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Analyse de l’instabilité locale dans les profilés minces

Génie Civil : Analyse des Phénomènes d'Instabilité Locale

Analyse de l'instabilité locale dans les profilés minces

Contexte : La Stabilité des Éléments Comprimés

En construction métallique, l'optimisation du poids des structures conduit souvent à l'utilisation de profilés à parois minces (poutrelles en I, cornières, etc.). Lorsque ces éléments sont comprimés, leurs parois (les semelles et l'âme) peuvent se déformer prématurément par un phénomène d'instabilité localePhénomène de déformation (ondulation) d'une paroi mince d'un profilé sous l'effet d'une compression, avant que la limite d'élasticité du matériau ne soit atteinte., aussi appelé voilement. Cette instabilité peut limiter la capacité portante réelle de l'élément, bien avant que l'acier n'atteigne sa limite d'élasticité. L'Eurocode 3 propose une méthode de classification des sections pour tenir compte de ce phénomène.

Remarque Pédagogique : Contrairement au flambement qui concerne l'instabilité de l'élément dans son ensemble, le voilement est un phénomène local. Savoir le détecter et le quantifier est crucial pour garantir la sécurité et l'efficacité des structures métalliques légères.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre une paroi intérieure et une paroi en console.
  • Calculer l'élancementRapport entre la largeur et l'épaisseur d'une plaque (b/t). C'est le paramètre clé qui gouverne la sensibilité au voilement local. géométrique des parois d'un profilé.
  • Classifier les parois (âme et semelles) d'une section selon l'Eurocode 3 (Classes 1, 2, 3 ou 4).
  • Déterminer la classe globale d'une section transversale.
  • Interpréter l'impact de la classe de la section sur son comportement et son calcul.

Données de l'étude

On étudie un profilé en I (type IPE) en acier S235, soumis à un effort de compression centré. On souhaite déterminer sa classe selon l'Eurocode 3 pour évaluer sa sensibilité au voilement local.

Schéma du Profilé IPE
h = 240 mm b = 150 mm tf = 15 mm tw = 15 mm c c

Données Matériau (Acier S235) :

  • Limite d'élasticité : \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young : \(E = 210000 \, \text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dimension \(c\) et l'élancement \(c/t_f\) de la semelle (considérée comme une paroi en console).
  2. Déterminer la classe de la semelle en compression.
  3. Calculer la dimension \(c\) et l'élancement \(c/t_w\) de l'âme (considérée comme une paroi intérieure).
  4. Déterminer la classe de l'âme en compression.
  5. Conclure sur la classe globale de la section IPE.

Correction : Analyse de l'instabilité locale dans les profilés minces

Question 1 : Calcul de l'élancement de la semelle

Principe :
Âme Semelle (console)

On calcule d'abord la largeur de la partie saillante de la semelle, notée \(c\), puis on la divise par son épaisseur \(t_f\) pour obtenir son élancement géométrique. C'est ce rapport qui détermine sa sensibilité au voilement.

Mini-Cours : Qu'est-ce que l'élancement ?

L'élancement (\(c/t\)) est un rapport géométrique qui mesure la "minceur" d'une plaque. Imaginez une feuille de papier : si sa largeur (\(c\)) est très grande par rapport à son épaisseur (\(t\)), elle est très élancée et fléchit facilement. Si elle est courte et épaisse, elle est trapue et rigide. En structure métallique, une paroi très élancée (grand rapport \(c/t\)) aura tendance à "voiler" (onduler) sous l'effet de la compression, bien avant que le matériau lui-même ne cède.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La largeur \(c\) d'une semelle en console n'est pas la largeur totale du profilé, mais bien la partie qui "dépasse" de l'âme. C'est cette partie qui est libre de se déformer.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ c_{\text{semelle}} = \frac{b - t_w}{2} \]
Donnée(s) :
  • Largeur totale \(b = 150 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme \(t_w = 15 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la semelle \(t_f = 15 \, \text{mm}\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la largeur de la console \(c\) :

\[ \begin{aligned} c_{\text{semelle}} &= \frac{150 \, \text{mm} - 15 \, \text{mm}}{2} \\ &= 67.5 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'élancement de la semelle \(c/t_f\) :

\[ \begin{aligned} \frac{c}{t_f} &= \frac{67.5 \, \text{mm}}{15 \, \text{mm}} \\ &= 4.5 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Assurez-vous que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici, les millimètres) avant de faire le rapport pour que l'élancement soit un nombre sans dimension.

Le saviez-vous ?

Dans les profilés formés à froid (tôles pliées), les congés d'arrondi n'existent pas. Le calcul de la largeur \(c\) se fait alors à partir des faces planes, ce qui rend ces calculs encore plus directs.

FAQ en rapport avec la question :
Cette formule est-elle valable pour un profilé en U ?

Oui, le principe est le même. Les ailes d'un profilé en U sont aussi des parois en console attachées à l'âme. On calcule donc la largeur de la partie saillante de la même manière.

Résultat : L'élancement de la semelle est de 4.5.

Question 2 : Détermination de la classe de la semelle

Principe :

On compare l'élancement calculé à la question précédente aux limites définies par l'Eurocode 3. Ces limites dépendent de la nuance d'acier, via le facteur \(\epsilon\). La classe est la première limite (la plus basse) que l'élancement respecte.

Mini-Cours : Le rôle du facteur \(\epsilon\)

Le facteur \(\epsilon\) est un coefficient qui adapte les limites de classification à la résistance de l'acier. Sa formule est \(\epsilon = \sqrt{235/f_y}\). Pour un acier standard S235, \(f_y = 235\) MPa et \(\epsilon = 1\). Pour un acier plus résistant (ex: S355, \(f_y = 355\) MPa), \(\epsilon\) devient inférieur à 1. Cela a pour effet de réduire les limites d'élancement autorisées (ex: \(9\epsilon\) devient plus petit). En d'autres termes, plus un acier est résistant, plus il est considéré comme "fragile" vis-à-vis du voilement, et plus les règles sont strictes pour s'assurer qu'il ne voilera pas prématurément.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La classification n'est pas juste une étiquette. Elle définit la méthode de calcul de la résistance de la section. Une section de Classe 1 ou 2 permet un calcul plastique (plus économique), tandis qu'une section de Classe 3 impose un calcul élastique et une Classe 4 nécessite un calcul plus complexe avec des sections efficaces.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} \]

Limite pour une paroi en console de Classe 1 :

  • \(c/t_f \le 9\epsilon\)

Donnée(s) :
  • Élancement \(c/t_f = 4.5\)
  • Limite d'élasticité \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) :

1. Calcul du facteur d'acier \(\epsilon\) :

\[ \epsilon = \sqrt{\frac{235}{235}} = 1.0 \]

2. Calcul de la limite pour la Classe 1 :

\[ 9\epsilon = 9 \times 1.0 = 9 \]

3. Comparaison :

\[ 4.5 \le 9 \Rightarrow \text{La condition de Classe 1 est respectée.} \]
Points de vigilance :

Bien identifier le cas de charge : Les limites de classification dépendent du type de sollicitation (compression pure, flexion pure, flexion et compression...). Ici, l'énoncé précise une compression centrée, on utilise donc les limites pour la compression uniforme.

Le saviez-vous ?

Les 4 classes de section correspondent à des comportements différents. Classe 1 : rotule plastique avec grande capacité de rotation. Classe 2 : rotule plastique avec capacité de rotation limitée. Classe 3 : atteinte de la limite élastique mais pas de plastification. Classe 4 : voilement avant atteinte de la limite élastique.

FAQ en rapport avec la question :
Que faire si la condition de Classe 1 n'est pas respectée ?

Si \(c/t_f > 9\epsilon\), on teste la condition pour la Classe 2 (\(c/t_f \le 10\epsilon\)). Si elle est respectée, la paroi est de Classe 2. Sinon, on teste la Classe 3, et ainsi de suite. Si aucune des limites pour les classes 1, 2 ou 3 n'est respectée, la paroi est de Classe 4.

Visualisation du Résultat
Cl. 1 (9) Cl. 2 (10) Cl. 3 (14) c/tf = 4.5
Résultat : La semelle est de Classe 1.

Question 3 : Calcul de l'élancement de l'âme

Principe :
Âme Compression

De la même manière que pour la semelle, on calcule la hauteur de la partie rectiligne de l'âme, notée \(c\), puis on la divise par son épaisseur \(t_w\) pour obtenir son élancement.

Mini-Cours : Paroi intérieure vs. Paroi en console

Une paroi est dite "intérieure" (ou "doublement appuyée") quand ses deux bords longs sont connectés à d'autres parois qui la stabilisent. C'est le cas de l'âme d'un profilé en I, qui est tenue par les deux semelles. Une paroi est "en console" (ou "saillante") quand un seul de ses bords longs est supporté, l'autre étant libre. C'est le cas de la semelle d'un IPE, tenue par l'âme d'un côté et libre de l'autre. Les parois intérieures sont beaucoup plus stables face au voilement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La hauteur \(c\) de l'âme est la hauteur "libre" entre les semelles. On doit donc soustraire l'épaisseur des deux semelles de la hauteur totale du profilé pour l'obtenir.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ c_{\text{âme}} = h - 2 \times t_f \]
Donnée(s) :
  • Hauteur totale \(h = 240 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la semelle \(t_f = 15 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme \(t_w = 15 \, \text{mm}\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la hauteur de l'âme \(c\) :

\[ \begin{aligned} c_{\text{âme}} &= h - 2 \times t_f \\ &= 240 - 2 \times 15 = 210 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'élancement de l'âme \(c/t_w\) :

\[ \begin{aligned} \frac{c}{t_w} &= \frac{210}{15} \\ &= 14 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Congés d'arrondi : Dans un calcul précis, la hauteur 'c' de l'âme est la hauteur entre les congés de raccordement âme-semelles, et non la hauteur totale moins deux fois l'épaisseur de la semelle. Pour les profilés laminés à chaud, cette simplification est cependant souvent acceptable.

Le saviez-vous ?

Pour augmenter la rigidité des âmes très élancées sans ajouter trop de poids, les ingénieurs utilisent des "raidisseurs". Ce sont des plats en acier soudés perpendiculairement à l'âme, qui agissent comme des supports intermédiaires et empêchent le voilement sur de grandes surfaces.

FAQ en rapport avec la question :
Comment le cisaillement affecte-t-il la classe de l'âme ?

La présence d'un effort tranchant (cisaillement) dans l'âme modifie l'état de contrainte et peut favoriser un voilement par cisaillement. L'Eurocode 3 prévoit des vérifications spécifiques et des limites d'élancement différentes lorsque le cisaillement est significatif.

Résultat : L'élancement de l'âme est de 14.

Question 4 : Détermination de la classe de l'âme

Principe :

On compare l'élancement de l'âme aux limites de l'Eurocode 3 pour une paroi intérieure. Ces limites sont moins restrictives que pour une paroi en console car les deux bords de l'âme sont maintenus par les semelles, ce qui la stabilise.

Mini-Cours : Pourquoi les limites sont-elles différentes ?

La stabilité d'une plaque dépend de ses appuis. Une paroi intérieure (âme) est appuyée sur ses deux bords longs par les semelles. Ces appuis l'empêchent de "gondoler" librement. Une paroi en console (semelle) n'est appuyée que d'un côté. Son bord libre n'a aucune retenue, ce qui la rend beaucoup plus facile à déformer par voilement. C'est pour cette raison physique que l'Eurocode autorise des élancements beaucoup plus grands pour les âmes (\(c/t \le 33\epsilon\)) que pour les semelles (\(c/t \le 9\epsilon\)) pour rester en Classe 1.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le fait que l'âme soit supportée des deux côtés par les semelles la stabilise considérablement. C'est pourquoi les limites d'élancement pour les parois intérieures sont beaucoup plus permissives que pour les parois en console.

Formule(s) utilisée(s) :

Limite pour une paroi intérieure (âme) de Classe 1 :

  • \(c/t_w \le 33\epsilon\)

Donnée(s) :
  • Élancement \(c/t_w = 14\)
  • Facteur d'acier \(\epsilon = 1.0\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la limite pour la Classe 1 :

\[ 33\epsilon = 33 \times 1.0 = 33 \]

2. Comparaison :

\[ 14 \le 33 \Rightarrow \text{La condition de Classe 1 est respectée.} \]
Points de vigilance :

Ne pas mélanger les limites : Il est primordial d'utiliser les bonnes limites pour le bon type de paroi. Utiliser les limites d'une paroi en console pour une âme (ou vice-versa) est une erreur de conception majeure.

Le saviez-vous ?

Dans les ponts métalliques, les âmes des poutres peuvent être si hautes qu'elles sont très élancées. Elles sont presque toujours de Classe 4 et nécessitent des raidisseurs horizontaux et verticaux pour contrôler le voilement.

FAQ en rapport avec la question :
Et si l'âme était en flexion (poutre fléchie) ?

Si la poutre est en flexion, l'âme est soumise à la fois à de la compression, de la traction et du cisaillement. Les limites de classification sont différentes et plus complexes, car elles dépendent de la position de l'axe neutre.

Visualisation du Résultat
Cl. 1 (33) Cl. 2 (38) Cl. 3 (42) c/tw = 14
Résultat : L'âme est de Classe 1.

Question 5 : Classe Globale de la Section

Principe :
Semelle: Classe 1 Âme: Classe 1 max(1, 1) = 1 Section Globale: Classe 1

La classe d'une section transversale est déterminée par la classe la plus défavorable (le plus grand numéro) de ses parois comprimées. Cette classe dicte la méthode de calcul à utiliser pour vérifier la résistance de la section.

Mini-Cours : Le principe du maillon faible

La classe d'une section entière est toujours égale à la classe la plus élevée (la plus mauvaise) de ses composants. C'est le principe du "maillon le plus faible". Une chaîne n'est pas plus solide que son maillon le plus fragile. De même, une section ne peut pas avoir un comportement global meilleur que celui de sa paroi la plus instable. Si la semelle est de Classe 1 mais que l'âme est de Classe 3, la section entière sera considérée comme étant de Classe 3, et son calcul de résistance devra suivre les règles de la Classe 3.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une section est comme une chaîne : sa résistance est limitée par son maillon le plus faible. Ici, la "faiblesse" est la sensibilité au voilement, et c'est la paroi la plus élancée (celle qui atteint la classe la plus élevée) qui gouverne le comportement global.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Classe}_{\text{section}} = \max(\text{Classe}_{\text{semelle}}, \text{Classe}_{\text{âme}}) \]
Donnée(s) :
  • Classe de la semelle : Classe 1
  • Classe de l'âme : Classe 1
Calcul(s) :
\[ \text{Classe}_{\text{section}} = \max(1, 1) = 1 \]
Points de vigilance :

Pas de moyenne ! La classe globale n'est jamais une moyenne. C'est toujours le maximum. Si une seule paroi est de Classe 4, même si toutes les autres sont de Classe 1, la section entière doit être traitée comme une section de Classe 4.

Le saviez-vous ?

Le choix d'une classe de section a un impact économique. Les sections de Classe 1 ou 2 permettent une analyse plastique, souvent plus économique car elle exploite la capacité de redistribution des efforts. Les sections de Classe 4, plus légères, peuvent être moins chères à l'achat mais nécessitent des calculs plus complexes et peuvent avoir une résistance réduite.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la semelle est de Classe 1 et l'âme de Classe 3 ?

La classe de la section globale serait le maximum, donc Classe 3. Cela signifie que la section peut atteindre sa limite d'élasticité, mais que le voilement local empêchera le développement d'une rotule plastique. On utilisera donc un calcul de résistance élastique pour cette section.

Résultat : La section est de Classe 1. Elle n'est pas sensible au voilement local avant d'atteindre sa résistance plastique.

Outil Interactif de Classification de Paroi

Utilisez cet outil pour classifier rapidement une paroi comprimée en fonction de ses dimensions et de ses conditions d'appui, selon l'Eurocode 3.

Paramètres de la Paroi
Résultats de la Classification
Élancement c/t -

Pour Aller Plus Loin : Les Sections de Classe 4

Le concept de largeur efficace : Si une paroi est de Classe 4, elle est tellement élancée qu'elle voilera localement bien avant que l'acier n'atteigne sa limite d'élasticité. Pour calculer sa résistance, on ne peut donc pas considérer toute la section comme efficace. L'Eurocode 3 introduit le concept de largeur efficaceApproche de calcul pour les sections de Classe 4 où l'on considère qu'une partie seulement de la largeur de la paroi voilée contribue à la résistance, le reste étant considéré comme "inefficace". : on considère qu'une partie de la paroi, au centre, est "perdue" à cause du voilement, et on ne prend en compte que deux bandes efficaces près des appuis pour le calcul de la résistance. C'est une méthode plus complexe mais essentielle pour le dimensionnement des profilés à froid.

Études de Cas : Applications Réelles

Étude de Cas 1 : Les Poutres-Caissons du Viaduc de Millau

Le tablier du célèbre Viaduc de Millau est une immense structure en acier. Ses poutres principales sont des "caissons" creux. Les larges tôles d'acier qui forment les parois de ces caissons sont très élancées pour économiser du poids. Soumises à la compression due au poids propre et au trafic, elles risqueraient de voiler. Pour contrer cela, les ingénieurs ont soudé des profilés plus petits, appelés raidisseurs, à l'intérieur du caisson. Ces raidisseurs agissent comme des mini-poutres qui soutiennent la tôle, la divisant en une mosaïque de petits panneaux beaucoup moins élancés et donc stables. Ce projet illustre parfaitement comment on gère le voilement sur des projets d'envergure, non pas en épaississant la tôle, mais en la rigidifiant intelligemment.

Étude de Cas 2 : Les Pannes de Toiture d'un Hangar à Meurchin

Prenons un cas plus local : la construction d'un entrepôt logistique dans la zone industrielle de Meurchin. La toiture est supportée par des pannes, de longues poutres légères en acier plié à froid (en forme de "Z"). Pour être économiques, ces pannes ont des parois très fines. L'analyse selon l'Eurocode 3 montre qu'elles sont de Classe 4. Cela signifie que leur semelle comprimée va voiler avant que l'acier n'atteigne sa pleine résistance. Pour le calcul, l'ingénieur ne peut donc pas utiliser toute la largeur de la semelle. Il doit appliquer la méthode des sections efficaces : il ne considère qu'une partie de la largeur de la semelle comme étant résistante, ce qui réduit la capacité portante calculée du profilé mais garantit la sécurité de la toiture face aux charges de neige et de vent de la région des Hauts-de-France.

Le Saviez-Vous ?

Les principes de l'instabilité des plaques minces ont été développés au début du 20ème siècle, en grande partie pour les besoins de l'aéronautique. Les ailes et fuselages d'avions sont des exemples parfaits de structures à parois minces où le contrôle du voilement est absolument critique pour éviter une défaillance catastrophique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre voilement et flambement ?

Le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité global qui affecte un élément structural dans son ensemble (ex: une colonne qui fléchit sur toute sa longueur). Le voilement (ou voilement local) est un phénomène d'instabilité local qui affecte une des parois minces qui composent l'élément (ex: l'âme d'une poutre qui ondule). Une colonne peut flamber sans voiler, voiler sans flamber, ou les deux simultanément.

Pourquoi la limite est-elle plus sévère pour une semelle (console) que pour une âme (intérieure) ?

Une paroi intérieure comme une âme est maintenue sur ses deux bords longitudinaux (par les semelles), ce qui la stabilise. Une paroi en console comme une semelle n'est maintenue que sur un seul bord (à la jonction avec l'âme), son bord libre peut donc se déplacer beaucoup plus facilement. Elle est intrinsèquement moins stable et donc plus sensible au voilement, d'où des limites d'élancement plus strictes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On utilise un acier plus résistant (ex: S355 au lieu de S235). Pour les mêmes dimensions, une paroi devient :

2. Laquelle de ces actions est la plus efficace pour transformer une section de Classe 4 en Classe 3 ?

Glossaire

Voilement Local
Phénomène d'instabilité se manifestant par des ondulations sur une paroi mince (plaque) d'un profilé soumis à des contraintes de compression.
Élancement (d'une paroi)
Rapport adimensionnel entre la largeur et l'épaisseur d'une paroi (ex: c/t). C'est le paramètre principal qui détermine la sensibilité au voilement.
Classification de Section
Méthode (décrite dans l'Eurocode 3) qui catégorise les sections en 4 classes en fonction de leur capacité à atteindre leur résistance plastique sans être limitées par le voilement local.
Largeur Efficace
Concept de calcul utilisé pour les sections de Classe 4, où seule une partie de la largeur de la paroi est considérée comme efficace pour reprendre les efforts, pour tenir compte de l'effet du voilement.
Analyse de l'instabilité locale dans les profilés minces

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