 15}{2} = \frac{135 - 6.6 - 30}{2} = \frac{98.4}{2} = 49.2 \, \text{mm}\] \[\frac{c}{t_f} = \frac{49.2}{10.2} \approx 4.824\]

Limite pour Classe 1 : \(9\epsilon = 9 \times 0.924 = 8.316\).

Comparaison : \(4.824 \leq 8.316\). Donc la semelle est de Classe 1.

Classification de l'âme (web under bending) :

La hauteur de la partie droite de l'âme est \(d = h - 2t_f - 2r = 270 - 2(10.2) - 2(15) = 270 - 20.4 - 30 = 219.6 \, \text{mm}\).

\[\frac{d}{t_w} = \frac{219.6}{6.6} \approx 33.27\]

Limite pour Classe 1 (âme en flexion) : \(72\epsilon = 72 \times 0.924 = 66.528\).

Comparaison : \(33.27 \leq 66.528\). Donc l'âme est de Classe 1.

Résultat Question 5 : La semelle et l'âme sont de Classe 1. La section IPE 270 en acier S275 est donc de Classe 1. Cela signifie qu'elle peut développer sa résistance plastique en flexion sans voilement local.

Quiz Intermédiaire 2 : Si une section est de Classe 3, quel moment résistant doit-on utiliser pour la vérification en flexion ?

Question 6 : Vérification de la résistance à l'effort tranchant à l'ELU

Principe :

La vérification consiste à s'assurer que l'effort tranchant de calcul (\(V_{Ed,max}\)) est inférieur ou égal à la résistance plastique au cisaillement de la section (\(V_{pl,Rd}\)). Si \(V_{Ed} \leq 0.5 V_{pl,Rd}\), l'effet de l'effort tranchant sur la résistance au moment fléchissant peut être négligé.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, 6.2.6) :
\[V_{pl,Rd} = \frac{A_{vz} \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\] \[\text{Condition : } V_{Ed,max} \leq V_{pl,Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Ed,max} = 109.44 \, \text{kN}\)
  • \(A_{vz} = 2090 \, \text{mm}^2\) (aire de cisaillement pour IPE 270)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{pl,Rd} &= \frac{2090 \, \text{mm}^2 \times (275 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &= \frac{2090 \times (275 / 1.732)}{1.0} \, \text{N} \\ &= \frac{2090 \times 158.776}{1.0} \, \text{N} \\ &= 331841.84 \, \text{N} \\ &\approx 331.84 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification :

\[109.44 \, \text{kN} \leq 331.84 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

Vérification de l'interaction cisaillement/moment :

\[0.5 \cdot V_{pl,Rd} = 0.5 \times 331.84 \, \text{kN} = 165.92 \, \text{kN}\]

Puisque \(V_{Ed,max} = 109.44 \, \text{kN} \leq 165.92 \, \text{kN}\), l'effort tranchant est faible et son influence sur la résistance au moment fléchissant peut être négligée.

Résultat Question 6 : La section résiste à l'effort tranchant (\(109.44 \, \text{kN} \leq 331.84 \, \text{kN}\)). L'interaction avec le moment fléchissant n'est pas nécessaire.

Question 7 : Vérification de la résistance au moment fléchissant à l'ELU

Principe :

Puisque la section est de Classe 1 et que l'effort tranchant est faible, la résistance au moment fléchissant est donnée par le moment plastique résistant (\(M_{pl,Rd}\)). On vérifie que \(M_{Ed,max} \leq M_{pl,Rd}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, 6.2.5) :
\[M_{c,Rd} = M_{pl,Rd} = \frac{W_{pl,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\] \[\text{Condition : } M_{Ed,max} \leq M_{pl,Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed,max} = 164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(W_{pl,y} = 484 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{pl,Rd} &= \frac{484 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \times 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 133100000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 133.10 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 133.10 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Vérification :

\[164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 133.10 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\textbf{NON OK})\]

Le moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed,max} = 164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)) est supérieur à la résistance au moment fléchissant de la section IPE 270 (\(M_{pl,Rd} = 133.10 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)). La section n'est pas adéquate pour ces charges et cette portée.

Résultat Question 7 : La section NE résiste PAS au moment fléchissant (\(164.16 \, \text{kN} \cdot \text{m} > 133.10 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)). Le profilé IPE 270 n'est pas suffisant.

Quiz Intermédiaire 3 : Que signifie l'hypothèse "la poutre est protégée contre le déversement latéral" ?

Question 8 : Vérification de la flèche à l'ELS

Principe :

La flèche maximale (\(w_{max}\)) sous charges de service (caractéristiques, non pondérées) est calculée et comparée à une limite admissible, souvent une fraction de la portée (par exemple \(L/250\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Charge de service totale : \(p_{ser} = g_k + p_{p,k} + q_k\)

Flèche maximale pour une poutre simplement appuyée avec charge uniformément répartie :

\[w_{max} = \frac{5 \cdot p_{ser} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y}\]

Limite de flèche : \(w_{lim} = L/250\)

Condition : \(w_{max} \leq w_{lim}\)

Données spécifiques :
  • \(g_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(p_{p,k} = 0.354 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4\) (pour IPE 270)
Calcul :

Charge de service totale (convertie en N/mm pour la cohérence des unités) :

\[ \begin{aligned} p_{ser} &= (10 + 0.354 + 15) \, \text{kN/m} \\ &= 25.354 \, \text{kN/m} \\ &= 25.354 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]

Flèche maximale :

\[ \begin{aligned} w_{max} &= \frac{5 \times (25.354 \, \text{N/mm}) \times (6000 \, \text{mm})^4}{384 \times (210000 \, \text{N/mm}^2) \times (5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{5 \times 25.354 \times (1.296 \times 10^{15})}{384 \times 210000 \times 5790 \times 10^4} \\ &= \frac{1.6430748 \times 10^{17}}{4.668672 \times 10^{15}} \, \text{mm} \\ &\approx 35.195 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Limite de flèche :

\[w_{lim} = \frac{L}{250} = \frac{6000 \, \text{mm}}{250} = 24 \, \text{mm}\]

Vérification :

\[35.195 \, \text{mm} \leq 24 \, \text{mm} \quad (\textbf{NON OK})\]

La flèche calculée (\(\approx 35.20 \text{ mm}\)) est significativement supérieure à la limite admissible (\(24 \text{ mm}\)). La poutre IPE 270 n'est pas non plus adéquate du point de vue de la déformation à l'ELS.

Résultat Question 8 : La flèche maximale calculée est \(w_{max} \approx 35.20 \, \text{mm}\). La limite de flèche est \(w_{lim} = 24 \, \text{mm}\). La condition \(w_{max} \leq w_{lim}\) n'est PAS respectée (\(35.20 \text{ mm} > 24 \text{ mm}\)).

Quiz Récapitulatif

1. Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, où se situe le moment fléchissant maximal ?

2. La classification d'une section en acier (Classe 1, 2, 3, ou 4) dépend principalement :

3. La vérification à l'État Limite de Service (ELS) pour une poutre inclut typiquement :

Glossaire

Poutre simplement appuyée
Poutre reposant sur deux appuis simples (un articulé, un à rouleau) qui permettent la rotation aux extrémités mais empêchent le déplacement vertical. L'appui à rouleau permet également le déplacement horizontal.
Charge répartie (uniformément)
Charge agissant sur une certaine longueur de la poutre, avec une intensité constante par unité de longueur (ex: kN/m).
ELU (État Limite Ultime)
État correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments. Les vérifications à l'ELU assurent la sécurité contre la rupture ou l'instabilité.
ELS (État Limite de Service)
État au-delà duquel les critères d'aptitude au service spécifiés pour la structure ou un de ses éléments ne sont plus satisfaits (ex: déformations excessives, vibrations).
Effort tranchant (\(V_{Ed}\))
Sollicitation interne dans une poutre, résultant des forces tendant à faire glisser une section par rapport à une autre.
Moment fléchissant (\(M_{Ed}\))
Sollicitation interne dans une poutre, résultant des forces tendant à la courber (fléchir).
Classification des sections
Processus (selon l'Eurocode 3) qui catégorise les sections transversales en acier (Classes 1 à 4) en fonction de leur aptitude à atteindre leur moment plastique et à subir des rotations plastiques avant que le voilement local ne se produise.
Résistance plastique (\(M_{pl,Rd}, V_{pl,Rd}\))
Capacité résistante d'une section lorsque le matériau atteint sa limite d'élasticité sur toute la section (plastification complète).
Flèche (Déflexion, \(w\))
Déplacement vertical d'une poutre sous l'effet des charges.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique ; rapport entre la contrainte et la déformation en traction ou compression.
Limite d'élasticité (\(f_y\))
Contrainte à partir de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement (déformation permanente).
Analyse d'une Poutre en Acier IPE 270 - Exercice d'Application

D’autres exercices de structure métallique:

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