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Analyse d’une Poutre en Acier

Analyse d’une Poutre en Acier

Analyse d’une Poutre en Acier

Contexte : Poutre maîtresse d'un plancher de bureaux.

Dans la construction de bâtiments à étages, les poutres maîtresses (ou poutres principales) sont des éléments structuraux fondamentaux. Elles reprennent les charges des poutres secondaires (solives) et les transmettent aux poteaux. Souvent, ces poutres doivent également supporter des charges ponctuelles importantes, comme la descente de charge d'un poteau de l'étage supérieur. Cet exercice se concentre sur la vérification d'une telle poutre, soumise à la fois au poids propre du plancher et à une charge concentrée, en appliquant la méthodologie de l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions..

Remarque Pédagogique : Ce cas pratique est plus complexe que celui d'une simple charge répartie. Il nous obligera à utiliser le principe de superposition pour les calculs de déformation et à être plus attentifs pour déterminer la position du moment fléchissant maximal, qui ne sera plus forcément au milieu de la poutre. C'est un excellent exemple de la résolution de problèmes en conditions réelles.

Objectifs Pédagogiques

  • Gérer un cas de charge combiné (répartie + ponctuelle) à l'ELU.
  • Déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant.
  • Identifier la position et la valeur du moment maximal.
  • Sélectionner un profilé HEAPoutrelle en H à larges ailes, version européenne. Ce type de profilé est très robuste et efficace pour reprendre de fortes charges en flexion et en compression. et vérifier sa résistance à la flexion et au cisaillement.
  • Appliquer le principe de superposition pour vérifier la flèche à l'ELS.

Données de l'étude

On étudie une poutre principale en acier sur deux appuis simples. Elle supporte un plancher (charges permanentes et d'exploitation) ainsi qu'un poteau qui descend une charge ponctuelle à 4 mètres de l'appui gauche.

Schéma de la poutre et de son chargement
q = g + q P Portée, L = 10 m a = 4 m
Schéma 3D interactif de la poutre
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 10 \(\text{m}\)
Charges permanentes (plancher) \(G\) 15 \(\text{kN/m}\)
Charges d'exploitation (plancher) \(Q\) 5 \(\text{kN/m}\)
Charge ponctuelle (poteau) \(P_k\) 80 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S275 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 275 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges de calcul à l'ELU (\(q_{\text{Ed}}\) et \(P_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer les efforts maximaux (\(M_{\text{Ed,max}}\) et \(V_{\text{Ed,max}}\)).
  3. Choisir un profilé HEA et vérifier sa résistance à la flexion et au cisaillement.
  4. Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Pour ce cas de charge combiné, nous aurons besoin de quelques formules de RdM.

1. Réactions d'appui (poutre sur 2 appuis) :

Pour une charge répartie \(q\) et une charge ponctuelle \(P\) à une distance \(a\) de l'appui A :

\[ R_A = \frac{q \cdot L}{2} + \frac{P \cdot (L-a)}{L} \quad \text{et} \quad R_B = \frac{q \cdot L}{2} + \frac{P \cdot a}{L} \]

2. Position du Moment Maximal :

Le moment est maximal lorsque l'effort tranchant s'annule. Pour \(x < a\), on a la formule :

\[ V(x) = R_A - q \cdot x \]

On cherche donc \(x_0\) tel que \(V(x_0)=0\). Si la solution est après la charge ponctuelle, il faut vérifier la valeur du moment sous la charge ponctuelle, car l'effort tranchant y subit une discontinuité.

3. Principe de Superposition (pour la flèche ELS) :

La flèche totale est la somme des flèches dues à chaque chargement :

\[ f_{\text{totale}} \approx f_{\text{max, répartie}} + f_{\text{max, ponctuelle}} \]

Avec :

\[ f_{\text{répartie, max}} = \frac{5qL^4}{384EI} \]

et pour la charge ponctuelle, la flèche maximale est donnée par :

\[ f_{\text{ponctuelle, max}} = \frac{Pb(L^2-b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}EIL} \]

Une approximation simple et sûre consiste à sommer les flèches maximales ou les flèches au même point.

Correction : Analyse d’une Poutre en Acier

Question 1 : Calculer les charges de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

La première étape de tout calcul de résistance est de déterminer les charges "ultimes", c'est-à-dire les charges de service (réelles) multipliées par des coefficients de sécurité. Cela permet de concevoir une structure capable de résister à des surcharges exceptionnelles et de prendre en compte les incertitudes sur les valeurs des charges.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La philosophie des Eurocodes est semi-probabiliste. Les coefficients \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\) ne sont pas arbitraires. Ils sont calibrés pour que la probabilité de défaillance de la structure sur sa durée de vie soit inférieure à une valeur cible très faible, acceptée au niveau européen.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous construisiez un pont. Vous ne le dimensionnez pas pour le poids exact des voitures, mais pour un trafic dense et exceptionnel. C'est la même logique ici : on anticipe le pire scénario crédible en majorant les charges. C'est le fondement de la sécurité structurelle.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans la norme NF EN 1990. Pour un cas simple de bâtiment, la combinaison 6.10 est généralement la plus défavorable, ce qui donne la formule suivante :

\[ 1.35 G_k + 1.5 Q_{k,1} \]

Où \(G_k\) sont les charges permanentes et \(Q_{k,1}\) est la charge variable de base.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU :

\[ q_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \]
\[ P_{\text{Ed}} = 1.5 \cdot P_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge ponctuelle \(P_k\) est de même nature qu'une charge d'exploitation (variable), d'où son coefficient de 1.5. Si elle provenait d'un élément permanent, son coefficient aurait été de 1.35.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G = 15 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q = 5 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle, \(P_k = 80 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, traitez chaque type de charge séparément avant de les combiner. Calculez d'abord la part permanente pondérée, puis la part variable pondérée, et enfin additionnez-les. Cela clarifie le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Pondération des charges de service
q = G + Q
Pk
Charges de service
→
q_Ed = ?
P_Ed = ?
Charges de calcul
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge répartie de calcul :

\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (15 \, \text{kN/m}) + 1.5 \cdot (5 \, \text{kN/m}) \\ &= 20.25 \, \text{kN/m} + 7.5 \, \text{kN/m} \\ &= 27.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge ponctuelle de calcul :

\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed}} &= 1.5 \cdot (80 \, \text{kN}) \\ &= 120 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges de calcul ELU
q_Ed = 27.75 kN/mP_Ed = 120 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé un problème de service en un problème de résistance ultime. La charge totale appliquée à la poutre à l'ELU est de \(27.75 \times 10 + 120 = 397.5\) kN, soit 44% de plus que la charge de service totale (\(20 \times 10 + 80 = 280\) kN). Cette marge de sécurité est essentielle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'appliquer le mauvais coefficient à la mauvaise charge. Toujours bien identifier la nature de chaque charge (permanente ou variable) avant d'appliquer les coefficients \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU vise la sécurité et la résistance.
  • On majore les charges avec des coefficients : \(1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q\).
  • Chaque charge (répartie, ponctuelle) doit être pondérée avant d'être utilisée dans les calculs de résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, les combinaisons d'actions incluent une charge "accidentelle" pour le séisme. La combinaison devient par exemple \(G_k + 0.2 Q_k + A_{Ed}\), où \(A_{Ed}\) est l'action sismique. Les coefficients de sécurité sont différents car on accepte que la structure puisse subir des dommages (sans s'effondrer) lors d'un événement aussi rare.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge permanente était favorable ?

Dans certains cas (par exemple, le risque de soulèvement par le vent), une charge permanente peut aider à stabiliser la structure. Dans ce cas, l'Eurocode prévoit d'utiliser un coefficient minorant (\(\gamma_G = 1.0\)) sur les charges permanentes pour considérer le scénario le plus défavorable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les charges de calcul à l'ELU sont \(q_{\text{Ed}} = 27.75 \, \text{kN/m}\) et \(P_{\text{Ed}} = 120 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge ponctuelle \(P_k\) était permanente (ex: un mur lourd), quelle serait sa valeur de calcul \(P_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer les efforts maximaux (MEd,max et VEd,max)

Principe (le concept physique)

Une fois les forces extérieures connues, il faut déterminer leurs conséquences à l'intérieur de la poutre. L'effort tranchant représente la tendance de la poutre à être "cisaillée" verticalement, tandis que le moment fléchissant représente sa tendance à se "plier". Le dimensionnement de la poutre dépendra directement des valeurs maximales de ces deux efforts.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes M(x) et V(x) sont liés par la relation :

\[ V(x) = \frac{dM(x)}{dx} \]

Cela implique qu'un extremum (maximum ou minimum) du moment fléchissant se produit toujours lorsque l'effort tranchant V(x) est nul. Dans notre cas, l'effort tranchant subit une "chute" brutale de la valeur de \(P_{\text{Ed}}\) à l'endroit de la charge ponctuelle. Le maximum de M se trouvera là où V(x) traverse l'axe zéro.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape est toujours de calculer les réactions d'appui. C'est comme vouloir connaître la force dans vos jambes quand vous portez un sac à dos : il faut d'abord connaître le poids du sac. Une fois les réactions connues, on peut "parcourir" la poutre en calculant les efforts internes point par point.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes relève de la statique et de la Résistance des Matériaux, qui sont les fondements théoriques sur lesquels les Eurocodes sont bâtis. Les normes n'explicitent pas ces calculs, mais supposent leur maîtrise par l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Réactions d'appui :

\[ R_A = \frac{q_{\text{Ed}} L}{2} + \frac{P_{\text{Ed}} (L-a)}{L} \quad ; \quad R_B = \frac{q_{\text{Ed}} L}{2} + \frac{P_{\text{Ed}} a}{L} \]

2. Effort tranchant et Moment fléchissant en un point x (pour \(x < a\)) :

\[ V(x) = R_A - q_{\text{Ed}} x \]
\[ M(x) = R_A x - \frac{q_{\text{Ed}} x^2}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique le Principe Fondamental de la Statique (somme des forces = 0, somme des moments = 0) pour trouver les réactions. La poutre est considérée comme parfaitement rigide pour ce calcul d'efforts.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{Ed}} = 27.75 \, \text{kN/m}\)
  • \(P_{\text{Ed}} = 120 \, \text{kN}\)
  • \(L = 10 \, \text{m}\)
  • \(a = 4 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Toujours faire une vérification rapide après le calcul des réactions : la somme des réactions (\(R_A + R_B\)) doit être égale à la somme de toutes les charges appliquées (\(q_{\text{Ed}} \cdot L + P_{\text{Ed}}\)). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes attendus (M et V)
Effort Tranchant (V)RA?-RB?Chute de P_EdMoment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des réactions d'appui :

\[ \begin{aligned} R_A &= \frac{27.75 \, \text{kN/m} \cdot 10 \, \text{m}}{2} + \frac{120 \, \text{kN} \cdot (10 \, \text{m}-4 \, \text{m})}{10 \, \text{m}} \\ &= 138.75 \, \text{kN} + 72 \, \text{kN} \\ &= 210.75 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R_B &= \frac{27.75 \, \text{kN/m} \cdot 10 \, \text{m}}{2} + \frac{120 \, \text{kN} \cdot 4 \, \text{m}}{10 \, \text{m}} \\ &= 138.75 \, \text{kN} + 48 \, \text{kN} \\ &= 186.75 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification : \(R_A + R_B = 210.75 + 186.75 = 397.5\) kN. Charge totale : \(q_{\text{Ed}}L + P_{\text{Ed}} = 27.75 \cdot 10 + 120 = 397.5\) kN. C'est correct.

2. Recherche de la position du moment maximal : L'effort tranchant V(x) passe de positif à négatif. Il faut trouver où il s'annule.
Effort tranchant juste avant P (à x=4m) :

\[ \begin{aligned} V(4^-) &= R_A - q_{\text{Ed}} \cdot 4 \\ &= 210.75 \, \text{kN} - 27.75 \, \text{kN/m} \times 4 \, \text{m} \\ &= 99.75 \, \text{kN} \quad (\text{Positif}) \end{aligned} \]

Effort tranchant juste après P (à x=4m) :

\[ \begin{aligned} V(4^+) &= V(4^-) - P_{\text{Ed}} \\ &= 99.75 \, \text{kN} - 120 \, \text{kN} \\ &= -20.25 \, \text{kN} \quad (\text{Négatif}) \end{aligned} \]

Puisque V(x) change de signe à x=4m, le moment fléchissant est maximal à cet endroit précis.

3. Calcul du moment maximal à \(x = 4\) m :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= R_A \cdot a - \frac{q_{\text{Ed}} \cdot a^2}{2} \\ &= (210.75 \, \text{kN}) \cdot (4 \, \text{m}) - \frac{(27.75 \, \text{kN/m}) \cdot (4 \, \text{m})^2}{2} \\ &= 843 \, \text{kN} \cdot \text{m} - 222 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 621 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

4. Effort tranchant maximal : Il est égal à la plus grande réaction d'appui en valeur absolue.

\[ V_{\text{Ed,max}} = R_A = 210.75 \, \text{kN} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Valeurs calculées)
Effort Tranchant (V)210.75 kN-186.75 kNMoment Fléchissant (M)M_max = 621 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La présence de la charge ponctuelle a non seulement augmenté considérablement le moment maximal, mais l'a aussi déplacé exactement sous le point d'application. C'est un cas classique où le cisaillement est discontinu, créant un "pic" dans le diagramme de moment.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas supposer que le moment maximal se trouve là où V(x)=0 si V(x) ne s'annule pas. Si l'effort tranchant reste positif (ou négatif) sur toute une section, le moment maximal pour cette section se trouvera à l'une de ses extrémités. Ici, le changement de signe se produit "à travers" la charge ponctuelle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours calculer les réactions d'appui en premier et vérifier leur somme.
  • Le moment maximal se trouve là où l'effort tranchant V(x) change de signe.
  • Une charge ponctuelle crée une discontinuité (un saut) dans le diagramme de l'effort tranchant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "Théorème de Barré" stipule que la variation du moment fléchissant entre deux points est égale à l'aire sous le diagramme de l'effort tranchant entre ces deux mêmes points. C'est une méthode graphique puissante pour construire le diagramme de moment à partir de celui de l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge ponctuelle était tout au bord ?

Si la charge P était appliquée directement sur un appui (a=0), elle serait entièrement reprise par cet appui et n'aurait aucun effet sur le moment fléchissant dans la poutre. Le moment serait alors simplement celui d'une charge répartie, \(qL^2/8\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment maximal est \(M_{\text{Ed,max}} = 621 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et l'effort tranchant maximal est \(V_{\text{Ed,max}} = 210.75 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P_Ed était appliquée au centre (a=5m), quelle serait la réaction d'appui \(R_A\) en kN ?

Question 3 : Choisir un profilé HEA et vérifier ses résistances

Principe (le concept physique)

Le but est de choisir un profilé en acier dont la "capacité" est supérieure à la "demande". La demande est le moment de 621 kN.m que nous avons calculé. La capacité est la résistance intrinsèque du profilé, qui dépend de sa forme (géométrie) et du matériau (nuance d'acier). On vérifie aussi que la poutre ne cèdera pas par cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement d'un profilé en H est presque entièrement assurée par son âme (la partie verticale). La formule \(V_{\text{pl,Rd}}\) utilise l'aire de l'âme (\(A_v\)) et la limite élastique en cisaillement, qui est conventionnellement prise comme \(f_y / \sqrt{3}\) selon le critère de von Mises.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix du profilé est un acte d'ingénierie fondamental : il faut trouver le profilé le plus léger (et donc le moins cher) qui satisfait à toutes les conditions de sécurité. On ne surdimensionne pas inutilement. C'est un équilibre entre sécurité et économie.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion est dans l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1) §6.2.5. La vérification au cisaillement est au §6.2.6. La norme stipule que si l'inégalité suivante est respectée, l'effet du cisaillement sur la résistance en flexion peut être négligé, ce qui est le cas ici.

\[ V_{\text{Ed}} \le 0.5 V_{\text{pl,Rd}} \]
Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Flexion :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]

2. Cisaillement :

\[ \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé est de classe 1 ou 2, ce qui permet d'utiliser le module de section plastique. On suppose également que le déversement est bloqué par le plancher.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed}} = 621 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(V_{\text{Ed}} = 210.75 \, \text{kN}\)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa}\) (pour S275)
  • \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lors de la conversion des unités, rappelez-vous que \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) et que \(1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2\). Le rapport des deux donne un résultat en \(\text{mm}^3\). Divisez par \(1000\) pour obtenir des \(\text{cm}^3\), l'unité des catalogues.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Demande vs Capacité
DEMANDEM_Ed = 621≤CAPACITÉM_Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \\ &\ge \frac{621 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{275 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 2258181 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 2258 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue de profilés HEA :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)\(A_v\) (cm²)Choix
HEA 400219460.1❌
HEA 450281770.9✔️

On choisit le profilé HEA 450.

3. Vérification de la résistance au cisaillement pour le HEA 450 :

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{A_v \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{(70.9 \times 100 \, \text{mm}^2) \cdot (275 \, \text{N/mm}^2)}{\sqrt{3} \cdot 1.0} \\ &= 1125540 \, \text{N} \\ &= 1125.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} &= \frac{210.75 \, \text{kN}}{1125.5 \, \text{kN}} \\ &= 0.19 \le 1.0 \quad \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification du HEA 450
M_Ed = 621(Demande)≤M_Rd = 774.7(Capacité)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le HEA 450 est adéquat. Il travaille à un ratio de \( 621 / (2817 \cdot 10^3 \cdot 275 / 10^6) \approx 80\% \) de sa capacité en flexion. C'est un choix sûr. La résistance au cisaillement est largement vérifiée (19%), ce qui est typique pour ce type de profilé laminé où la flexion est presque toujours le critère dimensionnant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de vérifier le cisaillement, même s'il est rarement dimensionnant pour les poutres de bâtiment. Dans le cas de poutres courtes et très chargées (appelées "goussets"), le cisaillement peut devenir le mode de rupture principal.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On dimensionne en flexion en calculant le module de section requis : \(W_{\text{pl,req}}\).
  • On choisit le profilé le plus léger dont le \(W_{\text{pl}}\) est supérieur au \(W_{\text{pl,req}}\).
  • On vérifie toujours que l'effort tranchant est inférieur à la résistance au cisaillement plastique \(V_{\text{pl,Rd}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des moments fléchissants très importants, comme dans les ponts, on utilise des Profilés Reconstitués Soudés (PRS). L'ingénieur peut alors choisir sur mesure l'épaisseur et la largeur des semelles et de l'âme pour optimiser parfaitement la section et minimiser le poids (et le coût) de l'acier.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre un HEA et un HEB ?

Pour une même hauteur, un HEB a des semelles et une âme plus épaisses qu'un HEA. Il est donc plus lourd, plus résistant et plus rigide. On utilise les HEA pour les cas courants, et les HEB pour des charges plus importantes ou des poteaux fortement comprimés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé HEA 450 est adéquat pour reprendre les sollicitations ELU.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le ratio de travail en flexion (\(M_{\text{Ed}}/M_{\text{Rd}}\)) si on avait choisi un HEA 500 avec \(W_{\text{pl,y}}=3554 \, \text{cm}^3\)?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

La résistance ne fait pas tout. Une poutre doit aussi être suffisamment rigide pour ne pas se déformer excessivement sous les charges de tous les jours. Une flèche trop importante peut causer des fissures dans les cloisons, des problèmes d'étanchéité, ou simplement un inconfort visuel et vibratoire pour les usagers.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le principe de superposition, utilisé ici, n'est valide que dans le domaine élastique linéaire. C'est pourquoi on l'applique à l'ELS (charges de service, le matériau reste élastique) et non à l'ELU (où des plastifications peuvent se produire). La flèche dépend de la rigidité en flexion de la poutre, \(EI_y\), qui est le produit du module d'élasticité du matériau (E, constant pour l'acier) et du moment d'inertie de la section (\(I_y\), qui dépend de la géométrie).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent la vérification "oubliée" par les débutants, mais elle est cruciale. Une structure qui se déforme trop est une structure ratée, même si elle est "solide". La rigidité est aussi importante que la résistance. Pour augmenter la rigidité, la manière la plus efficace est d'augmenter la hauteur de la poutre, car l'inertie \(I_y\) varie comme le cube de la hauteur.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont données dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. Pour un plancher, une limite typique est L/300 pour la flèche due aux charges variables et L/250 pour la flèche totale. Ici, nous vérifions la flèche totale par rapport à une limite L/300, ce qui est une approche courante et conservative.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charges de service :

\[ q_{\text{ser}} = G+Q \quad ; \quad P_{\text{ser}} = P_k \]

2. Flèche due à la charge répartie (au centre) :

\[ f_{q} = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

3. Flèche due à la charge ponctuelle (à son point d'application) :

\[ f_{P} = \frac{P_{\text{ser}} \cdot a^2 \cdot (L-a)^2}{3 \cdot E \cdot I_y \cdot L} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On additionne la flèche maximale due à la charge répartie et la flèche sous la charge ponctuelle. C'est une méthode de superposition simplifiée mais qui donne un bon ordre de grandeur et va dans le sens de la sécurité, car la flèche maximale réelle sera très proche de cette somme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_{\text{ser}} = 15+5 = 20\) kN/m = 20 N/mm
  • \(P_{\text{ser}} = 80\) kN = 80000 N
  • \(L=10000\) mm, \(a=4000\) mm
  • Profilé : HEA 450, avec \(I_y = 57680 \, \text{cm}^4 = 5.768 \times 10^8 \, \text{mm}^4\)
  • \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est la clé. Le plus simple est de tout passer en Newtons (N) et millimètres (mm). La charge répartie \(q\) devient N/mm, la charge ponctuelle \(P\) en N, L en mm, E en N/mm² (MPa), et I en mm⁴. Le résultat de la flèche sera directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des déformées
f_q+f_p=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche due à la charge répartie :

\[ \begin{aligned} f_{q} &= \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \cdot (20 \, \text{N/mm}) \cdot (10000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (5.768 \times 10^8 \, \text{mm}^4)} \\ &= 21.5 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche due à la charge ponctuelle :

\[ \begin{aligned} f_{P} &= \frac{P_{\text{ser}} \cdot a^2 \cdot (L-a)^2}{3 \cdot E \cdot I_y \cdot L} \\ &= \frac{(80000 \, \text{N}) \cdot (4000 \, \text{mm})^2 \cdot (6000 \, \text{mm})^2}{3 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (5.768 \times 10^8 \, \text{mm}^4) \cdot (10000 \, \text{mm})} \\ &= 12.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Flèche totale et vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &\approx f_q + f_P \\ &= 21.5 \, \text{mm} + 12.7 \, \text{mm} \\ &= 34.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{10000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 33.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 34.2 \, \text{mm} > 33.3 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_max=34.2 mmFlèche adm. f_adm=33.3 mmNON CONFORME ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est très serré ! Le profilé HEA 450 est non conforme, mais de très peu (3%). Dans un cas réel, l'ingénieur pourrait envisager plusieurs options : passer au profilé supérieur (HEA 500), ou vérifier s'il est possible de mettre en place une légère contre-flèche (une courbure initiale vers le haut) pour compenser une partie de la déformation due aux charges permanentes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'utiliser les charges de SERVICE (\(G+Q\)) pour le calcul de flèche. Utiliser les charges ELU (\(1.35G+1.5Q\)) est une erreur grave qui conduit à un surdimensionnement coûteux et inutile de la poutre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges de service (non majorées) : \(q_{\text{ser}} = G + Q\).
  • La flèche doit être inférieure à une limite normative (ex: L/300 pour un plancher).
  • Pour des chargements multiples, on peut sommer les flèches (principe de superposition).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La sensation d'inconfort sur un plancher est souvent due non pas à la flèche statique, mais aux vibrations. L'Eurocode impose donc aussi des vérifications dynamiques, notamment de la fréquence propre du plancher, qui doit être supérieure à une certaine valeur (typiquement 3-4 Hz) pour éviter la résonance avec le rythme de la marche humaine.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le poids propre de la poutre HEA est pris en compte ?

Dans cet exercice, il est supposé inclus dans la charge permanente G de 15 kN/m. Dans un calcul réel, on démarre avec une estimation de G, on choisit un profilé (ex: HEA 450, qui pèse environ 1.1 kN/m), on ajoute son poids à G, et on refait le calcul. C'est un processus itératif.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche du HEA 450 (34.2 mm) est supérieure à la flèche admissible (33.3 mm). Le profilé n'est donc pas validé. Il faudrait choisir un HEA 500.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la flèche totale (en mm) si on utilisait un HEA 500 avec \(I_y = 78880 \, \text{cm}^4\) ?

Outil Interactif : Paramètres de la Poutre

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les ratios de résistance et de flèche.

Paramètres d'Entrée
10 m
80 kN
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS -

Le Saviez-Vous ?

Les profilés "H" (comme les HEA, HEB, HEM) ont été développés pour avoir une résistance quasi identique dans leurs deux directions principales. Cela les rend parfaits pour être utilisés comme poteaux, car ils résistent aussi bien au flambement dans une direction que dans l'autre, contrairement aux profilés "I" (IPE) qui sont optimisés pour travailler dans une seule direction.

Foire Aux Questions (FAQ)

La superposition des flèches est-elle toujours une bonne approximation ?

Pour les calculs manuels, c'est une excellente méthode. On calcule la flèche maximale de chaque cas de charge simple et on les additionne. Le résultat est légèrement supérieur à la flèche maximale réelle (qui ne se produit pas forcément au même endroit pour les deux charges), donc l'approximation va dans le sens de la sécurité. Les logiciels de calcul, eux, calculent la déformée exacte de la poutre.

Pourquoi la limite de flèche est-elle L/300 et non L/250 ?

La limite de flèche dépend de l'utilisation. Pour un plancher de bureau (L/300), on est plus exigeant que pour une toiture non accessible (L/250) afin de garantir le confort des utilisateurs (éviter les vibrations) et de protéger les éléments non structuraux comme les cloisons ou les faux-plafonds qui pourraient se fissurer en cas de déformation excessive.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans notre exercice, si on déplace la charge ponctuelle P vers le centre de la poutre (a=5m), le moment fléchissant maximal va...

2. Pour réduire la flèche d'une poutre de manière efficace, il faut principalement choisir un profilé avec...

Profilé HEA
Poutrelle en H à larges ailes, version "légère" de la série des profilés H européens. Très utilisé comme poutre ou poteau dans la construction de bâtiments.
Principe de Superposition
Pour une structure à comportement élastique et linéaire, les effets (déplacements, contraintes) dus à plusieurs charges agissant simultanément sont égaux à la somme des effets de chaque charge agissant séparément.
Aire de cisaillement (Av)
Partie de la section d'un profilé considérée comme efficace pour reprendre l'effort tranchant. Pour les profilés en I ou H, elle correspond approximativement à l'aire de l'âme.
Analyse d’une Poutre en Acier

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